竖直平面内的圆周运动
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专题:竖直平面内的圆周运动
一、竖直平面内的圆周运动的特点
竖直平面内的圆周运动一般是变速圆周运动，其合外力一般不指向圆心，
它产生两个方向的效果：
因此变速圆周运动的合外力不等于向心力，只是在半径方向的分力F1提供向心力．但在最高点和最低点时合外力沿半径指向圆心，全部提供向力，这类问题经常出现临界状态．
二、圆周运动的临界问题
竖直平面内的圆周运动一般是变速圆周动物，其合外力一般不指向圆心，但在最高点和最低点时合外力沿半径指向圆心，全部提供向力，这类问题经常出现临界状态，下面对临界状态进行分析：
没有物体支撑的小球（绳类约束）
讨论在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况，如图所示：
①临界速度：小球运动在最高点时，受的重力和弹力方向都向下，当弹力等于零时，向心力最小，仅由重力提供．由牛顿运动定律知mg=m，得小球过圆周轨道最高点的临界速度为=，它是小球能过圆周最高点的最小速度．
②当mg，小球能过圆周的最高点，此时绳和轨道分别对小球产生拉力和压力．
③当mg>m，即v<，小球不能过圆周的最高点，小球在达到最高点之前就已经脱离了圆轨道．小球脱离圆周的临界条件是弹力为零．
【例题1】如图所示，一质量为0.5kg的小球，用0.4m长的细线拴住在竖直面内作圆周运动，求：（1）当小球在圆上最高点速度为4m/s时，细线的拉力是多少？（2）当小球在圆上最低点的速度为4Γ2时，细线的拉力是多少？（g=10m/s2）
练1、把盛水的水桶拴在长为L的绳子一端，使这水桶在竖直平面做圆周运动，要使水在水桶转到最高点时不从桶里流出来，这时水桶的线速度至少应该是 ( )
A. B. C. D. 0
练2、用长为l的细线拴一个小球使其绕细线的加一端在竖直平面内做圆周运动，当球通过圆周的最高点时，细线受到的拉力等于球重的2倍，已知重力加速度为g，则球此时的速度大小为___ ，角速度大小为_ _，加速度大小为_ __。
有物体支撑的小球（杆类约束）
讨论在竖直平面内做圆周运动的情况，如图所示．
①临界速度：由于轻杆或管状轨道对小球有支撑作用，因此小球在最高点的速度可以为零，不存在“掉下来”的情况．小球恰能达到最高点的临界速度=0．
②小球过最高点时，所受弹力情况：
A．小球到达最高点的速度v=0，此时轻杆或管状轨道对小球的弹力N=mg．
B．当小球的实际速度v>时，产生离心趋势，要维持小球的圆周运动，弹力方向应向下指向圆心，即轻杆对小球产生竖直向下的拉力，管状轨道对小球产生竖直向下的压力，因此=m-mg，所以弹力的大小随v的增大而增大。
C．当0【例题2】长度为0．5m的轻质细杆OA，A端有一质量为 3kg 的木球，以O点为圆心，在竖直面内作圆周运动，如图所示，小球通过最高点的速度为 2m/s，取g = 10 m/s2，则此时球对轻杆的力大小是 ，方向向 。
练：如图所示，长为L的轻杆，一端固定一个小球，另一端固定在光滑的水平轴上，使小球在竖直平面内作圆周运动，关于小球在最高点的速度v0下列说法中正确的是
A．v的最小值为
B．v由零逐渐增大，向心力也逐渐增大
C．当v由值逐渐增大时，杆对小球的弹力也逐渐增大
D．当v由值逐渐增小时，杆对小球的弹力也仍然逐渐增大
3．物体在竖直圆周外壁最高点的运动情况，如图所示：
①临界速度v0：物体在最高点受到竖直向下的重力和竖直
向上的支持力，根据牛顿第二定律有mg-=m
当=0时，即重力提供向心力，则有mg=m，
解得临界速度v0=，这是物体在最高点不脱离圆周轨道的最大速度．
②当v≥，物体在最高点将做平抛运动，脱离轨道．
课堂练习：
1. 长度均为L的轻杆和轻绳一端固定在转轴上, 另一端各系一个质量为m的小球, 它们各自在竖直平面内恰好做圆周运动, 则小球运动到最低点时, 杆、绳所受拉力之比为（ ）
A. 5 : 6 B. 1 : 1 C. 2 : 3 D. 1 : 2
2、如图，轻杆的一端与小球相连接，轻杆另一端过O轴在竖直平面内做圆周运动。当小球达到最高点A、最低点B时，杆对小球的作用力可能是：
A. 在A处为推力，B处为推力
B. 在A处为拉力，B处为拉力
C. 在A处为推力，B处为拉力
D. 在A处作用力为零，在B处作用力不为零
3. 长为L的轻绳一端系一质量为m的物体, 另一端被质量为M的人用手握住. 人站在水平地面上, 使物体在竖直平面内作圆周运动, 物体经过最高点时速度为v , 则此时人对地面的压力为（ ）
A. ( M + m )g － B. ( M + m )g +
C. M g + D. ( M － m )g －
4．一轻杆一端固定一质量为m 的小球，以另一端O为圆心，使小球在竖直平面内做半径为R 的圆周运动，以下说法正确的是： [ ]
A、小球过最高点时，杆所受的弹力可以为零
B、小球过最高点时最小速度为
C、小球过最高点时，杆对球的作用力可以与球所受重力方向相反， 此时重力一定大于杆对球的作用力
D、小球过最高点时，杆对球的作用力一定与小球所受重力方向相反
5．长度为L=0.8m的轻质细杆，一端有一质量为m=5kg的小球，小球以O点为圆心在竖直面内做圆周运动，当小球通过最高点时的速率为4m/s时，小球受到细杆的 力（填拉或支持），大小为 N，g取10m/s2。
6、长为L=60cm的细绳，一端系着盛水的小桶，在竖直平面内做圆周运动，水的质量m=0.5kg，则当速度为多大时，在最高点水刚好不流出？在最高点速度v=3m/s时，水对桶底的压力大小为多少？
7、下课后，小丽在运动场上荡秋千。已知小丽的质量为40 kg，每根系秋千的绳子长为4 m ，能承受的最大张力是300N。如右图，当秋千板摆到最低点时，速度为3 m/s。（g =10m/s2，小丽看成质点处理，秋千绳、底座等不计质量）（1）此时，小丽做圆周运动的向心力是多大？（2）此时，小丽对底座的压力是多少？每根绳子受到拉力T是多少？（3）如果小丽到达最低点的速度为5m/s，绳子会断吗？
8、如图：质量为m=0.2kg的小球固定在L=0.9m的轻杆的一端，杆可绕O点的水平轴在竖直平面内转动，g=10m/s2，求：（1）当小球在最高点的速度为多大时，小球对杆的作用力为零；（2）当小球在最高点的速度分别为6m/s和1.5m/s时，杆对小球的作用力的大小和方向；（3）小球在最高点的速度能否等于零？（4）当小球在最左点或最右点的速度为4m/s时，杆对小球的作用力的大小和方向；
C
R
O
A
v
O
杆
v
1
一、竖直平面内的圆周运动的特点
竖直平面内的圆周运动一般是变速圆周运动，其合外力一般不指向圆心，
它产生两个方向的效果：
因此变速圆周运动的合外力不等于向心力，只是在半径方向的分力F1提供向心力．但在最高点和最低点时合外力沿半径指向圆心，全部提供向力，这类问题经常出现临界状态．
二、圆周运动的临界问题
竖直平面内的圆周运动一般是变速圆周动物，其合外力一般不指向圆心，但在最高点和最低点时合外力沿半径指向圆心，全部提供向力，这类问题经常出现临界状态，下面对临界状态进行分析：
没有物体支撑的小球（绳类约束）
讨论在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况，如图所示：
①临界速度：小球运动在最高点时，受的重力和弹力方向都向下，当弹力等于零时，向心力最小，仅由重力提供．由牛顿运动定律知mg=m，得小球过圆周轨道最高点的临界速度为=，它是小球能过圆周最高点的最小速度．
②当mg
③当mg>m，即v<，小球不能过圆周的最高点，小球在达到最高点之前就已经脱离了圆轨道．小球脱离圆周的临界条件是弹力为零．
【例题1】如图所示，一质量为0.5kg的小球，用0.4m长的细线拴住在竖直面内作圆周运动，求：（1）当小球在圆上最高点速度为4m/s时，细线的拉力是多少？（2）当小球在圆上最低点的速度为4Γ2时，细线的拉力是多少？（g=10m/s2）
练1、把盛水的水桶拴在长为L的绳子一端，使这水桶在竖直平面做圆周运动，要使水在水桶转到最高点时不从桶里流出来，这时水桶的线速度至少应该是 ( )
A. B. C. D. 0
练2、用长为l的细线拴一个小球使其绕细线的加一端在竖直平面内做圆周运动，当球通过圆周的最高点时，细线受到的拉力等于球重的2倍，已知重力加速度为g，则球此时的速度大小为___ ，角速度大小为_ _，加速度大小为_ __。
有物体支撑的小球（杆类约束）
讨论在竖直平面内做圆周运动的情况，如图所示．
①临界速度：由于轻杆或管状轨道对小球有支撑作用，因此小球在最高点的速度可以为零，不存在“掉下来”的情况．小球恰能达到最高点的临界速度=0．
②小球过最高点时，所受弹力情况：
A．小球到达最高点的速度v=0，此时轻杆或管状轨道对小球的弹力N=mg．
B．当小球的实际速度v>时，产生离心趋势，要维持小球的圆周运动，弹力方向应向下指向圆心，即轻杆对小球产生竖直向下的拉力，管状轨道对小球产生竖直向下的压力，因此=m-mg，所以弹力的大小随v的增大而增大。
C．当0
练：如图所示，长为L的轻杆，一端固定一个小球，另一端固定在光滑的水平轴上，使小球在竖直平面内作圆周运动，关于小球在最高点的速度v0下列说法中正确的是
A．v的最小值为
B．v由零逐渐增大，向心力也逐渐增大
C．当v由值逐渐增大时，杆对小球的弹力也逐渐增大
D．当v由值逐渐增小时，杆对小球的弹力也仍然逐渐增大
3．物体在竖直圆周外壁最高点的运动情况，如图所示：
①临界速度v0：物体在最高点受到竖直向下的重力和竖直
向上的支持力，根据牛顿第二定律有mg-=m
当=0时，即重力提供向心力，则有mg=m，
解得临界速度v0=，这是物体在最高点不脱离圆周轨道的最大速度．
②当v≥，物体在最高点将做平抛运动，脱离轨道．
课堂练习：
1. 长度均为L的轻杆和轻绳一端固定在转轴上, 另一端各系一个质量为m的小球, 它们各自在竖直平面内恰好做圆周运动, 则小球运动到最低点时, 杆、绳所受拉力之比为（ ）
A. 5 : 6 B. 1 : 1 C. 2 : 3 D. 1 : 2
2、如图，轻杆的一端与小球相连接，轻杆另一端过O轴在竖直平面内做圆周运动。当小球达到最高点A、最低点B时，杆对小球的作用力可能是：
A. 在A处为推力，B处为推力
B. 在A处为拉力，B处为拉力
C. 在A处为推力，B处为拉力
D. 在A处作用力为零，在B处作用力不为零
3. 长为L的轻绳一端系一质量为m的物体, 另一端被质量为M的人用手握住. 人站在水平地面上, 使物体在竖直平面内作圆周运动, 物体经过最高点时速度为v , 则此时人对地面的压力为（ ）
A. ( M + m )g － B. ( M + m )g +
C. M g + D. ( M － m )g －
4．一轻杆一端固定一质量为m 的小球，以另一端O为圆心，使小球在竖直平面内做半径为R 的圆周运动，以下说法正确的是： [ ]
A、小球过最高点时，杆所受的弹力可以为零
B、小球过最高点时最小速度为
C、小球过最高点时，杆对球的作用力可以与球所受重力方向相反， 此时重力一定大于杆对球的作用力
D、小球过最高点时，杆对球的作用力一定与小球所受重力方向相反
5．长度为L=0.8m的轻质细杆，一端有一质量为m=5kg的小球，小球以O点为圆心在竖直面内做圆周运动，当小球通过最高点时的速率为4m/s时，小球受到细杆的 力（填拉或支持），大小为 N，g取10m/s2。
6、长为L=60cm的细绳，一端系着盛水的小桶，在竖直平面内做圆周运动，水的质量m=0.5kg，则当速度为多大时，在最高点水刚好不流出？在最高点速度v=3m/s时，水对桶底的压力大小为多少？
7、下课后，小丽在运动场上荡秋千。已知小丽的质量为40 kg，每根系秋千的绳子长为4 m ，能承受的最大张力是300N。如右图，当秋千板摆到最低点时，速度为3 m/s。（g =10m/s2，小丽看成质点处理，秋千绳、底座等不计质量）（1）此时，小丽做圆周运动的向心力是多大？（2）此时，小丽对底座的压力是多少？每根绳子受到拉力T是多少？（3）如果小丽到达最低点的速度为5m/s，绳子会断吗？
8、如图：质量为m=0.2kg的小球固定在L=0.9m的轻杆的一端，杆可绕O点的水平轴在竖直平面内转动，g=10m/s2，求：（1）当小球在最高点的速度为多大时，小球对杆的作用力为零；（2）当小球在最高点的速度分别为6m/s和1.5m/s时，杆对小球的作用力的大小和方向；（3）小球在最高点的速度能否等于零？（4）当小球在最左点或最右点的速度为4m/s时，杆对小球的作用力的大小和方向；
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