安徽省名校2022-2023学年高二下学期开学考试数学试题(A卷)（含解析）

安徽省名校2022-2023学年高二下学期开学考试
数学（A卷）
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知，为空间向量，且，则
A. B. C. D.
2.已知点，在直线上，则直线的斜率为
A. B. C.2 D.
3.已知两圆和相交于，两点，则
A. B. C. D.
4.已知椭圆的长轴长、短轴长、焦距成等比数列，则的离心率等于
A. B. C. D.
5.已知等比数列的公比，且与的等差中项为5，，则
A. B. C. D.
6.如图，已知等腰直角三角形的斜边的中点为，且，点为平面外一点，且，，则异面直线与所成的角的余弦值为
A. B. C. D.
7.抛物线的准线交轴于点，焦点为，直线过点且与抛物线交于，两点，若，则直线的斜率为
A. B. C. D.
8.某高科技企业为一科技项目注入启动资金1000万元作为项目资金，已知每年可获利20%，但由于竞争激烈，每年年底需要从利润中取出100万元资金进行科研、技术改造与广告投入，方能保持原有的利润增长率，设经过年后，该项目资金达到或超过翻一番（即为原来的2倍）的目标，则的最小值为（，）
A.4 B.5 C.6 D.7
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知曲线（或），则
A.曲线可表示椭圆 B.曲线为双曲线
C.，则曲线的焦点坐标为 D.，则曲线的渐近线方程为
10.已知等差数列的前项和为，公差为，，，则下列说法正确的是
A. B.
C. D.
11.已知正四棱柱的底面边长为2，，点在棱上，点在棱上，则以下说法正确的是
A.若为中点，存在点，
B.若为中点，存在点，平面
C.若，分别为，的中点，则到平面所成的角的余弦值为
D.若，分别为，的中点，则到平面的距离为
12.已知数列，，满足，，则以下结论正确的是
A.数列为等比数列
B.数列为等差数列
C.用集合中元素个数，则
D.把数列，中的所有项由小到大排列组成一个新数列，这个新数列的第2023项为4025
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知，均为空间单位向量，且它们的夹角为60°，则___________.
14.已知点，在曲线图象上，且，两点连线的斜率为2，请写出满足条件的一组点___________，___________.
15.已知矩形在平面的同一侧，顶点在平面上，，，且，与平面所成的角的大小分别为30°，45°，则矩形与平面所成角的正切值为_____________.
16.已知函数，数列的首项，点在函数图像上，若，则整数_____________.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）已知正项等比数列中，，.
（1）求；
（2）若，数列的前项和为，求证：.
18.（12分）已知直线过点，且与，轴分别交于点，，为等腰直角三角形.
（1）求的方程；
（2）设为坐标原点，点在轴负半轴，求过，，三点的圆的一般方程.
19.（12分）已知，是椭圆的右顶点和上顶点，点在椭圆上，且直线经过线段的中点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线经过的右焦点与交于，两点，且，求直线的方程.
20.（12分）如图，在三棱柱中，是边长为2的等边三角形，，，平面平面，为线段的中点.
（1）求证：；
（2）求与平面所成的角的正弦值.
21.（12分）设为数列的前项和，且，，成等差数列.
（2）设，设数列的前项和为，若对恒成立，求和正整数的最大值.
22.（12分）已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，离心率为3，点在上.
（1）求的标准方程；
（2）已知直线过的右焦点且与的左，右两支分别交于，两点，点是的平分线上一动点，且，求的面积.
高二数学A卷参考答案
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.【答案】C 【解析】由，，向量夹角的定义知.
2.【答案】A 【解析】把，带入中，可得，，所以的斜率为.
3.【答案】D 【解析】两圆做差，可得公共弦方程为，该弦过圆的圆心，故.
4.【答案】B 【解析】因为长轴长、短轴长、焦距成等比数列，所以，得，解得.
5.【答案】A 【解析】由题知，，解得或，因为，所以，.
6.【答案】D 【解析】如图，取中点，连接，，则即为所求，可得，，在三角形中，可得，故得.
7.【答案】A 【解析】设直线方程为，与抛物线方程联立，得，设，，，又因为，所以，所以得，所以直线的斜率为.
8.【答案】B 【解析】由题意设经过年后，该项目资金为万元，则，且，得，得，所以令，得，所以至少要经过5年，项目资金才可以达到或超过翻一番的目标.
二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分.
9.【答案】BD 【解析】若表示椭圆，则，则值不存在，故A错误，因为或，所以，曲线表示双曲线，当时，曲线，焦点坐标为，所以C错误，曲线的渐近线方程为，所以D正确.
10.【答案】ABD 【解析】因为，，所以可以求得，，所以，A，B正确；因为，所以C不正确，.故D正确.
11.【答案】BCD 【解析】可以判定，当在棱上时，不存在情况，所以A不正确，同理可以判定，当在处时，满足题意；若，分别为，的中点，则与平面所成的角即为与平面所成的角，即为，所以可以求得；可以判断平面，所以即为点到平面的距离，过点做的垂线，垂足为，则即为所求，可求.
12.【答案】ACD 【解析】由可得，，从而得，
令，得，所以A正确，令，，数列不为等差数列，由题意可知，；组成的新数列含有数列的项为2，，，…，，共11项，所以新数列含有数列的项为，，…，故所求新数列的第2023项为.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.【答案】 【解析】.
14.【答案】，（答案不唯一，只需满足，且两点在曲线上）
【解析】设，，则，得.
15.【答案】 【解析】如图，过，分别做平面的垂线，垂足分别为，，连接，，则，，得，，所以，过做，，则即为矩形与平面的交线，过做垂直于点，连接，则即为所求，可以求得，所以矩形与平面所成角的正切值为.
16.【答案】7 【解析】因为点在函数图像上，所有，得，所以，，显然，所以，所以.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.解：（1）设的公比为，则有，解得，，所以；
（2），，
因为，所以，所以.
18.解：（1）直线过点，所以设直线为，，
令，得，所以，
令，得，所以，
且为等腰直角三角形，所以，得，
得或，过原点，不满足题意，
故直线的方程为或，即或；
（2）由题意可知，直线的方程为，即，
设圆的方程为，得
得，，，所求圆的方程为.
19.解：（1）因为，，所以的中点为，
直线经过线段的中点，所以，
又因为点在椭圆上，故，
故可得，，所以；
（2）若直线的斜率为0时，可得，，不满足题意；
若直线的斜率不为0时，设，联立，
消去得，，，
则，，
因为，所以，即，
得，即
得，得，所以或，
所以直线或.
20.（1）证明：作于，连接，
由平面平面，且平面平面，
得平面，所以，
因为，，，由勾股定理得，
所以，所以，，在中，可得，
在直角三角形中，由勾股定理可得.
又且为中点，所以；
（2）如图，以为坐标原点，，分别为轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
得，，，，，，，
所以，，，
设是平面的法向量，
，取，得，
设与平面所成的角为，
所以.
所以与平面所成的角的正弦值为.
21.解：（1）由题意，令，有，当时，得，
所以，时有，
两式相减得，得，
即当时，，，所以，
当为奇数时，，
当为偶数时，，所以；
（2）因为，所以，，
两式相减得，所以.
，令，
得
，即，要使得对恒成立，
只需，即，故正整数的最大值为2025.
22.解：（1）由题意知所以，，，
所以双曲线方程为；
（2）因为，所以设，
因为直线与的左，右两支分别交于，两点，所以，得，
设，，
因为，所以，又为的角平分线，所以；
由得，，，
因为，
，
所以，即，解得，
当时，，即
所以点到直线的距离为，
所以求的面积为，
当时，，即
所以点到直线的距离为，
所以求的面积为.
故的面积为.