第五章 一元函数的导数及其应用单元检测-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册（含答案）
文档属性
| 名称 | 第五章 一元函数的导数及其应用单元检测-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 600.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-02-20 11:03:52 | ||
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文档简介
第五章 一元函数的导数及其应用单元检测
一、单选题
1．降低室内微生物密度的有效方法是定时给室内注入新鲜空气，即开窗通风换气.在某室内，空气中微生物密度（c）随开窗通风换气时间（t）的关系如下图所示.则下列时间段内，空气中微生物密度变化的平均速度最快的是（ ）
A． B． C． D．
2．某跳水运动员离开跳板后，他达到的高度与时间的函数关系式是（距离单位：米，时间单位：秒），则他在0.25秒时的瞬时速度为（ ）
A．6.75米/秒 B．6.55米/秒 C．5.75米/秒 D．5.55米/秒
3．若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知，则（ ）
A．0 B． C．2 D．
5．函数在点处切线方程为（ ）
A． B． C． D．
6．下列求导运算过程中，正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
7．当时，不等式成立.若，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知过点不可能作曲线的切线．对于满足上述条件的任意的b，函数恒有两个不同的极值点，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知点，在函数的图像上，若函数从到的平均变化率为，则下面叙述正确的是（ ）
A．曲线的割线AB的倾斜角为
B．曲线的割线AB的倾斜角为
C．曲线的割线AB的斜率为
D．曲线的割线AB的斜率为
10．（多选）下列说法中错误的是（ ）
A．若不存在，则曲线在处没有切线
B．若曲线在处有切线，则必存在
C．若存在，则曲线在处的切线的斜率存在
D．若曲线在处的切线的斜率不存在，则曲线在该点处没有切钱
11．给出定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数，记，若在上恒成立，则称在上为凸函数．以下四个函数在上不是凸函数的是（ ）
A． B．
C． D．
12．已知函数，其中实数，则下列结论正确的是（ ）
A．必有两个极值点
B．有且仅有3个零点时，的范围是
C．当时，点是曲线的对称中心
D．当时，过点可以作曲线的3条切线
三、填空题
13．函数在其图象上的点处的切线方程为________．
14．设点是曲线上任意一点，直线过点与曲线相切，则直线的倾斜角的取值范围为______.
15．已知函数是定义在上的可导函数，其导函数为，若，且对任意的恒成立，则不等式的解集为________．
16．已知函数则函数的零点个数为___________．
四、解答题
17．在受到制动后的t秒内一个飞轮上一点P旋转过的角度(单位：弧度)由函数φ(t)＝4t－0.3t2(单位：秒)给出.
（1）求t＝2秒时，P点转过的角度；
（2）求在2≤t≤2＋Δt时间段内P点转过的平均角速度，其中①Δt＝1，②Δt＝0.1，③Δt＝0.01.
18．已知函数.
(1)当时，函数的图像上任意一点处的切线斜率为，若，求实数的取值范围；
(2)若，求曲线过点的切线方程.
19．求下列函数的导函数：
(1)
(2)
(3)
20．已知函数，在处取得极小值．
(1)求函数的解析式；
(2)求函数的极值；
(3)设函数，若对于任意，总存在，使得，求实数a的取值范围．
21．已知函数．
(1)若，求函数的单调区间；
(2)若，且在区间上恒成立，求a的取值范围；
(3)若，判断函数的零点的个数．
22．已知函数和函数有相同的最大值，直线与两曲线和恰好有三个交点，从左到右三个交点横坐标依次为.
(1)求实数的值；
(2)求证：.
答案
1．C
2．D
3．B
4．D
5．C
6．A
7．D
8．A
9．BC
10．ABD
11．AD
12．ABD
13．
14．
15．
16．5
17.解析 (1)当t＝2时，φ(2)＝4×2－0.3×22＝8－1.2＝6.8(弧度).
(2)∵＝
＝
＝4－1.2－0.3Δt＝2.8－0.3Δt，
∴①当Δt＝1时，平均角速度为＝2.8－0.3×1＝2.5(弧度/秒)；
②当Δt＝0.1时，平均角速度为＝2.8－0.3×0.1＝2.77(弧度/秒)；
③当Δt＝0.01时，平均角速度为＝2.8－0.3×0.01＝2.797(弧度/秒).
18．（1）函数的导数为，
由题意可得当时，恒成立，
即有，由勾函数的性质知，
函数在和上单调递增，在和上单调递减，
所以，即有，则，
所以a的取值范围是.
（2）函数的导数为，
设切点为，则，在处的斜率为，
即有切线方程为，
将代入可得，
整理可得，解得或，
即有所求切线的方程为或，
即或.
19．（1），
.
（2），
.
（3），
，
.
20．（1）∵，则，
由题意可得 ，解得，
则函数的解析式为，且，
令，解得：，
则当变化时，的变化情况如下表：
减 极小值 增 极大值 减
故符合题意，即.
（2）由（1）可得：当时，函数有极小值；当时，函数有极大值2.
（3）∵函数在时，，在时，且，
∴由（1）知：当时，函数有最小值，
又∵对任意总存在，使得，则当时，的最小值不大于，
对于开口向上，对称轴为，
当时，则在上单调递增，故的最小值为，得；
当时，则在上单调递减，故的最小值为，得；
当时，则在上单调递减，在上单调递增，的最小值为，得或，不合题意，舍去；
综上所述：的取值范围是.
21．（1）若，则，
由得，；由得，．
所以函数的单调增区间为；单调减区间为．
（2）依题意，在区间上．．
令得，或．
若即，则由得，，递增；由得，，递减．
所以，满足条件；
若，则由得或，在时递增或时递增；由得，递减．，
依题意，即，所以．
若，则．
所以在区间上单调递增，，不满足条件；
综上，．
（3）．
所以．设，．
令得．
当时，；当时，．
所以在上单调递减，在上单调递增．
所以的最小值为．
因为，所以．
所以的最小值．
从而，在区间上单调递增．
又，
设．
则．令得．由，得；
由，得．所以在上单调递减，在上单调递增．
所以．
所以恒成立．所以．
所以．
又，所以当时，函数恰有1个零点．
22.（1），，
当时，当时，单调递增，
当时，单调递减，
所以当时，函数有最小值，没有最大值，不符合题意；
当时，当时，单调递减，
当时，单调递增，所以当时，函数有最大值，
即；
当时，当时，单调递减，
当时，单调递增，
所以当时，函数有最大值，即；
于是有，
（2）两个函数大致图象如下：设图象的交点为，
当直线经过点时，此时直线与两曲线和恰好有三个交点，
不妨设，且 （*）
由，又，
又当时，单调递增，所以，又，又，
又当时，单调递减，所以，由（*）可得：，
，于是有.
一、单选题
1．降低室内微生物密度的有效方法是定时给室内注入新鲜空气，即开窗通风换气.在某室内，空气中微生物密度（c）随开窗通风换气时间（t）的关系如下图所示.则下列时间段内，空气中微生物密度变化的平均速度最快的是（ ）
A． B． C． D．
2．某跳水运动员离开跳板后，他达到的高度与时间的函数关系式是（距离单位：米，时间单位：秒），则他在0.25秒时的瞬时速度为（ ）
A．6.75米/秒 B．6.55米/秒 C．5.75米/秒 D．5.55米/秒
3．若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知，则（ ）
A．0 B． C．2 D．
5．函数在点处切线方程为（ ）
A． B． C． D．
6．下列求导运算过程中，正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
7．当时，不等式成立.若，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知过点不可能作曲线的切线．对于满足上述条件的任意的b，函数恒有两个不同的极值点，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知点，在函数的图像上，若函数从到的平均变化率为，则下面叙述正确的是（ ）
A．曲线的割线AB的倾斜角为
B．曲线的割线AB的倾斜角为
C．曲线的割线AB的斜率为
D．曲线的割线AB的斜率为
10．（多选）下列说法中错误的是（ ）
A．若不存在，则曲线在处没有切线
B．若曲线在处有切线，则必存在
C．若存在，则曲线在处的切线的斜率存在
D．若曲线在处的切线的斜率不存在，则曲线在该点处没有切钱
11．给出定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数，记，若在上恒成立，则称在上为凸函数．以下四个函数在上不是凸函数的是（ ）
A． B．
C． D．
12．已知函数，其中实数，则下列结论正确的是（ ）
A．必有两个极值点
B．有且仅有3个零点时，的范围是
C．当时，点是曲线的对称中心
D．当时，过点可以作曲线的3条切线
三、填空题
13．函数在其图象上的点处的切线方程为________．
14．设点是曲线上任意一点，直线过点与曲线相切，则直线的倾斜角的取值范围为______.
15．已知函数是定义在上的可导函数，其导函数为，若，且对任意的恒成立，则不等式的解集为________．
16．已知函数则函数的零点个数为___________．
四、解答题
17．在受到制动后的t秒内一个飞轮上一点P旋转过的角度(单位：弧度)由函数φ(t)＝4t－0.3t2(单位：秒)给出.
（1）求t＝2秒时，P点转过的角度；
（2）求在2≤t≤2＋Δt时间段内P点转过的平均角速度，其中①Δt＝1，②Δt＝0.1，③Δt＝0.01.
18．已知函数.
(1)当时，函数的图像上任意一点处的切线斜率为，若，求实数的取值范围；
(2)若，求曲线过点的切线方程.
19．求下列函数的导函数：
(1)
(2)
(3)
20．已知函数，在处取得极小值．
(1)求函数的解析式；
(2)求函数的极值；
(3)设函数，若对于任意，总存在，使得，求实数a的取值范围．
21．已知函数．
(1)若，求函数的单调区间；
(2)若，且在区间上恒成立，求a的取值范围；
(3)若，判断函数的零点的个数．
22．已知函数和函数有相同的最大值，直线与两曲线和恰好有三个交点，从左到右三个交点横坐标依次为.
(1)求实数的值；
(2)求证：.
答案
1．C
2．D
3．B
4．D
5．C
6．A
7．D
8．A
9．BC
10．ABD
11．AD
12．ABD
13．
14．
15．
16．5
17.解析 (1)当t＝2时，φ(2)＝4×2－0.3×22＝8－1.2＝6.8(弧度).
(2)∵＝
＝
＝4－1.2－0.3Δt＝2.8－0.3Δt，
∴①当Δt＝1时，平均角速度为＝2.8－0.3×1＝2.5(弧度/秒)；
②当Δt＝0.1时，平均角速度为＝2.8－0.3×0.1＝2.77(弧度/秒)；
③当Δt＝0.01时，平均角速度为＝2.8－0.3×0.01＝2.797(弧度/秒).
18．（1）函数的导数为，
由题意可得当时，恒成立，
即有，由勾函数的性质知，
函数在和上单调递增，在和上单调递减，
所以，即有，则，
所以a的取值范围是.
（2）函数的导数为，
设切点为，则，在处的斜率为，
即有切线方程为，
将代入可得，
整理可得，解得或，
即有所求切线的方程为或，
即或.
19．（1），
.
（2），
.
（3），
，
.
20．（1）∵，则，
由题意可得 ，解得，
则函数的解析式为，且，
令，解得：，
则当变化时，的变化情况如下表：
减 极小值 增 极大值 减
故符合题意，即.
（2）由（1）可得：当时，函数有极小值；当时，函数有极大值2.
（3）∵函数在时，，在时，且，
∴由（1）知：当时，函数有最小值，
又∵对任意总存在，使得，则当时，的最小值不大于，
对于开口向上，对称轴为，
当时，则在上单调递增，故的最小值为，得；
当时，则在上单调递减，故的最小值为，得；
当时，则在上单调递减，在上单调递增，的最小值为，得或，不合题意，舍去；
综上所述：的取值范围是.
21．（1）若，则，
由得，；由得，．
所以函数的单调增区间为；单调减区间为．
（2）依题意，在区间上．．
令得，或．
若即，则由得，，递增；由得，，递减．
所以，满足条件；
若，则由得或，在时递增或时递增；由得，递减．，
依题意，即，所以．
若，则．
所以在区间上单调递增，，不满足条件；
综上，．
（3）．
所以．设，．
令得．
当时，；当时，．
所以在上单调递减，在上单调递增．
所以的最小值为．
因为，所以．
所以的最小值．
从而，在区间上单调递增．
又，
设．
则．令得．由，得；
由，得．所以在上单调递减，在上单调递增．
所以．
所以恒成立．所以．
所以．
又，所以当时，函数恰有1个零点．
22.（1），，
当时，当时，单调递增，
当时，单调递减，
所以当时，函数有最小值，没有最大值，不符合题意；
当时，当时，单调递减，
当时，单调递增，所以当时，函数有最大值，
即；
当时，当时，单调递减，
当时，单调递增，
所以当时，函数有最大值，即；
于是有，
（2）两个函数大致图象如下：设图象的交点为，
当直线经过点时，此时直线与两曲线和恰好有三个交点，
不妨设，且 （*）
由，又，
又当时，单调递增，所以，又，又，
又当时，单调递减，所以，由（*）可得：，
，于是有.