5.7三角函数的应用 提升练习-2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册（含答案）

5.7三角函数的应用
一、单选题（本大题共8小题）
1. 函数的最小正周期，振幅，初相分别是( )
A. B. C. D.
2. 从出生之日起，人的体力、情绪、智力呈周期性变化，在前天内，它们的变化规律如图所示均为正弦型曲线：
体力、情绪、智力在从出生之日起的每个周期中又存在着高潮期前半个周期和低潮期后半个周期它们在一个周期内的表现如表所示：
高潮期 低潮期
体力 体力充沛 疲倦乏力
情绪 心情愉快 心情烦躁
智力 思维敏捷 反应迟钝
如果从同学甲出生到今日的天数为，那么今日同学甲( )
A. 体力充沛，心情烦躁，思维敏捷 B. 体力充沛，心情愉快，思维敏捷
C. 疲倦乏力，心情愉快，思维敏捷 D. 疲倦乏力，心情烦躁，反应迟钝
3. 为迎接大运会的到来，学校决定在半径为，圆心角为的扇形空地的内部修建一平行四边形观赛场地，如图所示，则观赛场地的面积最大值为( )
A. B. C. D.
4. 周髀算经中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大的正方形，若下图中所示的角为，且小正方形与大正方形面积之比为，则的值为( )
A. B. C. D.
5. 达芬奇的经典之作蒙娜丽莎举世闻名．如图，画中女子神秘的微笑，数百年来让无数观赏者入迷．某业余爱好者对蒙娜丽莎的缩小影像作品进行了粗略测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角，处作圆弧的切线，两条切线交于点，测得如下数据：，，其中根据测量得到的结果推算：将蒙娜丽莎中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角大约等于( )
A. B. C. D.
6. 海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐一般早潮叫潮，晚潮叫汐在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞卸货后落潮时返回海洋下面是某港口在某季节每天的时间与水深值单位：记录表：
时刻
水深值
已知港口的水的深度随时间变化符合函数现有一条货船在吃水深度船底与水面的距离为，安全条例规定至少要有的安全间隙船底与海底的距离，该船计划在中午点之后按规定驶入港口，并开始卸货，卸货时，其吃水深度以每小时的速度减小，小时卸完，则其在港口最多能停放( )
A. 小时 B. 小时 C. 小时 D. 小时
7. 为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的平面直角坐标系．设秒针针尖的位置为，若初始位置为，当秒针针尖从注：此时正常开始走时，点的纵坐标与时间的函数关系式为．( )
A. B.
C. D.
8. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用．明朝科学家徐光启在农政全书中用图画描绘了筒车的工作原理图所示假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转轮的中心到水面的距离为，筒车的半径为，筒车每秒转动，如图所示，盛水桶在处距水面的距离为，则后盛水桶到水面的距离近似为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题）
9. 如图所示的是一质点做简谐运动的图象，则下列结论正确的是( )
A. 该质点的简谐运动周期为 B. 该质点的简谐运动振幅为
C. 该质点的简谐运动频率为赫兹 D. 该质点的简谐运动周期为
10. 血压是指血液在血管内流动时作用于单位面积血管壁的侧压力，它是推动血液在血管内流动的动力．血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压．在未使用抗高血压药的前提下，岁以上成人的收缩压或舒张压，则说明该成人有高血压．设从未使用抗高血压药的陈华今年岁，从某天早晨点开始计算即早晨点时，，他的血压与经过的时间满足关系式，则( )
A. 当天早晨点，陈华的血压逐渐上升
B. 当天早晨点时陈华的血压为
C. 当天陈华没有高血压
D. 当天陈华的收缩压与舒张压之差为
11. 如图，正方形的边长为，为边的中点，射线绕点按逆时针方向从射线旋转至射线，在旋转的过程中，记为，射线扫过的正方形内部区域阴影部分的面积为，则下列说法正确的是
A. B. 在上为减函数
C. D. 图象的对称轴是
12. 如图，在矩形中，，将矩形绕着顶点逆时针旋转，得到矩形，记旋转的角度为．旋转前后两个矩形公共部分的面积为则下列选项正确的是( )
A. B. 若则
C. D. 若则
三、填空题（本大题共4小题）
13. 汽车正常行驶中，轮胎上与道路接触的部分叫轮胎道路接触面．如图，一辆小汽车前左轮胎道路接触面上有一个标记，标记到该轮轴中心的距离为若该小汽车起动时，标记离地面的距离为，汽车以的速度在水平地面匀速行驶，标记离地面的高度单位：与小汽车行驶时间单位：的函数关系式是，其中，，，则 ．
14. 如图，一条河的两岸平行，河的宽度，一艘客船从码头出发匀速驶往河对岸的码头已知，水的流速为，若客船从码头驶到码头所用的时间为，则客船在静水中的速度为 ．
15. 梵净山是云贵高原向湘西丘陵过渡斜坡上的第一高峰，是乌江与沅江的分水岭，也是横亘于贵州、重庆、湖南、湖北四省市的武陵山脉的最高主峰某测量小组为测量该山最高的金顶的海拔，选取了一块海拔为米的平地，在平地上选取相距米的两个观测点与，如图，在点处测得的仰角为，在点处测得的仰角为，则金顶的海拔为 米结果精确到整数部分，取
16. 如图，某地一天从时的温度变化曲线近似满足函数：，则中午点时最接近的温度为 摄氏度．四舍五入保留到整数
四、解答题（本大题共2小题）
17. 如图，某市开发区有一块半径为米，圆心角为的扇形空地，当地区政府规划将这块空地改造成一个旅游景点，规划如下：在弧上任取一点，作扇形的内接矩形，使点落在上，点，落在上，在区域内挖一个人工湖，挖出的泥土堆放在区域内形成假山，剩下的扇形区域开设为观光游览区为安全起见，在区域内铺设绿化隔离带，设．
试将的长度分别用表示；
若要求挖人工湖用地的面积是铺设绿化隔离带用地的面积的倍，试确定角 的大小；
为增强该景点对游客的吸引力，人工湖的面积要尽可能大，问如何设计施工方案，可使的面积最大？最大面积是多少？
18. 如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池的池底水平铺设污水净化管道三条边来处理污水，管道越长，污水净化效果越好。要求管道的接口是的中点，，分别落在线段，上含线段两端点，已知米，米，．
设的周长为，求关于的函数关系式，并求出定义域
为何值时，污水净化效果最好
答案和解析
1.【答案】
解：函数，
振幅是，初相是，
又的系数是，故函数的最小正周期．
故选C．
2.【答案】
解：根据题意，人的体力、情绪、智力呈周期性变化，
由图分析可得：体力的周期为天，情绪的周期为天，智力的周期为天；
从同学甲出生到今日的天数为，
对于体力，有，处于高潮期，体力充沛，
对于情绪，有，处于低潮期，心情烦躁，
对于智力，有，处于高潮期，思维敏捷，
故今日同学甲体力充沛，心情烦躁，思维敏捷；
故选：．
3.【答案】
解：以为原点，为轴，建立如图坐标系，
设，则，
由，得，
所以，
所以平行四边的面积为
，
当，即时，面积最大，最大值为．
故选D．

4.【答案】
解：设直角三角形较短的直角边长为，则较长直角边长为，
所以，小正方形的边长为，大正方形的边长为，
由于，则，
因为小正方形与大正方形面积之比为，
所以，，
由已知条件可得，解得
因此，．
故选：．

5.【答案】
解：，，其中．
设．
则，
由题意必为锐角，可得，
设蒙娜丽莎中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角为．
则，
．
故选：．

6.【答案】
解：由表格中的数据可知，，，
则，．
由题意可知，，故，
当时，则，，得，
．
货船需要的安全水深为米，由，得
，即或，或，
又该船计划在中午点之后按规定驶入港口，当时，，即该船应在
点入港并开始卸货，小时后为点，此时水深为米，货船需要离港，则其在港口最多能停放小时故选A．

7.【答案】
解：由题意，设，
由题意知，函数的最小正周期，
，，
设函数解析式为秒针是顺时针走动．
又时，初始位置为，
时，．
，，
．
故选C．

8.【答案】
解：设距离水面的高度关于的三角函数关系为，，，，
则，解得
则，
当时，，
则，则，
则当时，，
故选D．

9.【答案】
解：由题图可知，振动周期为 ，故A错误，D正确；
该质点的振幅为，故B正确；
由频率概念可得赫兹，故C正确．
故选BCD．

10.【答案】
解：由已知，选项A，当天早晨点，则，，所以函数在上单调递增，陈华的血压逐渐上升，故该选项正确；
选项B，当时，，所以当天早晨点时陈华的血压为，故该选项正确；
选项C、选项D，因为的最大值为，最小值为，所以陈华的收缩压为，舒张压为，因此陈华有高血压，故选项C错误；且他的收缩压与舒张压之差为，故选项D正确．
故选ABD．

11.【答案】
解：对于选项，当时，设交于点，如图所示，
，所以，，
，，选项正确；
对于选项，当时，射线扫过的正方形内部的区域阴影部分的面积显然逐渐增加，即函数在上单调递增，选项错误；
对于选项，取的中点，连接，如图所示，
设射线与正方形的边的交点为，作点关于直线的对称点，
则，所以，，
将射线绕点按顺时针方向旋转扫过正方形的面积为，
由对称性可知，
因为，即，选项正确；
对于选项，由选项可知，，则，
所以，，
所以，函数的图象不关于直线对称，选项错误．
故选：．

12.【答案】
解：当时，点在矩形外部，公共部分形状为三角形，设，
当时，则，故A正确。
当时，则，故C正确。
当时，公共部分为四边形，
点在矩形内部，过点作线段的平行线，分别交线段，于点，，
设，则有如下长度：
．
若则，故B错误。
若则，故D正确。
故选：．

13.【答案】
解：车速，标记到该轮轴中心的距离为，所以车轮周长，所以周期，所以，半径，
则平衡高度为轮轴中心，此时，，
因为该小汽车起动时，标记离地面的距离为，
即时，，即，所以，
又，所以，
所以．
故答案为．

14.【答案】
解：设与河岸线所成的角为，客船在静水中的速度为．
如图示：
由题意知， ，所以，
所以由余弦定理得，解得．
故答案为：．

15.【答案】
解：设米，依题意可得，，则因为，所以，则，所以米，故金顶的海拔为米．

16.【答案】
解：已知，由图知
得：，；
又，
，
，且，．
由图可知，，
，不妨取．
曲线的近似解析式为：，
将代入解析式
．
中午点时最接近的温度为．
故答案为．

17.【答案】解：在直角中，，即，
同理可得．
四边形为矩形，
，
，
在中，，
．
综上：，．
由，
可得，，
从而，
化简得；
，
化简得：，，
时，人工湖面积最大，最大面积为平方米．
18.【答案】由题意得，，
则，，．
，，，，
，
由得，．
设，则，．
，，
在上单调递减，
当时，即或时，污水净化效果最好．
第1页，共1页