数学教学设计
教 材：义务教育教科书·数学（七年级下册）
10.1 二元一次方程
教学目标
1．了解二元一次方程的概念、二元一次方程的解的概念和解的不唯一性，会判断一对数值是否为某二元一次方程的解；
2．会将一个二元一次方程变形成用关于一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式．
3．经历分析实际问题中数量关系的过程，体会二元一次方程是刻画现实世界的有效教学模型，增强学生的学习应用意识和能力．
教学重点
二元一次方程及其解的概念，体会二元一次方程是刻画现实世界的有效教学模型．
教学难点
二元一次方程及其解的概念．
教学过程（教师）
学生活动
设计思路
新课引入——情境导入：
情境一
篮球比赛规则规定：赢一场得2分，输一场得1分，在中学生篮球联赛中，某球队赛了若干场，积20分．怎样描述该球队输、赢场数与积分之间的相等关系？
师点拨：用表格的方法列出输赢的所有可能情况．
思考：
（1）你是怎样列表的？
（2）填表过程中有什么发现？
先独立思考，再分组讨论，然后汇报交流：在教师的引导下，如何将实际问题转化为数学问题，从而用方程解决．
设该队赢了x场，输了y场，
2x＋y＝20，
探索发现：
（1）x、y必须取非负整数，且有一定的
范围；
（2）x、y不止一个答案；
（3）每取一个x值，y就有一个与之相对
应的值．
体会二元一次方程在解决实际问题中的必要性，增强用“用数学”的意识与欲望．
通过思考、探究，初步体会二元一次方程中两个未知数之间的相关性和解的不唯一性．
提问：
我们知道，每取一个x，就有一个y相对应；反之，若先确定y的值，x的值能否确定？
讨论得到结论：
1．x、y两个未知数中，只要确定其中任一个未知数的值，另一个值都随之而确定；
2．但是当y＝1，3，5，……时，x为小数，不合题意，不予考虑，说明对于现实问题中的x、y有条件限制．
逆向思维，进一步加深对解的相关性的理解．
实践探索：
情境二
某球员在一场篮球比赛中共得35分（其中罚球得10分）．怎样描述该球员投中的两分球、三分球个数与得分之间的相等关系？
请你设计一张表格，列出这名球员投中的两分球和三分球的各种可能情况．
试一试
根据你所列的表格，回答下列问题：
（１）这名球员最多投中了多少个三分球？
（２）这名球员最多投中了多少个球？
（３）如果这名球员投中了10个球，那么他投中了几个两分球？几个三分球？
观察、思考、感悟．自主完成：
设他投中了x个两分球，y个三分球，
2x＋3y＋10＝35， 即：2x＋3y＝25，
发现：
（1）不是每一个整数x都有一个整数y相对应；
（2）方法的多样性．
实物展示学生表格：
生1：（尝试法）
x
0
1
2
……
y
生2：（尝试法）
y
0
1
2
……
x
生3：（代数法）y＝
发现：只要x取非负整数时，使25－2x是3的整数倍就行……
根据列表回答．
关注数学方法的多样性，肯定学生的思维创新，从而加深对数学本质的理解．
让学生经历、体会用方程解决实际问题的过程，在问题解决中体会方案的最优化设计，体现“数学来源于生活，又服务于生活”的理念．
实践探索：
回顾旧知
一元一次方程的概念及一元一次方程解的概念．
议一议
方程2x＋y＝20和2x＋3y＋10＝35有哪些共同的特点？
二元一次方程的概念．
二元一次方程解的概念．
解的表示方法：
记作：
思考：（1）一个二元一次方程有多少个解？（2）在上述两个具体情境中呢？
一元一次方程及其解的概念：
1．二元一次方程的概念．
（1）含有一个未知数；
（2）未知数的的次数为1；
（3）方程（整式）．
2．能使方程左右两边相等的未知数的值叫
做方程的解．
思考观察，类比抽象，分组交流，得到二元一次方程及解的概念：
二元一次方程：
（1）含有两个未知数；
（2）所含有未知数的项的次数都是1；
（3）方程（整式）．
适合二元一次方程的一对未知数的值称为这个二元一次方程的一个解．
通过类比的方法将一元一次方程的相关概念适时的迁移到二元一次方程上来，符合学生学习的最近发展区理论．
通过观察、思考、分析两个方程的特点，使学生经历概念的归纳和概括的过程，引导学生深层次地参与到概念的形成过程中．
例题：
例1 下列方程中，哪些是二元一次方程？不是的说明理由．
（1）； （2）；
（3）3pq＝－8； （4）2y2－6y＝1；
（5）5（x－y）＋2（2x－3y）＝4；
（6）7x＋2＝3．
例2 把下列方程写成用含x的代数式表示y的形式．
2x＋y＝20， 2x＋3y＝25．
变式：用含y的代数式表示x．
根据二元一次方程的概念，学生口答．
学生独立完成，师生共同探讨．
通过例题讲解，把握住概念的本质；类比一元一次方程的解法，解一个含有字母系数的方程，体现化归思想．
练习：
课本P95页练一练第1、2题．
学生板演：
根据二元一次方程解的概念，（2）、（3）是2x＋y＝3的解，（1）（2）是3x＋4y＝2的解．
通过呈现学生练习中的错误资源，在师生共同讨论与评价中纠错，不断完善和加深对概念的理解．
渗透两个二元一次方程的公共解，为后续知识的学习服务．
检测反馈：
已知二元一次方程 3x＋2y＝10．
（1） 用关于x的代数式表示y；
（2） 求当x＝－2，0，3时，对应的y的值，并写出
方程3x＋2y＝10的三个解．
学生当堂完成．
限时训练，主要是对本节课所学知识的终结性评价．
小结：
刻画现实世界中两个量之间关系的模型：二元
一次方程的概念．
（2）二元一次方程的解与一元一次方程解的联系与区别．
（3）把二元一次方程的一个未知数用另一个未知数
表示的本质是什么？运用了什么思想？
（4）通过今天的学习，你还有什么困惑？
共同小结．
师生共同思考，归纳总结学习成果，建构知识、方法与能力体系，体验成功的喜悦，同时提出问题
课后作业：
课本P95页习题10.1第1、2、3、4题．
课后完成，进一步学会分析实际问题中数量关系的过程．
通过课后作业的巩固，进一步认识二元一次方程．
数学教学设计
教 材：义务教育教科书·数学（七年级下册）
10.2 二元一次方程组
教学目标
1．在实际情境中理解二元一次方程组的概念，了解二元一次方程组是一种有效数学模型；
2．了解二元一次方程组解的概念，并会判断一组数是否是某个二元一次方程组的解；
3．经历二元一次方程组解的意义的建构过程，初步感受集合思想．
教学重点
二元一次方程组模型的建立、二元一次方程组的概念．
教学难点
二元一次方程组的概念．
教学过程（教师）
学生活动
设计思路
情景导入：
“鸡兔同笼”是我国古代数学名著《孙子算经》中的第31题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”
教师启发：你有几种方法能解决这个问题？
学生独立思考，在教师的引导下将实际问题转化为数学问题．
（1）算术方法；
（2）列一元一次方程求解．
“鸡兔同笼”是我国古代数学名著《孙子算经》中的名题，暗示着我国古代数学的杰出成就．它不仅趣味性强，而且“鸡兔同笼”问题可以用简单计算、利用一元一次方程等多种方法求解，但用二元一次方程组求解是最为直接的方法．
提问：
问题一：问题中的量有哪些相等关系？
问题二：你能用数学式子表达吗？
1．“上有35头”，指鸡、兔共35只，有相
等关系（1）：
“鸡的只数＋兔的只数＝35（只）”
2．“下有94足”，指鸡的腿与兔的腿共有
94条，有相等关系（2）：
“鸡腿的条数＋兔腿的条数＝94（条）”
设鸡有x只，兔有y只，
则有，，
这里的两个方程中的x、y分别是同一个数值，即x、y同时满足两个方程，故将这两个方程联立在一起，可写成
引导学生在经历多种方法解决实际问题的过程中，体验方法的优化给解决问题带来的好处，也体现“数学来源于生活，又服务于生活”的理念．
实践探索：
问题 你所联列的这个形式有哪些特点？你能模仿这样的形式再写几个吗？
先观察，独立思考，再分组讨论交流．
发现：含有两个未知数的两个一次方程所组成的方程组叫二元一次方程组．
通过观察、思考、分析两个方程的特点，使学生经历概念的归纳和概括的过程，引导学生深层次地参与到概念的形成过程中．
例1 下列方程组是二元一次方程组吗？并说明理由．
（1） （2）
（3） （4）
根据二元一次方程组的概念，学生口答．
通过练习使学生巩固二元一次方程组的概念，把握住概念的本质．
实践探索：
小明在做摸球游戏，现摸到1个红球，3个绿球，共得11分，你知道摸到1个红球得多少分？1个绿球得多少分？
再摸一次，又摸到了3个红球，2个绿球，共得12分．你知道摸到1个红球、1个绿球各得多少分？
生：不能确定！
生：应该可以确定．
“摸球”问题意在激起学生解决问题的欲望，根据题意列出方程组后，仍用枚举的方法找出方程组中两个方程的公共解，继而引出二元一次方程组的解的概念．
实践探索：
问题一 问题中的量满足怎样的相等关系？
问题二 根据上面的方程组，请你猜一猜，“摸到红、绿球得分”问题的答案．你用了什么方法？
问题中的量应同时满足以上两个相等关系．如果设摸到1个红球得x分，摸到1个绿球得y分．那么可以得到方程：
，
．
因而将这两个方程组成二元一次方程组：
方程（1）的解是
……
方程（2）的解是
……
可以看出是这两个方程的公共解，我们把二元一次方程组中两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．
因此，我们知道，摸到1个红球得2分， 1个绿球得3分．
学生独立思考列出方程，找出方程的解，结合实际问题逐步体会二元一次方程组的概念．
引导学生运用尝试枚举法求二元一次方程整数解，培养思维全面性．
由实际问题引导学生开始对二元一次方程组解的概念的探索．学生自己归纳总结出方程的特点之后给出二元一次方程组的解的概念，比直接定义印象会更深刻，有助于学生对概念的理解．
例2 你能求出“鸡兔同笼”问题中二元一次方程组的解吗？
学生独立思考，找出方程组的解．
解答这个题目，一方面提高利用概念分析解答问题的能力，同时进一步体会涉及多个未知量的问题是广泛存在的，体会学习二元一次方程组的必要性，激发学生探究二元一次方程组解法的积极性．
练习：
课本P97-98练一练1、2、3题．
学生独立做．
（1）展示错误资源；
（2）师生共同探讨．
通过形式不同的练习，从不同的角度帮助学生进一步加深对相关观念的理解，形成初步技能．
能力检测：
甲种饮料每瓶2.5元，乙种饮料每瓶1.5元，某人买了x 瓶甲种饮料，y瓶乙种饮料，共花了34元．
（1）列出关于x、y的二元一次方程；
（2）如果甲种饮料和乙种饮料共买16瓶，列出关于x、y的二元一次方程组，并找出它的解．
学生当堂完成．
限时训练，主要是对本节课所学知识的终结性评价．
小结：
通过今天的学习，你学会了什么？你会正确运用吗？通过这节课的学习，你有什么感受呢，说出来告诉大家．
共同小结．
通过对几个问题的思考引导学生回顾自己的学习历程，梳理主要知识、方法，构建知识体系．
课后作业：
课本P98习题10.2第1、2、3、4题．
课后完成．
做练习时不仅要得出结论还要说明理由，借此进一步加深对概念的理解．
数学教学设计
教 材：义务教育教科书·数学（七年级下册）
10.3 解二元一次方程组（1）
教学目标
1．会用代入消元法解二元一次方程组；
2．了解二元一次方程组的消元方法，经历从“二元”到“一元”的转换过程，体会解二元一次方程组中化“未知”
为“已知”的“转化”的思想方法．
教学重点
用代入法解二元一次方程组．
教学难点
用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数．
教学过程（教师）
学生活动
设计思路
新课引入——情景导入：
根据篮球比赛规则：每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分．如果某队为了争取较好名次，想在全部12场比赛中得20分，那么这个队胜、负场数应分别是多少？
学生根据已有的经验可以通过列一元一次方程求解后，得出结论．
参考答案：
解：设这个队胜x场，负了（12－x）场，根据题意，得：
2x＋（12－x）＝20．
解得，x＝8．
12－x＝12－8＝4．
答：这个队胜8场，负了4场．
（1）通过提出学生生活中的问题，引发学生思考，激发学生的求知欲；
（2）学生根据已有的经验自然会列出一元一次方程去解，经历由问题到方程的模型，体会方程在解决实际问题中的作用与价值．
问题1：
在上述问题中，除了用一元一次方程求解，还有没有其他方法？
学生很快发现，还可以设出两个未知数，列出二元一次方程组．设这个队胜x场，负了y场，根据题意得，
将同一个问题建立两个模型，通过对比的方法让学生充分体会一元一次方程和二元一次方程组都是刻画现实世界的有效模型．
问题2：
那么怎样求二元一次方程组的解呢？
观察、思考、感悟．
“如何解二元一次方程组”是本节课学习的重点．
实践探索：
问题1：
二元一次方程组与一元一次方程2x＋（12－x）＝20之间有何内在联系？
（鼓励学生积极的投入到活动中，并留给学生足够的独立思考和自主探索的时间与空间．）
学生通过对比观察发现：二元一次方程组中第1个方程x＋y＝12可以变形为y＝12－x，将第2个方程2x＋y＝20中的y换为12－x，这个方程就转化为一元一次方程2x＋（12－x）＝20．
（1）学生在教师的引导下自主地发现规律，让学生体会到一元一次方程与二元一次方程组之间的联系；
（2）重视知识的发生过程，让学生了解代入消元法解二元一次方程组的过程及依据，体会由已知到未知，由陌生向熟悉转化这一重要思想——化归思想．
问题2：
从上面的二元一次方程组与一元一次方程的内在联系的讨论中，我们可以得到什么启发？
发表意见，表达观点，相互补充．（根据学生的实际能力表现，可安排小组讨论．）
参考答案：我们就把一个新问题（解二元一次方程组）转化成熟悉的问题（解一元一次方程）．
让学生在积极参与教学活动的过程中通过独立思考、合作交流，逐步感悟数学思想．
归纳总结（教师）：
将未知数的个数由多化少、逐一解决的想法是消元思想，将方程组的一个方程中的某个未知数用另一个未知数的代数式表示，再代入另一方程，从而消去一个未知数，把解二元一次方程组转化为解一元一次方程．这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法（课件出示课题，教师板书课题）．
观察、思考、感悟．
让学生了解消元思想及代入消元法．
例题：
例1 用代入法解方程组 （课件出示）
解后反思，教师引导学生思考下列问题：
（1）选择哪个方程代入另一个方程？其目的是什么？
（2）为什么能代入？目的达到了吗？
（3）只求出y＝－1，方程组解完了吗？把y＝－1代入哪个方程求x的值较简便？
（4）怎样知道你运算的结果是否正确呢？
解：把①代入②，得3（y＋3）－8y＝14，解得y＝－1．把y＝－1代人①，解得x＝2．所以这个方程组的解是（课件出示．）
备注：（1）二元一次方程组的解是一对数值，因此用这种固定的形式来表示原方程组的解要注意格式和顺序．
（2）需检验，将代入方程①、②，看方程的左右两边是否相等，可以口算，或在草稿纸上算．
本题是教材例1的变式，这样处理降低难度，利于分阶段达标，意在让学生掌握代入法的基本步骤．
例2 用代入法解方程组 （课件出示）
教师引导学生思考：
（1）从方程的结构来看，例2与例1有什么不同？
（2）如何变形？
（3）选择哪一个未知数表示另一个未知数？
参考答案：
（1）例1是用①直接代入②的，而例2的两个方程都不具备这样的条件．
（2）把其中一个方程变形为例1中①的形式．
（3）方程①中的y的系数为－1，故可以将方程①变形得y＝2x－5．
（本题可由学生口述，教师板书完成，也可由课件出示解答过程．）
通过例2、例1的对比，让学生体会用代入法解二元一次方程组常常选用系数较简单的方程变形，这样有利于消元，有效突破了本节课的难点．
提问：
从上面的学习中，你认为代入法的基本思路是什么？主要步骤有哪些？与你的同伴交流（教师归纳并展示课件）．
小组代表发言．
参考答案：
1．代入法的实质是消元，使两个未知数转化为一个未知数．
2．一般步骤为：
（1）将方程组中的一个方程变形，使得一个未知数能用含有另一个未知数的代数式表示；
（2）用这个代数式代替另一个方程中相应的未知数，得到一个一元一次方程，求得一个未知数的值；
（3）把这个未知数的值代入合适的代数式，求得另一个未知数的值；
（4）写出方程组的解；
（5）检验得到的解是不是原方程组的解．（可以是口算或草稿纸上完成．）
（1）这里的合作学习，让学生充分观察、讨论，然后自然地归纳出步骤，比教师一步一步地讲解给学生听，要好得多，能让学生完成知识的自我建构．
（2）学生在互相交流的活动中，通过总结与归纳，更加清楚地理解代入消元法，体会代入消元法在解二元一次方程组的过程中反映出来的化归思想．
（3）通过对本节的代入消元法解二元一次方程组进行总结，让学生体会在解方程组中的程序化思想．
练习：
1．你能把下列方程写成用含x的式子表示y的形式吗？
（1）2x－y＝3；
（2）3x＋y－1＝0．
2．用代入法解方程组
教师根据学生练习中存在的问题指出：
（1）用一个未知数表示另一个未知数要注意移项变号；
（2）得到一元一次方程后，要注意避免去分母、去括号、移项等容易出现的错误．
学生独立完成之后，互相交流并展示自己的解题过程．
（1）练习1的设置是为了用代入法作准备，这也是本节课的难点；
（2）让学生通过实践，体会用代入消元法解方程组的一般过程及思想，引发学生的积极思考，使新知识更加系统化．
总结：
请谈谈通过这节课的学习，有什么收获呢，说出来告诉大家 ．
可以围绕以下几个问题讨论：
1．解二元一次方程组的基本思想是“消元”即消去一个未知数．
2．代入法的一般步骤．
3．用代入法解二元一次方程组，常常选用什么样的方程变形？
4．在解题过程中，常会出现什么错误？
5．养成口头检验的良好习惯．
师生共同小结．
师生互动，总结学习成果，体验成功．
课后作业：
1．《数学补充习题》10.3 解二元一次方程组（1）；
2．已知二元一次方程ax－by＝5的两个解为和求a、b的值；
3．思考题（选做）：
解方程组
学生课后独立完成．
（1）通过课后作业，教师及时了解学生对本节知识的掌握情况；
（2）选做题可以对学有余力的学生加以启发，引导他们探索其他的解法，从而为下一节课的内容进行铺垫．这样不仅能够起到“承上启下”，还能实现《课程标准》中所要求的“让不同层次的学生得到不同的发展”．
数学教学设计
教 材：义务教育教科书·数学（七年级下册）
10.3 解二元一次方程组（2）
教学目标
1．会用加减消元法解二元一次方程组．
2．了解解二元一次方程组的消元方法，经历从“二元”到“一元”的转化过程，体会解二元一次方程组中化“未知”为“已知”的“转化”的思想方法．
教学重点
加减消元法的理解与掌握．
教学难点
加减消元法的灵活运用．
教学过程（教师）
学生活动
设计思路
新课引入——情景导入：
1．请用代入法解方程组．
2．简要叙述代入法解二元一次方程组的步骤．
教师关注：
（1）学生积极参与活动的态度；
（2）学生是否准确解答问题．
根据上一节课所学知识，学生独立完成解答过程．一名学生板演，其他同学也同时独立完成．
引导学生理解等量代换在代入消元法解方程组过程中的应用．体会解二元一次方程组的关键是把二元一次方程组转化为一元一次方程（在“为什么可以代入”这一问题的解决过程中，引导学生回顾二元一次方程组的定义，和二元一次方程组的解的定义，再一次理解定义中的“相同未知数”“公共解”） ．
提问：
1．尝试加减消元法解二元一次方程组
（1）除了用代入消元法求解以外，观察方程组的特点，还能有其他方法求解吗？
（2）方程组的系数有什么特殊的地方吗？
（3）你能想办法消去未知数y吗？
教师关注：
（1）学生的思维角度是否合理；
（2）学生的表达能力；
（3）学生对提出的数学问题产生的兴趣．
y的系数互为相反数．
将两个方程相加，直接消去y．
1．让学生知道什么样的方程组适合用加减消元法解，并会用加减消元法解类似的方程组．
2．让学生通过实践激发学生积极思考，认真交流．
3．在学生小组讨论的过程中为学生提供充分从事数学活动的机会，从而激发学生的学习积极性，体会在解决问题的过程中，与他人合作的重要性．
练习：
解下列方程组
（1）（2）
学生独立做．
（1）展示错误资源；
（2）师生共同探讨．
通过练习，引导学生理解等式性质在加减消元法解方程组过程中的应用，体会解二元一次方程组的关键是把二元一次方程组转化为一元一次方程．
例题：
例3 解方程组
问题1 我们想消去未知数y，该怎样做？
问题2 如何使两个方程中含y的系数相等？
思考：本题能否通过消去x解这个方程组？试一试．
教师关注：
（1）学生交流讨论；
（2）学生用语言表达自己的观点，发展学生有条理思考问题的能力，以及表达能力；
（3）教师让学生发言结束后，规范解题过程．
解：①×3，得15x－6y＝12 ③，
②×2，得4x－6y＝－10 ④，
③—④，得： 11x＝22，
解这个方程得 x＝2，
将x＝2代入①得5×2－2y＝4，
解这个方程得： y＝3，
所以原方程组的解是
学生用语言表达自己的观点．
学生展示自己的解题过程．
把方程组的两个方程（或先作适当变形）相加或相减，消去其中一个未知数，把解二元一次方程组转化为解一元一次方程，这种解方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法．
1．通过自主学习，讨论交流，合作探究，系统掌握加减消元法解二元一次方程组的方法．
2．培养学生合作交流的意识和合作探究的精神．
3．培养学生解决问题的能力．
4．体会化归思想．
练习：
课本P102练一练．
学生分组解答，然后汇报、交流不同的解法．注意纠正学生解题步骤中的细节问题．
让学生在互相交流的活动中，通过总结归纳，更加清楚理解加减消元法，体会加减消元法在解二元一次方程组的过程中反映出来的化归思想．
能力检测：
1．解下列方程组：
（1） （2） （3）
2．甲、乙二人同时解方程组甲看错了a，解得乙看错了b，解得．求a、b的值．
学生当堂完成．
限时训练，主要是对本节课所学知识的终结性评价．
小结：
通过今天的学习，你学会了什么？你会正确运用吗？通过这节课的学习，你有什么感受呢，说出来告诉大家．
教师充分调动学生的积极性，发展学生的思维，加深学生对加减消元法的理解．
1．加减消元法．
2．代入法的基本思想：消元．
3．代入法解二元一次方程组主要步骤：
（1）加减消元（有时先作适当变形）；
（2）解一元一次方程；
（3）求方程组的解．
师生互动，总结学习成果，体验成功．
课后作业：
课本P102习题第1、2、3题．
课后完成．
通过课后作业，教师及时了解学生对本节知识的掌握情况，以便辅导．
数学教学设计
教 材：义务教育教科书·数学（七年级下册）
10.4 三元一次方程组
教学目标
1．能解简单的三元一次方程组．
2．通过解简单的三元一次方程组，进一步体会“消元”的基本思想．
教学重点
了解三元一次方程组的定义；
教学难点
掌握三元一次方程组的解法；进一步体会消元转化思想．
教学过程（教师）
学生活动
设计思路
新课引入——情景导入：
足球比赛规则规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某足球队赛了22场得47分，且胜的场数比负的场数的4倍还多2．该球队胜、平、负各多少场？
师：题目中有几个未知数？含有几个相等关系？你能根据题意列出几个方程．
学生思考讨论后回答问题．
设该球队胜x场、平y场、负z场，可以得到关于x、y、z的三个方程：
x＋y＋z＝22，
3x＋y＝47，
x＝4z＋2．
教师提出问题，学生尝试解决，教师结合学生的具体情况灵活调控，或顺势进入新课学习，或提出新的问题将学生引导到新课内容上来．
提问：
上面问题的解需要满足你列出所有方程吗？
这个问题的解必须同时满足上面的三个条件，因此，我们把这三个方程联立在一起，可写成
在学生活动的基础上，适时给出三元一次方程组的概念，并激发学生探究其解法的热情．
实践探索：
问题中的三个方程合在一起组成三元一次方程组，你能总结出三元一次方程组的含吗？
师：要知道上面问题的答案，我们需要怎么做呢？
像这样，把含有三个未知数的三个一次方程联立在一起，就组成了一个三元一次方程组．
结合实例，用类比法学习三元一次方程组的有关概念．
实践探索：
试解这个方程组，并说出该球队胜、平、负各多少场．
师：如果能把三元一次方程组的解求出来，问题就解决了，那么这个方程组怎样解呢？请大家回顾几个问题：解二元一次方程组的基本思路是什么？——消元，将二元一次方程组转化成一元一次方程具体方法是什么？——代入消元法、加减消元法，能否用类似的方法解三元一次方程组呢？
学生通过观察方程组特点，结合上面问题独立思考后写出消元方案，然后分组交流、互相讨论后归纳出三元一次方程组的解法步骤．
由于三元一次方程组的概念比较容易理解，结合实例师生以谈话的方式解决即可
解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”转化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程．
例题：解方程组
教师关注：
（1）学生的思维角度是否合理；
（2）学生的表达能力．
生：小组讨论，共同分析思路．
有学生独立尝试写出解答过程，结合板演订正并梳理主要路子：必须先确定消去哪个未知数，然后将三元一次方程组转化为二元一次方程组，最后要写出方程组的解．
师生共同分析解题思路，然后由学生写出解答过程，最后归纳解三元一次方程组的一般步骤及注意事项．
练习：课本P104页练一练．
学生独立完成，一名同学板演．结合出现的问题及时点评，使学生体会到思路清晰并不代表能做对，使学生养成认真、细心的良好习惯．
通过练习，掌握三元一次方程组的解法，形成初步运算技能．
能力检测：
解方程组
教师关注：
（1）学生交流讨论；
（2）学生用语言表达自己的观点，发展学生有条理思考问题的能力，以及表达能力；
（3）教师让学生发言结束后，规范解题过程．
学生当堂完成．
限时训练，主要是对本节课所学知识的终结性评价．
体会“整体消元法”的解题方法．
小结：
通过今天的学习，你学会了什么？你会正确运用吗？通过这节课的学习，你有什么感受呢，说出来告诉大家．
共同小结．
引导学生回顾自己的学习过程，畅所欲言，加强反思、提炼及知识的归纳，纳入自己的知识结构．
课后作业：
课本P105习题第1、2题．
课后完成．
利用解方程组进一步熟悉三元一次方程组的解法，体会消元思想的意义．
数学教学设计
教 材：义务教育教科书·数学（七年级下册）
10.5 用二元一次方程组解决问题（1）
教学目标
1．经历和体验列二元一次方程组解决实际问题的过程，体会方程组也是刻画现实世界的有效的数学模型，进一步体会数学的应用价值；
2．会根据具体问题中的数量关系列出二元一次方程组并求解，能检验所得的问题的结果是否符合实际意义，提高学生分析问题和解决问题的能力．
教学重点
正确分析应用题的数量关系．
教学难点
找准等量关系．
教学过程（教师）
学生活动
设计思路
新课引入——情景导入：
《一千零一夜》中有这样一段文字：有一群鸽子，其中一部分在树上欢歌，另一部分在地上觅食．树上的一只鸽子对地上觅食的鸽子说：“若从你们中飞上来一只，则树下的鸽子就是整个鸽群的；若从我们中飞一只到地上，则树上、树下的鸽子就一样多了．”你知道树上、树下各有多少只鸽子吗？
学生积极思考后，发现显然用以前一元一次方程的知识不容易得到答案，学生尝试设两个未知数来解决问题．
（1）从学生熟悉的“童话故事”引入本节课，极大提高学生学习兴趣，激发学生探索新知的欲望．
（2）学生思考后发现，这个问题用以前一元一次方程的知识不容易解决，于是尝试用新的方法解决，这样的设计体现“发现问题——解决问题”的过程，有利于培养学生的创造能力．
合作探究：
（1）题目中已知条件是什么？所求问题是什么？
（2）题目所求问题有几个？如何来设未知数？
（3）如何寻找等量关系？
（4）根据等量关系怎样列出方程组？
（5）学生迅速解出方程组后，如何知道自己的解答是对还是错？
（6）检验正确后，还要做什么？
（师生合作交流：在教师的引导下，学生口述，教师板书，用二元一次方程组解决《一千零一夜》中的问题．）
完成本题过程后，学生总结用解方程组解决问题的一般步骤：
（1）审题：找出题中的未知量，设出未知数；
（2）设未知数：一般求什么，设什么；
（3）列方程组：找出等量关系，列出方程组；
（4）解方程组：求二元一次方程组的解；
（5）检验并答：根据方程组的解代入题目中进行检验看是否满足题意．
（1）通过教师精心设计的六个问题，引发学生积极思考，提高课堂教学的有效性．
（2）通过教师的归纳和示范，使学生理解知识，掌握技能、积累经验．
例题讲解：
某天，一蔬菜经营户用60元钱从蔬菜批发市场批了西红柿和豆角共40kg到菜市场去卖，西红柿和豆角这天的批发价与零售价如下表所示：
品名
西红柿
豆角
批发价（单位：元/kg）
1.2
1.6
零售价（单位：元/ kg）
1.8
2.4
问：他当天卖完这些西红柿和豆角能赚多少钱？
（1）学生有可能用以前一元一次方程来解决问题，也有可能用二元一次方程组来解决问题，教师给予鼓励．
（2）解题过程见课件．
让学生自由地用各种方法来解决问题，符合学生的认知规律，在科学的前提下给出不同解法时，我们不能简单的罗列各种解法，而应注意两种方法的比较，找出它们的优缺点．
当堂练习：
2010年春季我国西南大旱，导致大量农田减产，下图是一对农民父子的对话内容，请根据对话内容分别求出该农户今年两块农田的花生产量分别是多少千克？
（1）学生独立思考，自主探索．
（2）本题在设未知数时有些学生可能设去年两块农田的产量分别为x千克、y千克，也有部分学生设今年两块农田的产量为x千克、y千克，这两种方法都可以，可以让学生从不同角度尝试，并比较它们的优缺点．
（3）解题过程见课件．
（1）通过对“童话故事”问题和例1的研究后，学生已经掌握了解决此类问题的一些方法．在这种情况下，设计类似问题的练习是必要的，这不但能起到巩固知识的作用，且可以暴露学生思维过程中的不足，从中纠正学生的思维偏差．
（2）本节所列举的问题类型较复杂，目的是淡化繁琐的题型训练，强调对实际问题的具体分析、抽象，突出用方程组解决问题的方法和策略．
提问：
同学们，看了上面的两种解法，你有何感想？你觉得本题中哪一种方法更容易理解？
学生比较直接设未知数和间接设未知数的优缺点．
（1）让学生自由地用各种方法来解决问题，符合学生的认知规律，是科学的.
（2）在提出不同解法时，我们不能简单的罗列各种解法，而应注意方法的比较，结合本课的教学目标，找准新知识的切入点.
（3）在比较的过程中，学生积累解决问题的经验，让学生亲身感到“有时间接设未知数能更好地帮助我们解决问题.”
总结：
1．本节课我们是通过___________来解决实际问题，即把_____化成已知，它的关键是把未知量和______联系起来，找出题目中的___________，列出方程．
2．请谈谈通过这节课的学习，你有什么感受呢，说出来告诉大家．
共同小结，各抒己见．
（1）让学生在学习中体会学习方法，体验成功，改进不足，以便今后更好地学习数学.
（2）让学生感受方程组也是刻画现实世界的有效的数学模型，进一步体会数学的建模思想和问题转化思想．
课后作业：
据报道：为了解决农民工子女入学难的问题，我市建立了一套进城农民工子女就学的保障机制，其中一项就是免交“借读费”．据统计，2011年秋季有5000名农民工子女进入主城区中小学学习，2012年秋季进入主城区中小学学习的农民工子女将比2011年有所增加，其中小学增加20%，中学增加30%，这样，2012年秋季新增1160名农民工子女在主城区中小学学习.
1．看了这一报道后你有什么想法？
2．你还可以从报道中知道什么？
学生课后独立完成．
（1）通过课后作业，教师及时了解学生对本节知识的掌握情况，知识延伸，使学生能力得以提高．
（2）练习能充分体现本节课的重点，能准确及时地了解教和学的效果，巩固了教学目标．
（3）让学生感受数学来源于生活，又服务于生活，引导学生了解数学广泛应用于日常生活中的各个方面以及学好数学的重要性和必要性．
数学教学设计
教 材：义务教育教科书·数学（七年级下册）
10.5 用二元一次方程组解决问题（2）
教学目标
1．借助“表格”分析复杂问题中的数量关系，从而建立方程解决实际问题；
2．能用二元一次方程组解决简单的实际问题，包括列方程、解方程，并根据实际问题的意义检验所得结果是否合理；
3．提高学生分析能力，解决问题能力，使学生感受方程的作用．
教学重点
理解题意，找出数量关系．
教学难点
找出等量关系．
教学过程（教师）
学生活动
设计思路
新课引入——情景导入：
问题3 某厂生产甲、乙两种型号的产品，生产一个甲种产品需要时间8s、铜8g；生产一种乙种产品的型号需要时间6s、铜16g．如果生产甲、乙两种产品共用1h，用铜6.4kg，甲、乙两种产品各生产多少个？
师：这个问题中的数量关系比较复杂，这节课我们就尝试借助“表格”分析．
学生独立思考，发表自己的见解．
情境创设，引发学生注意力，营造学习气氛，激发探索热情．
提问：
思考以下问题：
1．在上面的问题中，已知数是什么？未知数是什么？怎样设未知数？
2．表格应如何设计？
3．如何用表格来分析问题3中的数量关系？
小组讨论，共同分析思路．
发现解决问题的方法，把实际问题转化为二元一次方程组解决．
实践探索：
动手操作列出表格：
甲x个
乙y个
总计
用时/s
用铜/g
解决问题的方法：
（1）找出题中的未知量，设出未知数．
（2）找出相等关系后，根据题意列出二元一次方程组．
（3）求出二元一次方程组的解．
（4）根据方程组的解来检验估算的准确性．
解：设生产甲种产品x个，乙种产品y 个，根据题意，得
解这个方程组得：
答：生产甲种产品240个，生产乙种产品280个．
主体探索，合作交流，培养学生分析、解决问题的能力，锻炼学生思维的灵活性和深刻性．
例题：
例1 为了加强公民节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节约用水的目的，规定：每户居民每月用水不超过6m3时，按基本价格收费；超过6m3时，不超过的部分仍按基本价格收费，超过的部分要加价收费，该市某户居民今年4、5月份的用水量和水费如下表所示，试求用水收费的两种价格．
月份
用水量/ m3
水费/元
4
8
22
5
9
27
做一做：
1．在上面的问题中，如果某户居民1月份用水4 m3，那么需交水费 元，如果该户居民6月份用水11m3，那么需交水费 元．
2．在上面的问题中，如果某户居民某月交水费47元，那么用水量应为 m3．
解：设基本水价为x元/m3，超过6m3部分的价格为y元/m3，
依题意得：
解这个方程组得：
答：基本水价为2元/m3，超过6m3部分的价格为5元/m3 ．
引导学生主动地参与教学活动，发扬数学民主，让学生在独立思考、合作交流等数学活动中，培养学生合作互助意识，提高数学交流与数学表达能力，发展学生多角度思维能力，培养学生严谨的思维方式和良好的学习氛围，在学习活动中获得成功感，树立自信心，并进一步形成对数学知识的理解，培养数学应用意识，体会将实际问题转化为数学问题的过程．
练习：
1．甲、乙两村共有农田1000亩，其中68％是水田，已知甲村的农田中80％是水田，乙村60％是水田，甲、乙两村各有多少亩农田？
2．甲、乙两仓库共存粮500t，现在从甲仓运出粮食的50％，从乙仓运出粮食的40％，结果乙仓库所余的粮食比甲仓库多30t，求甲、乙两仓库原来所余的粮食？
当堂完成，同时请两位同学板演．
通过此题训练让学生明确实际问题转化为数学问题关键是找出问题中的相等关系，列出二元一次方程组，从而体会方程组的应用价值．
能力检测：
某次知识竞赛共有25题，评分标准如下：答对1题得4分，答错1题倒扣2分，不答题不得分也不扣分．小明得60分，且答对的题数是答错的题数的3倍．小明答对、答错、不答各有多少题？
学生独立思考，自主探索，列出二元一次方程组．
知识整合，体会把实际问题转化为数学方程组的过程，感受方程组是刻画现实世界的有效数学模型，进一步体会数学建模思想，问题转化思想．
小结：
通过今天的学习，你学会了什么？你会正确运用吗？通过这节课的学习，你有什么感受呢，说出来告诉大家．
各抒己见，谈出自己本节课的收获、感想．
师生互动，总结学习成果，让学生在学习中体会学习方法，体验成功，改进不足，以便今后更好地学好数学．
课后作业：
1．课本P109练一练第1、2题．
2．课本P111习题第1、2、3、4题．
课后完成．
通过课后作业，教师及时了解学生对本节知识的掌握情况，知识延伸，使学生能力得以提高．
数学教学设计
教 材：义务教育教科书·数学（七年级下册）
10.5 用二元一次方程组解决问题（3）
教学目标
1．借助“示意图”分析复杂问题中的数量关系，体会示意图与表格在分析应用题中的特点．
2．会根据问题中的数量关系列出方程组求解，会检验结论是否符合题意．
3．提高分析问题、解决问题的能力，使学生感受方程的作用．
教学重点
理解题意，找出数量关系．
教学难点
找出等量关系．
教学过程（教师）
学生活动
设计思路
新课引入——情景导入：
用正方形和长方形的两种硬纸片制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒（如图）．如果长方形的宽与正方形的边长相等，150张正方形硬纸片和300张长方形硬纸片可以制作甲、乙两种纸盒各多少个？
硬纸片 甲种纸盒 乙种纸盒
学生独立思考，发表自己的见解．
情境创设，引发学生注意力，营造学习气氛，激发探索热情.
提问：
思考以下问题：
1．在上面的问题中，每个甲种纸盒要正方形硬纸片几张？
2．每个乙种纸盒要正方形硬纸片几张？
3．每个甲种纸盒要长方形硬纸片几张？
4．每个乙种纸盒要正方形硬纸片几张？
学生分析出两个相等关系：
甲种纸盒所用的正方形纸片＋乙种纸盒所用正方形纸片＝150．
甲种纸盒所用的长方形纸片＋乙种纸盒所用长方形纸片＝300．
发现解决问题的方法，把实际问题转化为二元一次方程组解决．
实践探索：
用白铁皮做盒子，每张铁皮可生产12个盒身或18个盒盖，现有49张铁皮，怎样安排生产盒身和盒盖的铁皮张数，才使生产的盒身与盒盖配套（一张铁皮只能生产一种产品，一个盒身配两个盒盖）？
解决问题的方法：
（1）找出题中的未知量，设出未知数．
（2）找出相等关系后，根据题意列出二元一次方程组．
（3）求出二元一次方程组的解．
（4）根据方程组的解来检验估算的准确性．
小组讨论，共同分析思路．
主体探索，合作交流，培养学生分析、解决问题的能力，锻炼学生思维的灵活性和深刻性．
例题：
例1 某铁路桥长1000m，现有一列火车从桥上通过，测得该火车从开始上桥到完全过桥共用了1min，整列火车完全在桥上的时间共40 s．求火车的速度和长度．
师：自主探究，合作交流．
学生分析：
如果设火车的速度为xmin/s，设火车的长为y m，可以画出示意图，反映了两个相等关系：
桥长＋火车长＝火车1 min经过的路程；
桥长－火车长＝火车40 s经过的路程．
火车过桥问题是以画示意图作为建模策略，分析问题中所蕴含的数量关系，同样也是为了突出解决实际问题的过程．
练习：
1．小红和爷爷在400米环形跑道上跑步．他们从某处同时出发，如果相向而行，那么经过200s小红追上爷爷；如果背向而行，那么经过40s两人相遇，求他们的跑步速度．
2．某校组织学生乘汽车去野营，先以60km/h的速度走平路，后又以30km/h的速度爬坡，共用了6.5h；返回时先以40km/h的速度下坡，后以50km/h的速度走平路，共用了6h．学校距离野营地有多远？
当堂完成，同时请两位同学板演．
画示意图通常可以画线段图或曲线图，用线段或曲线段的长来表示某些量，并根据这些线段或曲线段的长度关系列出方程组．许多行程问题中的数量关系可以简明地用示意图来表达．
能力检测：
购买书有以下活动，买1-19本的，每本可以9折；超过20本（包括20本），每本7折，每本5元．现有人买两次书，共30本，共花费129元，求两次共买多少本？
学生独立思考，自主探索，列出二元一次方程组．
用贴近学生生活的实际问题，进一步强化方程组的模型思想，能够让学生自己探索并掌握用表格帮助解决问题的这一策略．注重对数学思想方法的渗透，体会到思想方法在解题中的作用．加强对学生思维深度、广度及参与度的评价．
小结：
通过今天的学习，你学会了什么？你会正确运用吗？通过这节课的学习，你有什么感受呢，说出来告诉大家．
共同小结．
师生互动，总结学习成果，体验成功．
课后作业：
1．课本P111练一练第1、2题；
2．课本P111-112习题第5、6、7、8题．
课后完成．
通过课后作业，教师及时了解学生对本节知识的掌握情况，知识延伸，使学生能力得以提高．
课件13张PPT。10.1 二元一次方程七年级（下册）作 者：沙卫霞（江苏省泰州中学附属初级中学） 初中数学 篮球比赛规则规定：赢一场得2分，输一场得1分．在中学生篮球联赛中，某球队赛了若干场，积20分．怎样描述该球队输、赢场数与积分之间的相等关系？10.1 二元一次方程设该球队赢了x场，输了y场，则有2x＋y＝20． 你能列出输赢场数的所有可能情况吗？
2x＋y＝2010.1 二元一次方程【例】某球员在一场篮球比赛中共得35分（其中罚球得10分）．怎样描述该球员投中的两分球、三分球个数与得分之间的相等关系？
10.1 二元一次方程【试一试】
1．请你设计一张表格，列出这名球员投中的两分球、三分球个数的各种可能情况．
2．根据你所列的表格，回答下列问题：
（１）这名球员最多投中了多少个三分球？
（２）这名球员除罚球外最多投中了多少个球？
（３）如果这名球员除罚球外投中了10个球，那么他投中的两分球、三分球各几个？
10.1 二元一次方程【议一议】
方程2x＋y＝20和2x＋3y＋10＝35有哪些共同的特点？ 方程2x＋y＝20、2x＋3y＋10＝35，它们都含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是１．像这样的方程，叫做二元一次方程．10.1 二元一次方程 适合二元一次方程的一对未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解．
如x＝8、y＝3就是方程2x＋3y＋10＝35的一个解，记作【思考】
一个二元一次方程有多少个解？若在上述两个具体情境中呢？10.1 二元一次方程【例1】下列方程中，哪些是二元一次方程？不是的说明理由．
（3）3pq＝－8； （4）2y2－6y＝1；
（5）5（x－y）＋2（2x－3y）＝4；
（6）7x＋2＝3．
【例2】把下列方程写成用含x的代数式表示y的形式．
2x＋y＝20； 2x＋3y＝25．
变式：用含y的代数式表示x．10.1 二元一次方程【练习】课本P95练一练第1、2题．10.1 二元一次方程【能力检测】 已知二元一次方程 3x＋2y＝10． （1）用关于x的代数式表示y； （2）求当x＝－2，0，3时，对应的y的值，并写出方程3x＋2y＝10的三个解．10.1 二元一次方程【小结】
通过今天的学习，你学会了什么？你有什么感受呢，请与大家分享吧． 10.1 二元一次方程【课后作业】
课本P95习题第1、2、3、4题．
10.1 二元一次方程课件14张PPT。10.2 二元一次方程组七年级（下册）作 者：沙卫霞（江苏省泰州中学附属初级中学） 初中数学 今有鸡兔同笼
上有三十五头
下有九十四足
问鸡兔各几何
10.2 二元一次方程组你能解决这个有趣的“鸡兔同笼”问题吗？ 设鸡有x只，兔有y只，可以得到关于x、y的两个方程：
10.2 二元一次方程组 鸡和兔的只数必须同时满足这两个方程，
把这两个方程联立在一起，可写成
问题：这个方程组有哪些特点？你能再写出几个这样的方程组吗？10.2 二元一次方程组 像这样，把含有两个未知数的两个一次方程联立
在一起，就组成了一个二元一次方程组. 【例1】下列方程组是二元一次方程组吗？并说明理由．
（1） （2）
（3） （4） 10.2 二元一次方程组【想一想】
小明在做摸球游戏，猜猜看摸到一个红球可以得几分，一个绿球可以得几分？
10.2 二元一次方程组我再摸一次，摸到3个红球，2个绿球，共得到12分，再猜猜看！我摸到1个红球，3个绿球，共得到11分，猜猜看！此时，你能得到摸到一个红球可以得几分，一个绿球可以得几分吗？ 设摸到1个红球得x分，摸到1个绿球得y分.可以得到方程：
这两个方程组成二元一次方程组
方程（1）的解是
方程（2）的解是10.2 二元一次方程组………… 可以看出 是这两个方程的公共解．
我们把二元一次方程组中两个方程的公共解叫做二元一次方程组的解．
10.2 二元一次方程组 【做一做】你能找出“鸡兔同笼”问题中二元一次方程组的解吗？10.2 二元一次方程组【练习】课本P97-98练一练第1、2、3题．10.2 二元一次方程组【能力检测】甲种饮料每瓶2.5元，乙种饮料每瓶1.5元，某人买了x 瓶甲种饮料，y瓶乙种饮料，共花了34元．
（1）列出关于x、y的二元一次方程；
（2）如果甲种饮料和乙种饮料共买16瓶，列出关于x、y的二元一次方程组，并找出它的解．10.2 二元一次方程组10.2 二元一次方程组【小结】
问题一 你能再写出一些二元一次方程组吗？
问题二 二元一次方程组的解一定是组成这个方程组的两个方程的公共解吗？
问题三 写出解是 的二元一次方程组，你能写出几个？【课后作业】
课本P98习题第1、2、3、4题．
10.2 二元一次方程组课件10张PPT。10.3 解二元一次方程组（1）七年级(下册)作 者：周进荣（无锡市蠡园中学） 初中数学 根据篮球比赛规则：每场比赛都要分出胜负,每队胜一场得2分，负一场得1分.如果某队为了争取较好名次，想在全部12场比赛中得20分，那么这个队胜、负场数应分别是多少?解：设这个队胜x场，负了
(12–x)场，由题意得：
解：设这个队胜x场，
负了y场，由题意得：
怎样求二元一次方程组的解呢？ 10.3 解二元一次方程组 (1)12－x=12－8=4．
2x＋(12－x)=20．
答：这个队胜8场，负了4场. 解得， x=8．
它们之间有何内在联系？ 与 将方程组的一个方程中的某个未知数用另一个未知数的代数式表示，再代入另一方程，从而消去一个未知数，把解二元一次方程组转化为解一元一次方程．这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法.【例1】
用代入法解方程组解：把①代入②，得
3(y+3)-8y=14,
解得，y=-1.
把y=-1代入①,
解得，x=2，
所以这个方程组的解是 10.3 解二元一次方程组 (1)【例2】
用代入法解方程组 解：由①，得
y=2x-5．③
把③代入② ，得
3x+4(2x-5) =2,
解得，x=2.
把x=2 代入③,
解得，y=－1,
所以这个方程组的解是10.3 解二元一次方程组 (1)用代入消元法解二元一次方程组的步骤： （1）变形(用代数式表示一个未知数)；
（2）代入(消元)；
（3）解一元一次方程(求一个未知数值)；
（4）(代入求另一个未知数的值)确定方程 组的解.
10.3 解二元一次方程组 (1)【练习】1．你能把下列方程写成用含x的式子表示y的形式吗？
（1）2x－y＝3；
（2）3x＋y－1＝0．2．用代入法解方程组10.3 解二元一次方程组 (1)【能力检测】
用代入法解二元一次方程组10.3 解二元一次方程组 (1)【小结】
通过今天的学习，你有什么收获？说出来告诉大家. 10.3 解二元一次方程组 (1)【课后作业】
1.《数学补充习题》 10.3 解二元一次方
程组（1）；
2．已知二元一次方程 的两个解
为 和 求a、b的值；
3.思考题（选做）：解方程组
10.3 解二元一次方程组 (1)谢 谢!课件12张PPT。10.3 解二元一次方程组（2）七年级（下册）作 者：沙卫霞（江苏省泰州中学附属初级中学） 初中数学10.3 解二元一次方程组（2）【知识回顾】
1．代入法解二元一次方程组的步骤；
一变，二代，三消，四解，五再代，六总结．2．用代入法解方程组 10.3 解二元一次方程组（2）方程组的系数有什么特殊的地方吗？y的系数互为相反数根据系数特点，你能不用代入法来解这个方程组吗？【例1】 解方程组10.3 解二元一次方程组（2）①②解：①＋②，得 4x＝6解这个方程，得所以原方程组的解是通过加或减，让“二元”化成“一元”．解一元一次方程，求出y的值．再代入，求出x的值．总结，写出方程组的解．一加减，二消元，三求解，四再代，五总结．将 代入①，得【练习】 10.3 解二元一次方程组（2）解方程组（1）（2）【例2】 解方程组
10.3 解二元一次方程组（2）1．先确定消去哪一个未知数；2．再找出系数的最小公倍数；3．确定每一个方程两边应同乘以几．【练习】
课本P102练一练． 10.3 解二元一次方程组（2） 【小结】把方程组的两个方程（或先作适当变形）相加或相减，消去其中一个未知数，把解二元一次方程组转化为解一元一次方程．这种解方程组的方法称为加减消元法，简称加减法．10.3 解二元一次方程组（2）【能力检测】甲、乙二人同时解方程组
甲看错了a，解得 ；乙看错了b，解得 ．求原方程组的解．10.3 解二元一次方程组（2）【小结】
10.3 解二元一次方程组（2）2.加减法的基本思想：消元．3.加减法解二元一次方程组主要步骤：
一加减，二消元，三求解，四再代，五总结．1.加减消元法． 将方程组的两个方程（或先作适当变形）相加或相减，消去一个未知数，把解二元一次方程组转化为解一元一次方程．这种解方程组的方法称为加减消元法，简称为加减法．【课后作业】
课本P102习题第1、2、3题．
10.3 解二元一次方程组（2）课件12张PPT。10.4 三元一次方程组七年级（下册）作 者：沙卫霞（江苏省泰州中学附属初级中学）初中数学 10.4 三元一次方程组 足球比赛规则规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某足球队赛了22场得47分，且胜的场数比负的场数的4倍还多2．该球队胜、平、负各多少场？ 10.4 三元一次方程组 设该球队胜x场、平y场、负z场，可以得到关于x、y、z的三个方程：
x＋y＋z＝22，
3x＋y＝47，
x＝4z＋2．
这个问题的解必须同时满足上面的三个条件，因此，我们把这三个方程联立在一起，可写成
像这样，把含有三个未知数的三个一次方程联立在一起，就组成了一个三元一次方程组．10.4 三元一次方程组【试一试】
试解这个方程组，并说出该球队胜、平、负各多少场．10.4 三元一次方程组【例】解方程组10.4 三元一次方程组【想一想】还有其他方法解这个方程组吗？
10.4 三元一次方程组【练习】
课本P104页练一练．10.4 三元一次方程组【能力检测】10.4 三元一次方程组解方程组【小结】
问题 解三元一次方程组的关键是什么？
10.4 三元一次方程组【课后作业】
课本P105习题第1、2题．
10.4 三元一次方程组课件9张PPT。10.5 用二元一次方程组解决问题（1）七年级(下册)作 者：周进荣（无锡市蠡园中学） 初中数学 《一千零一夜》中有这样一段文字：有一群鸽子，其中一部分在树上欢歌，另一部分在地上觅食.树上的一只鸽子对地上觅食的鸽子说：“若从你们中飞上来一只，则树下的鸽子就是整个鸽群的 ；若从我们中飞一只到地上，则树上、树下的鸽子就一样多了.”你知道树上、树下各有多少只鸽子吗？ 【童话故事】10.5 用二元一次方程组解决问题（1）(1)审 题：(2)设未知数：(3)列方程组：(4)解方程组：(5)检验并答：【一般步骤】
分析题中已知什么、求什么，明
确各数量之间的关系；一般求什么就设什么；
找出能表示实际问题全部意义的
两个相等关系，列出两个独立的
方程组成方程组； 解所列出的方程组，求得未知数
的值；检验并写出答案.10.5 用二元一次方程组解决问题（1） 某天，一蔬菜经营户用60元钱从蔬菜批发市场批了西红柿和豆角共40kg到菜市场去卖，西红柿和豆角这天的批发价与零售价如下表所示：
?
?
?
?
?
问：他当天卖完这些西红柿和豆角能赚多少钱？ 【例】10.5 用二元一次方程组解决问题（1）解：设该蔬菜经营户当天批了西红柿xkg，豆角 y kg，根据题意得：
解之得：
10（1.8－1.2）＋30（2.4－1.6）＝30（元）．
答：他当天卖完这些西红柿和豆角能赚30元．10.5 用二元一次方程组解决问题（1） 2010年春季我国西南大旱，导致大量农田减产，下图是一对农民父子的对话内容，请根据对话内容分别求出该农户今年两块农田的花生产量分别是多少千克？【练习】10.5 用二元一次方程组解决问题（1）【小结】
1．本节课我们是通过___________来解决实际问题，即把_____化成已知，它的关键是把未知量和______联系起来，找出题目中的___________，列出方程.
2．请谈谈通过这节课的学习，你有什么感受呢？说出来告诉大家.
10.5 用二元一次方程组解决问题（1）【课后作业】
据报道，为了解决农民工子女入学难的问题，我市建立了一套进城农民工子女就学的保障机制，其中一项就是免交“借读费”.据统计，2011年秋季有5000名农民工子女进入主城区中小学学习，2012年秋季进入主城区中小学学习的农民工子女将比2011年有所增加，其中小学增加20%，中学增加30%，这样，2012年秋季新增1160名农民工子女在主城区中小学学习.
1．看了这一报道后你有什么想法？
2．你还可以从报道中知道什么？ 10.5 用二元一次方程组解决问题（1）谢 谢!课件11张PPT。10.5 用二元一次方程组解决问题（2）七年级（下册）作 者：沙卫霞（江苏省泰州中学附属初级中学）初中数学10.5 用二元一次方程组解决问题（2）【问题3】 某厂生产甲、乙两种型号的产品，生产甲种产品1个需用时8s、铜8g；生产乙种产品1个需用时6s、铜16g.如果生产甲、乙两种产品共用时1h、用铜6.4kg，那么甲、乙两种产品各生产多少个？ 10.5 用二元一次方程组解决问题（2）1.表格如何设计？
2.如何用表格来分析这个问题中的数量关系？ 解：设生产甲种产品x个，乙种产品y个．解：设生产甲种产品x个，乙种产品y 个，根据题意，得解这个方程组得：答：生产甲种产品240个，生产乙种产品280个.10.5 用二元一次方程组解决问题（2）【问题4】 为了加强公民的节水意识，合理利用水资源.某市采用价格调控手段来引导市民节约用水：每户居民每月用水不超过6m3时，按基本价格收费；超过6m3时，超过的部分要加价收费.该市某户居民今年4、5月份的用水量和水费如下表所示，试求该市居民用水的两种收费价格.
10.5 用二元一次方程组解决问题（2）怎样用表格来分析问题4中的数量关系呢?
解：设基本水价为x元/m3，超过6m3的部分y元/m3 .
依题意得： 解这个方程组得：答：基本水价为2元/m3，超过6m3部分的价格为5元/m3 .【练习】
1．在问题4中，如果某户居民某月交水费47元，那么该户居民这个月的用水量为多少立方米？
2.10.5 用二元一次方程组解决问题（2） （1）甲、乙两村共有农田1000亩，其中68％是水田，已知甲村的农田中80 ％是水田，乙村60％是水田，甲、乙两村各有多少亩农田？ （2）甲、乙两仓库共存粮500t，现在从甲仓运出粮食的50％，从乙仓运出粮食的40 ％，结果乙仓库所余的粮食比甲仓库多30t，求甲、乙两仓库原来所余的粮食？【能力检测】
某次知识竞赛共有25题，评分标准如下：答对1题得4分，答错1题倒扣2分，不答题不得分也不扣分．小明得60分，且答对的题数是答错的题数的3倍．小明答对、答错、不答各有多少题？10.5 用二元一次方程组解决问题（2）【小结】
问题：用表格分析实际问题的一般步骤是什么？
10.5 用二元一次方程组解决问题（2）【课后作业】
1.课本P109页练一练第1、2题；
2. 课本P111习题第1、2、3、4题．
10.5 用二元一次方程组解决问题（2）课件9张PPT。10.5 用二元一次方程组解决问题（3）七年级(下册)作 者：沙卫霞（江苏省泰州中学附属初级中学）初中数学 10.5 用二元一次方程组解决问题（3）【问题5】 制作甲乙两种无盖的长方体纸盒，需用正方形和长方形的两种硬纸片，且长方形的宽与正方形的边长相等．现有150张正方形硬纸片和300张长方形硬纸片，可制作甲、乙两种纸盒各多少个？
硬纸片 乙种纸盒 甲种纸盒 10.5 用二元一次方程组解决问题（3）【练习】 用白铁皮做盒子，每张铁皮可生产12个盒身或18个盒盖，现有49张铁皮，怎样安排生产盒身和盒盖的铁皮张数，才使生产的盒身与盒盖配套（一张铁皮只能生产一种产品，一个盒身配两个盒盖）？
【问题6】 某铁路桥长1000m，现有一列火车从桥上通过，测得该火车从开始上桥到完全过桥共用了1min，整列火车完全在桥上的时间共40s.求火车的速度和长度.
10.5 用二元一次方程组解决问题（3）【练习】
1.小红和爷爷在400米环形跑道上跑步.他们从某处同时出发，如果相向而行，那么经过200s小红追上爷爷；如果背向而行，那么经过40s两人相遇，求他们的跑步速度.
2.某校组织学生乘汽车去野营，先以60km/h的速度走平路，后又以30km/h的速度爬坡，共用了6.5h；返回时先以40km/h的速度下坡，后以50km/h的速度走平路，共用了6h．学校距离野营地有多远？
10.5 用二元一次方程组解决问题（3）【能力检测】
购买书有以下活动，买1-19本的，每本可以9折；超过20本（包括20本），每本7折，每本5元．现有人买两次书，共30本，共花费115元，求两次共买多少本？10.5 用二元一次方程组解决问题（3）【小结】
通过今天的学习，你学会了什么？你有什么感受呢，请与大家分享吧.
10.5 用二元一次方程组解决问题（3）【课后作业】
1.课本P111练一练第1、2题；
2.课本P111-112习题第5、6、7、8题.
10.5 用二元一次方程组解决问题（3）学习二元一次方程组的解时，应注意什么？
一、二元一次方程组的解有以下三种情况：
（1）有一个解．例如方程组有一个解这个方程组只有这一个解．初级阶段的教学课只研究方程组有一个解的情况．
（2）有无数个解．例如方程组有无数个解，这是因为方程组中的两个方程实际上是同一个方程（请想想为什么），两个方程只能算一个．
（3）无解．例如方程组无解，这是因为将第一个方程的任何一个解代入第二个方程，左边应当是22，它不等于20，这两个方程是互相矛盾的．
二、运用代入法、加减法解二元一次方程组要注意的问题：
（1）当方程组中含有一个未知数表示另一个未知数的代数式时，用代入法比较简单；
（2）若方程组中一个未知数的系数为1（或－1）时，选择这个方程进行变形，用代入法比较简便；
（3）当方程组中的两个方程有某个未知数的系数相同或相反时，进行加减消元比较方便；
（4）若两个方程中，同一个未知数的系数成倍数关系，利用等式性质，可以转化成（3）的类型，选择加减消元法比较简便；
（5）若两个方程中，同一个未知数的系数的绝对值都不相等，那么，应选出一组系数（选最小公倍数较小的一组系数），求出它们的最小公倍数，然后将原方程组变形，使新方程组的这组系数的绝对值相等（都等于原系数的最小公倍数），再加减消元；
（6）对于比较复杂的二元一次方程组，应先化简（去分母、去括号、合并同类项等）．通常要把每个方程整理成含未知数的项在方程的左边，常数项在方程的右边的形式，再作加减消元的考虑．
谈二元一次方程组的教学
“二元一次方程组”的主要内容是二元一次方程组的基本概念、解法及其应用．这一章是承上启下的一章，一方面对一元一次方程的内容起了巩固、充实、提高的作用，另一方面为以后学习一元一次不等式组及以后学习二元二次方程组等内容做了必要的准备．
实施二元一次方程组的教学，关键要抓住两点，一是要突出二元一次方程组的解法这个重点，二是要通过对“消元”、“转化”的思想方法的认识与把握，提高学生的能力．
一、如何突出教学重点
从今后的学习与应用考虑，对于大多数学生而言，学习本章主要是要掌握二元一次方程组的解法．因此，本章把二元一次方程组的解法作为重点．教科书中，适当增加了一些例子，主要的例子也不是简单地将解法给出，而是一步一步地进行分析，引导学生在原有知识的基础上，经过认真思考，从二元一次方程组本身的特点中，寻求解决问题的方法和途径，希望这样可以使学生更容易接受、理解，从而更好地掌握它们．
有关二元一次方程组的概念比较多，当然，从学习代数方程这个目的出发，这些概念是有其重要意义的，但真正掌握这些概念是有一定困难的．如果处理不好，会干扰多数学生学习掌握最基本的内容——二元一次方程组的解法．因此，教材中将这些概念分别根据它们的难度、重要性，做了不同的处理，对有一定难度而与近期学习关系不大的概念，就适当地淡化了它们在教科书中的地位，以期降低难度，减轻学习负担，从而使多数学生能真正学有所得．
例如，关于二元一次方程有无穷多个解的问题，也就是所谓解的不定性的问题，这是以往初中代数学习的一个难点．一方面，无穷多的问题，学生过去还没有遇到过，而且，对于二元一次方程来说，它的每一个解又是一对数，这一对数还有一定的相关性．让学生比较好地理解这个问题是比较困难的．另一方面，从学习二元一次方程组解法这一基本目的出发，解的不定性的内容也不是急需的，以后学习了直角坐标系，知道二元一次方程可以用直线表示，借助数形结合，再研究二元一次方程的解的个数问题，就会容易得多．基于以上考虑，本章只是通过几个具体的例子，让学生初步了解一个二元一次方程有不只一个解就可以了．又如，关于二元一次方程组的定义，也有一定的难度．一是关于方程组，方程组中未知数的个数与方程的个数存在三种不同的情况，未知数的个数多于、等于或少于方程的个数，这些都涉及，问题就过于复杂了．二是关于二元一次方程组定义本身，即使只有两个方程的情况下，还包括两个都是二元，一个是二元一个是一元，或者两个都是一元这三种可能．因此，才有以往教材的如下定义：由几个一次方程组成并含有两个未知数的方程组，叫做二元一次方程组．这个定义中，一是没有限定方程的个数，二是包括了每个方程的元数的多种可能性．让学生认清这些不容易．
概括地说，首先，要从学生今后学习与应用的需要出发，确定二元一次方程组的教学重点；其次，要围绕二元一次方程组的解法这个教学重点，把握二元一次方程组有关概念与相关运算的教学深广度，选择安排适当的练习进行训练．
二、如何启发思维、培养能力
在讲解代入法时，启发学生将由同一个问题列出的一元一次方程与二元一次方程组进行对比，从列方程组的过程中，发现一个未知数可以用含有另一个未知数的代数式表示的关系，进而找出将“二元”转化为“一元”的途径，就可以借助学过的一元一次方程的知识，求解二元一次方程组了．
在学生接触了消元的思想之后，又结合像这样的例子，从“消元”、“转化”这一目标出发，就不难引导学生发现另一种解二元一次方程组的方法，即加减法了．
对于学有余力的学生，在学习三元一次方程组的解法时，应该继续强化学生对“消元”、“转化”思想方法的认识与了解．
列方程（组）解应用题对于相当多的学生是有一定困难的，启发学生认真分析问题中的有关数量，从中找出相等关系是十分重要的．教学中，从题目的选配到例题的讲述，都应该注意启发学生的思维．
当然这部分的基本教学要求是使学生能灵活运用代入法、加减法解二元一次方程组，并会解简单的三元一次方程组．在使学生达到“灵活运用”水平的训练过程中，“消元”、“转化”的思想也是起着重要作用的，“灵活” 的目的就是较好地实现“消元”、“转化”.
总之，通过二元一次方程组的学习，培养学生的能力，应该从获取方程组解法的过程入手，关键是抓住对“消元”、“转化”思想方法的讲授．
进一步看，突出重点，才能减轻学生过重的课业负担，使学生有时间接受全面素质教育；重视数学思想与数学方法的教学，才能开拓学生思路，提高学生能力，为今后的学习和参与社会生活打下良好基础．
康熙创造的数学术语
解方程时，大家总会碰到“元”、“次”、“根（解）”．不过，你知道题目中的数学术语“元”、“次”、“根（解）”（当然只是指汉语译名）是谁创造的？说来你也许不信，是清朝的康熙皇帝．
康熙皇帝是一个抱负远大、好学上进的君主，他曾拜比利时的南怀仁等传教士为师，学习天文、数学、地理，还学拉丁文．康熙大帝虽然聪颖过人，但是听外籍教师讲课并不轻松，因为南怀仁等人的汉语和满语水平有限，日常会话还能够勉强对付着，而要将严谨而高深的科学知识表达出来就显得力不从心了，而当时课本多是外文，即使中译本也是半通不通的．这样，学习中就必然有许多精力被消耗在语言沟通上，进度不快．
不过，康熙学习很刻苦，也很有耐心，一遍听不懂，就请老师再讲一遍，直至真正弄懂为止．南怀仁在讲方程时句子冗长，吐音又很不清楚，康熙的脑子常常被搞得晕晕糊糊的，怎样才能让老师讲得好懂呢？一阵冥思苦想后，一个妙法突然冒出来．他向南怀仁建议，将未知数翻译为“元”，最高次数翻译为“次”（限整式方程），使方程左右两边相等的未知数的值翻译为“根”或“解”……南怀仁用笔认真地记了下来，随即用这些新创术语换下自己原先使用的繁琐词语：“求二‘元’一‘次’方程的‘根（解）’……”果然扫除了很多障碍，提高数学效率．南怀仁惊疑地盯着康熙，愣怔了一会儿，突然按照西方最亲切的礼节一下子将康熙紧紧抱住：“我读书和教书几十年，无论是老师还是学生，还从来没见过一个像您这样肯动脑筋的人！”
康熙创造的这几个数学术语科学而简洁，十分便于理解和记忆，因此一直延用到今天．
鸡兔同笼
《孙子算经》是唐初作为“算学”教科书的著名的《算经十书》之一，共三卷，上卷叙述算学记数的制度和乘除法则，中卷举例说明筹算分数法和开平方法，都是了解中国古代筹算的重要资料．下卷收集了一些算术难题，“鸡兔同笼”问题是其中之一．原题如下：
令有雉（鸡）兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．
问雉、兔各几何？
原书的解法是；设头数是a，足数是b．则－a是兔数，a－（－a）是雉数．这个解法确实是奇妙的．原书在解这个问题时，很可能是采用了方程的方法．
设x为雉数，y为兔数，则有
x＋y＝a，2x＋4y＝b，
解之得：
y＝－a，
x＝a－（－a）．
根据这组公式很容易得出原题的答案：兔12只，雉23只．
鸡兔同笼问题是一个有趣的算术题，对初学算术四则应用题的学生的逻辑推理能力和运算技巧很有帮助．因而历代算学书中多有引录,但在题目及解题方法上却各有不同．
元代《丁巨算法》（1355）中的题目为今有鸡兔一百，共足二百七十二只，只云鸡足二，兔足四，问二色各几何？所附解法与《孙子算经》不同,其方法是“置共一百，以四乘之，得四百，与总足相减，余一百二十八，折半得鸡数．反减得兔．倍一百得二百，减总足，余七十二，折半得兔．反减得鸡，亦通．”这是另一典型的算术解法，先设全部都是兔．则总足数是头数的四倍，得四百．与实际总足敷相减，即知把鸡误当为兔时多计算的足数．每只多算二足，故折半即为鸡数．此题的答案为：鸡64只，兔36只．
“鸡兔同笼”问题在民间也广为流传，甚至编入了小说．在我国著名的古典小说《镜花缘》里就有这样一段故事：宗伯府的女主人卞宝云邀请女才子们到府中的小鳌山观灯，当众才女在一片音乐声中来到小鳌山时，只见楼上楼下俱挂灯球，五彩缤纷，宛如列星，高低错藩，竟难分辨其多少．
卞宝云请精通筹算的才女米兰芬，算一算楼上楼下大小灯球的数目．她告诉米兰芬，楼上的灯有两种，一种上做三个大球，下缀六十小球，计大小球九个为一灯；另一种上做三个大球，下缀十八个小球，计大小球二十一个为一灯．楼下的灯也分两种，一种一个大球，下缀两个小球；另一种是一个大球，下缀四个小球．她请米兰芬算一算楼上楼下四种灯各有多少个．米兰芬想了一想，请宝云命人查一下楼上楼下大小灯球各多少个．查的结果是：楼上大灯球共396个，小灯球共1440个，楼下大灯球共360个，小灯球共1200个．米兰芬按照《孙子算经》中“鸡兔同笼”问题的解法，先算楼下的，她将小灯球1200折半，得600，再减去大灯球360，得240，这是一大四小灯球的灯的盏数．然后用360减240，得120，这便是一大二小灯球的灯的盏数．再算楼上的，她先将1440折半，得720，减大灯球396，余324，再除以6，得54，这是缀十八个小球灯的灯的盏数，然后用3乘54，得162，用396减162，得234，用234除以3得78，即下缀六个小球灯的灯78盏．卞宝云让人拿做灯的单子来念，果然丝毫不差．大家莫不称为神算．这个问题若用方程解之自然更简单，但用算术方法解之确也别具一格．
一个算术题竟能辗转传抄，世代相授，历经千年而不衰，其内容之有趣，解法之奇巧，不能不说是一个很重要的原因．
珍尼的宠物
珍尼说：“在我饲养的宠物中，除了两只以外所有的动物都是狗，除了两只以外，所有的都是猫，除了两只以外，所有的都是鹦鹉，我总共养了多少只动物？你想出来了吗？”
大家苦思良久，迈克突然说：“珍尼只养了三只动物：一只狗，一只猫和一只鹦鹉，除了两只以外所有的都是狗，除了两只以外所有的都是猫，除了两只以外所有的都是鹦鹉．”
如果你领悟到“所有”这个词可以指仅仅一只动物的话，头脑中就有了这个问题的答案，最简单的情况：一只狗，一只猫，一只鹦鹉，这个问题也可以用代数形式来表示．
令x、y、z分别为狗、猫和鹦鹉的只数，n为动物的总数，我们可以写出由下面四个方程组成的方程组：
解此方程组有许多方法，显然，根据前三个方程式，可得出x＝y＝z，由于3n＝x＋y＋z＋6，减去第四个方程，得到n＝3，因此x＋2＝3，所以x＝1，答案可知．
由于动物只数只能是正整数，所以可以把珍尼的动物问题看作所谓的丢番图问题（即不定方程）的一个例子，这是一个其方程解必须是整数的代数问题，一个丢番图方程有时无解，有时只有一个解，有时有不止一个或个数有限的解，有时有无穷多个解．下面是一个难度稍大的丢番图问题，同样也与方程组和三种不同的动物有关．
一只公鸡价格10元，一只母鸡价格3元，一只小鸡价格0.5元．一个农夫买了100只鸡，每种至少买了一只，总共花了100元，问每种鸡各买了多少只？
令x为公鸡的只数，y为母鸡的只数，z为小鸡的只数，可以写出如下方程组：
把第一个方程中的各项都乘以2消去分数，再与第二个方程相减，消去z，这样得到下列方程式：19x＋5y＝100．
x和y可能有哪些整数值？一种解法是把系数最小的项放到方程的左边：5y＝100－19x，把两边都除以5，得到y＝， 再把100和19x除以5，将余数（如果有的话）和除数5写成分数的形式，结果为：y＝20－3x－．
显然，表达式必然是整数，即x必须是5的倍数，5的最小倍数即是其自身，由此得出y的值为1，将x，y的值带入任何一个原方程，可得z等于94．如果x为任何比5更大的5的倍数，则y变为负数．所以，此题仅有一个解：5只公鸡，1只母鸡和94只小鸡．你只要把这个问题中鸡的价钱改变一下，便可以学到许多初等丢番图分析的知识．例如，设公鸡价钱为4元，母鸡的价钱为2元，小鸡的价钱为元，一个农夫准备花100元买1000只鸡，并且每种鸡至少买1只，问他每种可以买多少只？关于这一问题，恰好有三种解，但是如果公鸡价为5元，母鸡价为2元，小鸡价为0.5元呢？那就无解．
丢番图分析是数论的一大分支，其实际应用范围极广．有一个著名的丢番图问题，以费马最后定理而著称：设有方程xn＋yn＝zn，其中n是大于2的正整数，问此方程是否有整数解（如果n＝2，则称其为毕达格拉斯三元数组，具有自3n＋4n＝5n起始的无穷多组解？）这是一个最著名的数论问题，已经由英国数学家安德鲁·威尔斯于1994年解决．他应用了一种叫做椭圆函数的理论，实际上，他证明的并不是费马定理本身，而是在椭圆函数领域中另一个著名的猜想：谷山-志村猜想，这等于是从侧面攻破了这个300多年的大难题．
谁善饮酒
?在法国民间流传着这样一道算题：在一次消夏晚会上有四对夫妇一起饮酒，他们共饮了32瓶啤酒．太太们的记录是：露易丝1瓶，蕾蒂丝2瓶，约瑟芬3瓶，玛丽4瓶．先生们饮的更厉害，马尔勒和自己的妻子饮同样多，让·阿冉饮的是自己妻子的2倍，苏西克斯饮的是妻子的3倍，诺森伯兰饮的是妻子的4倍．猜一猜谁和谁是一家？并排出这四对夫妇饮酒量的名次．
?我们用列方程组的方法来解这个问题．
?设马尔勒、让·阿冉、苏西克斯和诺森伯兰的妻子各饮酒x，y，z，u瓶，则他们各饮酒x，2y，3z，4u瓶，所以
其中，x、y、z、u分别在1，2，3，4中取值．
由×4－消去u，得：
3x＋2y＋z＝18……
由于2y、18为偶数，所以x、z或者同为偶数，或者同为奇数．
在中，由于y、z≤4，所以x＝1，2不可能．
?若x＝4，则z＝2，代入求出y＝2，这也不合题意．
?因此只能x＝3，z＝1，代入求出y＝4，再代入求出u＝2．
?这样各家及饮酒情况是：
?从上面的分析可以立即看出各对夫妇饮酒量排列次序．
丰富多彩的消元技巧
湖南 汤慧
解二元一次方程组的关键在于消元，化“二元”为“一元”，将“陌生”的二元一次方程组转化为熟悉的一元一次方程，从而求解．同学们在掌握用代入消元、加减消元法的同时，还要注意观察和分析方程组中各方程的结构特点，开拓新思路，采用一些特殊方法，简捷求解，从而提高和培养自已的创新能力，请看：
一、整体代入法
例1 解方程组
分析：此题常规解法是先化简再加减消元，虽能达到目的，但不是明智之举，观察发现方程（1）与方程（2）中有相同的代数式5x＋7y，所以把方程（2）代入方程（1）中，从而解出x的值进而求出y的值，则快人一步！
简解：将方程（2）整体代入到方程（1），得2x＋3×2＝4，所以x＝—1，将x＝－1代入（2），得5×（－1）＋7y＝2，得y＝1，所以原方程组的解为
点评：解方程组时，有时可根据题目的特点整体代入，从而达到简化运算的目的，当然不是所有的题目都能像本题一样，直接整体代入，有时须通过仔细观察，抓住方程组的特点，先将它作一些处理，然后再整体代入．
二、整体加减法
例2 解方程组
分析：若先去分母，再化简求解，不胜繁冗，观察发现两个方程中都含有、，分别将其看作一个整体，将方程（1）与方程（2）进行整体加减消元，则简单明快．
简解：（1）＋（2）得：x＋y＝6，（1）－（2）得x－y＝20，原方程组转化为解之得
例3 解方程组
分析：对于这样系数较大的方程组，千万别硬做，繁琐难算且易错！观察发现方程组的左边未知数的系数为轮换对称式，分别将两个方程整体相加、减，可构造一个简单方程组，从而简化计算过程．
简解：（1）＋（2）得x＋y＝3；（1）－（2）得x－y＝－1，原方程组转化为解得所以原方程组的解为
三、消去常数法
例4 解方程
分析：按常规方法是寻找系数x或y的最小公倍数，再消元，运算量大，观察发现两个方程的常数项相同，所以两式相减消去常数项，再代入消元可获巧解．
简解：（1）－（2）得2x＝3y……（3），将（3）代入（1），解得57y＝1，解得y＝，再将y＝代入（3），得x＝．
所以原方程组的解为
四、整体构造法
例5 某人买13个鸡蛋、5个鸭蛋、9个鹅蛋共用12.7元；若买2个鸡蛋、4个鸭蛋、3个鹅蛋共用4.7元，求买鸡蛋、鸭蛋、鹅蛋各一个需多少元？
分析：设每个鸡蛋、鸭蛋、鹅蛋的价格各为x、y、z元，根据题意只能布列2个方程，不能求出x、y、z的值，将x＋y＋z看作一个整体，将每一个方程都构造含有x＋y＋z的式子，从而可整体求出．
简解：设每个鸡蛋、鸭蛋、鹅蛋的价格分别为x、y、z元，则有：
将方程组可变为
＋（4）×4，即得x＋y＋z＝1.5，故买鸡蛋、鸭蛋、鹅蛋各一个需1.5
元．
五、增设辅元法
例6 解方程组
分析：所谓增设辅元法，就是在解题过程中，把含某个（或某些）字母的式子做为一个整体，用一新的字母表示，从而把一个较为复杂的式子化简，把原题归给为较简单的基本问题，达到化难为易的目的，当方程组中出现“比”的形式或“连比”的形式，通常采用增设辅元法，以简化运算．
简解：设＝＝＝k，则x＝2k，y＝3k，z＝4k，又2x＋y＋z＝22，
4k＋3k＋4k＝22，k＝2，所以原方程组的解为
总之，在解二元一次方程组时，一定要分析题目的特点，灵活运用技巧，才能简化解题过程，化繁为简，提高正确率．
如何解三元一次方程组
一 、什么叫做三元一次方程组
如果方程组中含有三个未知数，每个方程中含有未知数的项的次数都是一次，并且方程组中一共有三个方程，这样的方程组叫做三元一次方程组．如就是一个三元一次方程组．
提示：三元一次方程组中的每个方程不一定都含有三个未知数，但方程组中一定要有三个未知数．
二 、解三元一次方程组基本思路
解三元一次方程组的基本思路是消元，其方法有代入消元法和加减消元法两种，通过消元将三元一次方程组转化为二元一次方程组或一元一次方程．
提示：三元一次方程组求解方法与二元一次方程组的求解方法类似，可通过对比来理解三元一次方程组的解题思想．
三、解三元一次方程组的一般步骤
1．观察方程组中每个方程的特点，确定消去的未知数；
2．利用加减消元法或代入消元法，消去一个未知数，得到二元一次方程组；
3．解二元一次方程组，求得两个未知数的值；
4．将所得的两个未知数的值代入原三元一次方程组中的某个方程，求到第三个未知数的值；
5．写出三元一次方程组的解．
例如：解方程组
分析：观察方程组中每个方程的特征可知，方程③不含有字母z，而①、②中的未知数z的系数成倍数关系，故可用加减消元法消去字母z，然后将所得的方程与③组合成二元一次方程组，求这个方程组的解，即可得到原方程组的解．
解：①×2＋②，得5x＋8y＝7④，
解③，④组成的方程组得
把x＝3，y＝－1代入①，得z＝1，所以原方程组的解为
