试卷答案
1．【答案】A 2．【答案】B 3．【答案】C 4．【答案】A 5．【答案】C
6．【答案】D 7．【答案】C 8．故选：B 9．【答案】D 10．【答案】A
11．【答案】A 12．【答案】C
13. 答案
14．答案 2
15.答案．3
16． 所以，
三、解答题
17．设命题：方程表示中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线；命题：方程有实数解.
（1）若命题为真命题，求实数取值范围；
（2）若命题“”为真，命题“”为假，求实数的取值范围.
17（1）；（2）．
【分析】
（1）根据双曲线的标准方程求得参数范围；
（2）再求出命题为真时参数的范围，然后由复合命题的真假确定参数范围．
【详解】
（1）由题意，解得．即的范围是．
（2）命题为真时，，，
命题“”为真，命题“”为假，则一真一假．
真假时，，∴，
假真时，，∴，
综上的取值范围是．
18.已知双曲线的离心率为，且．
（I）求双曲线的方程；
（II）已知直线与双曲线交于不同的两点，且线段的中点在圆上，求的值．
【答案】（I）；（II）.
【解析】（I）由题意得解得∴双曲线方程为．
（II）设，的中点，联立得，
则，，，
∵点在圆上∴∴．
19. 在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=2，A1A=4，点D是BC的中点；
（I）求异面直线A1B，AC1所成角的余弦值；
（II）求直线AB1与平面C1AD所成角的正弦值．
【答案】（I）（II）
【解析】
【详解】试题分析:（I）以，，为x，y，z轴建立空间直角坐标系A﹣xyz，可得和的坐标，可得cos＜，＞，可得答案；
（II）由（I）知，=（2，0，﹣4），=（1，1，0），设平面C1AD的法向量为=（x，y，z），由可得=（1，﹣1，），设直线AB1与平面C1AD所成的角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|=，进而可得答案．
解：（I）以，，为x，y，z轴建立空间直角坐标系A﹣xyz，
则可得B（2，0，0），A1（0，0，4），C1（0，2，4），D（1，1，0），
∴=（2，0，﹣4），=（0，2，4），
∴cos＜，＞==
∴异面直线A1B，AC1所成角的余弦值为：；
（II）由（I）知，=（2，0，﹣4），=（1，1，0），
设平面C1AD的法向量为=（x，y，z），
则可得，即，取x=1可得=（1，﹣1，），
设直线AB1与平面C1AD所成的角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|=
∴直线AB1与平面C1AD所成角的正弦值为：
考点：异面直线及其所成的角；直线与平面所成的角．
20．已知抛物线上一点到焦点的距离为4.
(1)求抛物线的标准方程；
(2)过焦点的直线与抛物线交于不同的两点,,为坐标原点，设直线，的斜率分别为，，求证：为定值.
【答案】(1).
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据抛物线的定义即可求得，即得答案；
（2）设出直线方程，联立抛物线方程，消去x，设，可得，结合点在抛物线方程上化简，即可证明结论.
【详解】（1）由抛物线方程可得焦点为，准线方程为，
因为点到焦点F距离为4，由抛物线的性质可知到焦点的距离等于到准线的距离，
即 ，解得，
故抛物线方程为：.
（2）证明：因为直线过焦点 ，与抛物线交于不同的两点,,
所以设直线方程为 ，
与抛物线方程联立即,消去x得 ，
，设，
所以 ，由于 ，,
所以,
即为定值.
21．如图所示，四边形ABCD是边长为3的正方形，平面ABCD，，，BE与平面ABCD所成角为60°.
(1)求证：平面BDE；
(2)求二面角的余弦值；
(3)设点M是线段BD上的一个动点，试确定点M的位置，使得平面BEF，并证明你的结论.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)，证明见解析
【分析】（1）由已知中平面ABCD，ABCD是边长为3的正方形，我们可得，，结合线面垂直的判定定理可得平面BDE；
（2）以D为坐标原点，DA，DC，DE方向为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，分别求出平面BEF和平面BDE的法向量，代入向量夹角公式，即可求出二面角的余弦值；
（3）由已知中M是线段BD上一个动点，设.根据平面BEF，则直线AM的方向向量与平面BEF法向量垂直，数量积为0，构造关于t的方程，解方程，即可确定M点的位置.
【详解】（1）因为平面ABCD，所以.因为ABCD是正方形，所以，
，从而平面BDE.
（2）因为DA，DC，DE两两垂直，所以建立空间直角坐标系，如图所示.
因为BE与平面ABCD所成角为600，即，所以.
由，可知，.
则，，，，，
所以，.
设平面BEF的法向量为，则，即.
令，则.
因为平面BDE，所以为平面BDE的法向量，.
所以.
因为二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.
（3）点M是线段BD上一个动点，设.则.
因为平面BEF，所以，即，解得.
此时，点M坐标为，
即当时，平面BEF.
22．已知椭圆的离心率为，且短轴长2，O为坐标原点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设过点的直线l与椭圆C交于M，N两点，当的面积最大时，求直线l的方程．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根据椭圆短轴长和离心率，结合，求得的值，由此求得椭圆方程；
（2）设出直线的方程，联立直线方程和椭圆方程，写出韦达定理，利用弦长公式求得，利用点到直线的距离公式求得，由此求得三角形的面积的表达式，利用换元法，结合基本不等式，求得面积的最大值，以及此时直线的斜率，进而求得直线的方程.
【详解】（1）由题意得:，解得:，
所以椭圆的方程为:
（2）由题意得直线l的斜率存在且不为零，设直线l的方程:，，
联立与椭圆的方程整理得:，
，得，
，，
所以弦长 ，
原点到直线l的距离，
所以，
令，所以，
所以，当且仅当时等号成立，即，满足条件，解得，
所以直线l的方程为:或
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
【答案】(1)
(2)或银川市西夏区2022-2023年高二下学期开学考试
数学（理）试题
（时间：120分钟；满分：160分）
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．已知双曲线，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
2．已知命题，，则为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．“”是“方程为双曲线方程”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是（ ）
A． B．2 C． D．
5．如图，哈雷彗星围绕太阳运动的轨迹是一个非常扁的椭圆，太阳位于椭圆轨迹的一个焦点上，已知哈雷彗星离太阳最近的距离为，最远的距离为.若太阳的半径忽略不计，则该椭圆轨迹的离心率约为（ ）
A． B． C． D．
6．如图所示，在平行六面体中，为与的交点，若，，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知是双曲线的两个焦点，点在双曲线上，若，则（ ）
A．1或9 B．3或7 C．9 D．7
8．已知倾斜角为直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于两点.弦的长为（ ） A． B． C． D．
9．已知直线交椭圆于A，B两点，且线段AB的中点为，则直线的斜率为（ ）
A．-2 B． C．2 D．
10．已知在平行六面体中，，且，则（ ）
A． B． C． D．
11．已知椭圆：和双曲线：有公共的焦点F1 ( 3， 0)，F2 (3， 0)，点P是C1 与C2在第一象限内的交点， 则下列说法中错误的个数为（ ）
①椭圆的短轴长为； ②双曲线的虚轴长为；
③双曲线C2 的离心率恰好为椭圆C1 离心率的两倍； ④△PF1F2 是一个以PF2为底的等腰三角形.
A．0 B．1 C．2 D．3
12．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：就是其中之一（如图）.给出下列三个结论：
曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
曲线C上任意一点到原点的距离都不超过；
曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3.
其中，所有正确结论的序号是
A．① B．② C．①② D．①②③
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 抛物线的焦点坐标为_______．
14．已知空间向量，且，则等于________．
15.已知F1，F2是椭圆C：的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且，若的面积为9，则________．
16．已知分别为的左、右焦点，为双曲线右支上任一点，若最小值为，则该双曲线的离心率的取值范围是_______．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．本小题分设命题：方程表示中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线；命题：方程有实数解.
（1）若命题为真命题，求实数取值范围；
（2）若命题“”为真，命题“”为假，求实数的取值范围.
18. 本小题分已知双曲线的离心率为，且．
（1）求双曲线的方程；
（2）已知直线与双曲线交于不同的两点，且线段的中点在圆上，求的值．
19. 本小题分在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB┴AC，AB=AC=2，A1A=4，点D是BC的中点；
（1）求异面直线A1B，AC1所成角的余弦值；（2）求直线AB1与平面C1AD所成角的正弦值．
20．本小题分 ．已知抛物线上一点到焦点的距离为4.
(1)求抛物线的标准方程；
(2)过焦点的直线与抛物线交于不同的两点,,为坐标原点，设直线，的斜率分别为，，求证：为定值.
21．本小题分如图所示，四边形ABCD是边长为3的正方形，平面ABCD，，，BE与平面ABCD所成角为60°.
(1)求证：平面BDE；
(2)求二面角的余弦值；
(3)设点M是线段BD上的一个动点，试确定点M的位置，使得平面BEF，并证明你的结论.
22．本小题分已知椭圆的离心率为，且短轴长2，O为坐标原点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设过点的直线l与椭圆C交于M，N两点，当△的面积最大时，求直线l的方程．
