人教A版（2019）必修第一册 5.1.2 弧度制 课件（共29张PPT）

(共29张PPT)
5.1.2 弧度制
一.复习填空：
O
x
y
45
45
1
2
3
1
2
4
4
3
引言：
度量长度可以用米、英尺、公里的不同的单位制，度量重量可以用千克、磅、吨等不同单位制，不同的单位制可以给解决问题带来方便，初中时，角是用什么单位度量的呢？
在角度制下，当把两个带着度、分、秒各单位的角相加、相减时，由于运算进率非十进制，总给我们带来不少困难．那么我们能否重新选择角单位，使在该单位制下两角的加、减运算与常规的十进制加减法一样去做呢？
角度制的单位有：度、分、秒。
1、角度制
用“度”作单位来度量角的单位制称作 “角度制”，规定：圆周1/360的圆心角称作1°角。
弧度制
60进制
2、 弧度制定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，单位用符号rad表示，读作弧度。
α=1rad
问题：若弧是一个半圆，则其圆心角的弧度数是多少？若弧是一个整圆呢？
B
α
L=r
A
O
r
O
A
C
L=2r
2rad
r
α=2rad
半圆
整圆
α=πrad
α=2πrad
一般地，
为什么可以用弧长与其半径的比值来度量角的大小呢？即这个比值是否与所取的圆的半径大小无关呢？
B
α
A
O
r
A’
B’
r’
练习 ：在半径不等的两个圆内，1弧度的圆心角( )
A.所对弧长相等
B.所对的弦长相等
C.所对弧长等于各自半径
D.所对的弧长为
C
　角度制与弧度制的互换：
（1）把角度换成弧度
（2）把弧度换成角度
1、任意一个00~3600的角的弧度数必然适合不等式 0≤x<2π.
这样：角的单位就有角度制和弧度制
几点说明：
弧度制下的角与实数建立一一对应关系
问：3rad的角是第几象限的角？
3、例题讲解
解：∵
把　　 化成弧度。
例1：
∴
把　　　 化成度。
例2：
解：
角度制与弧度制互化的关键：
角度





弧度

0





练习1：写出一些特殊角的弧度数
O
x
y
练习
1）用弧度制写出与300同终边的角的集合；
2）用弧度制写出第四象限角的集合；
3）用弧度制表示 坐标轴上角的集合；
4）指出下列用弧度制表示的角是第几象限角
注意：弧度数来表示或角度来表示，不可混用于一式中。
例4：利用弧度制证明下列关于扇形的公式
小结：
1、弧度制的意义——角与实数一一对应；
3、弧度制下的弧长公式、扇形面积公式及应用
2、换算公式及方法；
学后反思
一一对应关系，同时也揭示了圆中弧长与半径之间的
1、弧度制的引进，使“角度”与“实数”之间建立了
关系，即弧长公式：l=|α|r
2、弧度制下的弧长公式为l=|α|r;扇形面积公式为
在角度制下则是
这里，α,n分别是圆心角的弧度数与角度数，R为圆
的半径。
3、在具体求弧长和扇形面积时，弧度制下的弧长
公式及扇形面积公式既形式简单又便于计算，但要
注意适用条件是在弧度制下，角的单位要统一，都用
弧度数来表示或角度来表示，不可混用于一式中。
应用1：如图，扇形AOB的面积为4cm2，周长为10cm，求扇形的中心角α及AB的长。
B
A
O
解：设扇形半径为r，
应用2：已知扇形的周长为20cm，当扇形的中心角为多少时，它有最大面积？
解：设扇形的弧长为L，半径为R，由已知条件
L+2R=20，即L=20-2R。
由0扇形面积为S=
当R=5时，S最大，此时L=10
时它有最大面积。
变式：已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是多少？
这个圆心角所夹扇形的面积是多少？
该弧所在的弓形面积是多少？
变式：已知扇形面积为S(S>0)，当扇形的圆心角为多少弧度时，它的周长最小？
解：
扇形周长
∴m的最小值为
此时
由对勾函数的单调性知
9.已知 、 有下列关系，分别求 、 之间的关系：
（1） 、 的终边关于X轴对称；
（2） 、 的终边关于Y轴对称；
（3） 、 的终边关于原点对称；
（4） 、 的终边在一条直线上。
随堂练习
1、圆的半径变为原来的2倍，而弧长也增加到原来的2倍，则
A、扇形的面积不变
B、扇形的圆心角不变
C、扇形的面积增大到原来的2倍
D、扇形的圆心角增大到原来的2倍
B
2、时钟经过一小时，时针转过
B
3、已知扇形周长为6cm，面积为2cm2，则扇形圆心角的弧度数为
A、1 B、4 C、1或4 D、2或4
C
4、当圆心角α=-216o，弧长L=7πcm时，其半径r=________
5、在半径为 的圆中，圆心角为周角的 的角所对圆弧的长为___________
40
6、若2 rad的圆心角所对的弧长是4cm，则这个圆心角所在扇形的面积为_________
4cm2
7. 在半径为R的圆中，240 的中心角所对的弧长为 ，面积为2R2的扇形的中心角等于 弧度。
解：（1）240 = ，根据l=αR，得
（2）根据S= lR= αR2，且S=2R2.
所以 α=4.
8. 已知一半径为R的扇形，它的周长等于所在圆的周长，那么扇形的中心角是多少弧度？合多少度？扇形的面积是多少？
解：周长=2πR=2R+l，所以l=2(π－1)R.
所以扇形的中心角是2(π－1) rad.
合( )
扇形面积是
学后反思
一一对应关系，同时也揭示了圆中弧长与半径之间的
1、弧度制的引进，使“角度”与“实数”之间建立了
关系，即弧长公式：l=|α|r
2、弧度制下的弧长公式为l=|α|r;扇形面积公式为
在角度制下则是
这里，α,n分别是圆心角的弧度数与角度数，R为圆
的半径。
3、在具体求弧长和扇形面积时，弧度制下的弧长
公式及扇形面积公式既形式简单又便于计算，但要
注意适用条件是在弧度制下，角的单位要统一，都用
弧度数来表示或角度来表示，不可混用于一式中。