中小学教育资源及组卷应用平台
第二十八章 锐角三角函数
28.2.2 解直角三角形的应用举例
第一课时 仰角 俯角导学案
学习目标
1. 了解仰角、俯角、方位角、坡度、坡角等有关概念，会利用解直角三角形的知识解决实际问题.
2.能从实际问题中构造直角三角形，从而把实际问
题转化为解直角三角形的问题，并能灵活选择三 角函数解决问题.
3.通过探索三角函数在实际问题中的应用,感受数学来源于生活又应用于生活以及勇于探索的创新精神.
重点：能根据题意画出示意图,将实际问题的数量关系转化为直角三角形元素之间的关系.
难点：正确理解题意,将实际问题转化为数学模型的建模过程.
学习过程
一、创设问题情境
思考
如图,要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子AB的顶端,梯子与地面所成的角α一般要满足50°≤α≤75°.现有一架长6m的梯子.使用这架梯子最高可以安全攀上多高的墙
二、合作交流，了解新知
仰角、俯角
当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角．
1：2012年6月18日“神舟”9号载人航天飞船发射成功.当飞船完成变轨后，就在离地球表面343km的圆形轨道上运行.如图,当飞船运行到地球表面上P点的正上方时，从飞船上最远能直接看到的地球上的点在什么位置 这样的最远点与P点的距离是多少 (地球半径约为6 400 km，结果精确到0. 1 km)
2：热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30o，看这栋离楼底部的俯角为60o，热气球与高楼的水平距离为120 m.这栋高楼有多高(结果精确到0.1m)
三、学习检测：
例1 如图，秋千链子的长度为3m，静止时的秋千踏板（大小忽略不计）距地面0.5m．秋千向两边摆动时，若最大摆角（摆角指秋千链子与铅垂线的夹角）约为60°，则秋千踏板与地面的最大距离为多少？
例2 建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC40m的D处观察旗杆顶部A的仰角为54°，观察底部B的仰角为45°，求旗杆的高度（精确到0.1m）.
例3 、如图,当棋棋乘坐登山缆车的吊箱经过点A到达点B时,它走过了200m. 在这段路程中缆车行驶的路线与水平面的夹角为30°,
（1）你知道缆车垂直上升的距离是多少吗
（2）当棋棋要乘缆车继续从点B到达比点B高 200m的点C, 如果这段路程缆车的行驶路线与水平面的夹角为60°,缆车行进速度为1m/s,棋棋需要多长时间才能到达目的地？
四、尝试应用
1.课外活动小组测量学校旗杆的高度.如图,当太阳光线与地面成30°角时,测得旗杆AB在地面上的影长BC为24米,那么旗杆AB的高度是( )
A.12米 B.8米 C.24米 D.24米
2.如图，从地面上的C，D两点测得树顶A仰角分别是45°和30°，已知CD=200米，点C在BD上，则树高AB等于 （根号保留）．
3.某居民小区有一朝向为正南方向的居民楼,该居民楼的一楼是高6米的小区超市,超市以上是居民住房.在该楼的前面15米处要盖一栋高20米的新楼.当冬季正午的阳光与水平线的夹角为30°时.
(1)小华去实验楼做实验, 两幢实验楼的高度AB=CD=20m, 两楼间的距离BC=15m，已知太阳光与水平线的夹角为30°，求南楼的影子在北楼上有多高？
(2)小华想:若设计时要求北楼的采光,不受南楼的影响,请问楼间距BC长至少应为多少米
五、发现总结
通过学习，你有哪些收获？
六、达标训练
一、选择题
1.如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一座隧道（B、C在同一水平面上）．为了测量B、C两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从C地出发，垂直上升100m到达A处，在A处观察B地的俯角为30°，则B、C两地之间的距离为（ ）
A．100m B．m C．50m D．
第1题图 第2题图
2.如图，小敏同学想测量一棵大树的高度．她站在B处仰望树顶，测得仰角为30°，再往大树的方向前进4m，测得仰角为60°，已知小敏同学身高（AB）为1.6m，则这棵树的高度为（ ）（结果精确到0.1m，≈1.73）
A．3.5m B．3.6m C．4.3m D．5.1m
3.亚航QZ8501客机失联以后，客机上共载有162人．媒体称2014年堪称航空史上的黑暗年，至少有6架次客机发生事故．某直升飞机在某次太平洋上参加救援时，飞机在距离海平面150米的上空点M处，发现A，B两块客机残骸（N，A，B在同一条直线上），此时从点M处测得A的俯角为30°，B的俯角为60°，如图所示，则A，B两块飞机残骸的距离为（ ）
A．150米 B．100米 C．（150-75）米 D．50米
第3题图 第4题图
4.从一栋二层楼的楼顶点A处看对面的教学楼，探测器显示，看到教学楼底部点C处的俯角为45°，看到楼顶部点D处的仰角为60°，已知两栋楼之间的水平距离为6米，则教学楼的高CD是（ ）
A．（6+6 ）米 B．（6+3 ）米 C．（6+2 ）米 D．12米
5.如图，在两建筑物之间有一旗杆，高15米，从A点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角C点，且俯角α为60°，又从A点测得D点的俯角β为30°，若旗杆底点G为BC的中点，则矮建筑物的高CD为（ ）
A．20米 B．10米 C．15米 D．5米
第5题图 第6题图
二、填空题
6.如图，从地面上点A处测得山顶上铁塔BD的塔顶和塔底的仰角分别为β=60°和α=45°，已知塔高BD=100m，那么山高CD= m．（结果保留根号）
7.如图，一艘核潜艇在海面DF下600米A点处测得俯角为30°正前方的海底C点处有黑匣子，继续在同一深度直线航行1464米到B点处测得正前方C点处的俯角为45°．则海底C点处距离海面DF的深度为
米（结果精确到个位，参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.236）
第7题图 第8题图
8.如图，一幢大楼的顶部竖有一块写有“校训”的宣传牌CD．小明在山坡的底部A处测得宣传牌底部D的仰角为60°，沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45°．已知山坡AB垂直于视线AD，AB=20米，AE=30米，则这块宣传牌CD的高度为
米．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米．参考数据：≈1.414，≈1.732）．
三、解答题
9.（2015 青岛）小明在热气球A上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC，并测得B，C两点的俯角分别为45°，35°．已知大桥BC与地面在同一水平面上，其长度为100m，请求出热气球离地面的高度．（结果保留整数）（参考数据：sin35°≈，cos35°≈，tan35°≈）
10.如图，在活动课上，小明和小红合作用一副三角板来测量学校旗杆高度．已知小明的眼睛与地面的距离（AB）是1.7m，他调整自己的位置，设法使得三角板的一条直角边保持水平，且斜边与旗杆顶端M在同一条直线上，测得旗杆顶端M仰角为45°；小红眼睛与地面的距离（CD）是1.5m，用同样的方法测得旗杆顶端M的仰角为30°．两人相距28米且位于旗杆两侧（点B、N、D在同一条直线上）．求出旗杆MN的高度．（参考数据：≈1.4，≈1.7，结果保留整数．）
11.如图，在楼房AB和塔CD之间有一棵树EF，从楼顶A处经过树顶E点恰好看到塔的底部D点，且俯角α为45°．从距离楼底B点1米的P点处经过树顶E点恰好看到塔的顶部C点，且仰角β为30°．已知树高EF=6米，求塔CD的高度．（结果保留根号）
参考答案
1.A 2.D 3.B 4.A 5.A 6.50（+1）7.2600 8.5.4
9.解：作AD⊥BC交CB的延长线于D，设AD为x，由题意得，∠ABD=45°，∠ACD=35°，在Rt△ADB中，∠ABD=45°，∴DB=x，在Rt△ADC中，∠ACD=35°，∴tan∠ACD=，∴，解得，x≈233m.
10.解：过点A作AE⊥MN于E，过点C作CF⊥MN于F，则EF=AB-CD=1.7-1.5=0.2（m），在Rt△AEM中，∵∠AEM=90°，∠MAE=45°，∴AE=ME．设AE=ME=xm，则MF=（x+0.2）m，FC=（28-x）m．在Rt△MFC中，∵∠MFC=90°，∠MCF=30°，∴MF=CF tan∠MCF，∴x+0.2=（28-x），解得x≈9.7，∴MN=ME+EN=9.7+1.7≈11米．答：旗杆MN的高度约为11米．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共28张PPT)
第二十八章 锐角三角函数
第1课时 仰角 俯角
28.2.2 应用举例
28.2 解直角三角形及其应用
新课导入
壹
目
录
课堂小结
肆
当堂训练
叁
讲授新知
贰
新课导入
壹
新课导入
思考
如图,要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子AB的顶端,梯子与地面所成的角α一般要满足50°≤α≤75°.现有一架长6m的梯子.使用这架梯子最高可以安全攀上多高的墙
A
C
B
AB=6,50°≤α≤75°
讲授新知
贰
讲授新知
1、2012年6月18日，“神州”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接.“神州”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面343km的圆形轨道上运行.如图，当组合体运行到离地球表面P点的正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？最远点与P点的距离是多少（地球半径约为6 400km, 结果取整数）？
O
F
P
Q
FQ是☉O的切线，∠FQO为直角.
最远点
求 的长，要先求∠POQ的度数
讲授新知
互动探究
O
F
P
Q
解：设∠POQ= ，∵FQ是☉O的切线，
∴△FOQ是直角三角形.
的长为
讲授新知
思考
平时我们观察物体时,我们的视线相对于水平线来说可有几种情况
视线与水平线所成的角中,视线在水平线上方的角是仰角,视线在水平线下方的角是俯角.
归纳
讲授新知
2、热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯 角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果精确到0.1m）.
A
B
C
D
仰角
水平线
俯角
分析：我们知道，在视线与水平线所成的角中视线在水平线上方的是仰角，视线在水平线下方的是俯角，因此，在图中，a=30°,β=60°.
讲授新知
解：如图，a = 30°,β= 60°， AD＝120．
答：这栋楼高约为277.1m.
A
B
C
D
讲授新知
利用解直角三角形解决实际问题的一般过程：
1.将实际问题抽象为数学问题；
2.根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形；
画出平面图形，转化为解直角三角形的问题
3.得到数学问题的答案；
4.得到实际问题的答案.
【归纳总结】
范例应用
例1 、如图，秋千链子的长度为3m，静止时的秋千踏板（大小忽略不计）距地面0.5m．秋千向两边摆动时，若最大摆角（摆角指秋千链子与铅垂线的夹角）约为60°，则秋千踏板与地面的最大距离为多少？
0.5m
3m
60°
范例应用
解：∵∠CAB=60°，AD=AB=3m,
∴AC=ABcos∠CAB=1.5m,
∴ CD=AD-AC=1.5m,
∴ CE=AD+DE=2.0m.
即秋千踏板与地面的最大距离为2.0m.
0.5m
3m
A
B
C
D
E
60°
分析：根据题意，可知秋千踏板与地面的最大距离为CE的长度.
已知 ：DE=0.5m,
AD=AB=3m,∠DAB=60°△ACB为直角三角形.
范例应用
例2、建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC40m的D处观察旗杆顶部A的仰角为54°，观察底部B的仰角为45°，求旗杆的高度（精确到0.1m）.
A
B
C
D
40m
54°
45°
解：在等腰三角形BCD中，∠ACD=90°
BC=DC=40m
在Rt△ACD中
∴AB=AC－BC=55.2－40=15.2
答：旗杆的高度为15.2m.
范例应用
例3 、如图,当棋棋乘坐登山缆车的吊箱经过点A到达点B时,它走过了200m. 在这段路程中缆车行驶的路线与水平面的夹角为30°,（1）你知道缆车垂直上升的距离是多少吗
A
B
200m
解：BD=ABsin30°=100m
A
B
D
30°
A
B
C
（2）当棋棋要乘缆车继续从点B到达比点B高 200m的点C, 如果这段路程缆车的行驶路线与水平面的夹角为60°,缆车行进速度为1m/s,棋棋需要多长时间才能到达目的地？
B
C
E
60°
200m
棋棋需要231s才能到达目的地
范例应用
当堂训练
叁
当堂训练
1.课外活动小组测量学校旗杆的高度.如图,当太阳光线与地面成30°角时,测得旗杆AB在地面上的影长BC为24米,那么旗杆AB的高度是 ( )
A.12米 B.8米 C.24米 D.24米
B
当堂训练
2.如图，从地面上的C，D两点测得树顶A仰角分别是45°和30°，已知CD=200米，点C在BD上，则树高AB等于 （根号保留）．
当堂训练
3.某居民小区有一朝向为正南方向的居民楼,该居民楼的一楼是高6米的小区超市,超市以上是居民住房.在该楼的前面15米处要盖一栋高20米的新楼.当冬季正午的阳光与水平线的夹角为30°时.
30°
太阳光
A
B
D
C
新楼
住宅楼
E
F
30°
当堂训练
F
E
A
30°
15m
(1)小华去实验楼做实验, 两幢实验楼的高度AB=CD=20m, 两楼间的距离BC=15m，已知太阳光与水平线的夹角为30°，求南楼的影子在北楼上有多高？
北
A
B
D
C
20m
15m
E
F
南
解：过点E作EF∥BC，
∴∠AFE=90°，FE=BC=15m.
即南楼的影子在北楼上的高度为
(2)小华想:若设计时要求北楼的采光,不受南楼的影响,请问楼间距BC长至少应为多少米
A
B
20m
m
北
D
C
南
当堂训练
课堂小结
肆
课堂小结
利用仰俯角解直角三角形
2、仰角、俯角的概念
3、运用解直角三角形解决仰角、俯角问题
1、利用解直角三角形解决实际问题的一般过程
课后作业
基础题：1.课后习题 第 1,2题。
提高题：2.请学有余力的同学采取合理的方式，搜集整理与本节课有关的“好题”，被选中的同学下节课为全班展示。
谢
谢
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php
