江苏省扬中市第二高级中学2013-2014第二学期高一数学第一次月考试卷

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扬中二中2013－2014学年度第二学期学情调研
高 一 数 学 试 卷 2014.3.22
考试时间：120分钟 分值：160分
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分. 不需写出解答过程．请把答案直接填写在答案卷上.
1. 已知向量，若，则= ▲ .
2. = ▲ .
3. 函数f(x)＝cos的最小正周期为，ω>0，则ω＝ 　▲ ；
4. 设a＝，b＝，且a∥b，则锐角α＝_ ▲ .
5. 若，则= ▲ .
6. 已知，，，则从小到大排列是__▲__．（用“”连接）
7. 已知是第四象限的角，则= ▲ .
8. 若向量a，b的夹角为120°，|a|＝1，|b|＝3，则|5a－b|＝ ▲ .
9. 已知函数，若为奇函数，则___▲______．
10. 已知函数，则的单调减区间为 ▲ .
11. 在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，且，其中,则 __ ▲ __.
12. 函数的值域为__▲ .
13. 若等边△ABC的边长为2，平面内一点M满足＝＋，则·＝__▲.
14. 已知，若存在，使得任意恒成立，且两边等号能取到，则的最小值为 ▲ .
二、解答题：本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤,并请将答案写在答题纸相应的位置上.
15. (本小题满分14分)
已知是同一平面内的三个向量，其中
（1）若，且，求：的坐标；
（2）若，且与垂直，求与的夹角；
16. (本小题满分14分)
已知均为锐角，且，．
（1）求的值； （2）求的值．
17. (本小题满分14分)
已知向量，
令，（1）求函数f(x)的单调递增区间；（2）当时，求函数f(x)的值域．
18. (本小题满分16分)
设平面向量＝，，，，
⑴若，求的值；⑵若，求函数的最大值，并求出相应的值．
19. (本小题满分16分)
如图所示，某市政府决定在以政府大楼为中心，正北方向和正东方向的马路为边界的扇形地域内建造一个图书馆.为了充分利用这块土地，并考虑与周边环境协调，设计要求该图书馆底面矩形的四个顶点都要在边界上，图书馆的正面要朝市政府大楼.设扇形的半径 ，，与之间的夹角为.
（1）将图书馆底面矩形的面积表示成的函数.
（2）求当为何值时，矩形的面积有最大值？
其最大值是多少？(用含R的式子表示)
20. (本小题满分16分)
已知，函数.
⑴设，将函数表示为关于的函数，求的解析式和定义域；
⑵对任意，不等式都成立，求实数的取值范围.
扬中二中2013－2014学年度第二学期学情调研
高 一 数 学 试 卷 2014.3.22
考试时间：120分钟 分值：160分
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分. 不需写出解答过程．请把答案直接填写在答案卷上.
1. 已知向量，若，则= ▲ .
2. = ▲ .
3. 函数f(x)＝cos的最小正周期为，ω>0，则ω＝ 　▲ ；
4. 设a＝，b＝，且a∥b，则锐角α＝_ ▲ .
5. 若，则= ▲ .
6. 已知，，，则从小到大排列是__▲__．（用“”连接）
7. 已知是第四象限的角，则= ▲ .
8. 若向量a，b的夹角为120°，|a|＝1，|b|＝3，则|5a－b|＝ ▲ .
9. 已知函数，若为奇函数，则___▲______．
10. 已知函数，则的单调减区间为 ▲ .
11. 在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，且，其中,则 __ ▲ __.
12. 函数的值域为__▲ .
13. 若等边△ABC的边长为2，平面内一点M满足＝＋，则·＝__▲.
14. 已知，若存在，使得任意恒成立，且两边等号能取到，则的最小值为 ▲ .
二、解答题：本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤,并请将答案写在答题纸相应的位置上.
15. (本小题满分14分)
已知是同一平面内的三个向量，其中
（1）若，且，求：的坐标；
（2）若，且与垂直，求与的夹角；
16. (本小题满分14分)
已知均为锐角，且，．
（1）求的值； （2）求的值．
17. (本小题满分14分)
已知向量，
令，（1）求函数f(x)的单调递增区间；（2）当时，求函数f(x)的值域．
18. (本小题满分16分)
设平面向量＝，，，，
⑴若，求的值；⑵若，求函数的最大值，并求出相应的值．
19. (本小题满分16分)
如图所示，某市政府决定在以政府大楼为中心，正北方向和正东方向的马路为边界的扇形地域内建造一个图书馆.为了充分利用这块土地，并考虑与周边环境协调，设计要求该图书馆底面矩形的四个顶点都要在边界上，图书馆的正面要朝市政府大楼.设扇形的半径 ，，与之间的夹角为.
（1）将图书馆底面矩形的面积表示成的函数.
（2）求当为何值时，矩形的面积有最大值？
其最大值是多少？(用含R的式子表示)
20. (本小题满分16分)
已知，函数.
⑴设，将函数表示为关于的函数，求的解析式和定义域；
⑵对任意，不等式都成立，求实数的取值范围.
数学试卷答案
1.－６ 2. 3. 2 4. 45° 5. 3 6. 7. 8. 7 9. 10. 11. 12. 13. －2 14.
15.
16. 解：（1）∵，从而．
又∵，∴． …………………………4分
∴． ………………………………6分
（2）由（1）可得，．
∵为锐角，，∴． ……………………………………10分
∴ …………12分
． …………………………14分
17. 解：(Ⅰ)
……4分
∵函数的单调增区间为，
∴，∴，
∴函数f(x)的单调递增区间为，……8分
(Ⅱ)当时，，∴
∴函数f(x)的值域为……14分
18. 解：⑴若，则，
所以. ……6分
⑵若则
所以. ……16分
19. 解（Ⅰ）由题意可知，点M为的中点，所以.
设OM于BC的交点为F，则，.
. ……………3分
所以
，. ……………8分
（Ⅱ）因为，则.……………10分
所以当 ，即 时，S有最大值. ……………13分
.……………15分
故当时，矩形ABCD的面积S有最大值.……………16分
20. 解：(1)
∴ ……………………2分
由可得 ……………………4分
∴ ………………6分
定义域为 ………………8分
(2) ∵
∴ ………………10分
∵恒成立
∴恒成立
化简得
又∵
∴ ………………12分
令得
∴在上为减函数 …………………14分
∴
∴ …………………16分
A
B
C
D
M
O
P
Q
F
A
B
C
D
M
O
P
Q
F
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