5.6.1匀速圆周运动的数学模型 提升练习-2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册（含答案）

5.6.1匀速圆周运动的数学模型
一、单选题（本大题共8小题）
1. 一半径为的水轮，水轮圆心距离水面；已知水轮按逆时针做匀速转动，每秒转一圈，且当水轮上点从水中浮现时图中点开始计算时间．如图所示，建立直角坐标系，将点距离水面的高度单位：表示为时间单位：的函数，记，则( )
A. B. C. D.
2. 如图，单摆离开平衡位置的位移单位：和时间单位：的函数关系为，则单摆在摆动时，从开始到第一次回到平衡位置所需要的时间为( )
A. B. C. D.
3. 如图是一个半径为米的水轮，水轮的圆心距离水面米，已知水轮每分钟旋转圈，水轮上的点到水面的距离米与时间秒满足关系式，则( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
4. 如图，摩天轮上一点在时刻距离地面的高度满足，，，，已知某摩天轮的半径为米，点距地面的高度为米，摩天轮做匀速转动，每分钟转一圈，点的起始位置在摩天轮的最低点处则米关于分钟的解析式为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
5. 某游乐场中半径为米的摩天轮逆时针固定从一侧观察匀速旋转，每分钟转一圈，其最低点离底面米，如果以你从最低点登上摩天轮的时刻开始计时，那么你与底面的距离高度米随时间秒变化的关系式为( )
A. B.
C. D.
6. 水车如图是一种圆形灌溉工具，它是古代中国劳动人民充分利用水力发展出来的一种运转机械．根据文献记载，水车大约出现于东汉时期．水车作为中国农耕文化的重要组成部分，体现了中华民族的创造力，为水利研究史提供了见证．图是一个水车的示意图，它的半径为，其中心即圆心距水面如果水车每逆时针转圈，在水车轮边缘上取一点，我们知道在水车匀速转动时，点距水面的高度单位：是一个变量，它是关于时间单位：的函数．为了方便，不妨从点位于水车与水面交点时开始计时，则我们可以建立函数关系式其中，，来反映随变化的周期规律．下面说法中正确的是( )
A. 函数的最小正周期为 B.
C. 当时，水车点离水面最高 D. 当时，水车点距水面
7. 如图，圆的半径为，是圆上的定点，是圆上的动点，角的始边为射线，终边为射线，过点作直线的垂线，垂足为，将点到直线的距离表示为的函数，则在上的图象大致为( )
A. B.
C. D.
8. 筒车是我国古代发明的一种灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用图，明朝科学家徐光启在农政全书中用图画描绘了筒车的工作原理图现有一个半径为米的筒车按逆时针方向每分钟旋转圈，筒车的轴心距离水面的高度为米，设筒车上的某个盛水筒 到水面的距离为 单位：米在水面下则 为负数，若以盛水筒 刚浮出水面为初始时刻，经过 秒后，下列命题正确的是参考数据：( )
，其中，且，
，其中，且，
当 时，盛水筒再次进入水中，
当 时，盛水筒到达最高点．
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题）
9. 一半径为米的水轮如图所示，水轮圆心距离水面米已知水轮按逆时针做匀速转动，每秒转动一圈，如果当水轮上点从水面浮现时图中点位置开始计时，则下列判断正确的有( )
A. 点第一次到达最高点需要秒
B. 在水轮转动的一圈内，有秒的时间，点在水面的上方
C. 当水轮转动秒时，点在水面上方，点距离水面米
D. 当水轮转动秒时，点在水面下方，点距离水面米
10. 如图，摩天轮的半径为，其中心点距离地面的高度为，摩天轮按逆时针方向做匀速转动，且转一圈，若摩天轮上点的起始位置在最高点处，则摩天轮转动过程中( )
A. 经过点距离地面
B. 若摩天轮转速减半，则其周期变为原来的倍
C. 第和第时点距离地面的高度相同
D. 摩天轮转动一圈，有点距离地面的高度不低于
11. 一半径为米的水轮如图所示，水轮圆心距离水面米，已知水轮每秒逆时针匀速转动一圈，如果当水轮上点从水中浮现时图中点开始计时，则．( )
A. 点第一次到达最高点需要秒
B. 当水轮转动秒时，点距离水面米
C. 当水轮转动秒时，点在水面下方，距离水面米
D. 点距离水面的高度米与秒的函数解析式为
12. 多选如图，摩天轮的半径为米，摩天轮的轴点距离地面的高度为米，摩天轮匀速逆时针旋转，每分钟转一圈，摩天轮上点的起始位置在最高点处，下面的有关结论正确的有 ( )
A. 经过分钟，点首次到达最低点
B. 第分钟和第分钟点距离地面一样高
C. 从第分钟至第分钟摩天轮上的点距离地面的高度一直在降低
D. 摩天轮在旋转一周的过程中有分钟距离地面不低于米
三、填空题（本大题共4小题）
13. 如图所示，在平面直角坐标系中，动点以每秒的角速度从点出发，沿半径为的上半圆逆时针移动到，再以每秒的角速度从点沿半径为的下半圆逆时针移动到坐标原点，则上述过程中动点的纵坐标关于时间的函数表达式为 ．
14. 如图所示，矗立于伦敦泰晤士河畔的伦敦眼是世界上首座、也曾经是世界最大的观景摩天轮，已知其旋转半径米，最高点距地面米，运行一周大约分钟，某游客在最低点的位置坐上摩天轮，则第分钟时他距地面大约为 米
15. 如图，一个半径为米的筒车按逆时针方向每分钟转圈，筒车的轴心距离水面的高度为米．设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为单位：米在水面下则为负数，若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间单位：分钟之间的关系式为：，则与时间单位：分钟之间的关系式为 ．
16. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．因其经济又环保，至今还在农业生产中使用如图假设在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．现有一半径为米的简车，在匀速转动过程中，筒车上一盛水简距离水面的高度单位：米与转动时间单位：秒满足函数关系式，，且时，盛水筒与水面距离为米，当筒车转动秒后，盛水筒与水面距离为________
四、解答题（本大题共2小题）
17. 一个半径为米的水轮如图所示，其圆心距离水面米，已知水轮按逆时针匀速转动，每秒转一圈，如果当水轮上点从水中浮现时图中点开始计算时间．
以过点且与水面垂直的直线为轴，过点且平行于水轮所在平面与水面的交线的直线为轴，建立如图所示的直角坐标系，试将点距离水面的高度单位：米表示为时间单位：秒的函数；
在水轮转动的任意一圈内，有多长时间点距水面的高度超过米？
18. 如图所示，摩天轮的半径为，点距地面的高度为，摩天轮按逆时针方向作匀速转动，且每转一圈，摩天轮上点的起始位置在最高点．
Ⅰ试确定点距离地面的高度单位：关于旋转时间单位：的函数关系式；
Ⅱ在摩天轮转动一圈内，有多长时间点距离地面超过？
答案和解析
1.【答案】
解：根据题意，设，，则，，
因为，所以，所以，
又因为时，，所以，所以，
又因为，所以，
所以；
所以，
，
，
所以．
故选C．

2.【答案】
解：单摆在摆动时，从开始到第一次回到平衡位置时，位移，
即，
所以，
，
，令，解得．
所以的最小正值为
故选C．

3.【答案】
解：水轮的半径为，水轮圆心距离水面，
，
又水轮每分钟旋转圈，故转一圈需要秒，
，
．
故选B．

4.【答案】
解：由题意知，，，，
所以，
所以，
可知：起始位置时，，得，
又，
所以，
所以函数，．
故选B．

5.【答案】
解：设，
由题意可得，，
，为最低点，
代入可得，，
，
，
即，
故选：．

6.【答案】
解：由题意可知最大值为，最小值为，周期为，故A错误；
，；
，
，
，
，，
，
，
，故B错误：
，，
故C错误；D正确，
故选D．

7.【答案】
解：当时，，，
当时，，
，
故选B．

8.【答案】
解：根据题意作出示意图，如图所示，其中为筒车的轴心的位置，为水面，过作于点，为筒车经过秒后的位置，连接，过作于点，
筒车的角速度为，
由题意可知，，
所以，
所以，
因为，
所以，其中，且 ，所以错误，正确；
对于，当时，，，，所以，故盛水筒没有进入水中，所以错误；
对于，当时，，，即，所以，所以盛水筒到达最高点，所以正确．
故选C．

9.【答案】
解：设水面为，
过作直径，垂足为，
依题意米，所以，，
第一次到达最高点需要的时间为秒，选项正确．
根据对称性可知，由运动到，需要时间秒，选项正确．
当水轮转动秒时，位置与秒时相同，
秒转过的角度为，
如图中的位置，其中，故此时在水面上方，距离水面的距离等于米，选项正确．
当水轮转动秒时，秒转过的角度为，
位于的位置，距离水面米，选项错误．
故选：．

10.【答案】
解：建立以为原点，为轴的正方向的坐标系，
设点满足的函数的关系式为，，
依题意有，，，求得，
，
，
又当时，，
所以，
，
取得到函数的解析式为．
A.当时，，A正确；
B.当转速减半时，周期变为原来的倍，B错误；
C.当与时，，，
所以第分钟和第分钟点离地面的距离相同，都是，C正确；
D.由，，
，
，
所以点离地面的高度不低于的实际为分钟，D正确，
故选ACD．

11.【答案】
解：设点距离水面的高度米和时间秒的函数解析式为
，
由题意得：
解得：
，故D错误；
对于，令，即，即，
则，当时，，故点第一次到达最高点需要秒，故A正确；
对于，令 ，代入，解得：，故B错误；
对于，令 ，代入，解得：，故C正确．
故选AC．

12.【答案】
解：以为原点，过且平行于地面的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，
圆为摩天轮，为圆上的动点，设到地面的高为．
由题设有，
故，其中
对于，令，则，解得，，
故点首次到达最低点所需的时间为分钟，故A正确
对于，当时，，当时，，
因为，故，故B正确
对于，当，，
由的性质可知，在内单调递减，在内单调递增，
而，
所以在上是先递减后递增的，故C错
对于，考虑时不等式的解，
故，解得或，
故摩天轮在旋转一周的过程中有分钟距离地面不低于米，故D正确．
故选ABD．

13.【答案】
解：当在大圆上半圆上运动时，，，
由任意角的三角函数的定义，可得的纵坐标为，；
当点在小圆下半圆上运动时，，，
可得点纵坐标为，．
动点的纵坐标关于时间的函数表达式为．
故答案为．

14.【答案】
解：设人在摩天轮上距地面高度与时间的函数关系为，
则，，最小正周期为，
，
即，
，
，
，
，
．
故答案为．
15.【答案】
解：由题意，，
由图可知的最大值为，最小值为，即，解得，，
每分钟转圈，
函数的周期为，可得，可得，
依题意，可知当时，，即，可得，
由，可得．
可得，．
故答案为：，．

16.【答案】
解：，，
当时，，则，
，．
故H，
当时，盛水筒与水面距离为：
．
故答案为：．

17.【答案】解：如图，设水轮与轴正半轴交点为，轴与水面交点为．
根据题意，设 ，
，，
，，
因为函数的最小正周期，所以，
点距离水面的高度单位：米表示为时间单位：秒的函数是
根据题意，， ，
不妨设，则，
所以，
解得，， ，
所以，在水轮转动的任意一圈内，点距水面的高度超过米的时间有秒

18.【答案】解：Ⅰ建立平面直角坐标系，如图所示；
设是以轴正半轴为始边，表示点的起始位置为终边的角，
由题意知在内转过的角为，即；
所以轴正半轴为始边，为终边的角为，
即点的纵坐标为，
由题意知，
所以点距离地面的高度关于旋转时间的函数关系式为
，
化简得；
Ⅱ当时，
，，
解得，；
又，
所以符合题意的时间段为或，
即在摩天轮转动一圈内，有内点距离地面超过．
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