第5章三角函数专项练习解析版
一、单选题
1．函数的一条对称轴是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据正弦函数的对称轴方程，即可得对称轴进而可知正确选项；
【详解】令则
故选：C.
【点睛】本题考查了正弦函数的性质，根据对称轴方程求对称轴，属于简单题；
2．在中，若，则一定是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
【答案】B
【分析】利用三角恒等变换化简即得解.
【详解】因为
，
所以在中，，即一定是直角三角形．
故选：B
3．已知函数，，且，则的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】由已知求得，即可得，
【详解】由，
得
，
即，
则
．
故选：C
【点睛】本题主要考查诱导公式化简求值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
4．函数图象的一个对称中心为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据余弦函数的对称中心整体代换求解即可.
【详解】令，可得．
所以当时，，故满足条件，
当时，，故满足条件；
故选：D
5．已知角为第三象限角，则点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】由各象限角三角函数的符号可判断选项
【详解】∵角为第三象限角，，，
∴点在第四象限.
故选：D.
6．若函数在上是增函数，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先把函数的关系式变形成正弦型函数,进一步利用函数的性质求出结果.
【详解】解:函数,
令,
解得,
因为在上是增函数,
所以,
故当时,,
故选:D
【点睛】本题考查三角函数关系式的恒等变变换,正弦型函数的性质的应用,主要考查学生的运算能力和转化能力,属于基础题型.
7．在中，若，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据已知的等式展开，化简得到的值，再利用基本不等式求的最小值，由可得的最大值。
【详解】由题得，，展开得，化简整理得，则有，A，B是三角形内角，那么且，又，则，，当且仅当时，等号成立，的最大值为.
故选：D
【点睛】本题考查三角恒等式，以及利用基本不等式求正切值的最大值。
二、多选题
8．下列等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】利用辅助角公式以及二倍角公式即可求解.
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，
，故C错误；
对于D，
，故D正确.
故选：ABD
9．已知函数，，则（ ）
A．
B．在区间上只有1个零点
C．的最小正周期为
D．为图象的一条对称轴
【答案】AC
【分析】将 的解析式化为，然后逐一判断即可.
【详解】
所以，故A正确
令可得，满足的有，故B错误
的最小正周期为，故C正确
当时，，所以不是图象的一条对称轴，故D错误
故选：AC
10．将函数的图象向左平移个单位得到函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的周期为 B．的一条对称轴为
C．是奇函数 D．在区间上单调递增
【答案】AD
【分析】求出，A. 的最小正周期为，所以该选项正确；B. 函数图象的对称轴是，所以该选项错误；C.函数不是奇函数，所以该选项错误； D. 求出在区间上单调递增，所以该选项正确.
【详解】解：将函数的图象向左平移个单位得到函数.
A. 的最小正周期为，所以该选项正确；
B. 令，函数图象的对称轴不可能是，所以该选项错误；
C. 由于，所以函数不是奇函数，所以该选项错误；
D. 令，当时，，所以在区间上单调递增，所以该选项正确.
故选：AD
11．设函数(，，)的图象关于直线对称，它的周期是，则以下结论不正确的是( )
A．的图象过点
B．在上是减函数
C．的最大值是A
D．的一个对称中心是
【答案】ABC
【分析】根据最小正周期为π可求ω，根据是对称轴可求φ.验算f(0)是否为可以判断选项A；验算是否为零可以判断选项D；根据单调性和最值与解析式里面A的关系可判断选项BC.
【详解】∵周期T＝π，∴＝π，∴ω＝2，
又∵f(x)的图象关于直线x＝对称，
∴2×＋φ＝kπ＋，∴φ＝kπ－，
又，∴φ＝，
∴f(x)＝Asin()，
∵f(0)＝，∴f(x)图象过，故A错误；
∵A的正负未知，故无法确定f(x)的单调性和最大值，故BC错误.
∵＝0，∴是f(x)的一个对称中心，故D正确.
故选：ABC.
三、填空题
12．方程的解集是_________．
【答案】
【分析】由题意得，，且，则，且，由此即可求出答案．
【详解】解：由得，，且，
∴，即，
∴，或，
即，或，
又，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查与三角函数有关的方程的解法，考查简单的三角恒等变换的应用，属于基础题．
13．已知，，则______．
【答案】
【分析】先利用平方关系求出，再利用商数关系求出，再利用诱导公式即可得解.
【详解】解：因为，，
所以，，
所以.
故答案为：.
14．已知，则的值是____.
【答案】
【分析】利用二倍角公式和同角三角函数基本关系式即可求解.
【详解】，
两边平方，可得，可得，
．
故答案为：
15．在锐角三角形ABC中，，则的值为_________.
【答案】79
【分析】由题意可得，进而可得，而，由两角和与差的正切公式可得．
【详解】解：∵在锐角三角形中，
，
，
，
，
故答案为：79．
【点睛】本题考查两角和与差的正切公式，属中档题．
四、解答题
16．求下列函数的定义域.
（1）；
（2）.
【答案】（1）；（2）
【解析】根据定义域的求法，（1）根号下被开方数大于等于0（2）分母不为零，正切函数中，解三角不等式，即可求解定义域.
【详解】（1）要使函数有意义，必须使.
由正弦的定义知，就是角的终边与单位圆的交点的纵坐标是非负数.
∴角的终边应在轴或其上方区域，
∴.
∴函数的定义域为.
（2）要使函数有意义，必须使有意义，且.
∴
∴.
∴函数的定义域为.
【点睛】本题考查（1）函数定义域的求法（2）三角不等式的求法，属于基础题.
17．已知，其中是第四象限角．
(1)化简；
(2)若，求，．
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）因为是第四象限角，即可得到，，再根据平方关系化简可得；
（2）依题意可得，再根据同角三角函数的基本关系求出；
【详解】（1）解：∵是第四象限角，∴，，所以、，
∴
．
即；
（2）解：∵，∴，
∴．
18．若将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度，得到函数的图象．
(1)求图象的对称中心；
(2)若，求的值．
【答案】(1)（Z）
(2)
【分析】(1)由图象变换得，根据余弦函数的性质可解；
(2)根据已知结合诱导公式可得的正切，然后由二倍角的正切公式可得.
(1)
由题意得．
由（Z），
得（Z），
故图象的对称中心为（Z）．
(2)
由题意得，
所以．
故．
19．已知向量，，函数（）．
（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；
（2）当时，函数的最小值是，求的最大值．
【答案】（1）；（）；（2）．
【解析】（1）化简函数解析式，由余弦型函数的周期及单调区间求解即可；
（2）由求出的范围，根据余弦函数的值域求解即可.
【详解】（1）.
的最小正周期．
令（），
解得（），
故函数的单调递增区间为（）．
（2）∵，
∴，
∴，
∴，，
令，得，
∴．第5章三角函数专项练习
一、单选题
1．函数的一条对称轴是（ ）
A． B． C． D．
2．在中，若，则一定是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
3．已知函数，，且，则的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．函数图象的一个对称中心为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知角为第三象限角，则点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．若函数在上是增函数，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
7．在中，若，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
8．下列等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
9．已知函数，，则（ ）
A．
B．在区间上只有1个零点
C．的最小正周期为
D．为图象的一条对称轴
10．将函数的图象向左平移个单位得到函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的周期为 B．的一条对称轴为
C．是奇函数 D．在区间上单调递增
11．设函数(，，)的图象关于直线对称，它的周期是，则以下结论不正确的是( )
A．的图象过点
B．在上是减函数
C．的最大值是A
D．的一个对称中心是
三、填空题
12．方程的解集是_________．
13．已知，，则______．
14．已知，则的值是____.
15．在锐角三角形ABC中，，则的值为_________.
四、解答题
16．求下列函数的定义域.
（1）；
（2）.
17．已知，其中是第四象限角．
(1)化简；
(2)若，求，．
18．若将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度，得到函数的图象．
(1)求图象的对称中心；
(2)若，求的值．
19．已知向量，，函数（）．
（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；
（2）当时，函数的最小值是，求的最大值．
