1.3 线段的垂直平分线 练习(含答案)2022-2023学年北师大版数学八年级下册

1.3 线段的垂直平分线
一、选择题（共10题）
已知直线 是线段 的垂直平分线，并且垂足为 ，若 ，则
A． B． C． D．
如图，直线 是线段 的垂直平分线， 为直线 上的一点，已知线段 ，则线段 的长度为
A． B． C． D．
如图，在 中，点 是其内部一点，，则点 在哪条线段的垂直平分线上？
A． B．
C． D． ， 和
线段 的垂直平分线上一点 到点 的距离为 ，则点 到点 的距离
A．等于 B．大于 C．小于 D．无法确定
如图，在四边形 中，，，，．分别以点 ， 为圆心，大于 长为半径作弧，两弧交于点 ，作射线 交 于点 ，交 于点 ．若点 是 的中点，则 的长为
A． B． C． D．
如图，在 中， 的垂直平分线分别交 ， 于点 ，，连接 ．若 ，，则 的长是
A． B． C． D．
如图，在平行四边形 中，， 交于点 ，分别以点 和点 为圆心、大于 的长为半径作弧，两弧相交于 ， 两点，作直线 ，交 于点 ，交 于点 ，连接 ，若 ， 的周长为 ，则 的长为
A． B． C． D．
如图， 是 的边 的垂直平分线，分别交边 ， 于点 ，，且 ，，则 的周长是
A． B． C． D．
如图，在四边形 中，， 分别是 ， 的中点，且 ，，已知 ，，则 度数为
A． B． C． D．
如图， 中，，， 垂直平分 于点 ，，则 的长为
A． B． C． D．
二、填空题（共6题）
线段的垂直平分线具有如下性质：线段的垂直平分线上的点与这条线段 的距离相等．线段的垂直平分线的判定：由于与一条线段的两个端点距离相等的点在 上，并且 确定一条直线，所以，如果平面上点 到 ， 两点的距离相等，点 到 ， 两点的距离也相等，那么直线 是线段 的垂直平分线．
如图，直线 是线段 的垂直平分线， 是 上的一点．如果 ，那么 ．
如图，在平面直角坐标系中， 为原点，点 的坐标为 ，分别以 ， 为圆心，大于 一半的长为半径作圆弧，两弧交于点 ，，直线 与直线 交于点 ，则点 的坐标为 ．
如图，已知 的周长为 ，根据图中尺规作图的痕迹，若 ，则 的周长为 ．
如图，在 中，， 的垂直平分线交 于点 ，交 于点 ，连接 ， 的周长是 ，若点 在直线 上，则 的最大值为 ．
如图，等腰三角形 的面积为 ，底边 的长为 ，点 在边 上，且 ， 是腰 的垂直平分线，若点 在 上运动，则 周长的最小值为 ．
三、解答题（共5题）
如图，在 中，已知 比 长 ， 的垂直平分线交 于点 ，交 于点 ， 的周长是 ，求 和 的长．
如图，在四边形 中，，，，．分别以点 ， 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧交于点 ，作射线 交 于点 ，交 于点 ，点 是 的中点．
(1) 求证：；
(2) 求 的长．
如图，线段 ， 的垂直平分线分别交 于 ， 两点，且 ，试证明 为等边三角形．
如图，在 中，， 的垂直平分线分别交 ， 于点 ，．
(1) 若 ，，求 的周长；
(2) 若 ，求 的度数．
中点、平行线、等腰直角三角形、等边三角形都是常见的几何图形．
(1) 如图①，若点 为等腰直角三角形 的斜边 的中点，点 ， 分别在 ， 边上，且 ，连接 ，，当 ， 时，求 的长度；
(2) 如图②，若点 为等边三角形 的边 的中点，点 ， 分别在 ， 边上，且 ．点 为 的中点，连接 ，当 时，证明：；
(3) 如图③，若点 为等边三角形 的边 的中点，点 ， 分别在 ， 边上，且 ．当 ， 时，直接写出 的长度．
答案
一、选择题（共10题）
1. 【答案】C
2. 【答案】B
3. 【答案】C
4. 【答案】A
【解析】 点 在线段 的垂直平分线上，
．
5. 【答案】A
【解析】如图，连接 ，
则 ，
，
，
在 与 中，
，
，
，，
在 中，
，
，
，
．
故选A．
6. 【答案】C
7. 【答案】C
8. 【答案】C
9. 【答案】C
【解析】如图，连接 ．
，，，
，
．
， 分别是 ， 的中点，且 ，，
，
，，．
，，，
．
，，，
，
．
10. 【答案】B
二、填空题（共6题）
11. 【答案】两个端点；这条线段的垂直平分线；两点； ；
12. 【答案】
13. 【答案】
14. 【答案】
【解析】 的周长为 ，
，
为 的垂直平分线，，
，，
，
的周长为 ．
15. 【答案】
【解析】 垂直平分 ，
．
又 ，，
．
如解图，在 上取点 ，延长 与 的延长线交于点 ，连接 ，．
在 中，，当 ，， 三点共线时， 取最大值，
此时 ．
16. 【答案】
【解析】如图，过点 作 于点 ，连接 ．
的周长 ， 为定值，要求 周长的最小值，只需要求 的最小值即可．
垂直平分线段 ，
，
，
当 ，， 三点共线时， 的值最小，最小值是线段 的长，
，，
，
，，
，
，
，
，
的最小值为 ，
周长的最小值为 ．
三、解答题（共5题）
17. 【答案】设 ，那么 ．
则 ，解得 ．
，．
18. 【答案】
(1) ，
，
，，
，
．
(2) 连接 ，
易证 垂直平分 ，
，
由（）知 ，
，．
在 中，
，
，
，
．
19. 【答案】 垂直平分 ，
．
垂直平分 ，
．
，
，
为等边三角形．
20. 【答案】
(1) 可证 ，
所以 ，
因为 ，
所以 的周长为 ．
(2) 因为 ，，
所以 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ．
21. 【答案】
(1) 点 为等腰直角三角形 的斜边 的中点，
，，，
．
又 ，，
，．
，，，
，
，
在 中，；
(2) 设等边三角形的边长为 ，
点 是 的中点，
，
在等边三角形 中，，
．
，
，
，即 ，
，．
连接 ，则在 中，．
，
是等边三角形，
，
，
，
垂直平分 ，
中，，，，
在 中，．
为 的中点，
，
中，，
，
，
；
(3) ．