人教A版（2019）选修第一册 3.1.2 椭圆的简单几何性质 课件（共22张PPT）

3.1.2 椭圆的简单几何性质
第三章 圆锥曲线
学习目标
1.椭圆的定义:
平面内与两个定点????????、????????的距离之和为常数（大于|????????????????|）的动点????的轨迹叫做椭圆.
?
2.椭圆的标准方程：
3.椭圆中????，????，????的关系:
?
当焦点在x轴上时
当焦点在y轴上时
????????=????????+???????? (????>????>????)
?
这两个定点叫做椭圆的焦点，两个焦点间的距离叫做椭圆的焦距。
复习回回顾
设点M的坐标为(x, y)，点P的坐标为(x0, y0)，则点D的坐标为(x0, 0).
由点M是线段PD的中点，得
例2 如图，在圆 上任意一点P , 过点P作x轴的垂线段 PD, D为垂足. 当点P在圆上运动时, 线段 PD中点M的轨迹方程是什么？为什么？
x
y
P
M
O
?
D
?
解：(相关点代入法)
例3
x
y
B
M
O
A
?
解: 设点M (x, y)，由A(-5, 0), B(5, 0)，可得
新知探索
l
1、椭圆的范围：
由 得：
-a≤x≤a， -b≤y≤b

∴椭圆位于直线 x =±a，y=±b所围成的矩形中。
????????????????+????????????????=????（????>????>????）
?
新知探索
l
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2、椭圆的对称性：
(1)图象关于 轴对称
(2)图象关于 轴对称
(3)图象关于 成中心对称。
y
x
原点
坐标轴是椭圆的对称轴
原点是椭圆的对称中心
中心：椭圆的对称中心叫做椭圆的中心.
????????????????+????????????????=????（????>????>????）
?
新知探索
3、椭圆的顶点：
顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的顶点。
椭圆顶点坐标：????????(?????,????)、????????(????,????)、????????(????,?????)、????????(????,????)
?
长轴:线段A1A2 长轴长:|A1A2|=2a 长半轴长:a
短轴:线段B1B2 短轴长:|B1B2|=2b 短半轴长:b
????????????????+????????????????=????（????>????>????）
?
新知探索
l
思考：观察下图，我们发现，不同形状的椭圆的扁平程度不同，相同形状的椭圆的扁平程度相同.扁平程度是椭圆的重要形状特征，你能用适当的量定量刻画椭圆的扁平程度吗？
l
4、离心率
如图, 椭圆 的长
半轴为a, 半焦距为c.
利用信息技术，保持长半轴a不变，改变椭圆的半焦距c,
可以发现，c越接近a，椭圆越扁平. 类似的，保持c不变，改变a的大小，则a越接近c，椭圆越扁平；而当a, c扩大或缩小相同倍数时，椭圆的形状不变.
这样, 利用a和c这两个量, 可以刻画椭圆的扁平程度.
?
离心率越大，椭圆越扁
离心率越小，椭圆越圆
注：因为在椭圆中，????2=????2+????2，所以????=????????=(????????)2=????2?????2????2=1?????2????2.
?
椭圆的简单几何性质
例题
题型一：由椭圆的标准方程研究其几何性质用
例1.求椭圆9????2+16????2=144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标,并画出图形。
?
椭圆的长轴长2????=8,短轴长2????=6，离心率????=????????=74，
两个焦点坐标分别是????1(?7,0)和????2(7,0)，
四个顶点坐标分别是????1(?4,0)，????2(4,0)，????1(0,?3)和????2(0,3).
?
解：把原方程化为标准方程为????216+????29=1，
?
于是????=4，????=3，????=16?9=7，
?
例题
题型二：利用几何性质求椭圆的标准方程
例2.求适合下列条件的椭圆的标准方程.
(1)长轴长是10，离心率是45；
?
解(1)：设椭圆方程为????2????2+????2????2=1(????>????>0)或????2????2+????2????2=1(????>????>0).
由已知得2????=10，????=5.
?
又∵????=????????=45，∴????=4.
∴????2=????2?????2=9.
∴椭圆方程为????225+????29=1或????225+????29=1.
?
(2)在????轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.
?
例题
(2)在????轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.
?
解(2)：依题意可设椭圆方程为????2????2+????2????2=1(????>????>0).
如图所示，?????1????????2为等腰直角三角形，
|????????|=????，|????????2|=????，
则????=????=3，????2=????2+????2=18，
故所求椭圆的方程为????218+????29=1.
?
B2
B1
练习
题型三：椭圆离心率的求法及应用
例3.(2018年全卷Ⅱ)已知????1，????2是椭圆????的两个焦点，????是上????的一点.若????????1⊥????????2，且∠????????2????1=60°，则????的离心率为（ ）.
A.1?32 B.2?3 C.3?12 D.3?1
?
D

y
O
F1
F2
P
x
练习
变式：如图,设椭圆的左、右焦点分别为F1,F2,过F1作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若△F1PF2为等腰直角三角形,求椭圆的离心率.
椭圆的通径：过焦点垂直于长轴的直线与椭圆相交所得的线段长度，椭圆的通径长为

y
O
F1
F2
P
x
解：
由已知可得，

y
O
F1
F2
P
x
解得
证明：
椭圆的焦点三角形面积公式：

y
O
F1
F2
P
x
法2：
【练习】1、
2、
3
椭圆的简单几何性质
课堂小结