第6章 章末复习 考法探究&素养提升
一、单选题
1. 已知向量a＝(2, －1, 3)，b＝(－4, x＋1, y－2)，若a∥b，则x＋y的值为( )
A. －6 B. －5
C. －4 D. －3
1. D
2. 已知向量＝(2, 2, 1), ＝(4, 5, 3)，则平面ABC的一个单位法向量为( )
A. B.
C. D.
2. B
3. 已知平面α的一个法向量为n＝(－2, －2, 1)，点A(－1, 3, 0)在平面α内，则点P(－2, 1, 4)到平面α的距离为( )
A. 10 B. 3
C. D.
3. D
4. 在棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中， E为A1D1的中点，则点C1到直线CE的距离为( )
A. B.
C. D.
4. C
5. 如图，把等腰直角三角形ABC沿斜边上的高AD折成直二面角B AD C，则直线BD与平面ABC所成角的正切值为( )
A. B.
C．1 D.
5. B 提示 以D为坐标原点，DB, DC, DA所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则知点A(0, 0, 1), B(1, 0, 0), C(0, 1, 0), D(0, 0, 0)，所以＝(1, 0, －1), ＝(0, 1, －1), ＝(－1, 0, 0)，易得平面ABC的一个法向量为n＝(1, 1, 1)，所以|cos〈·n〉|＝＝.设直线BD与平面ABC所成的角为θ，则tanθ＝
二、多选题
6. (多选)下列说法错误的是( )
A. 若＝，则必有点A与C重合，点B与D重合， AB与CD为同一线段
B. 若a·b<0，则〈a, b〉是钝角或180°
C. 若a是直线l的一个方向向量，则λa(λ∈R)也是l的一个方向向量
D. 若非零向量a, b, c满足a与b, b与c, c与a都是共面向量，则a, b, c必共面
6. ACD
7. (多选)已知点P是 ABCD所在平面外的一点，如果＝(2, －1, －4), ＝(4, 2, 0), ＝(－1, 2, －1)，那么下列判断正确的有( )
A. AP⊥AB B. AP⊥AD
C. 是平面ABCD的法向量 D. ∥
7. ABC
三、填空题
8. 在空间四边形OABC中，M, N分别是对边OA, BC的中点，点G在线段MN上，且＝2.设＝x＋y＋z，则x＝________， y＝________，z＝________.
8.
9. 已知向量a, b不共线，且满足|a|＝2，|b|＝3，(3a＋2b)⊥(λa－b)，则λ＝________.
9.
10. 已知e1, e2, e3是三个不共面的非零向量，且向量a＝2e1－e2＋e3, b＝－e1＋4e2－2e3, c＝11e1＋5e2＋λe3.若向量a, b, c共面，则λ＝________.
10. 1
11. 已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为2，则异面直线DA1与AC的距离为________．
11. 提示 如图，建立空间直角坐标系D xyz，则知点D(0, 0, 0), A1(2, 0, 2), A(2, 0, 0), C(0, 2, 0)，所以＝(2, 0, 2), ＝(－2, 2, 0)．设异面直线DA1与AC的公垂线的一个方向向量为n＝(x, y, 2)，所以n⊥且n⊥，所以n·＝0且n·＝0，所以所以取z＝1，则n＝(－1, －1, 1)．因为＝(2, 0, 0)，所以d＝＝＝，所以异面直线DA1与AC的距离为
四、解答题
12. 如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，棱AB, AC, AA1两两垂直， AB＝AC＝AA1，点M, N分别在BB1, CC1上．若平面AMN与平面ABC所成的角为，则当B1M的长最小时，∠AMB的大小为( )
12. 以A为坐标原点，AB, AC, AA1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系．设BM＝a, CN＝b，则知点N(0, 1, b), M(1, 0, a), A(0, 0, 0), B(1, 0, 0)，所以＝(1, 0, a), ＝(0, 1, b)．设平面AMN的一个法向量为n＝(x, y, z)，则取z＝1，则x＝－a, y＝－b，所以n＝(－a, －b, 1)．易知平面ABC的一个法向量为m＝(0, 0, 1)，所以cos＝＝＝，所以3a2＋3b2＝1.当B1M的长最小时，b＝0, a＝，所以BM＝a＝，所以tan∠AMB＝＝，所以∠AMB＝
13. 如图，棱柱ABC A1B1C1为直三棱柱，在底面ABC中， CA＝CB＝1, ∠BCA＝90°， AA1＝2, M, N分别为A1B1, A1A的中点．
(1) 求异面直线BA1与CB1所成角的余弦值；
(2) 求证：BN⊥平面C1MN.
13. (1) 以C为原点，CA, CB, CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系C xyz.依题意得点B(0, 1, 0), A1(1, 0, 2), C(0, 0, 0), B1(0, 1, 2), C1(0, 0, 2), M， N(1, 0, 1)．因为＝(1, －1, 2), ＝(0, 1, 2)，所以·＝1×0＋(－1)×1＋2×2＝3.又因为||＝， ||＝，所以cos〈， 〉＝＝，故异面直线BA1与CB1所成角的余弦值为 (2) 证法一：＝， ＝(1, 0, －1), ＝(1, －1, 1)．设平面C1MN的一个法向量为n＝(x, y, z)，则即令x＝1，得n＝(1, －1, 1)，则∥n，所以BN⊥平面C1MN 证法二：因为＝， ＝(1, 0, －1), ＝(1, －1, 1)，所以·＝×1＋×(－1)＋0×1＝0, ·＝1×1＋0×(－1)＋(－1)×1＝0，所以⊥， ⊥，所以C1M⊥BN, C1N⊥BN.又因为C1M∩C1N＝C1, C1M 平面C1MN, C1N 平面C1MN，所以BN⊥平面C1MN
14. 已知正三棱柱ABC A1B1C1的侧棱长和底面边长均为1, M是BC的中点， N是侧棱CC1上的点，且CN＝2C1N.
(1) 求二面角B1 AM N的余弦值；
(2) 求点B1到平面AMN的距离．
14. (1) 建立如图所示的空间直角坐标系，则知点B1(0, 0, 1), M， C(0, 1, 0), N， A，所以＝， ＝， ＝.因为·＝×0＋0×＋0×1＝0，所以⊥，同理可得⊥.故〈， 〉的大小等于二面角B1 AM N的大小，而〈， 〉＝＝，故二面角B1 AM N的余弦值为 (2) 设n＝(x, y, z)为平面AMN的一个法向量，则由n⊥， n⊥得即故可取n＝，所以点B1到平面AMN的距离为d＝＝＝1第6章 章末复习 考法探究&素养提升
一、单选题
1. 已知向量a＝(2, －1, 3)，b＝(－4, x＋1, y－2)，若a∥b，则x＋y的值为( )
A. －6 B. －5
C. －4 D. －3
2. 已知向量＝(2, 2, 1), ＝(4, 5, 3)，则平面ABC的一个单位法向量为( )
A. B.
C. D.
3. 已知平面α的一个法向量为n＝(－2, －2, 1)，点A(－1, 3, 0)在平面α内，则点P(－2, 1, 4)到平面α的距离为( )
A. 10 B. 3
C. D.
4. 在棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中， E为A1D1的中点，则点C1到直线CE的距离为( )
A. B.
C. D.
5. 如图，把等腰直角三角形ABC沿斜边上的高AD折成直二面角B AD C，则直线BD与平面ABC所成角的正切值为( )
A. B.
C．1 D.
二、多选题
6. (多选)下列说法错误的是( )
A. 若＝，则必有点A与C重合，点B与D重合， AB与CD为同一线段
B. 若a·b<0，则〈a, b〉是钝角或180°
C. 若a是直线l的一个方向向量，则λa(λ∈R)也是l的一个方向向量
D. 若非零向量a, b, c满足a与b, b与c, c与a都是共面向量，则a, b, c必共面
7. (多选)已知点P是 ABCD所在平面外的一点，如果＝(2, －1, －4), ＝(4, 2, 0), ＝(－1, 2, －1)，那么下列判断正确的有( )
A. AP⊥AB B. AP⊥AD
C. 是平面ABCD的法向量 D. ∥
三、填空题
8. 在空间四边形OABC中，M, N分别是对边OA, BC的中点，点G在线段MN上，且＝2.设＝x＋y＋z，则x＝________， y＝________，z＝________.
9. 已知向量a, b不共线，且满足|a|＝2，|b|＝3，(3a＋2b)⊥(λa－b)，则λ＝________.
10. 已知e1, e2, e3是三个不共面的非零向量，且向量a＝2e1－e2＋e3, b＝－e1＋4e2－2e3, c＝11e1＋5e2＋λe3.若向量a, b, c共面，则λ＝________.
11. 已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为2，则异面直线DA1与AC的距离为________．
四、解答题
12. 如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，棱AB, AC, AA1两两垂直， AB＝AC＝AA1，点M, N分别在BB1, CC1上．若平面AMN与平面ABC所成的角为，则当B1M的长最小时，∠AMB的大小为( )
13. 如图，棱柱ABC A1B1C1为直三棱柱，在底面ABC中， CA＝CB＝1, ∠BCA＝90°， AA1＝2, M, N分别为A1B1, A1A的中点．
(1) 求异面直线BA1与CB1所成角的余弦值；
(2) 求证：BN⊥平面C1MN.
14. 已知正三棱柱ABC A1B1C1的侧棱长和底面边长均为1, M是BC的中点， N是侧棱CC1上的点，且CN＝2C1N.
(1) 求二面角B1 AM N的余弦值；
(2) 求点B1到平面AMN的距离．
