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第二十七章 相似
29.1 投 影
第2课时 正投影导学案
学习目标
1.了解正投影的概念.能根据正投影的性质画出简单的平面图形的正投影.
2.通过动手操作画图形的正投影,培养学生动手实践能力,发展空间想象能力.
3.感受日常生活中的一些投影现象,体会数学与生活实际密不可分,激发学生学习数学的兴趣.
重点：1.正投影的含义.
2.能根据正投影的性质画出简单的平面图形的正投影.
难点：归纳正投影的性质，正确画出简单平面图形的正投影.
学习过程
一、知识回顾
说一说什么是投影、投影线、投影面？
2. 什么是平行投影和中心投影？它们有什么区别和联系？
二、自主学习 了解新知
出示探究1
如图29.1—7中，把一根直的细铁丝（记为线段AB）放在三个不同位置：
（1）铁丝平行于投影面；
（2）铁丝倾斜于投影面：
（3）铁丝垂直于投影面（铁丝不一定要与投影面有公共点）.
三种情形下铁丝的正投影各是什么形状？
通过观察、讨论可知：
（1）当线段AB平行于投影面P时，它的正投影是线段A1B1,线段与它的投影的大小关系为AB A1B1；
（2）当线段AB倾斜于投影面P时，它的正投影是线段A2B2,线段与它的投影的大小关系为AB A2B2；
（3）当线段AB垂直于投影面P时，它的正投影是 .
设计意图：用细铁丝表示一条线段，通过实验观察，分析它的正投影简单直观，易于发现结论.
探究2
如图，把一块正方形硬纸板P（记为正方形ABCD）放在三个不同位置：
纸板平行于投影面；
纸板倾斜于投影面；
纸板垂直于投影面.
三种情形下纸板的正投影各是什么形状？
通过观察、讨论可知：
(1)当纸板P平行于投影面时，P的正投影与纸板P的 一样;
(2)当纸板P倾斜于投影面时，P的正投影与纸板P的 ;
(3)当纸板P垂直于投影面时，P的正投影成为 .
归纳总结：通过活动1、活动2你发现了什么？
正投影的性质： .
活动3
画出如图摆放的正方体在投影面P上的正投影．
（1）正方体的一个面ABCD平行于投影面P
（2）正方体的一个面ABCD倾斜于投影面P，上底面ADEF垂直于投影面P，并且上底面的对角线AE垂直于投影面P．
三、学习检测：
例1、几何体在平面内的正投影，取决于（ ）
①几何体的形状；②几何体与投影面的位置关系；③投影面的大小.
A.①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
分析：几何体的形状不同，其正投影一般也不同，所以①正确.几何体与投影面的位置关系不同，其正投影也不同，②正确.几何体在平面内的正投影与投影面的大小无关，所以③错误.
例2. 画出下列立体图形投影线从上方射向下方的正投影．
四、尝试应用
1．下图水杯的杯口与投影面平行，投影线的方向如箭头所示，它的正投影图是( )
A B C D
2、如图所示，把正方体的一个顶点朝上立放，在它下面放一张白纸，使纸面与太阳光线垂直，则正方体在纸上投影的影子是（ ）
3、正方形纸板ABCD边长为10cm，四边形A^′B^′C^′D′是正方形ABCD在平面β上的正投影，AD,BC与平面β平行，AB,CD与平面β成30°角，求正方形ABCD正投影的面积.
4、如图，是半径为5 cm的皮球置于玻璃杯口上的正投影面，请你设法计算出玻璃杯的内径．
反思小结
正投影的概念及性质：
平面图形的正投影
3、几何体的正投影
六、达标测试
一、选择题
1.房间窗户的边框形状是矩形，在阳光的照射下边框在房间地面上形成了投影，则投影的形状可能是（ ）
A．三角形 B．平行四边形 C．圆 D．梯形
2.给下列几种关于投影的说法，正确的是（ ）
A．矩形的平行投影一定是矩形
B．平行直线的平行投影仍是平行直线
C．垂直于投影面的直线或线段的正投影是点
D．中心投影的投影线是互相平行的
3. 把一个正五棱柱如图摆放，当投射线由正前方射到后方时，它的正投影是（ ）
A． B．C． D．
4.在一间黑屋子里用一盏白炽灯照一个球，球在地面上的阴影的形状是一个圆，当把白炽灯向上远移时，圆形阴影的大小的变化情况是（ ）
A．越来越小 B．越来越大
C．大小不变 D．不能确定
5.如图，夜晚，小亮从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B，他的影长y随他与点A之间的距离x的变化而变化，那么表示y与x之间的函数关系的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6.当投射线与投射面垂直时，物体的投影称为物体的_________.
7. 直角三角形的正投影可能是_____.
8.一个圆锥的轴截面垂直于投影面且底面平行于投影面时，圆锥的正投影的面积是9πcm2；轴截面平行于投影面时，其正投影的面积为12cm2，则圆锥的侧面积为________cm2．
三、解答题
9.一个长8cm的木棒AB，已知AB平行于投影面α，投影线垂直于α．（1）求影长A1B1的长度（如图1）；（2）若将木棒绕其端点A逆时针旋转30°，求旋转后木棒的影长A2B2（如图2）．
10.如图，望远镜调节好后，摆放在水平地面上；观测者用望远镜观测物体时，眼睛（在A点）到水平地面的距离AD=91cm，沿AB方向观测物体的仰角α=33°，望远镜前端（B点）与眼睛（A点）之间的距离AB=153cm；
求：（1）点B到水平地面的距离BC的长；（精确到0.1cm）
（2）AB在地面的正投影长．
（参考数据：sin33°=0.54，cos33°=0.84，tan33°=0.65）
11.在长、宽都为4m，高为3m的房间的正中央的天花板上悬挂着一只白炽灯泡，为了集中光线，加上了灯罩（如图所示）．已知灯罩深AN=8m，灯泡离地面2m，为了使光线恰好照在墙角D、E处，灯罩的直径BC应为多少？（结果保留两位小数，≈1.414.）
参考答案
1.B 2.C 3.B 4.A 5.A 6. 正投影 7. 三角形或线段 8. 48π
9.解：如图1,A1B1=AB=8cm；
如图2，作AE⊥BB2于E,则四边形AA2B2E是矩形,
∴A2B2=AE,△ABE是直角三角形,
∵AB=8cm,∠BAE=30°,∴BE=4 cm,
AE= = cm，∴A2B2=cm,
10.解：（1）过点A作AE⊥BC于点E．
在Rt△ABE中，sina= ．∵AB=153cm，a=33°，∴BE=AB sin33°=153×0.54=82.62．∴BC=BE+EC=BE+AD=82.62+91
=173.62≈173.6（cm）．
答：点B到水平地面的距离BC的长约为173.6cm；
（2）∵AB=153cm，a=33°，∴cos33°= =0.84，∴AE=153×0.84=128.52cm，
∴CD=AE=128.52cm，答：AB在地面的正投影长是128.52cm．
11.解：如图，光线恰好照在墙角D、E处，AN=0.08m，AM=2m，由于房间的地面为边长为4m的正方形，则DE=4m，∵BC∥DE，∴△ABC∽△ADB，∴，即，∴BC≈0.23（m）．答：灯罩的直径BC约为0.23m
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第二十九章 投影与视图
29.1 投 影
第2课时 正投影
新课导入
壹
目
录
课堂小结
肆
当堂训练
叁
讲授新知
贰
新课导入
壹
新课导入
复习
1. 说一说什么是投影、投影线、投影面？
2. 什么是平行投影和中心投影？它们有什么区别和联系？
讲授新知
贰
讲授新知
知识点1 正投影的概念及性质
观察与思考
图中表示一块三角尺在光线照射下形成投影，其中图（1）与图（2）（3）的投影线有什么区别？图（2）（3）的投影线与投影面的位置关系有什么区别？
中心投影
平行投影
平行投影
讲授新知
【归纳总结】
投影线垂直于投影面照射时，物体产生的投影叫做正投影．
投影线垂直于投影面
投影线斜射投影面
讲授新知
1、如图，把一根直的细铁丝（记为线段AB）放在三个不同位置；
三种情形下铁丝的正投影各是什么形状？
（1）铁丝平行于投影面；
（2）铁丝倾斜于投影面；
（3）铁丝垂直于投影面（铁丝不一定要与投影面有交点）．
p
A
B
A1
B1
A
B
A
B
A3(B3)
B2
A2
合作探究一
讲授新知
归纳
(1) 当线段AB平行于投影面p时，它的正投影是线段A1B1，
线段与它的投影的大小关系为AB_____A1B1；
(2) 当线段AB倾斜于投影面p时，它的正投影是线段A2B2，
线段与它的投影的大小关系为AB______A2B2;
(3) 当线段AB垂直于投影面p时，它的正投影是一个
________．
通过观察，我们可以发现：
=
>
点A3(B3)
讲授新知
2、如图，把一块正方形硬纸板P（记为正方形ABCD）放在三个不同位置：（1）纸板平行于投影面；（2）纸板倾斜于投影面；（3）纸板垂直于投影面．
三种情形下纸板的正投影各是什么形状？
合作探究二
①
②
③
讲授新知
（3）当纸板P垂直于投影面β时，P的正投影成为_______________．
通过观察、测量可知：
（1）当纸板P平行于投影面β时，P的正投影与P的
_________________；
（2）当纸板P倾斜于投影面β时，P的正投影与P的
___________________；
形状、大小一样
形状、大小发生变化
一条线段
归纳
讲授新知
归纳总结
当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影与这个面的形状、大小完全相同．
讲授新知
知识点2 画几何体的正投影
3、 画出如图摆放的正方体在投影面P上的正投影．
（1）正方体的一个面ABCD平行于投影面P
（2）正方体的一个面ABCD倾斜于投影面P，上底面ADEF垂直于投影面P，并且上底面的对角线AE垂直于投影面P．
A
B
C
D
P
B
C
D
E
F
G
P
A
H
讲授新知
（2）如图，正方体的正投影为矩形F G C D ，这个矩形的长等于正方体的底面对角线长，矩形的宽等于正方体的棱长．矩形上、下两边中点连线A B 是正方体的侧棱AB及它所对的另一条侧棱EH的投影．
解： （1）如图，正方体的正投影为正方形A B C D ，它与正方体的一个面是全等关系．
A
B
C
D
A′
B′
C′
D′
P
B
C
D
E
F
G
F′
A′
D′
C′
B′
G′
P
A
H
范例应用
例1、几何体在平面内的正投影，取决于（ ）
①几何体的形状；②几何体与投影面的位置关系；
③投影面的大小.
①② ①③ ②③ ①②③
A
解析：
几何体在平面内的正投影与投影面的大小无关，所以③错误.
几何体的形状不同，其正投影一般也不同，所以①正确.
几何体与投影面的位置关系不同，其正投影也不同，②正确.
范例应用
2. 画出下列立体图形投影线从上方射向下方的正投影．
解：如图所示：
当堂训练
叁
当堂训练
1．下图水杯的杯口与投影面平行，投影线的方向如箭头所示，它的正投影图是( )
D
A B C D
当堂训练
2、如图所示，把正方体的一个顶点朝上立放，在它下面放一张白纸，使纸面与太阳光线垂直，则正方体在纸上投影的影子是（ ）
C
当堂训练
3、正方形纸板边长为，四边形是正方形在平面上的正投影，与平面平行，与平面成角，求正方形正投影的面积.
解：作 于点.
则
∴ 在 中，
∴ 根据正投影的性质知，
A’D’=AD=10cm.
所以正方形正投影的面积为
当堂训练
4、如图，是半径为5 cm的皮球置于玻璃杯口上的正投影面，请你设法计算出玻璃杯的内径．
解：由题意知，DB是玻璃杯内径，过球心O作DB的垂线交DB于点E，连接OB
∵OB＝5cm
OE＝20－12－5＝3（cm）
E
课堂小结
肆
课堂小结
正投影
正投影的概念及性质
几何体的正投影
平面图形的正投影
课后作业
基础题：1.课后习题 2，3，4题。
提高题：2.请学有余力的同学采取合理的方式，搜集整理与本节课有关的“好题”，被选中的同学下节课为全班展示。
谢
谢
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