陕西省咸阳市高新区第一高级中学2022-2023学年高一下学期入学检测数学试卷（含解析）

咸阳市高新一中2022—2023学年第二学期入学检测高一数学
一单项选择题（共计8道小题，每题4分，共计32分）
1.若集合 , 则（ ）
A. B.C.D.
2.命题 “所有能被 4 整除的整数都是偶数” 的否定是（ ）
A.所有不能被 4 整除的整数都是偶数 B.所有能被 4 整除的整数都不是偶数
C.存在一个不能被 4 整除的整数是偶数 D.存在一个能被 4 整除的整数不是偶数
3.若不等式 的解集为, 则实数的取值范围为（ ）
A. B.或
C.或 D.
4.已知点 是角终边上一点, 则（ ）
A. B. C. D.
5.在 中, 已知, 则的大小为（ ）
A. B. C. D.
6.已知 , 则（ ）
A. B. C. D.
7.汽车的 “燃油效率” 是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程, 下图描述了甲、乙、丙三辆汽 车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是（ ）
A.消耗 1 升汽油, 乙车最多可行驶 5 千米
B.以相同速度行驶相同路程, 三辆车中, 甲车消耗汽油最多
C.甲车以 80 千米/小时的速度行驶 1 小时, 消耗 10 升汽油
D.某城市机动车最高限速 80 千米/小时. 相同条件下, 在该 市用丙车比用乙车更省油
8.同时具有以下性质: “①最小正周期是 ②在区间上是增函数”的一个函数是（ ）
A. B.
C. D.
二多项选择题（共计4道小题，每题5分，共计20分）
9. 若 , 则下列说法正确的是（ ）
A.若 , 则 B.若 , 则
C.若 , 则 D.若 , 则
10. 下列函数中, 既是奇函数又在区间 上单调递增的是（ ）
A. B.
C. D.
11. 关于函数 , 下列说法正确的是（ ）
A.的最小正周期为
B.的一个对称中心为
C.单调递减区间为
D.的最大值为
12. 定义在 上的函数满足, 函数为偶函数, 且当时,, 则（ ）
A.的图象关于点对称 B.的图象关于直线对称
C.的值域为 D.的实数根个数为 6
三 填空题（共计4道小题，每题4分，共计16分）
13已知扇形的圆心角为 , 半径为, 则扇形的面积___________.
14 已知幂函数 在上为增函数, 则___________.
15筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具. 因其经济又环保, 至今还在农业生产中使用 (如图). 假设在水流稳定的情况下, 筒车 上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动. 现有一半径为 2 米的筒车, 在 匀速转动过程中, 筒车上一盛水筒 距离水面的高度(单位: 米) 与转动时间(单位: 秒) 满足函数关系式, 且时, 盛水筒与水面距离为米, 当筒车转动 40 秒后, 盛水筒与水面距离为___________米.
16已知 , 函数, 若存在最小值, 则的取值范围是______.
四 解答题（共计6道小题，共计52分）
17.（本题满分8分）已知集合 , 集合或, 全集.
（1）若 , 求;
（2）若 , 求实数的取值范围.
18.（本题满分8分）已知 .
(1) 求 的值; (2) 求 的值;
19（本题满分8分）已知正数 满足.
(1) 求 的最大值;(2) 求 的最小值.
20.（本题满分8分）某地为践行绿水青山就是金山银山的理念, 大力开展植树造林. 假设 一片森林原来的面积为 亩, 计划每年种植一些树苗, 且森林面积的年增长率相同, 当面积 是原来的 2 倍时, 所用时间是 10 年.
（1）求森林面积的年增长率;
（2）到今年为止, 森林面积为原来的 倍, 则该地已经植树造林多少年
（3）为使森林面积至少达到 亩, 至少需要植树造林多少年（精确到整数）
(参考数据: )
21.（本题满分10分）已知函数 的部分图象如图所 示.
(1) 求函数 的解析式;
(2) 将函数 图象上所有的点向右平移个单位长度, 再将所得图象上每一个点的横 坐标变为原来的 2 倍 (纵坐标不变), 得到函数的图象.当时, 方程恰有三个不相等的实数根,, 求实数的取值范围以及的值.
22.（本题满分10分） 设 , 函数.
(1) 若 , 求证: 函数是奇函数;
(2) 设 , 若存在实数, 使得函数在区间上的取值范 围是, 求的取值范围.
参考答案及解析
1. 【答案】B 【解析】由 ,得,
,由 , 得,
,
2. 【答案】D
【解析】命题 “所有能被 4整除的整数都是偶数”是一 个全称命题
其否定一定是一个特称命题, 故排除 结合全称命题的否定方法,
我们易得 命题 “所有能被4 整除的整数都是偶数” 的否定应为“存在一个能被 4整除的整数不是偶数”
3. 【答案】A 【解析】因为不等式 的解集为, 当时,, 符合题意,
当 时,,
综上: .
4. 【答案】D 【解析】因为点 是角终边上一点, 所以,, 所以,
5. 【答案】C 【解析】
由题意知, ,
则
6. 【答案】B 【解析】因为 , 所以,
因为 , 所以, 因为, 所以, 综上,.
7. 【答案】D 【解析】对于 , 由图可知, 当乙车速度大于时, 乙车每消耗 1 升汽油, 行驶里程都超过, 故错误,
对于 , 以相同速度行驶相同路程, 燃油效率 越高耗油越少, 故三辆车中甲车消耗汽油最 少, 故B错误,
对于 , 甲车以的速度行驶时, 燃油 效率为, 则行驶消耗约汽油, 故C错误
对于 , 在机动车最高限速 80 千米/小时相同 条件下, 丙车比乙车燃油效率更高, 故更省 油, 故正确.
8. 【答案】A 【解析】对于 , 其周期
为最大值, 故其图象关 于对称,
由 得,
在上是增函数,
即 具有性质①②
9. 【答案】AC 【解析】对 : 因为, 所以, 故,
当且仅当 时, 即时取等号, 故正确，
对 : 若时, 满足, 但, 故错误,
对 : 若, 当时, 显然
当 时,, 故, 综上 所述, 定有, 故正确,
对 : 当时, 满足, 但, 故错误
10. 【答案】BC 【解析】略
11. 【答案】ACD 【解析】
所以 的最小正周期为， A正确，
, 所以的一个对称中心为，B不正确.
由 解得，
所以 的单调递减区间为正确.
的最大值为，D正确
12. 【答案】BC 【解析】是定义在上的函数,
,
即有 , 即的最小正周 期为 4 .
又函数 为偶函数, 可得,
即有 的图像关于直线对称，
又 的对称轴为,
所以当 时,,时,取得最大值 1 ,
或时,取得最小值,
则 的值域为, 故正确;
由 , 即
, 则的图像不关于点对称，故错误;
画出 的图像可得的图像关于直 线对称, 故正确;
的实数根个数等价为的图像与直线的交点 个数.
由 在的图像向右平移 4 个单位可得在的图像,
可得
由 可得
, 解得或,
即有直线 与在有两个交点,
画出 的图像和直线,
可得它们有 7 个交点,
所以 的实数根个数为 7 , 故错误.
13【解析】
14【解析】 由幂函数的特点得且即，解得舍或.
15【解析】 因为时，盛水筒与水面距离为米，所以，即，又，则，所以,当时，
16【解析】 当, 即时,在上单调递增, 故无最小值, 不符合题意; 当时,在上单调递减, 所以, 又在上的最小值为, 要使存在最小值, 还需,解得,故;当时，要使存在最小值，还需:, 因为, 所以无解 综上的取值范围为.
17 【解析】（1）解：当 时,
所以 ,
又 或
所以 .
（2）解: 因为 或,
所以 或, 解得或,
所以实数 的取值范围是.
18 【解析】
(1)
又 ,
(2)
19 【解析】（1） ,当且仅当 时等号成立,所以 的最大值是.
(2) ,
当且仅当 时等号成立.
所以 的最小值为.
20 【解析】（1）设年增长率为 , 则, 即, 解得,
因此, 森林面积的年增长率为 ;
（2）设已植树造林 年, 则, 即, 解得, 因此，该地已经植树造林 5 年;
（3）设至少需要植树造林 年, 则, 可得,
所以, ,
因此, 至少需要植树造林 26 年.
21. 【解析】(1) 由图示得: , 解得:, 又, 所以, 所以,
所以 .
又因为 过点, 所以, 即,
所以 , 解得,
又 , 所以, 所以.
(2) 图象上所有的点向右平移个单位长度, 得到
将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的 2 倍 (纵坐标不变), 得到 ,
当 时,,
令 , 则
令 , 在上单调递增, 在上单调递减,
在 上单调递增,
且 ,
,
所以 时, 当时, 方程恰有三个不相等的实数根.
因为 有三个不同的实数根,
且 关于对称,关于对称,
则 ,
两式相加得: ,
即 ，所以.
22 【解析】（1） 时, 有且定义域为,,
综上有: 的定义域关于原点对称且, 即为奇函数;
(2), 所以或,
当时, 由（2）知在上单调递增, 结合题意有,,得 ,
即 是的两个不同的实根,
令, 则在上有两个不同实根,
故 , 可得,
当 时,在上都递减,
若 , 有, 则与矛盾, 舍去;
若 , 有, 即有,即 ，
所以 ,
两式相减得 , 又, 故,
从而 ,
综上所述, 的取值范围.
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