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第二十八章 锐角三角函数
第3课时 特殊角的三角函数值
28.1 锐角三角函数
新课导入
壹
目
录
课堂小结
肆
当堂训练
叁
讲授新知
贰
新课导入
壹
新课导入
1. 对于sinA与tanA，角度越大，函数值越 ；
对于cosA，角度越大，函数值越 .
2. 互余的两角之间的三角函数关系：
若∠A+∠B=90°，则sinA cosB，
cosA sinB，tanA · tanB = .
大
小
=
=
1
复习引入
A
B
C
∠A 的邻边
∠A
的
对
边
斜边
讲授新知
贰
讲授新知
知识点1 30°、45°、60°角的三角函数值
合作探究
两块三角尺中有几个不同的锐角？分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值．
30°
60°
45°
45°
讲授新知
设30°所对的直角边长为a，那么斜边长为2a
另一条直角边长＝
30°
60°
讲授新知
设45°的直角三角形两条直角边长为a，
则斜边长＝
45°
45°
讲授新知
【归纳总结】
30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：
锐角a 三角 函数 30° 45° 60°
sin a
cos a
tan a
1
【思考】
(1)观察表格中数据,当锐角α增大时,它的正弦、余弦、正切怎样变化
(2)表格中哪些角的三角函数值是相等的
(3)观察表格中数据,锐角α的正弦、余弦值与1之间的大小有何关系
讲授新知
【发现】
(1)正弦、正切值随着角度的增大而增大,余弦值随着角度的增大而减小.
(2)sin 30°=cos 60°,sin 60°=cos 30°,
sin 45°=cos 45°,故sin α=cos (90°-α),
cos α=sin (90°-α),其中α为锐角.
(3)0范例应用
例1 求下列各式的值：
sin260°表示(sin60°)2,即(sin60°)×(sin60°).
范例应用
例2、计算：
(1) sin30°- cos45°；
(2) sin260°+ cos230°－tan45°.
解：原式 =
解：原式 =
讲授新知
知识点2 通过三角函数值求角度
(1)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°， ，求∠A的度数;
解： 在图中，
A
B
C
讲授新知
解： 在图中，
A
B
O
(2)如图，AO是圆锥的高，OB是底面半径，AO= OB， 求 的度数.
范例应用
例3、求满足下列条件的锐角 α .
(1) 2sinα － = 0； (2) tanα－1 = 0.
∴ ∠α = 60°.
(2) tanα =1，
∴ ∠α = 45°.
解：(1) sinα = ，
例4 已知 △ABC 中的 ∠A 与 ∠B 满足 |1－tanA |＋＝0，试判断 △ABC 的形状．
范例应用
∴ tanA＝1，
∴ ∠A＝45°，∠B＝60°，
∠C＝180°－45°－60°＝75°，
∴ △ABC 是锐角三角形．
解：∵|1－tanA |＋ ＝0
范例应用
例5 已知α为锐角，且tanA是方程x2+2x-3=0的一个根，求sin2A+2cos2A- 3tan（A+15°）的值．
解：解方程x2+2x-3=0，得x1=1，x2=-3，
∵tanA＞0，∴tanA=1，∴∠A=45°.
∴sin2A+2cos2A- 3 tan（A+15°）
=sin245°+2cos245°- 3 tan60°
当堂训练
叁
当堂训练
2.在△ABC中，若 ，则∠C=（ ）
A．30° B．60° C．90° D．120°
1. tan(α+20°)＝1，锐角α的度数应是（ ）
A．40° B．30° C．20° D．10°
D
D
|sinA-|+=0
当堂训练
3.求下列各式的值：
（1）2－ sin30°cos30°;
（2）3tan30°－tan45°+2sin60°;
（3） .
解：
（1）2－ sin30°cos30°
（2）3tan30°－tan45°+2sin60°
当堂训练
当堂训练
4. 若规定 sin (α-β) = sinαcosβ － cosαsinβ，求 sin15°的值.
解：由题意得
sin15°= sin (45°－30°)
= sin45°cos30°－ cos45°sin30°
当堂训练
5.如图，在△ABC中，∠A=30°，
求AB.
A
B
C
D
解：过点C作CD⊥AB于点D
∠A=30°，
AB=AD+BD=3+2=5
课堂小结
肆
课堂小结
30°、45°、60°角的三角函数值
通过三角函数值求角度
特殊角的
三角函数值
课后作业
基础题：1.课后习题 第 3,6,7题。
提高题：2.请学有余力的同学采取合理的方式，搜集整理与本节课有关的“好题”，被选中的同学下节课为全班展示。
谢
谢
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第二十八章 锐角三角函数
28.1 锐角三角函数
第3课时 特殊角的三角函数值导学案
学习目标
1. 能推导并熟记30°,45°,60°角的三角函数值,并能根据这些值说出对应的锐角度数.
2.通过推导特殊角的三角函数值,了解知识间的联系,提升综合运用数学知识解决问题的能力.
3.让学生经历观察、操作等过程,探索特殊三角函数值,让学生获得成功的体验,锻炼克服困难的意志,建立自信心.
重点：30°、45°、60°角的三角函数值
难点：特殊角的三角函数值有关的计算.
学习过程
一、复习导学:
1. 对于sinA与tanA，角度越大，函数值越 ；
对于cosA，角度越大，函数值越 .
2. 互余的两角之间的三角函数关系：
若∠A+∠B=90°，则sinA cosB，
cosA sinB，tanA · tanB = .
新知学习
知识点1 30°、45°、60°角的三角函数值
合作探究
两块三角尺中有几个不同的锐角？分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值．
（1）、写出sin30°,cos30°,tan30°的值.
、写出sin60°,cos60°,tan60°的值.
利用上面的方法，求出sin45°,cos45°,tan45°的值.
【归纳总结】
30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：
锐角A锐角 三角函数 30° 45° 60°
sin A
cos A
tan A
【思考】
观察表格中数据,当锐角α增大时,它的正弦、余弦、正切怎样变化
表格中哪些角的三角函数值是相等的
观察表格中数据,锐角α的正弦、余弦值与1之间的大小有何关系
知识点2 通过三角函数值求角度
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°， ，求∠A的度数;
三、学习检测
例1 、求下列各式的值：
例2、计算：
(1) sin30°- cos45°； (2)sin 60°+ 30°－tan45°
求满足下列条件的锐角 α 。
(1) 2sinα － = 0； (2) tanα－1 = 0.
例4 已知 △ABC 中的 ∠A 与 ∠B 满足 |1－tanA |＋＝0，试判断 △ABC 的形状．
例5 、已知α为锐角，且tanA是方程+2x-3=0的一个根，求+2- 3tan（A+15°）的值．
尝试应用
1. tan(α+20°)＝1，锐角α的度数应是（ ）
A．40° B．30° C．20° D．10°
在△ABC中，若 |sinA-|+=0，则∠C=（ ）
A．30° B．60° C．90° D．120°
3.求下列各式的值：
（1）2－ sin30°cos30°;
（2）3tan30°－tan45°+2sin60°;
（3） .
4. 若规定 sin (α-β) = sinαcosβ － cosαsinβ，求 sin15°的值.
如图，在△ABC中，∠A=30°， ,求AB.
解：
自主总结
由以上探究活动你学到了哪些知识？
六、达标训练
一、选择题
1.-tan60°+2sin45°的值等于（ ）
A．1 B．-1
C．-+ D．
2.如果△ABC中，sinA=cosB=，则下列最确切的结论是（ ）
A．△ABC是直角三角形
B．△ABC是等腰三角形
C．△ABC是等腰直角三角形
D．△ABC是锐角三角形
3.如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM相交于点A，再以点A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，则sin∠AOB的值等于（ ）
A． B． C． D．
第3题图 第5题图
4.点M（tan60°，-cos60°）关于x轴的对称点M′的坐标是（ ）
A．( ，) B．(，)
C．(， ) D．( ， )
5.如图，在△ABC中，∠A=45°，∠B=30°，CD⊥AB，垂足为D，CD=1，则AB的长为（ ）
A．2 B．2 C．+1 D．+1
二、填空题
6.△ABC中，∠A、∠B都是锐角，若sinA=，cosB= ，则∠C= _____ ．
7.已知2cos（α-10°）=，则锐角α的度数是 ．
8.在Rt△ABC中，∠C=90°，且sin30°=，sin45°=，sin60°=，cos30°=，cos45°=，cos60°=；观察上述等式，请你写出正弦函数值与余弦函数值之间的等量关系式___________________，因为∠A与_________互余，所以请你写出正弦函数与余弦函数间的一般关系式_______________________．
三、解答题
9.计算：（1）（tan45°）2016－cos60°+|cot30°－1|;
（2）sin230°－cos45° tan60°+ tan45°
10.已知a是锐角，且sin（+15°）=，计算－4cos－（－3.14）0+tan+() 1的值．
11.小慧与小敏在学习了锐角三角形函数后，小慧说：“我知道a（b+c）=ab+ac，那么cos（+）=cos+cos对不对呢？”小敏说：“你这个结论是错的，比如=…”．聪明的同学，你认为小敏是如何说明结论是错误的，请你把它写出来．
12.要求tan30°的值，可构造如图所示的直角三角形进行计算，作Rt△ABC，使∠C=90°，斜边AB=2，直角边AC=1，那么BC= ，∠ABC=30°，∴tan30°== ．在此图的基础上，通过添加适当的辅助线，探究：tan15°与tan75°的值.
参考答案
1.C 2.C 3.C 4.B 5.D 6. 60° 7.40° 8.sin30°=cos60°=；sin60°=cos30°=，cos45°=sin45°= ∠B sin∠A=cos（90°-∠A），cos∠A=sin（90°-∠A）．
9.解：（1）原式=1－+－1=－．（2）原式= +1 1= ．
10.解：∵sin60°=，∴+15°=60°，∴=45°，∴原式=2－4×－1+1+3=3．11.解：如==30°，∵cos（+）=0.5，cos+cos=，∴cos（+）=cos+cos不成立．
12.解：作∠B的平分线交AC于点D，作DE⊥AB，垂足为E，∵BD平分∠ABC，CD⊥BC，DE⊥AB，∴CD=DE，设CD=x，则AD=1－x，AE=2－BC=2－BE=2－ ，在Rt△ADE中，CD2+AE2=AD2,x2+（2－ ）2=（1－x）2，解得：x=2－3，∴tan15°= =2－ ，tan75°= = =2+.
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