函数总复习[下学期]

第一单元 函数及其图象
一、各象限及坐标轴上的点的坐标的特征
知识要点
训练掌握下述结论，是解决此类问题的关键.
1. 各象限内点的坐标符号的特征
2. 坐标轴上点的坐标的特征
轴上的点的纵坐标为0，即；轴上点的横坐标是0，即
例题精选
例1 在平面直角坐标系中点一定在（ ）.
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
例2 若点在第二象限，则点在（ ）.
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
例3 已知点的位置在第一象限,则的取值范围是 .
例4 若为整数,点是第三象限的点,则点的坐标是( ).
A. B.() C. D.
二、对称点的坐标
知识要点
训练掌握下述结论，是解决此类问题的关键.
1.关于轴对称的点的横坐标相同,纵坐标互为相反数;
2.关于轴对称的点的纵坐标相同, 横坐标互为相反数;
3. 关于原点对称的点的横坐标互为相反数,纵坐标也互为相反数.
例题精选
例5 点关于原点对称的点的坐标是( ).
A. B. C. D.
例6点在函数的图象上,则点A关于轴的对称点的坐标是（ ， ）.
例7 已知点与点关于轴对称,则 .
三、函数自变量的取值范围
知识要点
求自变量的取值范围,就是求出使这些数学式子有意义的的值,具体来说,就是
1.分母中含有自变量,则自变量取值必须使分母不等于零;
2.二次根式的被开方式中有自变量,则自变量取值必须使被开方式大于或等于零;
3.如果上述两种情况都必须存在,先求出式子中各部分允许的取值范围,再求出它们的公共部分.
求函数自变量的取值范围的过程,实质上是解不等式或不等式组的过程.因此,掌握一元一次不等式、一元一次不等式组的解法，是求函数自变量取值范围的基础.
例8函数中自变量的取值范围是( ).
A. B. C. D.全体实数
例9函数中,自变量取值范围是( ).
A. B.且 C. D.且
例题解答或提示
例1 解：∵，，∴点在第二象限.
例2 解：∵点在第二象限，∴ ∴ ∴点在第四象限.
例3 解：∵点在第一象限, ∴ 解得
例4 解：∵点在第三象限，
∴∴∵是整数,∴∴点坐标是
例5 (解略) 、例6 (解略) 、例7 (解略).
例8 解：要使函数有意义,必须保证 解得 .
例9 解：要使函数有意义, 必须保证 解得 且.
随 堂 作 业（1）
一、选择题
1.已知点在轴的负半轴上,则点在( ).
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.已知点,如果点A关于轴的对称点是B,点B关于原点的对称点是C,那么C点的坐标是( ).
A. B. C. D.
3.设点在第二象限内,且则点M关于原点的对称点的坐标是( ).
A. B. C. D.
4.函数中,自变量的取值范围是( ).
A. B. C.且 D.
5.函数中自变量的取值范围是( ).
A. B. C. D.全体正实数
二、填空题
6.若点在第二象限内,则的取值范围是 .
7.如果点是第三象限的整数点,那么点的坐标是 .
8.已知点的坐标满足方程,则点关于原点的对称点的坐标是 .
9.函数的自变量的取值范围是 .
四 正比例函数、反比例函数的定义
知识要点
解决此类问题的关键是明确正比例函数、反比例函数解析式的特征，即正比例函数自变量的指数是1，反比例函数自变量的指数是这里，要注意系数的条件.
例题精选
例10已知与成反比例,且当时,,那么当时, .
例11已知与成正比例,当时,,则关于的函数解析式是 .
例12 已知函数当 时,它的图象是双曲线.
五 正比例函数、一次函数和反比例函数的增减性
知识要点
解决此类问题，要求熟练地掌握正比例函数、一次函数和反比例函数的增减性.
（1）与的图象是两条平行直线.
当时,随的增大而增大;当时, 随的增大而减小.
（2）反比例函数的图象是双曲线.
当时,图象的两个分支分别在第一、三象限内，在每个象限内，随的增大而减小；当时, 图象的两个分支分别在第二、四象限内，在每个象限内，随的增大而增大.
例题精选
例13已知、是正比例函数图象上的两点，且当时，,则的取值范围是 .
例14若,则下列函数①；②；③；④中,随的增大而增大的是( ).
A.①② B.②③ C.①③ D.③④
例15已知正比例函数的图象上两点，，当，有，那么的取值范围是（ ）.
A. B. C. D.
例16若点、、都在反比例函数的图象上,则( ).
A. B. C. D.
例题解答或提示
例10解:由已知,可设∵时,∴解得∴∴当时,
例11 解:由已知,可设∵时, ∴解得∴关于的函数解析式是
例12解:由反比例函数定义,可得解得
例13 (解略). 例14选A (解略). 例15选A (解略).
例16选B (解略).
随堂作业（2）
一、选择题
1.若与成反比例,与正比例,则是的( ).
A. 正比例函数 B.反比例函数 C.一次函数 D.二次函数
2.在下列函数中,随的增大而增大的是( ).
A. B. C. D.
3.若点、、都在反比例函数的图象上,并且,则下列各式中正确的是( ).
A. B. C. D.
4.直线经过点和,其中,则( ).
A. B. C. D.
5.给出4个函数: , , ,
（），其中随的增大而减小的函数有( ).
A.3个 B.2个 C.1个 D.0个
二、填空题
6．若是正比例函数，那么的值是 .
7.函数中自变量的取值范围是,则函数值的取值范围是 .
8.已知反比例函数的图象与直线和过同一点,则当时,这个反比例函数的函数值随的增大而 .（填增大或减小）
六、直线所在象限的确定
知识要点
直线:所在象限完全取决于、的性质符号.见下表.
示意图
的符号
的符号
直线所经过的象限 一、二、三 一、三、四 一、二、四 二、三、四
直线不经过的象限 四 二 三 一
例题精选
例17 一次函数的图象不经过（ ）.
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
例18 若一次函数的图象经过第一、二、四象限，则的取值范围是 .
例19 已知为方程的根，那么对于一次函数：①图象一定经过一、二、三象限；②图象一定经过二、三、四象限；③图象一定经过二、三象限；④图象一定经过点；⑤一定随着的增大而增大；⑥一定随着的增大而减小. 以上六个判断中，正确结论的序号是 .
例题解答或提示：例17选D . 例18 例19 ③④.
随堂作业（3） 学号 姓名
一、选择题
1. 如图，直线与轴交于点，
则时，的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
2.直线与坐标轴交于A、B两点，点C在坐标轴上，ABC为等腰三角形，则满足条件的点C最多有（ ）个.
A.4 B.5 C.7 D.8
3.函数是正比例函数,等于（ ）
A.0 B. C.或 D.1或
4.一次函数的图象不经过（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
5.要使直线在第一、二、三象限内,和必须符合（ ）
A. B. C. D.
6．一次函数的图象过点和点，其中，则应满足的条件是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题
7.直线不经过第 象限.
8.点A为直线上的一点,点A到两坐标轴的距离相等,则点A的坐标为 .
9.已知点A在直线上，若，图象在 象限；若，图象在 象限.
七、 二次函数的性质
知识面要点
1、熟练掌握二次函数的性质.
（1）抛物线的顶点坐标是，对称轴是直线
（2）当时，函数当时，有最小值；当时，函数当时，有最大值
（3）当时，抛物线与轴有两个交点；当时，抛物线与轴有一个交点；当时，抛物线与轴没有交点.
2、在解题中注意配方法的正确使用.
例题精选
例20抛物线的顶点坐标是 .
例21二次函数的最小值是（ ）
A. B. C. D.20
例22抛物线的对称轴是直线（ ）
A. B. C. D.
例23若抛物线的顶点在轴上，则的值是（ ）
A.9 B.3 C. D.0
例24已知M、N两点关于轴对称，且点M在双曲线上，点N在直线上，设点M坐标为，则抛物线的顶点坐标为 .
随堂作业（4） 学号 姓名
一、选择题
1.抛物线的顶点坐标是( ).
A. B. C. D.
2.已知二次函数的最小值是1,那么的值等于( ).
A.10 B.4 C.5 D.6
3.抛物线的对称轴是直线( ).
A. B. C. D.
4.当取任何实数时,抛物线的顶点所在曲线是( ).
A. B. C. D.
二、填空题
5.函数的最小值是 .
6.用配方法将二次函数化成的形式,那么 .
7.抛物线与轴分别交于A、B两点，则AB的长为 .
8.直线经过点,且平行于直线,则直线不经过第 象限.
例题精选
例25关于二次函数的图象有下列命题：
（1）当时，函数的图象经过原点；
（2）当且时，函数的图象与轴必有两个交点；
（3）函数图象最高点的纵坐标是；
（4）当时，函数的图象关于轴对称.
其中正确命题的个数是（ ）.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
例26若抛物线的顶点在轴的右侧，则的取值范围是 .
例27证明：不论取何值，抛物线的顶点Q总在轴的下方.
例28已知：二次函数，其中为实数.求证：不论取何实数，这个二次函数的图象与轴必有两个交点.
随堂作业（5）
学号 姓名
一、选择题
1.抛物线的顶点坐标是( ).
A. B. C. D.
2. 抛物线与轴的交点的个数是( ).
A.0 B.1 C.2 D.不能确定
3. 抛物线的顶点在轴上,则的值一定为( ).
A. B. C. D.
4. 抛物线的顶点在( ).
A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
5. 抛物线的顶点在轴上,则的值为( ).
A.2 B.1 C.0 D.
二、填空题
6. 抛物线的顶点坐标是 ,它与轴的交点坐标是 .
7.函数的图象的顶点坐标是 ,对称轴是 .
8.已知函数,当 时,它的图象是开口向下的抛物线;当 时,随的增大而减小.
9.二次函数的图象经过原点,则 .
10. 若抛物线的顶点在轴的左侧，则的取值范围是 .
11.将抛物线向右平移2个单位,再向上平移1个单位,则所得抛物线解析式为 .
八、用待定系数法确定函数解析式
知识要点
1、由题意设出函数的解析式，再根据图象过已知点列出关于待定系数的方程或方程组，然后求出待定系数，从而求出解析式，这是求解析式最常用方法.
2、二次函数的标准表达式是：，在此表达式中有三个待定系数，要求得这三个数，需要有三个独立的已知条件才能完成.一般地，如所给的三个条件是任意的三点的坐标（或任意三对的取值），可设表达式是，组成三元一次方程组来解；如三个条件中有顶点坐标或对称轴，可选用的形式；若三个条件中有图象与轴的两个交点坐标，则可用的形式.
例题精选
例29 已知一次函数在时的值为5，在时的值为，求这个一次函数的解析式.
例30 直线与直线的交点的横坐标为2,与直线的交点的纵坐标为1,求直线对应的函数解析式.
例31 已知抛物线过、、三点,求这条抛物线的解析式.
例32 已知抛物线过点和，与轴交于点，且，则这条抛物线的解析式为（ ）.
A. B. C.
或 D.或
答案：29、；30、；31、；32、D
随堂作业（6）
学号 姓名
1.如果反比例函数的图象经过点，那么的值是( ).
A. B. C. D.
2.反比例函数的图象与直线相交于点A，A点的横坐标为，则此反比例函数的解析式为（ ）
A. B. C. D.
3.已知:如图,直线AB与轴交于点A,与轴交于点B.
（1）写出A、B两点的坐标；
（2）求直线AB的函数解析式.
4.已知一个二次函数的图象经过，，三点，求这个函数的解析式.
例题精选
例33已知反比例函数的图象与一次函数的图象相交于点 ，求：
（1） ，的值；
（2） 两函数图象的另一个交点的坐标.
例34如图，抛物线经过，，三点，且与轴交于点E.
（1）求抛物线的解析式；
（2） 若P为抛物线上的一动点，当点P运动到什么位置时，，请求出此时P点的坐标.
随堂作业（7）
学号 姓名
1.已知关于的一次函数和反比例函数的图象都经过点.
（1）求一次函数的解析式；
（3） 求这两个函数图象的另一个交点的坐标.
2. 已知函数的图象是以点为顶点，并且经过点，求这个函数的解析式.
3．二次函数的图象过点( 2 ,3 )，且顶点在直线上，求此函数的解析式.
随堂作业（8）
学号 姓名
1.已知二次函数的图象与的图象形状相同,开囗方向也相同,又经过,两点,求这个二次函数的解析式.
2.已知关于的二次函数的图象的对称轴是直线,且顶点在反比例函数的图象上,求此二次函数的解析式.
3. 如图,一次函数的图象与轴、轴分别交于A、B两点，与反比例函数的图象交于C、D两点.如果A点的坐标为，点C、D分别在第一、三象限，且OA = OB = AC = BD.试求一次函数和反比例函数的解析式.
九、函数的图象
知识要点
解决此类问题，关键是准确分析函数解析式中的有关量与函数图象的形状、位置的关系，正确地进行数与形的转换.
（1）正比例函数的系数的符号决定着其图象的位置，即
当>0时，直线通过第一、三象限；
当<0时，直线通过第二、四象限.
（2）反比例函数的系数的符号决定着其图象的位置，即
当>0时，双曲线的两个分支分别在第一、三象限；当<0时，双曲线的两个分支分别在第二、四象限.
（3）一次函数的系数、的符号决定着其图象的位置，即
当>0，>0时，直线通过第一、二、三象限，不经过第四象限；
当>0，<0时，直线通过第一、三、四象限，不经过第二象限；
当<0，>0时，直线通过第一、二、四象限，不经过第三象限象限；
当<0，<0时，直线通过第二、三、四象限，不经过第一象限象限.
（4）二次函数的系数、、的符号决定着其图象的位置，即
①的符号决定抛物线的开囗方向：>0，开囗向上；<0，开囗向下.
②的符号决定抛物线与轴交点的位置：
>0，其交点在轴的正半轴上；
<0，其交点在轴的负半轴上；
=0，其交点在原点.
③和的符号决定抛物线对称轴的位置：
当、同号，则有< 0，抛物线的对称轴在轴的左侧；当、异号，则有> 0，抛物线的对称轴在轴的右侧；当=0时，抛物线的对称轴就是轴.
例题精选
例35反比例函数和一次函数在同一直角坐标系中的图象大致是下图中的（ ）.
A B C D
例36已知二次函数的图象
如下图所示，则在“①<0，②>0，③<0，
④>0”中，正确的判断是（ ）.
A.①②③④ B.④ C.①②③ D.①④
例37函数与在同一
坐标系中的图象可能是下图中的（ ）.
A B C D
随堂作业（9）
学号 姓名
1.若一次函数,随的增大而减小,则正比例函数与反比例函数在同一坐标系内的图象大致是下图中的( ).
　Ａ　　　　　　Ｂ　　　　　　　Ｃ　　　　　　Ｄ
2.函数的图象是下图中的( ).
A B C D
3.二次函数的图象如右图所示,
那么( ).
A.>0，>0 B.>0，<0
C.<0，>0 D.<0，<0
4.二次函数的图象如右图所示,对称轴是，下列结论中正确的是（ ）。
A.> B.<0
C.<0 D.
5．已知< 0 ，则函数和的图象大致是下图中的（　　　）．
A B C D
6.函数与在同一直角坐标系中的图象大致是下图中的( ).
A B C D
7.已知一次函数和二次函数,那么它们在同一坐标系内的图象的大致位置是下图中的( ).
A B C D
8.如右图，A、B是函数的图象上关于
原点对称的任意两点，AC∥轴，B C∥轴，
ΔABC的面积记为S，则（ ）.
A.S=1 B.S=2 C.12
十、图象信息问题
知识要点
以函数图象呈现信息的问题言主要体现两个变量间的数量关系，考查解题者对函数思想和数形结合思想的把握.一次函数、二次函数及反比例函数等知识是我们解决这类问题的基础.我们要善于读懂图象信息，并从图象的形状、位置、发展变化趋势等有关信息中提炼有效信息，解决相关问题.
例题精选
例38下图表示甲骑电动自行车和乙驾驶汽车均行驶90的过程中，行驶的路程与时间之间的函数关系.请根据图象填空：
出发的早，早了 小时； 先到达，先到 小时；电动自行车的速度为 ，汽车的速度为 .
例39水池有2个进水囗，1个出水囗，每个进水囗进水量与时间的关系如图甲所示，出水囗出水量与时间的关系如图乙所示.某天0点到6点，该水池的蓄水量与时间的关系如图丙所示.
甲 乙 丙
下面的论断中：①0点到1点，打开两个进水囗，关闭出水囗；②1点到3点，同时关闭两个进水囗和一个出水囗；③3点到4点，关闭两个进水囗，打开出水囗；④5点到6点，同时打开两个进水囗和一个出水囗.
可能正确的是（ ）.
A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④
例40甲骑自行车，乙骑摩托车沿相同路线由A地到B地，行驶过程中路程与时间的函数关系的图象如下图.根据图象解决下列问题：
（1）谁先出发？先出发多少时间？谁先到达终点？先到多少时间？
（2）分别求出甲、乙两人的行驶速度；
（3）在什么时间段内，两人均行驶在途中（不包括起点和终点）？在这一段时间段内，请你根据下列情形，分别列出关于行驶时间的方程或不等式（不化简，也不求解）：①甲在乙的前面；②甲与乙相遇；③甲在乙的后面.
随堂作业（10）
学号 姓名
6.已知<0<,则函数和的图象大致是下图中的( ).
A B C D
8.在同一个直角坐标系中,函数和的图象大致是下图中的( ).
A B C D
>><<<<<<<>>>>>>>①①②②③③④④⑤⑤⑥⑥∵∵∴∴
知识要点　　
例题精选
随堂作业（7）
学号 姓名
A.B.C.D. 例25
三、解答题
7.已知:如图,直线AB与轴交于点A,与轴交于点B.
（1）写出A、B两点的坐标；
（2）求直线AB的函数解析式.
例17选D (解略). 例18解:由题意得 ∴
例19提示：由已知方程的根为得或2.
当时，②④⑥正确；当时，①④⑤正确. ∴函数的图象一定经过二、三象限，图象一定经过点，即正确结论的序号是③④.
①② ③④⑤⑥
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