课件47张PPT。4 万有引力理论的成就1.万有引力定律：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的
方向在它们的连线上,引力的大小与物体的质量m1和m2的_____
成正比、与它们之间距离r的_______成反比。
2.万有引力的表达式：F=________。
3.引力常量G的数值由英国物理学家_________比较准确地测
得，通常取G＝___________ N·m2/kg2。乘积二次方卡文迪许6.67×10-114.同一物体的重力随纬度的增加而_____，随距地面高度的
增加而_____。
5.物体做圆周运动需要向心力，常见的向心力表达式为：
Fn=_____或Fn=_____。增大减小mω2r一、计算天体的质量
1.地球质量的计算:
(1)依据：地球表面的物体，若不考虑地球自转，物体的重力
等于地球对物体的万有引力，即mg=______。
(2)结论：M=_____,只要知道g、R的值，就可计算出地球的质
量。2.太阳质量的计算:
(1)依据：质量为m的行星绕太阳做匀速圆周运动时，行星与太
阳间的万有引力充当向心力，即 =_________。
(2)结论：M=______,只要知道行星绕太阳运动的周期T和半径r
就可以计算出太阳的质量。
3．其他行星的质量计算:同理，若已知卫星绕行星运动的周
期T和卫星与行星之间的距离r,可计算行星的质量M，公式是
M=__________。 二、发现未知天体
1．海王星的发现:英国剑桥大学的学生_______和法国年轻的
天文学家_______根据天王星的观测资料，利用万有引力定律
计算出天王星外“新”行星的轨道。1846年9月23日，德国的
_____在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星——海王星。
2.其他天体的发现:近100年来，人们在海王星的轨道之外又
发现了_______、阋神星等几个较大的天体。亚当斯勒维耶伽勒冥王星【思考辨析】
1.判断正误:
(1)牛顿发现了万有引力定律，同时测出了地球的质量。
( )
(2)同一物体的重力一定小于它受到的万有引力。( )
(3)行星绕太阳运动的向心力是由行星受到太阳的万有引力提供的。( )
(4)“笔尖上发现的行星”是冥王星。( )提示:(1)×。牛顿发现了万有引力定律，但没有测出地球的质量。
(2)×。在地球的两极,物体的重力等于其万有引力。
(3)√。行星绕太阳运动的向心力是由行星受到太阳的万有引力提供的。
(4)×。“笔尖上发现的行星”是海王星。2.问题思考:
(1)天体实际做什么运动？在高中学习阶段，我们可以认为天体做什么运动？
提示：天体实际上是沿椭圆轨道运动的，在高中阶段，我们通常情况下可以把它的运动轨道近似处理为圆形轨道，即认为天体做匀速圆周运动。(2)若已知月球绕地球转动的周期T和半径r,
由此可以求出地球的质量吗?能否求出月球
的质量呢？
提示:能求出地球的质量。利用 求出的质量
M= 为中心天体的质量。做圆周运动的月球的质量m在等
式中已消掉,所以根据月球的周期T、公转半径r，无法计算月
球的质量。 一 天体质量和密度的计算
1.天体质量的计算:
(1)“自力更生法”:若已知天体(如地球)的半径R和天体(如地
球)表面的重力加速度g，根据物体的重力近似等于地球对物体
的引力，得mg= 解得天体(如地球)质量为M= g、R是
天体(如地球)自身的参量，俗称“自力更生法”。(2)“借助外援法”:借助绕中心天体做圆周运动的行星或卫星
计算中心天体的质量，常见的情况如下：
已知绕行天体的r和v可以求M。
已知绕行天体的r和ω可以求M。
已知绕行天体的r和T可以求M。2.天体密度的计算:若天体的半径为R，则天体的密度ρ=
将M= 代入上式可得ρ=
特殊情况,当卫星环绕天体表面运动时，其轨道半径r可认为
等于天体半径R，则【特别提醒】(1)计算天体的质量的方法不仅适用于地球，也适用于其他任何星体。注意方法的拓展应用。明确计算出的是中心天体的质量。
(2)要注意R、r的区分。R指中心天体的半径，r指行星或卫星的轨道半径。若绕近地轨道运行，则有R=r。【典例1】(2013·南宁高一检测)在某行星上，宇航员用弹簧测力计称得质量为m的砝码重力为F，乘宇宙飞船在靠近该星球表面空间飞行时，测得其环绕周期为T，万有引力常量为G,根据这些数据求该星球的质量。 【解题探究】(1)在行星表面上测出物体重力与其受到行星的万有引力有什么关系？
提示：在行星表面上物体受到的重力可以认为等于星球对物体的万有引力。
(2)宇宙飞船在星球表面飞行意味着什么？
提示：①飞船的运动性质是匀速圆周运动。
②飞船运动的轨道半径是行星的半径。
③飞船运动的向心力由行星的万有引力提供。【标准解答】设行星的质量为M，半径为R，表面的重力加速度
为g,由万有引力定律得:
F=mg= ①
飞船沿星球表面做匀速圆周运动，由牛顿第二定律得：
②
联立①②式得： M=
答案： 【互动探究】由例题中这些数据求该星球的平均密度。
【解析】飞船在星球表面做匀速圆周运动,由牛顿第二定律得:
①
行星的密度ρ= ②
联立①②式得：ρ=
答案： 【总结提升】天体质量的两种常见求解方法
(1)如果知道这个天体表面的重力加速度和半径，根据公式
M= 求解；
(2)若知道某个天体的一颗行星(或卫星)运动的周期T和轨道
半径r,利用公式M= 求解。【变式备选】为了对火星及其周围的空间环境进行探测，我国发射了火星探测器“萤火一号”。假设当探测器在离火星表面高度分别为h1和h2的圆轨道上运动时，周期分别为T1和T2。火星可视为质量分布均匀的球体，且忽略火星的自转影响，万有引力常量为G。仅利用以上数据，可以计算出( )
A.火星的质量 B.“萤火一号”的质量
C.火星对“萤火一号”的引力 D.火星表面的重力加速度【解析】选A、D。设火星、“萤火一号”的质量分别为M、m,
火星的半径为R,则
联立以上两式可以求得火星的质量，A对；“萤火一号”的质
量m被约去，故不能将它求出，B、C错；火星表面的重力加速
度表达式为g= 从以上两式解出M、R代入该表达式就可以
求出火星表面的重力加速度，D对。 二 天体的运动的分析与计算
1.解决天体运动问题的基本思路:一般行星或卫星的运动可看
作匀速圆周运动，所需要的向心力都由中心天体对它的万有
引力提供，所以研究天体时可建立基本关系式：
式中a是向心加速度。2.常用的关系式:
(1) 万有引力提供行星或卫星做
圆周运动的向心力。
(2)mg= 即gR2=GM，物体在天体表面时受到的引力等于
物体的重力。该公式通常被称为黄金代换式。3．四个重要结论:设质量为m的天体绕另一质量为M的中心天体
做半径为r的匀速圆周运动。
(1)由 r越大，天体的v越小。
(2)由 =mω2r得ω= r越大，天体的ω越小。
(3)由 得T= r越大，天体的T越大。
(4)由 =man得an= r越大，天体的an越小。
以上结论可总结为“一定四定,越远越慢”。【特别提醒】(1)应用万有引力定律求解时还要注意挖掘题目
中的隐含条件,如地球公转一周时间是365天，自转一周是24
小时，其表面的重力加速度约为9.8 m/s2等。
(2)由mg= 可以得到：GM=gR2。由于G和M(地球质量)这两
个参数往往不易记住，而g和R容易记住。所以粗略计算时，
一般都采用上述代换，这就避开了万有引力常量G值和地球的
质量M值，非常方便。【典例2】据报道，天文学家近日发现了一颗距地球40光年的
“超级地球”，名为“55 Cancri e”。该行星绕母星(中心天
体)运行的周期约为地球绕太阳运行周期的 母星的体积约
为太阳的60倍。假设母星与太阳密度相同，“55 Cancri e”
与地球均做匀速圆周运动，则“55 Cancri e”与地球的( )
A.轨道半径之比约为
B.轨道半径之比约为
C.向心加速度之比约为
D.向心加速度之比约为【解题探究】(1)“55 Cancri e”绕母星的运动和地球绕太阳
的运动规律相同吗？该规律是什么?
提示：“55 Cancri e”和地球的运动规律相同，都是匀速圆
周运动，都是万有引力提供向心力。
(2)做匀速圆周运动的物体具有向心加速度，如何求向心加速
度？
提示：①用运动学的知识求解a= 或a=ω2r；
②用动力学的知识求解a=【标准解答】选B。由公式 可得通式r=
则 从而判断A错、B对；再由
=ma得通式a= 则
所以C、D皆错。【变式训练】(2013·天津高考)“嫦娥一号”和“嫦娥二号”卫星相继完成了对月球的环月飞行，标志着我国探月工程的第一阶段已经完成。设“嫦娥二号”卫星环绕月球的运动为匀速圆周运动，它距月球表面的高度为h，已知月球的质量为M、半径为R，引力常量为G，则卫星绕月球运动的向心加速度a=_______，线速度v=________。【解析】卫星做匀速圆周运动，设卫星质量为m，
由万有引力提供向心力知
解得
答案：【典例】我国古代神话传说,地上的“凡人”过一年,天上的“神仙”过一天。如果把看到一次日出就算做“一天”,那么,近地轨道上(距地面300～700 km)环绕地球飞行的宇航员24小时内在太空中度过的“天”数约为(已知地球的半径为6 400 km,重力加速度为10 m/s2)( )
A.1 B.8 C.16 D.24【标准解答】选C。根据万有引力充当向心力
又因为地球表面处mg= 由以上两式,代入数据可得:
T≈1.5 h,转过的圈数n= ≈16,故C正确。卫星的变轨问题
卫星由一轨道转移到另一轨道时，卫星的速度、加速度等要
发生变化。判断卫星的速度、加速度的变化情况时，可按以
下思路进行。
1．判断卫星在不同圆轨道的运行速度大小时，可根据“越远越慢”的规律判断。
2.判断卫星在同一椭圆轨道上不同点的速度大小时，可根据开普勒行星运动第二定律判断，即离中心天体越远，速度越小。3.判断卫星由圆轨道进入椭圆轨道或由椭圆轨道进入圆轨道
时的速度大小如何变化时，可根据离心运动或近心运动的条
件进行分析。
4．判断卫星的加速度大小时，可根据a= 判断。【典例】2009年5月，航天飞机在完成对哈
勃空间望远镜的维修任务后，在A点从圆形
轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ，B为轨道Ⅱ上的一
点，如图所示。关于航天飞机的运动，下列
说法中正确的有( )
A.在轨道Ⅱ上经过A的速度小于经过B的速度
B.在轨道Ⅱ上经过A的动能小于在轨道Ⅰ上经过A 的动能
C.在轨道Ⅱ上运动的周期小于在轨道Ⅰ上运动的周期
D.在轨道Ⅱ上经过A的加速度小于在轨道Ⅰ上经过A的加速度【标准解答】选A、B、C。根据开普勒定律可知，卫星在近地
点的速度大于在远地点的速度，A正确；由轨道Ⅰ变到轨道Ⅱ
要减速，B正确；类比于行星椭圆运动，由开普勒第三定律可
知， =k，R2
时加速度相等，D错误。【名师点评】通过本题的求解，我们知道：
(1)分析卫星在椭圆轨道上的运动规律时，万有引力充当向心力的思路不再适用，这时要应用开普勒行星运动定律分析。
(2)公式F=ma是对于地面上的物体和天体都适用的规律，分析加速度大小时，这是一个重要的思路。1.(基础理论辨析题)下列说法正确的是( )
A.即使地球不再自转，地面上物体的重力也不可能等于万有引力
B.根据行星绕太阳运动的周期和半径可以求出太阳的质量和密度
C.根据行星绕太阳运动的周期和半径可以求出行星的质量
D.海王星和冥王星是人们依据万有引力定律计算的轨道发现的
E.卫星离地球越远其运动的线速度越大
F.卫星离地球越远其运动的角速度越大
G.卫星离地球越远其运动的周期越大【解析】选G。地球不再自转时，地面上物体的重力等于万有
引力，A错误。根据行星绕太阳运动的周期和半径,可根据公式
M= 求出太阳的质量，不能求出行星的质量，由于不知道
太阳的半径，不能求出太阳的密度，故B、C错误。海王星是人
们依据万有引力定律计算的轨道发现的，D错误。根据公式
卫星离地球越远其线速度越小，
角速度越小，周期越大，E、F错误，G正确。2.(2013·厦门高一检测)一名宇航员来到某一星球上，如果该
星球的质量为地球的一半，它的直径也为地球的一半，那么这
名宇航员在该星球上的重力是他在地球上的重力的( )
A.4倍 B.0.5倍
C.0.25倍 D.2倍
【解析】选D。可认为在该星球表面上万有引力约等于重力，
即G0= m相同，星球的M、r均为地球的一半，重力G0为
地球上重力的2倍,D正确。3.(2013·济南高一检测)一飞船在某行星表面附近沿圆轨道绕
该行星飞行,若认为行星是密度均匀的球体,要确定该行星的密
度,只需要测量( )
A.飞船的轨道半径 B.飞船的运行速度
C.飞船的运行周期 D.行星的质量
【解析】选C。飞船贴着该行星表面飞行,则
行星的密度为
知道飞船的运行周期就可以确定该行星的密度,所以C选项正确。4.2011年9月29日晚21时16分，我国将首个目标飞行器“天宫一号”发射升空。2011年11月3日凌晨“神舟八号”“天宫一号”对接成功，完美完成一次天空之吻。若对接前两者在同一轨道上运动，下列说法正确的是( )
A．对接前“天宫一号”的运行速率大于
“神舟八号”的运行速率
B．对接前“神舟八号”的向心加速度小
于“天宫一号”的向心加速度
C．“神舟八号”先加速可实现与“天宫一号”在原轨道上对接
D．“神舟八号”先减速后加速可实现与“天宫一号”在原轨道上对接【解析】选D。“天宫一号”做圆周运动的轨道半径与“神舟
八号”相等，所以由万有引力定律和牛顿第二定律列式可得
在同一轨道上与飞行器的速度和加速度相
等，选项A、B错误。“神舟八号”加速时做离心运动，只能
实现低轨道与高轨道对接，所以选项C错误。“神舟八号”先
减速到低轨道再加速做离心运动，可实现两者在原轨道对接,
所以选项D正确。5.行星的平均密度是ρ，靠近行星表面运行的卫星运转周期
是T，试证明ρT2是一个常量。
【解析】卫星做匀速圆周运动,故 解得
行星的密度：
解得 故ρT2是常量。
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课时提升卷(十一)
万有引力理论的成就
(40分钟 50分)
一、选择题(本题包括6小题,每小题5分,共30分。每小题至少一个选项正确)
1.(2013·衡水高一检测)在万有引力常量G已知的情况下,已知下列哪些数据,可以计算出地球质量 ( )
A.地球绕太阳运动的周期及地球离太阳的距离
B.人造地球卫星在地面附近绕行的速度和运行周期
C.月球绕地球运行的周期及地球半径
D.若不考虑地球自转,已知地球半径和地球表面的重力加速度
2.天文学家新发现了太阳系外的一颗行星。这颗行星的体积是地球的4.7倍,质量是地球的25倍。已知某一近地卫星绕地球运行的周期约为1.4小时,引力常量G=6.67×10-11N·m2/kg2,由此估算该行星的平均密度为 ( )
A.1.8×103kg/m3 B.5.6×103kg/m3
C.1.1×104kg/m3 D.3.0×104kg/m3
3.近地人造卫星1和2绕地球做匀速圆周运动的周期分别为T1和T2,设在卫星1、卫星2各自所在的高度上的重力加速度大小分别为g1、g2,则 ( )
A.=( B.=(
C.=()2 D.=()2
4.科学家们推测,太阳系有颗行星和地球在同一轨道上。从地球上看,它永远在太阳的背面,人类一直未能发现它,可以说是“隐居”着的地球的“孪生兄弟”。由以上信息我们可以推知 ( )
A.这颗行星的质量等于地球的质量
B.这颗行星的密度等于地球的密度
C.这颗行星的公转周期与地球公转周期相等
D.这颗行星的自转周期与地球自转周期相等
5.(2012·安徽高考)我国发射的“天宫一号”和“神舟八号”在对接前,“天宫一号”的运行轨道高度为350km,“神舟八号”的运行轨道高度为343km。它们的运行轨道均视为圆周,则 ( )
A.“天宫一号”比“神舟八号”速度大
B.“天宫一号”比“神舟八号”周期长
C.“天宫一号”比“神舟八号”角速度大
D.“天宫一号”比“神舟八号”加速度大
6.宇宙中两颗相距很近的恒星常常组成一个双星系统。它们以相互间的万有引力彼此提供向心力,从而使它们绕着某一共同的圆心做匀速圆周运动,若已知它们的运转周期为T,两星到某一共同圆心的距离分别为R1和R2,那么,这双星系统中两颗恒星的质量关系是 ( )
A.这两颗恒星的质量必定相等
B.这两颗恒星的质量之和为
C.这两颗恒星的质量之比为m1∶m2=R2∶R1
D.必有一颗恒星的质量为
二、计算题(本大题共2小题,共20分。要有必要的文字说明和解题步骤,有数值计算的要注明单位)
7.(10分)“天宫一号”于2011年9月29日成功发射,它和随后发射的“神舟”飞船在太空完成交会对接,实现了中国载人航天工程的一个新的跨越。“天宫一号”进入运行轨道后,其运行周期为T,距地面的高度为h,已知地球半径为R,万有引力常量为G。若将“天宫一号”的运行轨道看作圆轨道,求:
(1)地球质量M。
(2)地球的平均密度。
8.(10分)(能力挑战题)已知太阳到地球与地球到月球的距离的比值约为390,月球绕地球旋转的周期约为27天,利用上述数据以及日常的天文知识,可估算出太阳对月球与地球对月球的万有引力的比值约为多少?
答案解析
1.【解析】选B、D。已知地球绕太阳运动的情况只能求太阳的质量,A错误。由G=m和T=得,M=,B正确。已知月球绕地球的周期及轨道半径才能求地球的质量,C错误。由mg=G得M=,D正确。
2.【解析】选D。近地卫星绕地球运动的向心力由万有引力提供,即G=mR,地球的质量M=,地球的密度为ρ地==kg/m3=5.56×103kg/m3,新行星的密度ρ新==≈3.0×104kg/m3,D正确。
【总结提升】天体密度的估算
(1)卫星绕天体做半径为r的圆周运动,若天体的半径为R,则天体的密度ρ=,将M=代入上式得:ρ=。当卫星环绕天体表面运动时,其轨道半径r等于天体半径R,则ρ=。
(2)已知天体表面的重力加速度为g,则ρ===。
3.【解析】选B。卫星绕天体做匀速圆周运动,由万有引力提供向心力得=m()2R,由重力等于万有引力得mg=G,联立解得g=,则g与成反比,故B正确。
【变式备选】关于卫星绕地球做匀速圆周运动的有关说法正确的是 ( )
A.卫星受到的地球引力对其做正功
B.卫星的轨道半径越大,其线速度越大
C.卫星的轨道半径越大,其周期越小
D.卫星受到的地球引力提供卫星做圆周运动所需的向心力
【解析】选D。地球引力对卫星不做功,选项A错误。做圆周运动的卫星半径越大,线速度越小,选项B错误。做圆周运动的卫星半径越大,周期越大,选项C错误。万有引力提供卫星做圆周运动所需的向心力,选项D正确。
4.【解析】选C。由题意知,该行星和地球一样绕太阳运行,且该行星、太阳、地球在同一直线上,说明该颗行星与地球有相同的公转周期,C选项正确;但根据所给条件,无法进一步判断这颗行星与地球的自转周期、质量、密度是否相同。
5.【解题指南】卫星绕地球做匀速圆周运动时,万有引力提供向心力,根据F万=
F向,得出卫星的线速度、周期、角速度、向心加速度与轨道半径r的关系,从而得出“天宫一号”和“神舟八号”各个物理量的大小关系。
【解析】选B。由G=mrω2=m=mr=ma,得v=,ω=,T=2π,a=,由于r天>r神,所以v天T神,a天6.【解析】选B、C、D。对于两星有共同的周期T,由牛顿第二定律得G=m1R1=m2R2,所以两星的质量之比m1∶m2=R2∶R1,C正确;由上式可得m1=,m2=,D正确,A错误;m1+m2=,B正确。故正确答案为B、C、D。
7.【解析】(1)因为将“天宫一号”的运行轨道看作圆轨道,万有引力充当向心力,即G=m(R+h),
解得M=。
(2)地球的平均密度:ρ==。
答案:(1) (2)
【变式备选】经天文学家观察,太阳在绕着银河系中心的圆形轨道上运行,这个轨道半径约为3×104光年(约等于2.8×1020m),转动一周的周期约为2亿年(约等于6.3×1015s)。太阳做圆周运动的向心力由它轨道内侧的大量星体的引力提供,可以把这些星体的全部质量视为集中在银河系中心来处理问题。(G=6.67×10-11N·m2/kg2)用给出的数据来计算太阳轨道内侧这些星体的总质量。
【解析】假设太阳轨道内侧这些星体的总质量为M,太阳的质量为m,轨道半径为r,周期为T,太阳做圆周运动的向心力由这些星体的引力提供,则
G=mr
故这些星体的总质量为
M==kg
≈3.3×1041kg。
答案:3.3×1041kg
8.【解析】估算太阳对月球的万有引力时,地、月间距忽略不计,认为月球处于地球公转的轨道上。设太阳、地球、月球的质量分别为M、m地、m月,日、地间距为r1,地、月间距为r2,地球、月球做匀速圆周运动的周期分别为T1、T2,根据万有引力定律、牛顿第二定律得:
对于月球:F地月=m月r2,其中ω2= ①
对于地球:=m地r1,其中ω1= ②
由②式得=r1
所以F日月==m月r1 ③
由①③两式得:
F日月∶F地月==390×()2=2.1
答案:2.1
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