人教A版（2019）选择性必修三 6.3 二项式定理 教学设计（表格式）
文档属性
| 名称 | 人教A版（2019）选择性必修三 6.3 二项式定理 教学设计（表格式） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 185.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-02-19 07:46:41 | ||
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文档简介
《二项式定理（一）》教学设计
一、教学内容解析
《1.3.1二项式定理》是选修第三册的内容，这节课内容上只有一个二项式定理但它却是前面内容的继续，也是后面内容的开始。在计数原理之后学习二项式定理，一方面是因为它的证明要用到计数原理，可以把它看做为计数原理的一个应用。另一方面也是为后面学习随机变量及分布做准备。
二项式定理具有较高应用价值和思维训练价值,不仅能解决某些整除性、近似计算问题的一种方法，并能解释集合的子集个数问题；再者，二项式定理不仅仅是初中多项式乘法的拓展，它又是学生进一步学习数学分析中函数级数展开式的一个特例，在组合理论、开高次方、高阶等差数列求和中有广泛的应用，因此这节课在高中数学中有着十分重要的作用。通过本课的教学，进一步提高学生的归纳演绎能力，让学生感受体验数学的简洁美、和谐美和对称美。
教材中的二项式定理主要包括：定理本身，通项公式，二项式系数的性质等．通过二项式定理的学习应该让学生掌握有关知识，同时在求展开式、其通项、证恒等式、近似计算等方面形成技能或技巧；进一步体会过程分析与特殊化方法等等的运用；重视学生正确情感、态度和世界观的培养和形成。
二项式定理本身是教学重点，因为它是后面各种应用的基础．通项公式，二项式系数的性质，特殊化方法等意义重大而深远，所以也应该是重点。
二项式定理的证明是一个教学难点．这是因为证明中符号比较抽象、需要恰当地运用组合数的性质。
二、学情分析
学生已经学习了计数原理、排列组合及合情推理的相关知识，已经具备了一定的归纳演绎和分析事件方法种数的能力。但是学生对数学严谨性的把握还不够，研究问题的方法和能力有待提高，有些学生容易粗心，对细节知识的把握还不够好。本节课二项式定理的推导运用了先猜想后证明，由特殊到一般的研究问题的思想方法。因此本堂课采用小组讨论学习，让学生在相互讨论的过程中直接或间接地感受和体验知识的产生、发展和演变过程，提高学生分析解决问题的能力。
在教学中，努力把表现的机会让给学生，以发挥他们的自主精神；尽量创造让学生活动的机会，以让学生在直接体验中建构自己的知识体系；尽量引导学生的发展和创造意识，以使他们能在再创造的氛围中学习。
三、教学目标设置
1.知识技能目标
（1）理解二项式定理是代数乘法公式的推广。
（2）理解并掌握二项式定理，能利用计数原理证明二项式定理。
（3）掌握对简单的二项式进行展开，能够对项的系数与二项式系数进行区分，并能求出指定项。
2.过程与方法目标
通过学生经历二项式定理的形成过程，培养学生观察、分析、归纳的能力，以及化归的意识与方法迁移的能力，体会归纳－猜想－论证的思想方法,发展探究能力。
3.情感、态度、价值观目标
培养学生自主探究意识，合作精神，体验二项式定理的发现和创造历程，体会数学语言的简捷和严谨。
四、教学重点、难点
重点：用两个计数原理分析的展开式得到二项式定理；掌握二项展开式的通项公式；能应用它解决一些简单问题。
难点：用两个计数原理分析推导的展开式；用两个计数原理证明二项式定理。
五、教学过程
教学程序 问 题 设计意图 师生活动
创设问题情境引入新课 引出问题：如果今天是星期五，14天后的这一天是星期几呢？23天后的这一天呢？师生归纳：比如23=7×3+2，所以23天后是星期日。算法：用各个数除以7，看余数是多少，再用五加余数来推算师：再过82016天后是星期几，你知道吗？不方便求出82016除以的余数，可以利用8=7+1，得到82016=(7+1)2016= 如果不用计算器的话,此时就需要研究 提出问题激发学生探索欲望，并引出课题 让学生用计算器计算
从特殊开始由(a+b)1=a+b (a+b)2=(a+b)×(a+b)=a2+2ab+b2; (a+b)3=(a+b)2×(a+b)= 结果： 体会多项式乘法计算过程,加深对因式展开原理的理解。 与学生一同计算，得到计算结果，为后面做铺垫。
探究一：通过组合思想来分析(a+b)3的展开式 展开后①项的形式为：②项的系数，考虑，：每个都不取的情况有1种，即 ,则前的系数为：恰有1个取的情况有种，则前的系数为：恰有2个取的情况有 种，则前的系数为：恰有3个取的情况有 种，则前的系数为所以 考察学生对因式展开的各项形式及系数的理解。 学生说出自己的思路，老师做分析与讲解为后面猜想做铺垫。
探究二：观察展开式中的项数、指数变化以及系数变化，你发现了什么？由此猜想（a+b）4 ,(a+b)n的展开式中项数，指数变化及系数变化又如何呢？并试着写出他们的展开式。回答： 让学生通过特例去观察相同之处与不同之处，以及不同之处的处理方法，从而提出猜想。 学生先观察总结特点：1.项数是指数加1；2.字母a按降幂排列，字母b按照升幂排列，二者指数之和是二项式指数；3、每一项的系数有上面的问题2给出，这很好的突破了本节的难点。
探究三：对于猜想我们如何进行证明呢？证明：是n个相乘，每个在相乘时，有两种选择，选a或选b，由分步计数原理可知展开式共有项（包括同类项），其中每一项都是的形式，对于每一项，它是由r个选了b，n－r个选了a得到的，它出现的次数相当于从n个中取r个b的组合数，将它们合并同类项，就得二项展开式，这就是二项式定理． 让学生体会利用组合思想从特殊到一般，对猜想给出严谨的证明过程。并理解如何用“说理”的方式阐述证明过程。 师生讨论证明思路，通过阅读课本上的证明过程，老师最后做出方法归类，提示学生证明的思路。并留下课下演练二项式定理的数学归纳法证明。
思考观察学习新课 观察二项展开式中的项数、指数以及系数有何特点，谁最具代表性？(1)项：二项展开式共有项；(2)次数：各项的次数都等于n；字母a按降幂排列，次数由n递减到0；字母b按升幂排列，次数由0递增到n (3)二项式系数：(4)二项展开式的通项：= 考察学生的观察力，以及分析问题的能力。 学生继续总结这三点，以强化已有的认识，同时老师强调：二项式系数，与二项展开式系数的区别。
特殊的情况1.用-b代替b.写出的展开式2.令a=1,b=2x. 写出的展开式 对二项式定理的简单应用，同时也是告诉学生二项式定理在解决问题时的方法：赋值或是赋表达式。 学生自主完成，老师进行检查，通过投影仪将学生的结果进行展示，错误时做出点拨与分析。
破解疑惑 今天是星期五, 再过82016天后是星期几，你知道吗？即82016除以7余数是1。 故再过82016天后的那一天是星期六。 破解疑惑让学生感受计算的简单与快捷，增强对数学学习的热情， 学生提出解决思路，老师点评分析，怎么才能被7整除好计算呢 联想二项式定理的表达形式，问题得到解决，留为课下计算。
精讲精析巩固新知 再探索对于的展开式思考1：展开式的第2项的系数是多少？思考2：展开式的第2项的二项式系数是多少？思考3：你能否直接求出展开式的第2项？ 熟悉二项式定理，以及对二项式系数，展开式系数，以及x的系数问题的理解与记忆。 教师板演过程，给学生以示范，为后面步骤的整洁做铺垫。
反馈练习 课堂练习1、求的展开式的第三项2、求的展开式的第三项 熟悉二项式定理，二项式系数，二项展开式系数，以及通项的初步应用，理解二项式展开式的项的顺序。 学生自主练习，反馈教学效果，老师巡视做个别辅导。
课堂小结 本节课你学习了什么知识，他是怎么得到的呢？在学习这部分知识时要注意什么呢？ 让学生回顾本节要点，观察学生掌握情况。 学生说，教师课件演示，并强调：二项式系数与二项展开式系数的区别。
布置作业 课本37页 习题1.3 A组 2、4课后探究：用数学归纳法证明二项式定理 让学生巩固本节课的所学内容和知识。
六、板书设计
1.3.1二项式定理(1)项：二项展开式共有项；(2)次数：各项的次数都等于n；字母a按降幂排列，次数由n递减到0；字母b按升幂排列，次数由0递增到n (3)二项式系数：(4)二项展开式的通项：= 例题1例题2练习1 练习2作业：课本37页 习题1.3 A组 2、4课后探究：用数学归纳法证明二项式定理（根据课堂教学活动的推荐，反复使用。）
一、教学内容解析
《1.3.1二项式定理》是选修第三册的内容，这节课内容上只有一个二项式定理但它却是前面内容的继续，也是后面内容的开始。在计数原理之后学习二项式定理，一方面是因为它的证明要用到计数原理，可以把它看做为计数原理的一个应用。另一方面也是为后面学习随机变量及分布做准备。
二项式定理具有较高应用价值和思维训练价值,不仅能解决某些整除性、近似计算问题的一种方法，并能解释集合的子集个数问题；再者，二项式定理不仅仅是初中多项式乘法的拓展，它又是学生进一步学习数学分析中函数级数展开式的一个特例，在组合理论、开高次方、高阶等差数列求和中有广泛的应用，因此这节课在高中数学中有着十分重要的作用。通过本课的教学，进一步提高学生的归纳演绎能力，让学生感受体验数学的简洁美、和谐美和对称美。
教材中的二项式定理主要包括：定理本身，通项公式，二项式系数的性质等．通过二项式定理的学习应该让学生掌握有关知识，同时在求展开式、其通项、证恒等式、近似计算等方面形成技能或技巧；进一步体会过程分析与特殊化方法等等的运用；重视学生正确情感、态度和世界观的培养和形成。
二项式定理本身是教学重点，因为它是后面各种应用的基础．通项公式，二项式系数的性质，特殊化方法等意义重大而深远，所以也应该是重点。
二项式定理的证明是一个教学难点．这是因为证明中符号比较抽象、需要恰当地运用组合数的性质。
二、学情分析
学生已经学习了计数原理、排列组合及合情推理的相关知识，已经具备了一定的归纳演绎和分析事件方法种数的能力。但是学生对数学严谨性的把握还不够，研究问题的方法和能力有待提高，有些学生容易粗心，对细节知识的把握还不够好。本节课二项式定理的推导运用了先猜想后证明，由特殊到一般的研究问题的思想方法。因此本堂课采用小组讨论学习，让学生在相互讨论的过程中直接或间接地感受和体验知识的产生、发展和演变过程，提高学生分析解决问题的能力。
在教学中，努力把表现的机会让给学生，以发挥他们的自主精神；尽量创造让学生活动的机会，以让学生在直接体验中建构自己的知识体系；尽量引导学生的发展和创造意识，以使他们能在再创造的氛围中学习。
三、教学目标设置
1.知识技能目标
（1）理解二项式定理是代数乘法公式的推广。
（2）理解并掌握二项式定理，能利用计数原理证明二项式定理。
（3）掌握对简单的二项式进行展开，能够对项的系数与二项式系数进行区分，并能求出指定项。
2.过程与方法目标
通过学生经历二项式定理的形成过程，培养学生观察、分析、归纳的能力，以及化归的意识与方法迁移的能力，体会归纳－猜想－论证的思想方法,发展探究能力。
3.情感、态度、价值观目标
培养学生自主探究意识，合作精神，体验二项式定理的发现和创造历程，体会数学语言的简捷和严谨。
四、教学重点、难点
重点：用两个计数原理分析的展开式得到二项式定理；掌握二项展开式的通项公式；能应用它解决一些简单问题。
难点：用两个计数原理分析推导的展开式；用两个计数原理证明二项式定理。
五、教学过程
教学程序 问 题 设计意图 师生活动
创设问题情境引入新课 引出问题：如果今天是星期五，14天后的这一天是星期几呢？23天后的这一天呢？师生归纳：比如23=7×3+2，所以23天后是星期日。算法：用各个数除以7，看余数是多少，再用五加余数来推算师：再过82016天后是星期几，你知道吗？不方便求出82016除以的余数，可以利用8=7+1，得到82016=(7+1)2016= 如果不用计算器的话,此时就需要研究 提出问题激发学生探索欲望，并引出课题 让学生用计算器计算
从特殊开始由(a+b)1=a+b (a+b)2=(a+b)×(a+b)=a2+2ab+b2; (a+b)3=(a+b)2×(a+b)= 结果： 体会多项式乘法计算过程,加深对因式展开原理的理解。 与学生一同计算，得到计算结果，为后面做铺垫。
探究一：通过组合思想来分析(a+b)3的展开式 展开后①项的形式为：②项的系数，考虑，：每个都不取的情况有1种，即 ,则前的系数为：恰有1个取的情况有种，则前的系数为：恰有2个取的情况有 种，则前的系数为：恰有3个取的情况有 种，则前的系数为所以 考察学生对因式展开的各项形式及系数的理解。 学生说出自己的思路，老师做分析与讲解为后面猜想做铺垫。
探究二：观察展开式中的项数、指数变化以及系数变化，你发现了什么？由此猜想（a+b）4 ,(a+b)n的展开式中项数，指数变化及系数变化又如何呢？并试着写出他们的展开式。回答： 让学生通过特例去观察相同之处与不同之处，以及不同之处的处理方法，从而提出猜想。 学生先观察总结特点：1.项数是指数加1；2.字母a按降幂排列，字母b按照升幂排列，二者指数之和是二项式指数；3、每一项的系数有上面的问题2给出，这很好的突破了本节的难点。
探究三：对于猜想我们如何进行证明呢？证明：是n个相乘，每个在相乘时，有两种选择，选a或选b，由分步计数原理可知展开式共有项（包括同类项），其中每一项都是的形式，对于每一项，它是由r个选了b，n－r个选了a得到的，它出现的次数相当于从n个中取r个b的组合数，将它们合并同类项，就得二项展开式，这就是二项式定理． 让学生体会利用组合思想从特殊到一般，对猜想给出严谨的证明过程。并理解如何用“说理”的方式阐述证明过程。 师生讨论证明思路，通过阅读课本上的证明过程，老师最后做出方法归类，提示学生证明的思路。并留下课下演练二项式定理的数学归纳法证明。
思考观察学习新课 观察二项展开式中的项数、指数以及系数有何特点，谁最具代表性？(1)项：二项展开式共有项；(2)次数：各项的次数都等于n；字母a按降幂排列，次数由n递减到0；字母b按升幂排列，次数由0递增到n (3)二项式系数：(4)二项展开式的通项：= 考察学生的观察力，以及分析问题的能力。 学生继续总结这三点，以强化已有的认识，同时老师强调：二项式系数，与二项展开式系数的区别。
特殊的情况1.用-b代替b.写出的展开式2.令a=1,b=2x. 写出的展开式 对二项式定理的简单应用，同时也是告诉学生二项式定理在解决问题时的方法：赋值或是赋表达式。 学生自主完成，老师进行检查，通过投影仪将学生的结果进行展示，错误时做出点拨与分析。
破解疑惑 今天是星期五, 再过82016天后是星期几，你知道吗？即82016除以7余数是1。 故再过82016天后的那一天是星期六。 破解疑惑让学生感受计算的简单与快捷，增强对数学学习的热情， 学生提出解决思路，老师点评分析，怎么才能被7整除好计算呢 联想二项式定理的表达形式，问题得到解决，留为课下计算。
精讲精析巩固新知 再探索对于的展开式思考1：展开式的第2项的系数是多少？思考2：展开式的第2项的二项式系数是多少？思考3：你能否直接求出展开式的第2项？ 熟悉二项式定理，以及对二项式系数，展开式系数，以及x的系数问题的理解与记忆。 教师板演过程，给学生以示范，为后面步骤的整洁做铺垫。
反馈练习 课堂练习1、求的展开式的第三项2、求的展开式的第三项 熟悉二项式定理，二项式系数，二项展开式系数，以及通项的初步应用，理解二项式展开式的项的顺序。 学生自主练习，反馈教学效果，老师巡视做个别辅导。
课堂小结 本节课你学习了什么知识，他是怎么得到的呢？在学习这部分知识时要注意什么呢？ 让学生回顾本节要点，观察学生掌握情况。 学生说，教师课件演示，并强调：二项式系数与二项展开式系数的区别。
布置作业 课本37页 习题1.3 A组 2、4课后探究：用数学归纳法证明二项式定理 让学生巩固本节课的所学内容和知识。
六、板书设计
1.3.1二项式定理(1)项：二项展开式共有项；(2)次数：各项的次数都等于n；字母a按降幂排列，次数由n递减到0；字母b按升幂排列，次数由0递增到n (3)二项式系数：(4)二项展开式的通项：= 例题1例题2练习1 练习2作业：课本37页 习题1.3 A组 2、4课后探究：用数学归纳法证明二项式定理（根据课堂教学活动的推荐，反复使用。）