高 2023 届高三第二学期开学检测数学试题答案
1—10 CBBCD BA(D)ABA
3 1
11． 60 ；12．3；13．3；14． 2023；15． ， ．
5 5
2
解析：（1）由题意 f (x) = msin 2x + cos 2x = m +1sin(2x + ) ，
2
因为 x R，所以 m +1 = 2，且m 0，所以m = 3 ； …………6 分
(2)由(1)知， f (x) = 2sin(2x + ) ， …………7 分
6
1
若 f (x) 在[ ,a]上的值域为 1,2 ，则 sin(2x + ) [ ,1] ………8 分
6 6 2
因为 x [ ,a]，所以 2x + [ , 2a + ]． ………9 分
6 6 6 6
1 7 1
又因为 sin( ) = ， sin =1， sin = ，
6 2 2 6 2
7
且 y = sin x 在[ , ]单调递增，在[ , ]上单调递减， ………11 分
6 2 2 6
1 7
当 sin(2x + ) [ ,1]时，所以 2a + ，即 a ．
6 2 2 6 6 6 2
即实数 m 的取值范围是[ , ]． …………13 分
6 2
17．解：（1）从高三年级(1)班～(8)班学生中抽测了 80 人，其中身体素质检测成绩优秀的
7
人数有8+6+9+ 4+7+5+9+8 = 56人，所以，优秀的概率是 ； …………………3 分
10
因为是随机抽样，所以用样本估计总体，可知从高一年级学生中任意抽测一人，该生身
7
体素质检测成绩达到优秀的概率 ； …………………4 分
10
（2）因为高三(3)班抽出的 10 名同学中，身体素质监测成绩达到优秀的人数有 9 人，不优
秀的有 1 人，所以从中抽出 2 人， X 的可能取值为1,2 ………………6 分
C1C1 1
X =1表示抽出的 2 人中优秀的人数为 1 个，P (X =1) = 9 1 = ，
C210 5
C2 4
X = 2表示抽出的 2 人中优秀的人数为 2 个，P (X = 2) = 9 = ，……………9 分
C210 5
所以 X 的分布列为
X 1 2
1 4
P
5 5
1 4 9
数学期望 EX =1 + 2 = …………………11 分
5 5 5
（3）D 4 =D 2 >D 1>D 3
D = P(1 P)，由二次函数性质，结合函数单调性和对称性，
P1 = 0.8,P = 0.6,P = 0.9,P = 0.4, …………………14 分 2 3 4
试卷第 1 页，共 4 页
18．解析：(1)证明：取 PA、DQ的中点为 M、N，连接 ME、MN、NF，
1
∵在△PAB 中，ME 为中位线， ∴ME∥AB，ME = AB，
2
1
同理：NF∥CD， NF= CD， P
2
又∵在矩形 ABCD 中，AB∥CD，AB=CD，
∴ME∥NF， ME= NF，
∴四边形 MEFN 为平行四边形
E Q
∴EF∥MN，
又∵EF 平面 PADQ，MN 平面 PADQ， F
A D
∴EF∥平面 PADQ； …………………4 分
(2) ∵PA⊥平面 ABCD，AB、AD 平面 ABCD， B C
∴PA⊥AB，PA⊥AD，
在矩形 ABCD 中，AB⊥CD，如图，建立空间直角坐标系 A—xyz，
A(0，0，0)，P(0，0，3)，B(2，0，0)，C(2，3，0)，D(0，3，0)，Q(0，3，1)，
CQ = ( 2 ,0 , 1)，PQ = (0 , 3 , 2)， AC = (2 , 3, 0) ， AD = (0 , 3, 0)
设面 PCQ 的法向量为 n = ( x , y , z )
1
x = z n ⊥CQ n CQ = 0 2x + z = 0 2
n ⊥ PQ n PQ = 0 3y 2z = 0 2y = z
3
令 z = 6，则n = (3 , 4 , 6)，
∵PA∥DQ，AB∥CD， PA∩AB= A，DQ∩CD=D， ∴平面 PAB∥平面 CDQ，
∴平面 CDQ 的法向量为m = (0, 1 , 0)
n m 4 4 61
∴ cos(n ,m ) = = =
n m 61 1 61
4 61
∴二面角 P—CQ—D 的余弦值为 ； …………………10 分
61
(3)设 AM = AC = (2 , 3 , 0) ，则DM = AM AD = ( 2 ,3 3 , 0) ，
∵DM∥平面 PCQ，∴ DM ⊥ n ，
2
∴ DM n = 6 + 4(3 3 ) = 0，∴ = ，
3
∴M 是线段 AC 的三等分点，靠近点 C． …………………14 分
x2
19．解析：（1）由已知b =1,2a = 2 2, a = 2 , E : + y2 =1 ； …………………5 分
2
(2)设直线 y = k(x +1) +1， B = (x1, y1 ) C : (x2 , y2 )
y = k(x +1) +1
联立 (2k 2 +12 2 ) x
2 + (4k 2 + 4k ) x + (2k 2 + 4k ) = 0
x + 2y = 2
由 = 8k 2 16k 0得 k 0或 k 2 ，
试卷第 2 页，共 4 页
4k 2 + 4k 2k 2 + 4k
x1 + x2 = ， x 2 1x2 =2k +1 2k 2 +1
x x
由 ABM 共线得M : ( 1 ,0), N : ( 2 ,0)
1 y1 1 y2
x x
由 | MN |= 2 10 得 1
2
= 2 10
1 y1 1 y2
x 21 x2 8k 16k 1即 = 2 10 ，即 = 2 10 ，解得 k = ，符合 0，
k(x1 + x ) + kx x k2 1 2 + k 2
1
所以 k 的值为 ． …………………14 分
2
(ln x +1) ex x ln x ex ln x +1 x ln x 1
20．解析：（1）解： f (1) = 0， f (x) = = ， f (1) = ，
e2x ex e
1
f (x)的图象在 x =1处的切线方程为： y = (x 1)； …………………4 分
e
(ln x +1) ex x ln x ex ln x +1 x ln x
(2) g(x) = f (x) = =
e2x ex
设 h(x) = ln x (1 x)+1，则 h(x) 与 g(x)正负相同，
1 1 x
h (x) = 1 ln x = ln x
x x
1 x 1 x
x 1时 0, ln x 0 h '(x) 0，0 x 1时 0, ln x 0 h '(x) 0，
x x
则 h (x)随 x 的变化情况如下表：
x (0，1) 1 (1， )
h '(x) + 0
h (x) 极大值
1 1 2
又 h(1) =1 0， h = 2 1 +1= 1 0， h (e) = 2 e 0
e
2 e2 2 e
由零点存在定理知 h (x)有两个两个零点，即函数 g(x)的有两个零点； ……………10 分
1
(3)由（2）可知 g (x)有两个零点，设为 x1, x2 ，有 x 1 x e g (x)2 1 2 ，结合 的单调性有 e
x (0, x1 ) x (x1, x1 2 ) x 2 (x2 ,+ )
g (x) 0 + 0
f (x) 极小值 极大值
又 f (1) = 0， f (x1 ) 0,
a
又 x 1时， f (x) 0,得函数 f (x)在区间 (e ,+ )上有最小值等价
1 1 1
于 e
a x ， g 01 知 x e
2 x 1
2 1 ，即 1 e ，故 a 2，即a 2．………15 分
e e e
21．解析：（Ⅰ） A1 :1,2,4,7,8； A2 :1,2,6,7,8； A3 :1,5,4,7,8； A4 :1,5,6,7,8 . ………………4 分
（Ⅱ）依题意，对任意 i = 2,3, , N 2，有 ai = ai 1 +1或 ai+1 1 , ai+1 = ai +1或 ai+2 1，
因为 A均为递增数列，所以有 ai ai+1 ，即同时满足：
试卷第 3 页，共 4 页
ai 1 +1 ai +1①， ai+1 1 ai+2 1②， ai 1 +1 ai+2 1③， ai+1 1 ai +1④.
因为 A为递增数列，因此①和②恒成立.
又因为 A为整数数列，对于③， ai 1 +1≤ ai ai+1 ≤ ai+2 1也恒成立.
对于④，一方面，由 ai+1 1 ai +1，得 ai+1 ai + 2，即 ai+1 ≤ ai +1 .
另一方面， ai+1 ≥ ai +1， 所以 ai+1 = ai +1(i = 2,3, , N 2)，
即 A从第 2项到第 N 1项是连续的正整数，
所以 a2 ≥ a1 +1= 2， aN 1 = a2 + N 3≤ aN 1= 2N 1，因此 2≤ a2 ≤ N + 2，
故 a2 共有 N +1种不同取值，即所有符合条件的数列 A共有 N +1个. ………………9 分
（Ⅲ）记b *n = an an 1，依题意， bn N (n = 2,3, , N ).
对任意 i = 2,3, , N 1，有 ai ai = bi 1或 bi+1 +1，
注意到 0 S(A)，即对任意 i {2,3, , N 1}，有 ai ai 0，
若 ai ai = bi 1 0 ，则 bi 1，即bi ≥ 2 ；
若 ai ai = bi+1 +1 0，则bi+1 1，即bi+1 ≥ 2，
即对任意 i = 2,3, , N 1，或者bi ≥ 2 ，或者bi+1 ≥ 2 .
所以 bi + bi+1 ≥ 3，所以bi 1= bi+1 +1不能成立.
记 T1 ={i | ai ai = bi 1, i = 2,3, , N 1}，T2 ={i | ai ai = bi+1 +1, i = 2,3, , N 1}，
则T1 T2 = ，且T1 T2 ={2,3, , N 1} .
注意到：若存在 j T2且 2≤ j ≤ N 2，即 a j a j = bj+1 +1，则 j +1 T2 .
否则，若 j +1 T1，则 a j+1 a j+1 = bj+1 1= ( bj+1 +1) = (a j a j )，不合题意.
因此集合T1, T2 有以下三种情形:
①T1 ={2,3, , N 1}，T2 = .
对任意 i {2,3, , N 1}，有bi ≥ 2 ，
则 aN = a1 + (b2 + b3 + + bN 1) + bN ≥ 0 + (N 2) 2 +1= 2N 3，
当且仅当：b2 = b3 = = bN 1 = 2， bN =1，即 A : 0,2,4, ,2N 4,2N 3时，等号成立，
此时存在“强紧数列” A : 0,1,3, ,2N 3，故此情形下， aN 的最小值为 2N 3；
②T1 ={2,3, ,k}，T2 ={k +1,k + 2, , N 1}，其中 k = 2,3, , N 2 .
对任意 i T1，有bi ≥ 2 ，对任意 j T2，有bj+1 ≥ 2 .
aN = a1 + (b2 + b3 + + bk ) + bk+1 + (bk+2 + bk+3 +bN ) ≥0 + (k 1) 2 +1+ (N k 1) 2 = 2N 3 .
故此情形下， aN 的最小值不小于 2N 3；
③T1 = ，T2 ={2,3, , N 1} .
对任意 i {2,3, , N 1}，有bi+1 ≥ 2，
aN = a1 + b2 + (b3 + b4 +bN )≥ 0 + 2 + (N 2) 2 = 2N 2 2N 3 .
故此情形下， aN 的最小值不小于 2N 3 .
综上， aN 的最小值为 2N 3 . ………………15 分
试卷第 4 页，共 4 页高 2023 届高三第二学期开学检测数学试题
2023.02.12
本试卷共 6 页，共 150 分．考试时长 120 分钟．考生务必将答案答在答题纸
上，在试卷上作答无效．
第一部分（选择题 共 40 分）
一、选择题（本大题共 10 小题，共 40 分）
1. 已知集合 A = x x2 x 0 ，B = x x 1 ，则 ( )
A． A B = R B． A B = C．B A D． A B
2．已知复数 z1 ， z2 满足： z1 在复平面中对应的点为 ( 1,2) ，且 z1 z z2 = 5 ，则 2 不可能
是下列的 ( )
1 3
A．1 B．1+ i C． i D． i
2 2
2
3．已知抛物线 C： x =16y ，则 C 的焦点坐标为 ( )
A．(4，0) B．(0，4) C．(2，0) D．(0，2)
4．某人周一至周五每天 6:30 至 6:50 出发去上班，其中在 6:30 至 6:40 出发的概率为 0.4，在
该时间段出发上班迟到的概率为 0.1；在 6:40 至 6:50 出发的概率为 0.6，在该时间段出发上
班迟到的概率为 0.2，则小王某天在 6:30 至 6:50 出发上班迟到的概率为 ( )
A．0.3 B．0.17 C．0.16 D．0.13
5．已知 ， 为不重合的两个平面，直线m ， n ，那么“ m⊥ n ”是“ ⊥ ”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2
6．在 ABC中，若 AB BC + AB = 0，则 ABC的形状一定是 ( )
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
7．将函数 y = sin(2x + )的图象沿 x 轴向右平移 个单位长度后，得到一个偶函数的图
8
象，则 的一个可能取值为 ( )
3 3
A． B． C． D．
4 4 8 4
x , x 0
8．已知函数 f (x) = ，若对任意的 x≤1有 f (x + 2m)+ f (x) 0恒成立，则实数
x , x≥0
的取值范围是 ( )
A. ( , 1) B. ( , 1] C. ( , 2) D. ( , 2]
试卷第 1 页，共 4 页
9．已知圆 C：(x 6)2 + (y 8)2 =1和两点 A(0, m) ，B(0, m) ( m 0 )．若圆 C上存在点 P，
使得 APB = 90 ，则 m的最大值为 ( )
A．12 B．11 C．10 D．9
5
10．若函数 f (x) = 2sin(2x + ) ( π)在[ , ]上单调递增，则 的取值范围为 ( )
2 6
5 5 3 5 8
A． [ , ] B．[ , ] C．[ , ] D． (0, )
2 6 3 2 2 3
第二部分（非选择题 共 110 分）
二、填空题共 5小题，每小题 5 分，共 25分．
x2 y2
11．若双曲线 =1 (a 0,b 0)2 2 的离心率为 2，则该双曲线两条渐近线的夹角为 ． a b
4
12．已知 a 1，则当 a = 时 a + 取得最小值．
a 1
(x +1)ex , x 0,
13．已知函数 f (x) = x 2 ，则函数 f (x) 的零点个数为________．
e 2x , x 0,
14．已知数列 an 是满足an+1 + an 1 = 2an ，且a2 + a5 =12，a3 = 5，数列 an = bn ，且对任意
i N * ，bi bi+1 0，Tn = b1 +b2 + +bn 1 +bn ，则T2023 的值是 ．
1
15．在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中， AB = BC ，线段 BD1有一动点
2
G ，过CG 作平行于DD1的平面交 BD与点F ．
(1)当 G是 BD的中点时，直线BD与平面CGF 所成角的余弦值
为 ；
D G
(2) 当直线 BD与平面CGF 所成角最大时，此时 1 = ______．
D1B
三、解答题共 6 小题，共 85 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
2
16．(本小题 13 分)设函数 f (x) =msin 2x+ 2cos x 1 (m 0) ， f (x) 的最小值为 2，
(1)求 m；
(2)若函数 f (x) 在区间 [ ,a]上的值域为 1,2 ，求实数 a的取值范围．
6
试卷第 2 页，共 4 页
17．(本小题 14 分)为了解高三学生身体素质情况，对高一年级的(1)班～(8)班进行了抽测，
采取如下方式抽样：每班随机各抽 10 名学生进行身体素质监测.经统计，每班 10 名学生中
身体素质监测成绩达到优秀的人数散点图如下( x 轴表示对应的班号， y 轴表示对应的优秀人
数)：
(1)若用散点图预测高一年级学生身体素质情况，从高三
年级学生中任意抽测 1 人，求该生身体素质监测成绩达到优
秀的概率；
(2)若从以上统计的高一（3）班的 10 名学生中抽出 2
人，设 X 表示 2 人中身体素质监测成绩达到优秀的人数，求
X 的分布列及其数学期望；
(3)假设每个班学生身体素质优秀的概率与该班随机抽到的 10 名学生的身体素质优秀率相
等.现在从每班中分别随机抽取 1 名同学，用“ k =1”表示第 k 班抽到的这名同学身体素质优
秀，“ k = 0”表示第 k 班抽到的这名同学身体素质不是优秀(k=1，2，…，8)．写出方差
D 1，D 2，D 3 ，D 4的大小关系并说明理由．
18．(本小题 14分)已知底面 ABCD是矩形，PA⊥平面 ABCD， PA∥DQ，PA＝AD＝3DQ=3，
AB=2，点 E、F分别为线段 PB、CQ的中点.
求证：(1) EF∥面 PADQ；
(2)求二面角 P—CQ—D的余弦值；
(3)设点 M是线段 AC上一个动点，试确定 M的位置，
使得 DM∥平面 PCQ，说明确定的理由.
P
E Q
F
A D
B C
试卷第 3 页，共 4 页
x2 y2
19．(本小题 14 分)已知椭圆E : + =1(a b 0)的一个顶点为 A
2 2 (0,1)，且点 A到椭圆两焦a b
点距离之和为 2 2 ．
（I）求椭圆 E的方程：
（Il）过点 P ( 1,1)的直线与椭圆E交于不同的两点 B、C，直线 AB、AC分别与 x轴交于点
M、N，当 MN = 2 10 时，求 k的值.
x ln x
20．(本小题 15 分)已知函数 f (x) = ， g(x) 为函数 f (x) 的导函数．
ex
(1)求 f (x) 的图象在 x=1 处的切线方程；
(2)求函数 g(x)的零点个数；
(3)若函数 f (x) 在区间 (e a ,+ ) 上有最小值，其中 a为正整数，求 a的最小值．
21．(本小题 15 分)已知数列 A : a1,a2 , ,aN (N ≥ 4) ，其中 a1,a2 , ,aN Z ，且 a1 a2 aN .
若数列 A : a1,a2 , ,aN 满足 a1 = a1,aN = aN ，当 i = 2,3, , N 1时， ai = ai 1 +1或 ai+1 1，则
称 A : a1,a2 , ,aN 为数列 A的“紧数列”．
例如，数列 A：2，4，6，8 的所有“紧数列”为：
2，3，5，8； 2，3，7，8； 2，5，5，8； 2，5，7，8．
（Ⅰ）直接写出数列 A：1，3，6，7，8 的所有“紧数列” A；
（Ⅱ）已知数列 A满足： a1 =1， aN = 2N ，若数列 A的所有“紧数列” A均为递增数列，
求证：所有符合条件的数列 A的个数为 N +1；
（Ⅲ）已知数列 A满足： a1 = 0， a2 = 2 ，对于数列 A的一个“紧数列” A，
定义集合 S(A) = {ai ai | i = 2,3, , N 1}，如果对任意 x S (A)，都有 x S(A)，那么称 A为
数列 A的“强紧数列”. 若数列 A存在“强紧数列”，求 aN 的最小值(用关于 N 的代数式表示) ．
试卷第 4 页，共 4 页
