安徽省十校联盟2022-2023学年高一下学期开年考数学试题（解析版）

2023年
安徽省十校联盟2022-2023学年高一第二学期开年考
数学试题
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 命题“”的否定为（）
A. B.
C. D.
2. 已知集合，，则（）
A. {1} B. {0，1} C. {1，2} D. {0，1，2}
3. 已知a是实数，则“”是“”的（）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 下列各式中，值为的是（）
A. B.
C. D.
5. 设，，，则a，b，c的大小关系为（）
A. B.
C. D.
6. 已知函数，且恒成立，则下列说法中错误的是（）
A.
B. 是奇函数
C. 在区间上单调递增
D. 的图象关于点对称
7. 已知函数，且满足对任意的实数，都有成立，则实数a的取值范围是（）
A. B.
C. D.
8. 荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”在“进步率”和“退步率”都是1%前提下，我们可以把看作是经过365天的“进步值”，看作是经过365天的“退步值”，则经过300天时，“进步值”大约是“退步值”的（）（参考数据：，，）
A. 22倍 B. 55倍 C. 217倍 D. 407倍
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9. 下列不等式成立的是（）
A. B.
C. D.
10. 已知函数,则（）
A. 的定义域为 B. 的值域为R
C. 奇函数 D. 在上单调递减
11. 如图，一个半径为4m的筒车按逆时针方向每分钟转2圈，筒车的轴心O距离水面的高度为2.5m.设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：m）（在水面下时，d为负数），若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，d与时间t（单位：s）之间的关系为，则（）
A. B.
C. D.
12. 下列命题中，是真命题的是（）
A. 函数在区间内有零点
B.
C. 已知，，且，则
D. 如果2弧度的圆心角所对的弦长为4，那么这个圆心角所对的弧长为
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）
13. 已知函数是偶函数，则实数m＝______.
14. =_______．
15. 已知幂函数的图象过点，且，则的取值范围是______.
16. 已知，函数，，若，，有，则实数a的取值范围是______．
四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知集合，
（1）若，求；
（2）若“”是“”充分不必要条件，求实数的取值范围.
18. 已知函数的部分图象如图所示.
（1）求函数的解析式；
（2）求不等式的解集.
19已知，，且.
（1）求的最小值；
（2）若，求t的值.
20. 已知函数.
（1）判断函数的单调性,并用定义法证明;
（2）若不等式对任意恒成立,求实数k的取值范围.
21. 设定义在上的函数满足，且对任意的、，都有.
（1）求函数的解析式；
（2）设函数，求函数值域.
22. 如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池ABCD的池底水平铺设污水净化管道（三条边）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好.要求管道的接口H是AB的中点，E，F分别落在线段BC，AD上（含线段两端点），已知米，米，.
（1）设的周长为L，求L关于的函数关系式，并求出定义域；
（2）为何值时，污水净化效果最好？
安徽省十校联盟2022-2023学年高一第二学期开年考
数学试题
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 命题“”的否定为（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用全称量词命题的否定求解.
【详解】全称量词命题的否定是存在量词命题，
因为命题“”是全称量词的命题，
则“”的否定为“”.
故选：D.
2. 已知集合，，则（）
A. {1} B. {0，1} C. {1，2} D. {0，1，2}
【答案】B
【解析】
【分析】解一元二次不等式，再利用交集定义直接求解.
详解】由可得解得，
又因为，所以，所以，
则.
故选:B.
3. 已知a是实数，则“”是“”的（）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】利用特殊值及基本不等式，结合充分条件及必要条件的定义即可求解.
【详解】当时，；
当时，，
当且仅当，即时等号成立，
所以当时，成立，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选: A.
4. 下列各式中，值为的是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用二倍角公式和两角和与差的三角函数公式，结合特殊角三角函数值逐项判断即可.
【详解】，故A错误；
，故B正确；
，故C错误；
，故D错误，
故选:B.
5. 设，，，则a，b，c的大小关系为（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用幂函数与对数函数的单调性得出的范围，结合中间值“1”比较得结论．
【详解】∵，，∴；
∵，∴，
∴.
故选：A.
6. 已知函数，且恒成立，则下列说法中错误的是（）
A.
B. 是奇函数
C. 在区间上单调递增
D. 的图象关于点对称
【答案】C
【解析】
【分析】由题意可得当时，取到最大值，结合正弦函数的最值可求得，即，再根据正弦函数性质逐项分析判断.
【详解】由题意可得：当时，取到最大值，
则，解得，
∴.
对A：，故A不符合题意；
对B：∵，
故函数为奇函数，故B不符合题意；
对C：令，解得，
故的单调递增区间为，
∵，则取，可得在区间上单调递增，在上单调递减，故C符合题意；
对D：∵，∴的图象关于点对称，故D不符合题意.
故选：C.
7. 已知函数，且满足对任意的实数，都有成立，则实数a的取值范围是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】依题意可得是R上的减函数，从而得到不等式组，求解即可.
【详解】由题意可得：是R上的减函数，
则，解得，
故实数a的取值范围是.
故选：C.
8. 荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”在“进步率”和“退步率”都是1%的前提下，我们可以把看作是经过365天的“进步值”，看作是经过365天的“退步值”，则经过300天时，“进步值”大约是“退步值”的（）（参考数据：，，）
A. 22倍 B. 55倍 C. 217倍 D. 407倍
【答案】D
【解析】
【分析】“进步值”与“退步值”的比值，再两边取对数计算即得解.
【详解】由题意得，经过300天时，“进步值”为，“退步值”为，
则“进步值”与“退步值”的比值，
两边取对数可得，
又，，∴，
∴，
即经过300天时，“进步值”大约是“退步值”的407倍.
故选：D.
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9. 下列不等式成立的是（）
A B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】将选项中所需比较的角,根据诱导公式转化为区间内,再根据,两个函数的单调性进行判断大小即可.
【详解】解:由于函数在上单调递增,且,
所以,故选项A错误;
因为在上单调递增,
,故选项B正确;
因为,
,
所以,故选项C正确;
因为,所以,故选项D错误.
故选:BC
10. 已知函数,则（）
A. 的定义域为 B. 的值域为R
C. 是奇函数 D. 在上单调递减
【答案】BCD
【解析】
【分析】判断的正负即可判断选项A的正误;判断与0的关系即可判断选项C的正误;通过,判断及的单调性,根据复合函数单调性即可判断在上单调性,进而判断选项D的正误;根据单调性求的值域,根据奇偶性再求的值域,即可判断选项B的正误.
【详解】解:因为,所以,
即恒成立,所以函数的定义城为R,故选项A错误;
因为,
所以函数是奇函数,故选项C正确;
因为,
且函数在上单调递增,
又有在上单调递减,
所以在上单调递减,故选项D正确;
因为在上单调递减,所以,
因为是奇函数,所以在上单调递增,所以,
综上的值域为R,故选项B正确.
故选:BCD
11. 如图，一个半径为4m的筒车按逆时针方向每分钟转2圈，筒车的轴心O距离水面的高度为2.5m.设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：m）（在水面下时，d为负数），若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，d与时间t（单位：s）之间的关系为，则（）
A B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据实际含义分别求的值即可，再根据可求得,进而判断各个选项即可.
【详解】振幅A即为半径，∴；∵筒车按逆时针方向每分钟转2圈，∴；
；∵，d＝0，∴，
∴，∵，∴.
故选:ACD.
12. 下列命题中，是真命题的是（）
A. 函数在区间内有零点
B.
C. 已知，，且，则
D. 如果2弧度的圆心角所对的弦长为4，那么这个圆心角所对的弧长为
【答案】ABC
【解析】
【分析】对于A，利用零点存在定理即可判断；对于B，利用指数幂与根式的互化即可判断；对于C，利用基本不等式即可判断；对于D，利用弧长公式求解即可判断.
【详解】对于A，因为，，
所以，故函数在区间内有零点，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，因为，所以，
当且仅当且，即时，等号成立，故C正确；
对于D，设半径为R，则，解得，
所以弧长，故D错误.
故选：ABC.
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）
13. 已知函数是偶函数，则实数m＝______.
【答案】
【解析】
【分析】根据偶函数的定义计算即可.
【详解】因为函数是偶函数，
所以，即，
即，解得.
故答案为：.
14. =_______．
【答案】
【解析】
【分析】将式子上下乘以，然后利用二倍角公式及同角三角函数的基本关系式求解即可.
【详解】解：，
故答案为：.
15. 已知幂函数的图象过点，且，则的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】设幂函数，将点代入求出的值，再利用幂函数的单调性求解即可.
【详解】设幂函数，，
因为幂函数的图象过点，所以，解得，
所以，的定义域为，且在上单调递减，
因为，所以，解得，
故答案为：
16. 已知，函数，，若，，有，则实数a的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】利用三角恒等变换化简，由三角函数的性质求得，由题意得的值域是的子集，结合的单调性分类讨论求解即可．
【详解】，
∵，∴，∴，∴．
∵，，有，
∴的值域是的子集．
①当时，，则，此时，解得；
②当时，，则，此时，无解．
综合①②，．
故答案为：．
四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知集合，
（1）若，求；
（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）当时，写出集合，求出集合，利用补集和并集的定义可求得集合；
（2）分析可知，分、两种情况讨论，根据可得出关于实数的不等式（组），综合可解得实数的取值范围.
【小问1详解】
解：当时，，则或，
因为，
因此，或.
【小问2详解】
解：因为“”是“”的充分不必要条件，则，
当时，，解得，此时满足；
当时，，解得，
要使成立，则，解得，
当时，，合乎题意.
综上所述，.
18. 已知函数的部分图象如图所示.
（1）求函数的解析式；
（2）求不等式的解集.
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）根据最值求出的值，再根据函数的周期求出的值，再根据最小值点求出的值即得解；
（2）利用余弦函数图象解不等式即得解.
【小问1详解】
由图知，，最小正周期，∴.
由图象过点，得，解得.
∵，∴，∴.
【小问2详解】
由，得，
∴，解得.
即不等式的解集为
19. 已知，，且.
（1）求的最小值；
（2）若，求t的值.
【答案】（1）4；（2）.
【解析】
【分析】（1）化简，再利用基本不等式求解；
（2）根据已知求出，再利用对数的运算性质化简得解.
【小问1详解】
∵，，
∴，
当且仅当，即时，等式成立，
∴的最小值为4.
【小问2详解】
∵，，∴，，
∴，
∴.
所以.
∵，∴.
20. 已知函数.
（1）判断函数的单调性,并用定义法证明;
（2）若不等式对任意恒成立,求实数k的取值范围.
【答案】（1）在R上是增函数,证明见解析
（2）
【解析】
【分析】(1)利用单调性定义,对函数取值,作差,变形至几个因式乘积,判断正负后得出结论即可;
(2)先判断的奇偶性,将不等式化为,再根据(1)中的单调性结论,变为恒成立,对不等式全分离后,利用基本不等式即可求得最值,进而求得k的取值范围.
【小问1详解】
在R上是增函数,
证明:,
设,则,
因为,所以,,,
所以,即,
故在R上增函数.
【小问2详解】
由于,
所以是奇函数,
因为不等式对任意恒成立,
所以不等式对任意恒成立,
由(1)知在R上是增函数,
所以只需不等式对任意恒成立即可,
即不等式对任意恒成立,
即对任意恒成立,
因为（当且仅当时等号成立）,
故,所以即可,
即实数k的取值范围为.
21. 设定义在上的函数满足，且对任意的、，都有.
（1）求函数的解析式；
（2）设函数，求函数的值域.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）令，可得出的值，然后再令，可求得函数的解析式；
（2）令，令，其中，利用二次函数基本性质求出的值域，即为函数的值域.
【小问1详解】
解：令，得，即.
令，则，则.
【小问2详解】
解：由（1）得，.
令，则，所以，，
令，其中，则，
即函数的值域为.
22. 如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池ABCD的池底水平铺设污水净化管道（三条边）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好.要求管道的接口H是AB的中点，E，F分别落在线段BC，AD上（含线段两端点），已知米，米，.
（1）设的周长为L，求L关于的函数关系式，并求出定义域；
（2）为何值时，污水净化效果最好？
【答案】（1），
（2）或
【解析】
【分析】（1）利用直角三角形中边角关系求得边长，进而得L关于的函数关系式，由求出定义域；
（2）由（1）得，令，结合辅助角公式及三角函数的性质求得答案.
【小问1详解】
由题意得，，
则，，∴，
∵，，∴，∴，
∴，.
【小问2详解】
由（1）得，，
设，则，，
∴，
∵，∴，则，
∴在上单调递减，
∴当时，即或时，污水净化效果最好.