第6章空间向量与立体几何 综合测试
(满分150分)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
1．如图，在空间四边形OABC中，＝a,＝b,＝c，且OM＝2MA,BN＝NC，则等于( )
A.a＋b＋c B.a＋b－c C．－a＋b＋c D.a－b＋c
1．C
2．已知向量a＝(2,3,5)，b＝(－3,1,－4)，c＝(1,－2,1)，则(a－b)·c为( )
A．10 B.－10
C.12 D.－12
2.A
3．已知向量a＝(λ＋1,0,2)，b＝(6,2μ－1,2λ)，若a∥b，则λ＋μ的值可能为( )．
A．－3 B.
C. D.2
3.C
4．已知点A,B,C的坐标分别为(0,1,0)，(－1,0,－1)，(2,1,1)，点P的坐标是(x,0,y)，若PA⊥平面ABC，则点P的坐标是( )
A．(－1,0,2) B.(1,0,2)
C．(1,0,－2) D.(－1,0,－2)
4.A
5．已知A,B,C三点不共线，O是平面ABC外一点，下列条件能确定点M与点A,B,C一定共面的是( )
A.＝＋＋ B.＝＋2＋3
C.＝＋＋ D.＝＋＋
5.C
6．已知A,B,C, D是空间不共面的四点，且满足·＝0,·＝0,·＝0,M为BC的中点，则△AMD是( )
A．钝角三角形 B.锐角三角形
C．直角三角形 D.形状不确定
6.C 提示 因为M为BC的中点，所以＝(＋)，所以·＝(＋)·＝·＋·＝0.所以AM⊥AD,所以△AMD为直角三角形
7．如图，在棱长为a的正方体ABCD A1B1C1D1中，P为A1D1的中点，Q为A1B1上任意一点，E,F为CD上两个动点，且EF的长为定值，则点Q到平面PEF的距离( )
A．等于a B．和EF的长度有关
C．等于a D．和点Q的位置有关
7．A 提示 取B1C1的中点G，连接PG,CG,DP，则PG∥CD，所以点Q到平面PEF的距离即点Q到平面PGCD的距离，与EF的长度无关，故B错．又因为A1B1∥平面PGCD，所以点A1到平面PGCD的距离即点Q到平面PGCD的距离，所以点Q到平面PEF的距离与点Q的位置无关，故D错．如图，以点D为原点建立空间直角坐标系，则知点C(0,a,0)，D(0,0,0)，A1(a,0,a)，P，所以＝(0,a,0)，＝(a,0,a)，＝.设n＝(x,y,z)是平面PGCD的一个法向量，则由得令z＝1，则x＝－2,y＝0，所以n＝(－2,0,1)．设点Q到平面PEF的距离为d，则d＝＝＝a，即A对C错
8．如图，在棱长均为2的正四棱锥P ABCD中，E为PC的中点，则下列判断正确的是( )
A．BE∥平面PAD，且BE到平面PAD的距离为
B．BE∥平面PAD，且BE到平面PAD的距离为
C．BE与平面PAD不平行，且BE与平面PAD所成的角大于30°
D．BE与平面PAD不平行，且BE与平面PAD所成的角小于30°
8．D 提示 连接AC,BD，交点为O，连接OP，以O为坐标原点，OC,OD,OP所在的直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系．由正四棱锥P ABCD的棱长均为2,E为PC的中点，知点A(－，0,0)，B(0,－，0)，C(，0,0)，D(0,，0), P(0,0,)，E，则＝，＝(－，0,－)，＝(0,，－)．设m＝(x,y,z)是平面PAD的一个法向量，则m⊥，且m⊥，即令x＝1，则z＝－1,y＝－1，所以m＝(1,－1,－1)．设BE与平面PAD所成的角为θ，则sinθ＝＝<，故BE与平面PAD不平行，且BE与平面PAD所成的角小于30°
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下列判断错误的是( )
A．|a|－|b|＜|a＋b|是向量a,b不共线的充要条件
B．在空间四边形ABCD中，·＋·＋·＝0
C．在棱长为1的正四面体A BCD中，·＝
D．若向量a, b, c共面，则它们所在的直线也共面
9.ACD 提示 ①由|a|－|b|＜|a＋b|得向量a,b可能共线，比如共线向量a,b的模分别是2,3，故A错误．②在空间四边形ABCD中，·＋·＋·＝(＋)·－·－·＝·(－)＋·(－)＝·＋·＝0，故B正确．③在棱长为1的正四面体A BCD中，·＝1×1×cos120°＝－，故C错误．④若向量a, b, c共面，则它们所在的直线在某个平面内或者平行于某个平面，故D错误
10．如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝， P为线段A1C上的动点，则下列结论正确的是( )
A．当＝2时，B1,P,D三点共线 B．当⊥时，⊥
C．当＝3时，D1P∥平面BDC1 D．当＝5时，A1C⊥平面D1AP
10．ACD 提示 以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系．因为AB＝AD＝AA1＝，所以AD＝AA1＝1，则知点A(1,0,0)，A1(1,0,1)，C(0,，0)，D1(0,0,1)，D(0,0,0)，B(1,，0)，则＝(－1,，－1)，＝(1,0,－1)．对于A选项，当＝2时，P为A1C的中点，根据长方体结构特征，P为体对角线的中点，因此P也为B1D的中点，所以B1,P,D三点共线，故A正确．对于B选项，当⊥时，AP⊥A1C，由题意可得A1C＝＝，AC＝＝2，所以由S△A1AC＝AA1·AC＝A1C·AP，解得AP＝，所以A1P＝，即P为靠近点A1的五等分点，所以P点坐标为，则＝，＝，所以·＝－＋－＝－≠0，所以与不垂直，故B错误．对于C选项，当＝3时，则＝＝.设平面BDC1的一个法向量为n＝(x,y,z)，由令y＝1，可得n＝(－，1,－)，又因为＝－＝，所以·n＝0，因此⊥n，所以D1P∥平面BDC1，故C正确．对于D选项，当＝5时，＝＝，所以＝－＝，所以·＝0, ·＝0，因此A1C⊥D1P, A1C⊥D1A，根据线面垂直定理，可得A1C⊥平面D1AP，故D正确．故选ACD
11．如图，正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1,E是DD1的中点， 则下列判断正确的有( )
A．B1C∥平面A1BD B．B1C⊥BD1
C．三棱锥C1 B1CE的体积为 D．异面直线B1C与BD所成的角为60°
11．ABD 提示 如图，建立空间直角坐标系，则知点A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，A1(0,0,1)，B1(1,0,1)，C1(1,1,1)，D1(0,1,1)，E， ＝(0,1,－1)，＝(－1,1,1)，＝(－1,1,0)，＝(－1,0,1)，所以·＝－1×0＋1×1＋(－1)×1＝0，即⊥，所以B1C⊥BD1，故B正确；·＝－1×0＋1×1＋(－1)×0＝1,||＝，＝，设异面直线B1C与BD所成的角为θ，则cosθ＝＝，而θ∈，所以θ＝，故D正确；设平面A1BD的一个法向量为n＝(x,y,z)，则即令x＝1，则n＝(1,1,1)，所以n·＝0×1＋1×1＋1×(－1)＝0，即n⊥，又因为直线B1C 平面A1BD，所以直线B1C∥平面A1BD，故A正确；VC1－B1CE＝VB1－C1CE＝B1C1·S△C1CE＝×1××1×1＝，故C错误．故选ABD
12．如图，在四棱锥P ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，侧面PAD是边长为2的正三角形，底面ABCD为矩形，CD＝2，Q是PD的中点，则下列结论正确的是( )
A．CQ⊥平面PAD B．PC与平面AQC所成角的余弦值为
C．三棱锥B ACQ的体积为6 D．四棱锥Q ABCD外接球的半径为3
12．BD 提示 如图，取AD的中点O, BC的中点E，连接OE,OP.因为△PAD为等边三角形，所以OP⊥AD.因为平面PAD⊥平面ABCD，所以OP⊥平面ABCD.因为AD⊥OE，所以OD,OE,OP两两垂直．以O为坐标原点，以OD,OE,OP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则知点O(0,0,0)，D(，0,0)，A(－，0,0), P(0,0,3)，C(，2，0)，B(－，2，0)．因为Q是PD的中点，所以Q点坐标为.设平面PAD的一个法向量为m＝(0,1,0)，＝，显然m与不共线，所以CQ与平面PAD不垂直，所以A不正确；＝(，2，－3)，＝，＝(2，2，0)，设平面AQC的一个法向量为n＝(x,y,z)，则令x＝1，则y＝－，z＝－，所以n＝(1,－，－)．设PC与平面AQC所成角为θ，则sinθ＝，所以cosθ＝，所以B正确；三棱锥B ACQ的体积为VB ACQ＝VQ ABC＝S△ABC·OP＝××2×2××3＝6，所以C不正确；设四棱锥Q ABCD外接球的球心为点M(0,，a)，则MQ＝MD，所以2＋()2＋2＝()2＋()2＋a2，解得a＝0，即M(0,，0)为矩形ABCD对角线的交点，所以四棱锥Q ABCD外接球的半径为3.故选BD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．其中第16题第一空2分，第二空3分．
13．在直三棱柱ABC A1B1C1中，AA1＝AB＝BC＝3,AC＝2,D是AC的中点，则直线B1C到平面A1BD的距离为________．
13. 提示 由B1C∥平面A1BD，知直线B1C到平面A1BD的距离就等于点B1到平面A1BD的距离．以点D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则知点B1(0,2，3)，B(0,2，0)，A1(－1,0,3)，＝(0,2，3)，＝(0,2，0)，＝(－1,0,3)．设平面A1BD的一个法向量为n＝(x,y,z)，所以即即令z＝1，则n＝(3,0,1)．所求距离为d＝＝
14．在三棱锥P ABC中，△ABC和△PBC均为等边三角形，且二面角P BC A的大小为120°，则异面直线PB和AC所成角的余弦值为________．
14. 提示 如图，取BC的中点O，连接OP, OA，因为△ABC和△PBC均为等边三角形，所以AO⊥BC,PO⊥BC，所以BC⊥平面PAO，即平面PAO⊥平面ABC.故∠POA的大小就是二面角P BC A的大小，即∠POA＝120°，建立空间直角坐标系如图所示．设AB＝2，则知点A(，0,0)，C(0,－1,0)，B(0,1,0)，P，所以＝(－，－1,0)，＝， cos〈，〉＝－，所以异面直线PB与AC所成角的余弦值为
15．如图，棱长为3的正方体的顶点A在平面α上，三条棱AB,AC,AD都在平面α的同侧，若顶点B,C到平面α的距离分别为，，则顶点D到平面α的距离是________．
15. 提示 如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，则知点O(0,0,0)，C(3,0,0)，B(0,3,0)，A(3,3,0)，D(3,3,3)，所以＝(3,0,0)，＝(0,3,0)，＝(0,0,3)．设平面α的一个法向量为n＝(x,y,z)，则点B到平面α距离为d1＝＝＝①，点C到平面α距离为d1＝＝＝②，由①②可得|y|＝|x|,|z|＝|x|.所以点D到平面α的距离为＝＝＝
16．在棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中，E为CC1的中点，P,Q是正方体表面上相异两点，满足BP⊥A1E,BQ⊥A1E.若点P,Q均在平面A1B1C1D1内，则PQ与BD的位置关系是________，A1P的最小值为________．
16．平行 提示 (1)如图，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系，则知点A1(1,0,1)，E，B(1,1,0)．因为点P, Q均在平面A1B1C1D1内，所以设点P(a,b,1)，Q(m,n,1)，则＝，＝(a－1,b－1,1)，＝(m－1,n－1,1)．因为BP⊥A1E,BQ⊥A1E,所以解得可得PQ∥BD (2)当A1P取最小值时，点P在平面A1B1C1D1内，设点P的坐标为(a,b,1)，由(1)得b＝a＋，所以A1P＝＝＝＝，所以当a＝，即点P的坐标为时，A1P的最小值为
四、解答题：本题共6小题，共70分．
17．(10分)已知点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1,－1，5)．
(1)求以AB,AC为边的平行四边形的面积；
(2)若向量a分别与，垂直，且|a|＝，求a的坐标．
17.(1)因为＝(－2,－1,3)，＝(1,－3,2)，设〈，〉＝θ，则cosθ＝＝＝，得θ＝60°，所以以AB,AC为边的平行四边形的面积S＝AB·AC·sinθ＝7 (2)设a＝(x,y,z)，则a·＝(x,y,z)·(－2,－1,3)＝0,a·＝(x,y,z)·(1,－3,2)＝0,x2＋y2＋z2＝3，解得a＝(1,1,1)或a＝(－1,－1，－1)
18．(12分)如图，已知空间四边形ABCD每条边长和对角线长都等于1,E,F,G分别是AB,AD,CD的中点．
(1)求证：EG⊥AB；
(2) 求EG的长；
(3) 求异面直线AG和CE所成角的余弦值．
18.(1)设＝a,＝b,＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝1,〈a,b〉＝〈b,c〉＝〈c,a〉＝60°，＝(＋－)＝(b＋c－a)，所以·＝(a·b＋a·c－a2)＝＝0.故⊥，即EG⊥AB (2)由＝－a＋b＋c，得||2＝a2＋b2＋c2－a·b＋b·c－c·a＝，则||＝，即EG的长为 (3)由题意知＝b＋c,＝＋＝－b＋a,cos?，＝＝－.由于异面直线所成角的范围是],所以异面直线AG与CE所成角的余弦值为
19．(12分)如图，在多面体ABC A1B1C1中，四边形A1ABB1是正方形，AB＝AC,BC＝AB,B1C1∥BC且B1C1＝BC，二面角A1 AB C是直二面角．
(1)求证：A1B1⊥平面AA1C；(2)求证：AB1∥平面A1C1C.
19．(1) 由二面角A1 AB C是直二面角，四边形A1ABB1为正方形，可得AA1⊥平面ABC.又因为AB＝AC,BC＝AB,所以AB2＋AC2＝BC2,所以∠CAB＝90°，即CA⊥AB.所以AB,AC,AA1两两垂直．以A为坐标原点，AC,AB,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系A xyz.设AB＝2，则知点A(0,0,0)，B(0,2,0)，A1(0,0,2)，C(2,0,0)，C1(1,1,2)，B1(0,2,2).＝(0,2,0)，＝(0,0，－2)，＝(2,0,0)，设平面AA1C的一个法向量为n＝(x,y,z)，则即即取y＝1，则n＝(0,1,0)．所以＝2n，即∥n，所以A1B1⊥平面AA1C (2)易知＝(0,2,2)，＝(1,1,0)，＝(2,0，－2)，设平面A1C1C的一个法向量为m＝(x1,y1,z1)，则即令x1＝1，则y1＝－1,z1＝1，即m＝(1,－1,1)．所以·m＝0×1＋2×(－1)＋2×1＝0,所以⊥m.又因为AB1 平面A1C1C,所以AB1∥平面A1C1C
20．(12分)如图，在三棱锥P ABC中，PA⊥平面ABC,∠BAC＝90°，D,E,F分别是棱AB,BC,CP的中点，AB＝AC＝1,PA＝2.
(1)求直线PA与平面DEF所成角的正弦值；
(2)求点P到平面DEF的距离；
(3)求点P到直线EF的距离．
20．(1)如图，以A为原点，AB,AC,AP所在的直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系A xyz.由AB＝AC＝1,PA＝2，知点A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，P(0,0,2)，D，E，F.设平面DEF的一个法向量为n＝(x,y,z)，则即解得取z＝1，则n＝(2,0,1)．设PA与平面DEF所成的角为θ，则sinθ＝＝，故直线PA与平面DEF所成角的正弦值为 (2)因为＝，n＝(2,0,1)，所以点P到平面DEF的距离为d＝＝ (3)因为＝，＝， 在上的投影长为＝，所以点P到直线EF的距离为＝＝＝
21．(12分)如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，AB⊥侧面BB1C1C，已知∠BCC1＝，BC＝1,AB＝C1C＝2，E是棱C1C的中点．
(1)求证：C1B⊥平面ABC.
(2)求二面角A EB1 A1的余弦值．
(3)在棱CA上是否存在一点M，使得EM与平面A1B1E所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
21．(1)因为BC＝1,CC1＝2,∠BCC1＝，所以BC1＝.所以BC2＋BC＝CC，所以BC1⊥BC.因为AB⊥侧面BB1C1C,所以AB⊥BC1.又因为AB∩BC＝B,AB,BC 平面ABC,所以直线C1B⊥平面ABC (2)以B为原点，，和的方向分别为x,y, z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则知点A(0,0,2)，B1(－1,，0)，E，A1(－1,，2)．设平面AB1E的一个法向量为n＝(x1,y1,z1)，＝(－1,，－2)，＝，因为所以令y1＝，则x1＝1, z1＝1，所以n＝(1,，1)．设平面A1B1E的一个法向量为m＝(x,y,z)，＝(0,0,－2)，＝，因为所以令y＝，则x＝1，所以m＝(1,，0)．因为|m|＝2,|n|＝，m·n＝4,所以cos〈m,n〉＝＝＝.设二面角A EB1 A1为α，则cosα＝cos〈m,n〉＝，所以二面角A EB1 A1的余弦值为 (3)假设存在点M(x,y,z)，因为＝λ，λ∈[0,1]，所以(x－1,y,z)＝λ(－1,0,2)，所以M点坐标为(1－λ，0,2λ)，所以＝.由(2)知平面A1B1E的一个法向量为m＝(1,，0)，所以＝，得69λ2－38λ＋5＝0，即(3λ－1)(23λ－5)＝0,所以λ＝或λ＝，所以＝或＝
22．(12分)已知条件①：在图1中，tan2B＝－.
条件②：在图1中，＝＋.
条件③：在图2中，三棱锥A BCD的体积最大．
从以上三个条件中任选一个，补充在问题(2)中的横线上，并加以解答．
如图1，在△ABC中，∠ACB＝45°，BC＝3，过点A作AD⊥BC，垂足为D，沿AD将△ABD折起，使∠BDC＝90°，如图2, E,M分别为棱BC,AC的中点．
图1 图2
(1)求证：CD⊥ME；
(2)已知______，试在棱CD上确定一点N，使得EN⊥BM，并求锐二面角M BN C的余弦值．
注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
22．(1)因为CD⊥AD,CD⊥BD,AD∩BD＝D,所以CD⊥平面ABD.因为AB 平面ABD,所以CD⊥AB.又因为M,E分别为AC,BC的中点，所以ME∥AB,所以CD⊥ME (2)方案一：选①.由tan2B＝－＝，解得tanB＝2或tanB＝－(舍去)．设AD＝CD＝x，在Rt△ABD中，tanB＝＝＝2，解得x＝2，所以BD＝1.以点D为原点，DB,DC,DA所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系D xyz, 则知点D(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,2,0)，A(0,0,2)，M(0,1,1)，E，则＝(－1,1,1)．设N点坐标为(0,a,0)，则＝.因为EN⊥BM,所以·＝0，即·(－1,1,1)＝0,得a＝，所以N点坐标为.所以当DN＝(即点N是CD的靠近点D的一个四等分点)时，EN⊥BM.设平面BNM的一个法向量为n＝(x,y,z)，且＝，由得令x＝1，则n＝(1,2,－1)．取平面BNC的一个法向量m＝(0,0,1)，则cos〈m,n〉＝＝＝－，所以锐二面角M BN C的余弦值为 方案二：选②.在△ABC中，设＝λ，则＝＋＝＋λ＝＋λ(－＝(1－λ)＋λ.又因为＝＋，由平面向量基本定理知λ＝，即BD＝1.以下过程同方案一 方案三：选③.在△ABC中，设BD＝x(00；当1本资料分享自高中数学同步资源大全QQ群483122854 专注收集同步资源期待你的加入与分享
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(满分150分)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
1．如图，在空间四边形OABC中，＝a,＝b,＝c，且OM＝2MA,BN＝NC，则等于( )
A.a＋b＋c B.a＋b－c C．－a＋b＋c D.a－b＋c
2．已知向量a＝(2,3,5)，b＝(－3,1,－4)，c＝(1,－2,1)，则(a－b)·c为( )
A．10 B.－10
C.12 D.－12
3．已知向量a＝(λ＋1,0,2)，b＝(6,2μ－1,2λ)，若a∥b，则λ＋μ的值可能为( )．
A．－3 B.
C. D.2
4．已知点A,B,C的坐标分别为(0,1,0)，(－1,0,－1)，(2,1,1)，点P的坐标是(x,0,y)，若PA⊥平面ABC，则点P的坐标是( )
A．(－1,0,2) B.(1,0,2)
C．(1,0,－2) D.(－1,0,－2)
5．已知A,B,C三点不共线，O是平面ABC外一点，下列条件能确定点M与点A,B,C一定共面的是( )
A.＝＋＋ B.＝＋2＋3
C.＝＋＋ D.＝＋＋
6．已知A,B,C, D是空间不共面的四点，且满足·＝0,·＝0,·＝0,M为BC的中点，则△AMD是( )
A．钝角三角形 B.锐角三角形
C．直角三角形 D.形状不确定
7．如图，在棱长为a的正方体ABCD A1B1C1D1中，P为A1D1的中点，Q为A1B1上任意一点，E,F为CD上两个动点，且EF的长为定值，则点Q到平面PEF的距离( )
A．等于a B．和EF的长度有关
C．等于a D．和点Q的位置有关
8．如图，在棱长均为2的正四棱锥P ABCD中，E为PC的中点，则下列判断正确的是( )
A．BE∥平面PAD，且BE到平面PAD的距离为
B．BE∥平面PAD，且BE到平面PAD的距离为
C．BE与平面PAD不平行，且BE与平面PAD所成的角大于30°
D．BE与平面PAD不平行，且BE与平面PAD所成的角小于30°
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下列判断错误的是( )
A．|a|－|b|＜|a＋b|是向量a,b不共线的充要条件
B．在空间四边形ABCD中，·＋·＋·＝0
C．在棱长为1的正四面体A BCD中，·＝
D．若向量a, b, c共面，则它们所在的直线也共面
10．如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝， P为线段A1C上的动点，则下列结论正确的是( )
A．当＝2时，B1,P,D三点共线 B．当⊥时，⊥
C．当＝3时，D1P∥平面BDC1 D．当＝5时，A1C⊥平面D1AP
11．如图，正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1,E是DD1的中点， 则下列判断正确的有( )
A．B1C∥平面A1BD B．B1C⊥BD1
C．三棱锥C1 B1CE的体积为 D．异面直线B1C与BD所成的角为60°
12．如图，在四棱锥P ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，侧面PAD是边长为2的正三角形，底面ABCD为矩形，CD＝2，Q是PD的中点，则下列结论正确的是( )
A．CQ⊥平面PAD
B．PC与平面AQC所成角的余弦值为
C．三棱锥B ACQ的体积为6
D．四棱锥Q ABCD外接球的半径为3
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．其中第16题第一空2分，第二空3分．
13．在直三棱柱ABC A1B1C1中，AA1＝AB＝BC＝3,AC＝2,D是AC的中点，则直线B1C到平面A1BD的距离为________．
14．在三棱锥P ABC中，△ABC和△PBC均为等边三角形，且二面角P BC A的大小为120°，则异面直线PB和AC所成角的余弦值为________．
15．如图，棱长为3的正方体的顶点A在平面α上，三条棱AB,AC,AD都在平面α的同侧，若顶点B,C到平面α的距离分别为，，则顶点D到平面α的距离是________．
16．在棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中，E为CC1的中点，P,Q是正方体表面上相异两点，满足BP⊥A1E,BQ⊥A1E.若点P,Q均在平面A1B1C1D1内，则PQ与BD的位置关系是________，A1P的最小值为________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．
17．(10分)已知点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1,－1，5)．
(1)求以AB,AC为边的平行四边形的面积；
(2)若向量a分别与，垂直，且|a|＝，求a的坐标．
18．(12分)如图，已知空间四边形ABCD每条边长和对角线长都等于1,E,F,G分别是AB,AD,CD的中点．
(1)求证：EG⊥AB；
(2) 求EG的长；
(3) 求异面直线AG和CE所成角的余弦值．
19．(12分)如图，在多面体ABC A1B1C1中，四边形A1ABB1是正方形，AB＝AC,BC＝AB,B1C1∥BC且B1C1＝BC，二面角A1 AB C是直二面角．
(1)求证：A1B1⊥平面AA1C；
(2)求证：AB1∥平面A1C1C.
20．(12分)如图，在三棱锥P ABC中，PA⊥平面ABC,∠BAC＝90°，D,E,F分别是棱AB,BC,CP的中点，AB＝AC＝1,PA＝2.
(1)求直线PA与平面DEF所成角的正弦值；
(2)求点P到平面DEF的距离；
(3)求点P到直线EF的距离．
21．(12分)如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，AB⊥侧面BB1C1C，已知∠BCC1＝，BC＝1,AB＝C1C＝2，E是棱C1C的中点．
(1)求证：C1B⊥平面ABC.
(2)求二面角A EB1 A1的余弦值．
(3)在棱CA上是否存在一点M，使得EM与平面A1B1E所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
22．(12分)已知条件①：在图1中，tan2B＝－.
条件②：在图1中，＝＋.
条件③：在图2中，三棱锥A BCD的体积最大．
从以上三个条件中任选一个，补充在问题(2)中的横线上，并加以解答．
如图1，在△ABC中，∠ACB＝45°，BC＝3，过点A作AD⊥BC，垂足为D，沿AD将△ABD折起，使∠BDC＝90°，如图2, E,M分别为棱BC,AC的中点．
图1 图2
(1)求证：CD⊥ME；
(2)已知______，试在棱CD上确定一点N，使得EN⊥BM，并求锐二面角M BN C的余弦值．
注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
