河南省信阳市2022-2023学年高一下学期阶段性测试（开学考）数学试题（解析版）

2023
2022—2023学年（下）高一年级阶段性测试（开学考）
数学
考生注意：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若集合，，则（）
A. B. C. D.
2. 设，则“”是“”的（）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 已知是第二象限角，若，则（）
A. B. C. D.
4. 若，则的最小值为（）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5. 方程的解所在的区间为（）
A. B. C. D.
6. 著名画家达·芬奇画完他《抱银貂的女子》后，看着画中女人脖子上悬挂的黑色珍珠项链，开始思考这样一个问题：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的悬链线问题，最终的答案是这条曲线的方程是双曲余弦函数，其函数表达式为，相应的双曲正弦函数表达式为.设函数，若实数满足不等式，则的取值范围为（）
A. B. C. D.
7. 已知，，，则（）
A. B. C. D.
8. 已知函数为奇函数，且在上单调递减，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知函数，则（）
A. 的最小正周期为
B. 的图象关于直线对称
C. 的图象关于点对称
D. 在上单调递增
10. 已知函数，则（）
A. 的定义域为 B. 的图象关于轴对称
C. 的值域为 D. 是减函数
11. 下列计算结果正确的是（）
A. B.
C. D.
12. 已知函数有两个零点，则（）
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 命题“，”否定是__________．
14. 已知是定义在上的奇函数，当时，（为常数），则在上的最大值为______.
15. 已知为锐角，，，则__________
16已知函数，若有三个零点，则______.
四、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 已知函数的最小值为，方程有两个实根和6.
（1）求函数的解析式；
（2）求关于的不等式的解集.
18. 已知函数的定义域为，关于的不等式的解集为.
（1）当时，求；
（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
19已知函数.
（1）若当时，函数有意义，求实数的取值范围.
（2）是否存在实数，使得函数在上为增函数，并且在此区间最小值为？若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由.
20. 已知函数.
（1）求函数的单调递减区间；
（2）若当时，关于的不等式有解，求实数的取值范围.
21. 已知函数.
（1）求函数的值域.
（2）求不等式的解集.
（3）当为何值时，关于的方程在内的实根最多？最多有几个？（直接给出答案即可，无需说明理由）
22. 已知函数.
（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；
（2）若存在正实数且，使得在区间上的值域为，求实数的取值范围.
2022—2023学年（下）高一年级阶段性测试（开学考）
数学
考生注意：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若集合，，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】解不等式求得，由此求得.
【详解】，
，所以，所以，
所以.
故选：B
2. 设，则“”是“”的（）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
【分析】取特值并根据充分条件和必要条件的定义可得答案.
【详解】当时，不能推出，
当时，不能推出，
所以“”是“”的既不充分也不必要条件.
故选：D
3. 已知是第二象限角，若，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据的象限推出的象限，再根据平方关系式可求出结果.
【详解】因为第二象限角，所以是第一象限角，
又因为，所以.
故选：B
4. 若，则的最小值为（）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】将转化，化简，再利用基本不等式求解即可.
【详解】由，所以，，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为3.
故选：C.
5. 方程的解所在的区间为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】通过构造函数法，结合函数的单调性以及零点存在性定理求得正确答案.
【详解】由得，
设，则在上单调递增，
，
所以的唯一零点在区间，
即方程的解所在的区间为.
故选：B
6. 著名画家达·芬奇画完他的《抱银貂的女子》后，看着画中女人脖子上悬挂的黑色珍珠项链，开始思考这样一个问题：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的悬链线问题，最终的答案是这条曲线的方程是双曲余弦函数，其函数表达式为，相应的双曲正弦函数表达式为.设函数，若实数满足不等式，则的取值范围为（）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，写出函数解析式，由奇偶性和单调性，解不等式即可.
【详解】由题意，，为增函数，
由，
则函数为奇函数，
由，即，
所以，解得，
所以的取值范围为.
故选：A.
7. 已知，，，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据指数函数、对数函数的知识求得正确答案.
【详解】，，即.
，
所以.
故选：A
8. 已知函数为奇函数，且在上单调递减，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据为奇函数，得到，故，由得到，数形结合得到不等式组，求出的取值范围.
【详解】因为函数为奇函数，
所以，
故，
要使得在上单调递减，只需在上单调递增，
因为，所以，其中，
结合正弦函数图象可知：，
解得：，
综上：.
故选：C
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知函数，则（）
A. 的最小正周期为
B. 的图象关于直线对称
C. 的图象关于点对称
D. 在上单调递增
【答案】BC
【解析】
【分析】利用辅助角公式化简，再根据正弦函数的图象和性质判断即可.
【详解】由题意，
所以的最小正周期，A错误；
当时，所以的图象关于直线对称，B正确；
当时，所以的图象关于点对称，C正确；
当时，，所以在上不具有单调性，D错误；
故选：BC
10. 已知函数，则（）
A. 的定义域为 B. 的图象关于轴对称
C. 的值域为 D. 是减函数
【答案】AC
【解析】
【分析】由，解出不等式解集即为定义域，即可判断A；根据函数奇偶性的定义即可判断B；化简函数为，进而判断D；求出的值域，进而判断C.
【详解】由，即，解得，
所以函数的定义域为，故A正确；
又，
所以函数为奇函数，故B错误；
又，
因为函数在上为增函数，
所以函数在上为增函数，故D错误；
又，所以，即，
所以，即，
所以，
故函数的值域为，故C正确.
故选：AC.
11. 下列计算结果正确的是（）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用三角恒等变换逐项判断即可.
【详解】，A正确；
，B正确；
，C错误；
由，
可得
，D正确；
故选：ABD
12. 已知函数有两个零点，则（）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】在坐标系作和的图象，则函数即和图象的交点，根据图象求解即可.
【详解】在坐标系作和的图象如图所示，
则和图象的交点即为函数的零点，
由图象可得，
所以，A错误；
，B正确；
，C正确；
因为，，且，
所以，
所以，D错误；
故选：BC
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 命题“，”的否定是__________．
【答案】，
【解析】
【分析】全称命题的否定为特称命题，变化规则为改量词，否结论.
【详解】改量词：由改成；
否结论：对进行否定得；
所以原命题的否定为：，.
故答案为：，.
14. 已知是定义在上的奇函数，当时，（为常数），则在上的最大值为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据求得，结合函数的单调性、奇偶性求得正确答案.
【详解】依题意，是定义在上的奇函数，
所以，
即当时，，单调递增，
所以在区间上的最小值为，
所以在区间上的最大值为.
故答案为：
15. 已知为锐角，，，则__________
【答案】
【解析】
【分析】由，都是锐角，得出的范围，由和的值，利用同角三角函数的基本关系分别求出和的值，然后把所求式子的角变为，利用两角和与差的余弦函数公式化简计算，即得结果．
【详解】，都是锐角，，
又，，，，
则．
故答案为：.
16. 已知函数，若有三个零点，则______.
【答案】
【解析】
【分析】先计算出的零点，再根据零点的个数求得的值.
【详解】依题意，的开口向下，对称轴为，，
由解得，，
由于有三个零点，
所以，解得（负根舍去）.
故答案为：
四、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 已知函数的最小值为，方程有两个实根和6.
（1）求函数的解析式；
（2）求关于的不等式的解集.
【答案】（1）
（2）答案见解析.
【解析】
【分析】（1）由题知，，，进而解方程即可得答案；
（2）由题知，再分，，三种情况讨论求解.
【小问1详解】
解：因为方程有两个实根和，
所以，方程有两个实根和，
所以，①，②
因为函数的最小值为，
所以③，
所以，由①②得，代入③解得，
所以，，，
所以，；
【小问2详解】
解：因为，即为
所以，，即，
所以，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
综上，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.
18. 已知函数的定义域为，关于的不等式的解集为.
（1）当时，求；
（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）分别求出集合，,先求出集合的补集，再求出与集合的并集即可；
（2）由已知条件可知，即 ,由此列出不等式即可求解.
【小问1详解】
∵的定义域为，即解得，
∴函数的定义域，∴；
又∵当时，的解集为，
∴；
【小问2详解】
∵是的充分不必要条件，∴,∴ ,
又∵的解集为，
∴，解得，
∴实数的取值范围.
19. 已知函数.
（1）若当时，函数有意义，求实数的取值范围.
（2）是否存在实数，使得函数在上为增函数，并且在此区间的最小值为？若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
（2）存在，
【解析】
【分析】（1）由且，则为减函数，可得，要使有意义，则时，恒成立，进而求解即可；
（2）由复合函数单调性可得，又最小值为，可得，进而求解即可.
【小问1详解】
因为且，设，则为减函数，
所以当时，，
要使有意义，则时，恒成立．
所以．所以．
又且，所以且，
所以的取值范围为；
小问2详解】
由（1）知，且，为减函数，
要使函数在上为增函数，
根据复合函数的单调性可知，，且
则，解得，
所以存在使得函数在上为增函数，并且在此区间的最小值为.
20. 已知函数.
（1）求函数的单调递减区间；
（2）若当时，关于的不等式有解，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）化简的解析式，利用整体代入法求得的单调递减区间.
（2）求得在区间上的最大值，由此求得的取值范围.
【小问1详解】
.
由
解得，
所以函数的单调递减区间为
【小问2详解】
由（1）得，
若，则，
所以当时，
取得最大值为，
所以.
21. 已知函数.
（1）求函数的值域.
（2）求不等式的解集.
（3）当为何值时，关于的方程在内的实根最多？最多有几个？（直接给出答案即可，无需说明理由）
【答案】（1）；
（2）；
（3）,5.
【解析】
【分析】（1）原式等价变形得到一个关于的二次函数，配方并结合的范围，即可得到本题答案；
（2）逐步化简，结合图像的函数与性质，即可解得不等式；
（3）结合在的图像以及函数，即可得到本题答案.
【小问1详解】
因为，
所以当时，，当时，，
所以函数的值域为.
【小问2详解】
因为，所以，则，
所以，得的解集为.
【小问3详解】
当时，方程在内的实根最多，最多有5个.
22. 已知函数.
（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；
（2）若存在正实数且，使得在区间上的值域为，求实数的取值范围.
【答案】（1）函数为偶函数，理由见解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）根据奇偶性的定义判断即可；
（2）由题知函数在上单调递增，进而得有两个不相等的正实数根，再令，进而得两个均大于且不相等的正实数根，最后根据二次函数根的分布求解即可.
【小问1详解】
解：函数为偶函数，理由如下：
由题知函数的定义域为，
因为，
所以函数为偶函数.
【小问2详解】
解：因为，，
所以，当时，，
设，则，
所以，
所以，即，
所以，函数在上单调递增，
因为在正实数且，使得在区间上的值域为，
所以，即方程有两个不相等的正实数根，
所以，方程有两个不相等的正实数根，
令，
所以，方程有两个均大于且不相等的正实数根，
所以，两个均大于且不相等的正实数根，
令，
所以，两个均大于且不相等的零点，
所以，，即，解得，
所以，实数的取值范围是