一次方程的实际应用[上学期]
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文档简介
【典型例题】
例1：
方式 全球通“99套餐” CDMA“随心定制”
套餐内时间 费用（含月租） 通话时间 费用（含月租） 通话时间
99 200 98 270
超出的时间 按照0.3元/分计费 按照0.4元/分计费
对于一个月内的某个本地通话时间，你认为上面两种计费方式哪一种更省钱呢？
解：设累计通话t分钟(t>270) 时，两种计费方式的收费一样，则
98+(t-270) × 0.4 = 99+(t-200) × 0.3
得98+ 0.4 t-108 = 99+0.3t-60
t=490
我们可以得到如下结论：t〈490时选CDMA；t=490时，选两者均可；t>490时选全球通。
例2：在一次知识竞赛中，竞赛题目共有25道，每题都给出4个答案，其中只有一个是正确的，要求学生把正确的答案选出来。每道题选对得4分，不选或选错倒扣2分，如果学生在本次竞赛中的得分不低于60分，请问他至少答对了几道题？
分析：要想求出至少答对几道，可以求出答对60分时有几道题
解：设答对了X题，则答错或不选题有(25-X)
则4X-2(25-X)=60，
解得X=110/6.
但解得的X取值不符合实际情况，X=19.
答：至少答对了19题，得分才不低于60分。
例3：一家游泳馆每年6~8月出售夏季会员卡，每张会员卡80元，只限本人使用，凭证购入场券每张1元，不凭证购入场券每张3元，试讨论并回答：
（1）什么情况下，购会员证与不购会员证付一样的钱？
（2）什么情况下，购证比不购证更合算？
分析：本题关键计算出每种付费方式的计算方法
解：购证时总费用为80+X，不购证时总费用为3X，
（1）若付费一样则 80+X=3X，X=40.答:40次时付费一样
（2）若购证比较合算，则选择20次和50次分别计算
20次：购证为100元，不购证为60元；50次：购证为130元，不购证为150元
所以多于40次时购证比较省钱
例4：你能利用方程解决在3点和4点之间，哪个时刻钟表的时针与分针重合？什么时刻成平角？什么时刻成直角？
分析：时针60分钟走一格是多少度？(是30度)分针60分钟走一圈是几度？(360度)分针每分钟走几度？(6度)时针每分钟走几度？(0.5度)分针转动的速度是时针的几倍？(12倍)设哪个量为X比较好？(设时间相等为X分)两个指针所夹角成平角是什么意思？(相当于追击问题，分针追时针)
解：设经过X分钟可以重合，分针走了6X，时针走了0.5X，在三点时两个指针成90度，
（1）重合：6X=0.5X+90，X=180/11.
答：约在3点16.4分
（2）成直角：6X-0.5X=90+90，X=32.8
答：约在3点32.8分
（3）成平角：6X-0.5X=90+180，X=49.1
答：约在3点49.1分
例5：一家三口(父母和女儿)准备参加旅游团外出旅游，甲旅行社说：父母买全票，女儿按半价优惠。乙旅行社说：家庭旅游可按团体计价，每人均按全价的八折优惠。若两家旅行社每人的原票价相同，那么哪家优惠条件更好
分析：要确定哪家旅行社优惠条件更好，关键是计算一家按两个方案所付费用更少一些。
解：设这两家旅行社每人的原票价均为X元，则甲的费用为：2X+X/2=2.5X
乙的费用为80%(3X)=2.4X
所以乙比甲更优惠.
例6：某市居民生活用电基本价格为0.4元/度，若每月用电量超过a度，超出的部分按基本电价的70%收费。（1）某户五月份用电84度，共支电费30.72元，求a
（2）若该户的六月份电费平均为0.36元/度，求六月份共用多少度 共付多少元
分析：超过a度的意思说明a度是一个标准，超出的部分按7折优惠
解：（1）由0.4a+(84-a)×0.4×70%=30.72，解得a=60
（2）设该户六月份共用电x度
0.4×60＋（x-60）×0.4×70%=0.36x，x=90
所以0.36×90=32.4
答：六月份共用电90度，付费32.4元。
练习:
1. 1.某商场为了促销一种空调,2000年元旦那天购买该机可分为两期付款,在购买时先付一笔款,余下的部分及它的利息(年利率为5.6%)在2001年元旦付清,该空调售价每台8224元,若两次付款数相同,问每次应付款多少元 (X=8224-X+(8224-X×5.6%),X=4224)
1. 2.某机关有三个部门,A部门有公务员84人,B部门有公务员56人,C部门有公务员60人,如果每个部门按相同比例裁减人员,使这个机关仅留公务员150人,求C部门留下的公务员人数.(45人)
1. 3.商场对顾客实行优惠,规定(1)如果一次购物不超过200元,则不予折扣;(2)若一次购物超过200元但不超过500元,按标价给予九折优惠;(3)如果一次购物超过500元,其中500元按(2)给予优惠,超过500元的部分则给予八折优惠.某人两次去购物,分别付款168元和423元,如果他只去一次购买同样的商品,应付费多少元 (168+470=638,500×90%+138×80%=560.4)
1. 4.地球上我国人口最多，但水的人均占有量排到世界的第88位，是13个贫水国家之一。在600多个城市中有400多个城市严重缺水。为增强节水意识，某城市规定每吨生活用水价格为1.10元,每户每月定量为a吨,超过a吨的部分在基本价格的基础上加价70%,现已知某户五月份用水16吨,共付费23.76元,试求该城市对每户用水的定量a(23.76/16>1.1,故用户超过规定用水量，1.1a+(16-a)X1.1X(1+70%)=23.76,a=8)
5.有一片牧场，草每天都在匀速生长，（草每天增长的量相等），如果放牧24头牛，则6天吃完牧草；如果放牧21头牛，则8天吃完牧草。设每头牛每天吃草的量是相等的，问：
（1） （1）如果放牧16头牛，几天可以吃完？（2）要使牧草永远吃不完，至多放几头牛？
（设原有牧草a每天生长出的草量为b，每头牛每天吃草量为c，16头牛x天吃完草。a+6b=24X6c;a+8b=21X8c;a+bx=16cx,x=18）
【模拟试题】
1. 小丽为了减轻父母的负担，决定自己筹钱准备三年后读高中的学费，她用1000元的压岁钱参加教育储蓄，已知教育储蓄一年的利率是2.25%，三年的年利率为2.7%，现有两种方式：（1）先存一个一年期，下一年将本息和自动转存一年（2）直接存入一个三年期。请你帮小丽算一算为了利息较多，她应该选哪一种储蓄方式？
2. 某原料供应商对购买其原料的顾客实行如下优惠方法：
（1）一次购买金额不超过1万元，不予优惠；
（2）一次购买金额超过1万元，但不超过3万元，给予九折优惠；
（3）一次购买3万元的，其中3万元九折优惠，超过3万元的部分八折优惠。某厂因库容原因，第一次在购买7800元，第二次购买26100元，如果他是一次购买同样数量的原料，可少付多少元？
3. 若甲地到乙地的火车票每张全价为78.5元，半价是40元，当售货员售出100张火车票（假定收款无差错）请回答：
（1）售货员所得票款最多为多少？
（2）售货员最少得票款是多少元？
（3）售货员所得票款可以是4800元吗？如果可以，请求出半价票的张数。
4. 依法纳税是每个公民的义务，《中华人民共和国税法规定》有收入的公民按照下表交纳税款：
级别 全月应纳税所得额 税率
1 不超过500元部分 5%
2 超过500元至2000元部分 10%
3 超过2000元至5000元部分 15%
1999年规定，上表中“全月应纳税所得额”是从收入中减去800元后的余额。某人本月交纳税款33元，问他的收入是多少元？
5. 我省某地生产的一种绿色蔬菜，在市场上直接销售，每吨利润是1000元，经粗加工后销售每吨利润为4500元，经细加工后每吨利润为7500元。当地一家农工商公司收获这种蔬菜140吨，该公司加工的生产能力为：如果对蔬菜进行粗加工，每天可以加工16吨；如果进行细加工，每天可以加工6吨，但是两种方式不能同时进行，受季节等条件的限制，公司必须用15天的时间将这批蔬菜全部销售或加工完毕。公司可行的三种方案：
（1）将蔬菜全部进行粗加工；
（2）尽可能多的对蔬菜进行细加工，没来得及进行加工的蔬菜在市场上直接销售；
（3）将一部分蔬菜进行粗加工，其余蔬菜进行细加工，并恰好用15天完成。你选择哪种方案获利最多？
【试题答案】
1.方案一：1000（1+2.25%）3≈ 1069元，
方案二：1000+1000X2.7%X3=1081元
∵1081>1069 ∴选择方案二
2. 26100/0.9=29000元，所以29000+7800=36800元，
按（3）优惠：30000×0.9+6800×0.8=32440元，少付1460元
3.答：78.5×100=7850元；40×100=4000元；设全价票有X张，半价票有100-X张，则78.5X+40（100-X）=4800，X=214/77张，因为X取正整数，所以不可能
4.提示：某人收入不超过1300元，那么每月交纳25元，在1300至2800元，应交纳25至175元，这个人的收入应在1300至2800元之间，设她的收入为X元，则（X-1300）×10%+500×5%=33，X=1380元
5. 方案一：4500×140=630000元；
方案二：90×7500+50×1000=725000元；
方案三：设15天内细加工蔬菜为X吨，
X/6+（140-X）/16=15，X=60，
60×7500+80×4500=810000元，
则选择方案三好
例1：
方式 全球通“99套餐” CDMA“随心定制”
套餐内时间 费用（含月租） 通话时间 费用（含月租） 通话时间
99 200 98 270
超出的时间 按照0.3元/分计费 按照0.4元/分计费
对于一个月内的某个本地通话时间，你认为上面两种计费方式哪一种更省钱呢？
解：设累计通话t分钟(t>270) 时，两种计费方式的收费一样，则
98+(t-270) × 0.4 = 99+(t-200) × 0.3
得98+ 0.4 t-108 = 99+0.3t-60
t=490
我们可以得到如下结论：t〈490时选CDMA；t=490时，选两者均可；t>490时选全球通。
例2：在一次知识竞赛中，竞赛题目共有25道，每题都给出4个答案，其中只有一个是正确的，要求学生把正确的答案选出来。每道题选对得4分，不选或选错倒扣2分，如果学生在本次竞赛中的得分不低于60分，请问他至少答对了几道题？
分析：要想求出至少答对几道，可以求出答对60分时有几道题
解：设答对了X题，则答错或不选题有(25-X)
则4X-2(25-X)=60，
解得X=110/6.
但解得的X取值不符合实际情况，X=19.
答：至少答对了19题，得分才不低于60分。
例3：一家游泳馆每年6~8月出售夏季会员卡，每张会员卡80元，只限本人使用，凭证购入场券每张1元，不凭证购入场券每张3元，试讨论并回答：
（1）什么情况下，购会员证与不购会员证付一样的钱？
（2）什么情况下，购证比不购证更合算？
分析：本题关键计算出每种付费方式的计算方法
解：购证时总费用为80+X，不购证时总费用为3X，
（1）若付费一样则 80+X=3X，X=40.答:40次时付费一样
（2）若购证比较合算，则选择20次和50次分别计算
20次：购证为100元，不购证为60元；50次：购证为130元，不购证为150元
所以多于40次时购证比较省钱
例4：你能利用方程解决在3点和4点之间，哪个时刻钟表的时针与分针重合？什么时刻成平角？什么时刻成直角？
分析：时针60分钟走一格是多少度？(是30度)分针60分钟走一圈是几度？(360度)分针每分钟走几度？(6度)时针每分钟走几度？(0.5度)分针转动的速度是时针的几倍？(12倍)设哪个量为X比较好？(设时间相等为X分)两个指针所夹角成平角是什么意思？(相当于追击问题，分针追时针)
解：设经过X分钟可以重合，分针走了6X，时针走了0.5X，在三点时两个指针成90度，
（1）重合：6X=0.5X+90，X=180/11.
答：约在3点16.4分
（2）成直角：6X-0.5X=90+90，X=32.8
答：约在3点32.8分
（3）成平角：6X-0.5X=90+180，X=49.1
答：约在3点49.1分
例5：一家三口(父母和女儿)准备参加旅游团外出旅游，甲旅行社说：父母买全票，女儿按半价优惠。乙旅行社说：家庭旅游可按团体计价，每人均按全价的八折优惠。若两家旅行社每人的原票价相同，那么哪家优惠条件更好
分析：要确定哪家旅行社优惠条件更好，关键是计算一家按两个方案所付费用更少一些。
解：设这两家旅行社每人的原票价均为X元，则甲的费用为：2X+X/2=2.5X
乙的费用为80%(3X)=2.4X
所以乙比甲更优惠.
例6：某市居民生活用电基本价格为0.4元/度，若每月用电量超过a度，超出的部分按基本电价的70%收费。（1）某户五月份用电84度，共支电费30.72元，求a
（2）若该户的六月份电费平均为0.36元/度，求六月份共用多少度 共付多少元
分析：超过a度的意思说明a度是一个标准，超出的部分按7折优惠
解：（1）由0.4a+(84-a)×0.4×70%=30.72，解得a=60
（2）设该户六月份共用电x度
0.4×60＋（x-60）×0.4×70%=0.36x，x=90
所以0.36×90=32.4
答：六月份共用电90度，付费32.4元。
练习:
1. 1.某商场为了促销一种空调,2000年元旦那天购买该机可分为两期付款,在购买时先付一笔款,余下的部分及它的利息(年利率为5.6%)在2001年元旦付清,该空调售价每台8224元,若两次付款数相同,问每次应付款多少元 (X=8224-X+(8224-X×5.6%),X=4224)
1. 2.某机关有三个部门,A部门有公务员84人,B部门有公务员56人,C部门有公务员60人,如果每个部门按相同比例裁减人员,使这个机关仅留公务员150人,求C部门留下的公务员人数.(45人)
1. 3.商场对顾客实行优惠,规定(1)如果一次购物不超过200元,则不予折扣;(2)若一次购物超过200元但不超过500元,按标价给予九折优惠;(3)如果一次购物超过500元,其中500元按(2)给予优惠,超过500元的部分则给予八折优惠.某人两次去购物,分别付款168元和423元,如果他只去一次购买同样的商品,应付费多少元 (168+470=638,500×90%+138×80%=560.4)
1. 4.地球上我国人口最多，但水的人均占有量排到世界的第88位，是13个贫水国家之一。在600多个城市中有400多个城市严重缺水。为增强节水意识，某城市规定每吨生活用水价格为1.10元,每户每月定量为a吨,超过a吨的部分在基本价格的基础上加价70%,现已知某户五月份用水16吨,共付费23.76元,试求该城市对每户用水的定量a(23.76/16>1.1,故用户超过规定用水量，1.1a+(16-a)X1.1X(1+70%)=23.76,a=8)
5.有一片牧场，草每天都在匀速生长，（草每天增长的量相等），如果放牧24头牛，则6天吃完牧草；如果放牧21头牛，则8天吃完牧草。设每头牛每天吃草的量是相等的，问：
（1） （1）如果放牧16头牛，几天可以吃完？（2）要使牧草永远吃不完，至多放几头牛？
（设原有牧草a每天生长出的草量为b，每头牛每天吃草量为c，16头牛x天吃完草。a+6b=24X6c;a+8b=21X8c;a+bx=16cx,x=18）
【模拟试题】
1. 小丽为了减轻父母的负担，决定自己筹钱准备三年后读高中的学费，她用1000元的压岁钱参加教育储蓄，已知教育储蓄一年的利率是2.25%，三年的年利率为2.7%，现有两种方式：（1）先存一个一年期，下一年将本息和自动转存一年（2）直接存入一个三年期。请你帮小丽算一算为了利息较多，她应该选哪一种储蓄方式？
2. 某原料供应商对购买其原料的顾客实行如下优惠方法：
（1）一次购买金额不超过1万元，不予优惠；
（2）一次购买金额超过1万元，但不超过3万元，给予九折优惠；
（3）一次购买3万元的，其中3万元九折优惠，超过3万元的部分八折优惠。某厂因库容原因，第一次在购买7800元，第二次购买26100元，如果他是一次购买同样数量的原料，可少付多少元？
3. 若甲地到乙地的火车票每张全价为78.5元，半价是40元，当售货员售出100张火车票（假定收款无差错）请回答：
（1）售货员所得票款最多为多少？
（2）售货员最少得票款是多少元？
（3）售货员所得票款可以是4800元吗？如果可以，请求出半价票的张数。
4. 依法纳税是每个公民的义务，《中华人民共和国税法规定》有收入的公民按照下表交纳税款：
级别 全月应纳税所得额 税率
1 不超过500元部分 5%
2 超过500元至2000元部分 10%
3 超过2000元至5000元部分 15%
1999年规定，上表中“全月应纳税所得额”是从收入中减去800元后的余额。某人本月交纳税款33元，问他的收入是多少元？
5. 我省某地生产的一种绿色蔬菜，在市场上直接销售，每吨利润是1000元，经粗加工后销售每吨利润为4500元，经细加工后每吨利润为7500元。当地一家农工商公司收获这种蔬菜140吨，该公司加工的生产能力为：如果对蔬菜进行粗加工，每天可以加工16吨；如果进行细加工，每天可以加工6吨，但是两种方式不能同时进行，受季节等条件的限制，公司必须用15天的时间将这批蔬菜全部销售或加工完毕。公司可行的三种方案：
（1）将蔬菜全部进行粗加工；
（2）尽可能多的对蔬菜进行细加工，没来得及进行加工的蔬菜在市场上直接销售；
（3）将一部分蔬菜进行粗加工，其余蔬菜进行细加工，并恰好用15天完成。你选择哪种方案获利最多？
【试题答案】
1.方案一：1000（1+2.25%）3≈ 1069元，
方案二：1000+1000X2.7%X3=1081元
∵1081>1069 ∴选择方案二
2. 26100/0.9=29000元，所以29000+7800=36800元，
按（3）优惠：30000×0.9+6800×0.8=32440元，少付1460元
3.答：78.5×100=7850元；40×100=4000元；设全价票有X张，半价票有100-X张，则78.5X+40（100-X）=4800，X=214/77张，因为X取正整数，所以不可能
4.提示：某人收入不超过1300元，那么每月交纳25元，在1300至2800元，应交纳25至175元，这个人的收入应在1300至2800元之间，设她的收入为X元，则（X-1300）×10%+500×5%=33，X=1380元
5. 方案一：4500×140=630000元；
方案二：90×7500+50×1000=725000元；
方案三：设15天内细加工蔬菜为X吨，
X/6+（140-X）/16=15，X=60，
60×7500+80×4500=810000元，
则选择方案三好