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第二十八章 锐角三角函数
28．1锐角三角函数
第1课时 正弦函数导学案
学习目标
1. 利用相似的直角三角形,探索并理解正弦的概念.并能根据正弦的概念进行计算.
2. 通过探究锐角的正弦的概念的形成,体会由特殊到一般的数学思想方法,培养学生的归纳推理能力.
3.让学生在通过探索、分析、论证、总结获取新知识的过程中体验成功的快乐,感悟数学的实用性,培养学生学习数学的兴趣.
重点：利用相似的直角三角形,探索并理解正弦的概念.并能根据正弦的概念进行计算.
难点：探究并理解正弦的概念，体会由特殊到一般的数学思想方法。
学习过程
一、情景导学:
为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上建一座扬水站，对坡面绿地进行喷灌.先测得斜坡的坡脚（∠A）为30°，为使出水口的高度为35m,需要准备多长的水管？
新知学习
知识点1 已知直角三角形的边长求正弦值
思考1：同学们，从上述情境中，你可以找到一个什么数学问题呢？能否结合数学图形把它描述出来？
数学问题：
图形：
自主思考：如果出水口的高度为50 m，那么需要准备多长的水管？
结论：直角三角形中，30°角的对边与斜边的比值为
思考2：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，∠A对边与斜边的比值是一个定值吗？如果是，是多少？
结论：直角三角形中，45°角的对边与斜边的比值为
教师点拨：
从上面这两个问题的结论中可知，在一个Rt△ABC中，∠C=90°，当∠A=30°时，∠A的对边与斜边的比都等于，是一个固定值；当∠A=45°时，∠A的对边与斜边的比都等于，也是一个固定值．这就引发我们产生这样一个疑问：思考3：当∠A取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？
探究：任意画Rt△ABC和Rt△A′B′C′，使得∠C=∠C′=90°，
∠A=∠A′=a，那么和有什么关系．你能解释一下吗？
结论：这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比
正弦函数概念：
规定：在Rt△BC中，∠C=90°，∠A的对边记作a，∠B的对边记作b，∠C的对边记作c．
在Rt△BC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的 ，
记作sinA，即sinA= =． sinA＝
例如，当∠A=30°时，我们有sinA=sin30°=
当∠A=45°时，我们有sinA=sin45°=
知识点2 已知锐角的正弦值求直角三角形的边长
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， sinA= ，BC=3，求sinB及Rt△ABC的面积.
三、学习检测
例1：如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,求sin A和sin B的值.
例2 如图，在平面直角坐标系内有一点P（3，4），连接OP，求OP与x轴正方向所夹锐角α的正弦值.
例3 在△ABC中，∠C=90°，AC=24cm，sinA= ，求这个三角形的周长．
尝试应用
1.在直角三角形ABC中，若三边长都扩大二倍，则锐角A的正弦值（ )
A.扩大2倍 B.不变 C.缩小2倍 D.无法确定
2. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90 °，若 sinA = ， 则∠A= ，
∠B= .
3. 如图，在正方形网格中有 △ABC，则 sin∠ABC 的值为 .
如图，点D（0，3），O（0，0），C（4，0）在⊙A上，BD是⊙A的一条弦，则sin∠OBD=___________.
如图，在 △ABC 中， AB = BC = 5，sinA = ， 求 △ABC 的面积.
6.如图，在正方形ABCD中，M是AD的中点，BE=3AE，试求sin∠ECM的值．
自主总结
在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比都是 ．
在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的 ，记作 ，
六、达标训练
一、选择题
1.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4，则sinA等于（ ）
A． B． C． D．
2.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB的中线，且CD=4cm，则AB的长为（ ）
A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
第2题图 第5题图
3.在菱形ABCD中，若对角线AC=10，BD=6，则sin等于（ ）
A． B． C． D．
4.在平面直角坐标系中，已知点A（2，1）和点B（3，0），则sin∠AOB的值等于（ ）
A． B． C． D．
5.如图，在正方形网格中有△ABC，则sin∠ABC的值等于（ ）
A． B． C． D． 10
二、填空题
6.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，则sinB的值为_________．
7.如图，在Rt△ABC中，AB=10，sinA＝，则AC的长为_________.
第7题图 第8题图
8.如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，垂足是E，DE=6，sinA=，则菱形ABCD的周长是 .
三、解答题
9.如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，如果AD=9，DC=5，E为AC的中点，求sin∠EDC的值．
10.如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，且CD⊥AB，BC=6，AC=8，求sin∠ABD的值．
11.在Rt△ABC中，∠C=90°，D为BC边（除端点外）上的一点，设∠ADC=a，∠B=b．
（1）猜想sina与sinb的大小关系；
（2）试证明你的结论．
参考答案
1.B 2.C 3.B 4.A 5.B
6. 7.6 8.40
9.解：∵AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∵AD=9，DC=5，∴AC= =，∵E为AC的中点，∴DE=AE=EC=AC，∴∠EDC=∠C，∴sin∠EDC=sin∠C===．
10.解：由条件可知：弧AC=弧AD，则∠ABD=∠ABC，所以sin∠ABD=sin∠ABC=；AB为直径，BC=6，AC=8，由勾股定理可得：AB=10，∴sin∠ABD= ．
11.解：（1）猜想：sina＞sinb；
（2）证明：∵∠C=90°，∴sina= ，sinb= ，∵AD＜AB，∴＞，即sina＞sinb．
A
B
C
5
5
C
B
A
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第二十八章 锐角三角函数
第1课时 正 弦
28.1 锐角三角函数
新课导入
壹
目
录
课堂小结
肆
当堂训练
叁
讲授新知
贰
新课导入
壹
新课导入
为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上建一座扬水站，对坡面绿地进行喷灌.先测得斜坡的坡脚（∠A）为30°，为使出水口的高度为35m,需要准备多长的水管？
讲授新知
贰
讲授新知
互动探究
问题 同学们，从上述情境中，你可以找到一个什么数学问题呢？能否结合数学图形把它描述出来？
知识点1 已知直角三角形的边长求正弦值
讲授新知
A
B
C
30°
35m
如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BC = 35 m，求AB.
如果出水口的高度为50 m，那么需要准备多长的水管？
可得 AB = 2BC =70 (m). 也就是说，
需要准备 70 m 长的水管.
解：根据“在直角三角形中，30°角所对的
边等于斜边的一半”. 即
讲授新知
【归纳】
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么无论这个直角三角形大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于 。
解：因为∠A=45°，则AC=BC，
思考：
讲授新知
A
B
C
45°
由勾股定理得
Rt△ABC 中，如果∠C=90°，∠A = 45°，那么∠A 的对边和斜边的 比是多少？
【归纳】
当∠A 是任意一个确定的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值呢？
讲授新知
在直角三角形中，如果一个锐角等于45°，那么无论这个直角三角形大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于 。
任意画Rt△ABC 和Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，那么 与 有什么关系．能解释一下吗？
A
B
C
A'
B'
C'
思考
讲授新知
因为∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α， 所以Rt△ABC∽Rt△A'B'C'.所以
【归纳】
这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比也是一个固定值．
讲授新知
【归纳总结】
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫作∠A的正弦，记作sinA 即
例如，当∠A＝30°时，我们有
当∠A＝45°时，我们有
A
B
C
c
a
b
对边
斜边
讲授新知
∠A的对边
斜边
sin A =
范例应用
例1 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，求sinA 和sinB的值.
A
A
B
B
C
C
4
3
13
5
图(1)
图(2)
解析：求sinA 和sinB的值，实质就是求∠A与∠B的对边与斜边的比.
？
？
先利用勾股定理求未知的斜边与直角边的长.
范例应用
解：如图(1),在Rt△ABC中，由勾股定理，得
如图(2),在Rt△ABC中，由勾股定理，得
例2 如图，在平面直角坐标系内有一点P（3，4），连接OP，求OP与x轴正方向所夹锐角α的正弦值.
解
如图，设点A（3，0），连接P A .
A
在△APO中，由勾股定理，得
结合平面直角坐标系求某角的正弦函数值，一般过已知点向x轴或y轴作垂线，构造直角三角形，再结合勾股定理求解.
点拨
范例应用
讲授新知
知识点2 已知锐角的正弦值求直角三角形的边长
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， ，BC=3，求sinB及Rt△ABC的面积.
A
B
C
解：
∴AB=3BC=3×3=9.
范例应用
例3 在△ABC中，∠C=90°，AC=24cm，sinA= ，求这个三角形的周长．
解：设BC=7x,则AB=25x，在Rt△ABC中，由勾股定理，得
即24x=24cm,解得x=1cm.
故BC=7x=7cm,AB=25x=25cm.AC=24cm
所以△ABC的周长为AB+BC+AC=25+7+24=56(cm).
已知一边及其邻角的正弦函数值时，一般需结合方程思想和勾股定理，解决问题.
点拨
当堂训练
叁
1.在直角三角形ABC中，若三边长都扩大二倍，则锐角A的正弦值（ )
A.扩大2倍 B.不变 C.缩小2倍 D.无法确定
B
当堂训练
2. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90 °，若 sinA = ， 则∠A= ， ∠B= .
45°
45°
当堂训练
3. 如图，在正方形网格中有 △ABC，则 sin∠ABC 的值为 .
解析：∵ AB＝ ，BC＝ ，AC＝ ，
∴ AB2 ＝ BC2＋AC2，∴ ∠ACB＝90°，
∴sin∠ABC＝
当堂训练
4.如图，点D（0，3），O（0，0），C（4，0）在⊙A上，BD是⊙A的一条弦，则sin∠OBD=___________.
解析：连接CD，可得∠OBD=∠OCD，
在RtΔOCD中由勾股定理得出CD=5，
∵点D（0，3），C（4，0），
∴OD=3，OC=4，
∴sin∠OCD=
∴Sin∠OBD=
5. 如图，在 △ABC 中， AB = BC = 5，sinA = ，
求 △ABC 的面积.
D
5
5
C
B
A
解：作BD⊥AC于点D，
又∵ △ABC 为等腰△，BD⊥AC，∴ AC=2AD=6，
∴S△ABC=AC×BD÷2=12.
当堂训练
∵ sinA =
当堂训练
6.如图，在正方形ABCD中，M是AD的中点，BE=3AE，试求sin∠ECM的值．
解：设AE=x，则BE=3x，BC=4x，
AM=2x，CD=4x.
A
B
C
D
M
E
∴EM2+CM2=CE2，∴△CEM是直角三角形，
课堂小结
肆
课堂小结
正弦函数
概念
应用
已知边长求正弦值
已知正弦值求边长
课后作业
基础题：1.课后习题 第 1,2题。
提高题：2.请学有余力的同学采取合理的方式，搜集整理与本节课有关的“好题”，被选中的同学下节课为全班展示。
谢
谢
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