数学教学设计
教 材：义务教育教科书·数学（七年级下册）
12.1 定义与命题
教学目标
1．了解定义、命题、真命题、假命题的含义；
2．了解命题的结构，会区分命题的条件（题设）和结论，并能初步对命题的真假性作出判断．
教学重点
结合具体实例，会区分命题的条件（题设）和结论．
教学难点
当命题的条件和结论不十分明显时，能区分命题的条件（题设）和结论．
教学过程（教师）
学生活动
设计思路
新课引入——阅读材料
在我们丰富的数学世界里有许多神奇的数．你听说过费尔马数、相亲数、圣经数、回文数、正直数、水仙花数吗？我先来介绍一下“水仙花数”吧！各个数位上数字的立方和等于其本身的三位数叫做“水仙花数”．比如153是“水仙花数”，因为
13＋53＋33＝153.
同学们，你们能从113、407、220三个数中找出“水仙花数”吗？
学生兴趣盎然，积极思考，很快得到答案是407．
提出问题，引发学生思考，激发学生的求知欲．
（1）提问：你的根据是什么？
（2）概括定义的概念：一般地，对某一名称或术语进行描述或作出规定就叫做该名称或术语的定义．
积极思考，并回答问题.
参考答案：
根据是材料里的一句话——各个数位上数字的立方和等于其本身的三位数叫做“水仙花数”．
因为43＋03＋73＝407，
所以407是水仙花数．
从数学问题中引入定义这个概念，让学生感受到对一些名称或术语下定义的必要性.
合作探究1
你能说出下列名称的定义吗？
（1）平行线；（2）绝对值；（3）方程的解．
积极思考，回答问题．
参考答案：见课件．
学生回忆这些概念的定义，引导学生感受数学是如何给概念下定义的．
定义的规则是：（1）应相等，即定义概念和定义概念的外延相等；（2）不应循环；（3）一般不应是否定判断；（4）应该清楚确切．
合作探究2
1．比较下列句子在表述形式上哪些对事情作了判断？哪些没有对事情作出判断？
（1）鸟是动物；
（2）若a2＝4，求a的值；
（3）若a2＝b2，则a＝b；
（4）a、b两条直线平行吗？
（5）画一个角等于已知角；
（6）0.33是无理数；
（7）两直线平行，同位角相等．
2．提问：
“鸟是动物．”与“鸟是动物吗？”这两句话一样吗？如果不一样，有什么不同？
3．总结．
（1）命题的概念；
（2）命题的特征．
积极思考，回答问题．
参考答案：见课件．
上述表述分为两类：一类是对某一个事情做出了判断；另一类没有对某一个事情做出了判断．引导学生通过这两类（命题与非命题）具体例子的辨析，了解什么是命题，什么不是命题．
对一件事情做出判断的句子，有的做出了正确的判断，有的做出了错误的判断，如：0.33是无理数，这个句子的判断是错误的，教学中学生可能会误以为这样的句子不是命题，可以结合具体的事例，说明凡是做出判断的句子都是命题，不论判断是否正确．所以命题的特征有三个，即：是句子、有判断、有对错．
师生交流
1．提问：
观察上题的（1）、（3）、（6）、（7），你能发现它们有什么共同的结构特征？
2．概括：
在数学中，命题一般可看作由题设（条件）和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．
学生积极思考，回答问题.
像“两直线平行，同位角相等．”前面是条件部分，后面是结论部分．
师生共同小结命题的结构特征．
例题：
找出下列命题的条件和结论．
（1）对顶角相等；
（2）π是无理数．
积极思考，回答问题．
参考答案：见课件．
由于命题“对顶角相等．”的条件和结论不明显，学生可能会把这个命题分成“对顶角”和“相等” 两部分，认为这个命题的条件是“对顶角”，结论是“相等”，实际教学中，可以在学生讨论、交流的基础上，画出这个命题的相关图形，于是就有了与上面不同的表述，条件是“两个角是对顶角”，结论是“这两个角相等”，对照图形，比较这两种不同表述，前一种条件和结论都不完整的句子，显然不如后一种表述清楚准确，可以引导学生，对于条件和结论不明显的时候，可以先画出这个命题的相关图形，或将这个命题改写成如果、那么的形式，然后再写出条件和结论．
合作探究3
1．下列命题的条件是什么？结论又是什么？
（1）如果a、b两数的积为0，那么a、b两数都为0；
（2）如果两个角互为补角，那么这两个角和为180°；
（3）两直线平行，同旁内角互补；
（4）两直线相交，只有一个交点；
（5）有公共端点的两个角是对顶角．
2．追问：以上各个命题作出的判断正确吗？
3．教师在学生回答的基础上概括真命题、假命题的定义．
积极思考，回答问题．
参考答案（第1题）：
（1）条件：a、b两数的积为0；
结论：a、b两数都为0．
（2）条件：两个角互为补角；
结论：这两个角和为180°.
（3）条件：两直线平行；
结论：同旁内角互补.
（4）条件：两直线相交；
结论：这两条直线只有一个交点.
（5）条件：两个角有公共端点；
结论：这两个角是对顶角．
（2）、（3）、（4）条件成立时，结论也成立，它们是真命题，而（1）、（5）条件成立时，不能保证结论都成立，所以（1）、（5）是假命题．
教学中，应该在学生充分交流各自的判断方法的基础上，引导学生体会：（1）真命题、假命题的含义；（2）要说明一个命题是假命题，只要举一个“反例”就可以了，而要说明一个命题是真命题，无论验证多少个例子都无法保证它的正确性，需要通过证明．关于反例和证明，在下面的学习中将重点介绍，这里主要初步引导学生体会反例的作用．
练习
判断下列命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？
（1）相等的角是对顶角；
（2）内错角相等；
（3）大于90度的角是平角；
（4）如果a＞b，b＞c，那么a＞c．
参考答案：见课件．
巩固学生所学真命题、假命题的定义．
能力检测
1.下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？
（1）画一个角等于已知角；
（2）a、b两条直线平行吗？
（3）直角三角形两锐角互余．
（4）过一点画已知直线的垂线．
（5）若a＝b，则a2＝b2．
2．追问：如果是命题，那么它的条件是什么？结论又是什么？是真命题？还是假命题？
学生积极思考，回答问题．
参考答案：见课件．
首尾呼应．既检测了学生对本节课知识的掌握程度，又考查了学生解决问题的综合能力．
拓展提高
1．在数学运算中，除了加、减、乘、除等运算外，还可以定义新的运算．如定义一种“星”运算，“*”是它的运算符号，其运算法则是：a*b＝（a＋ b）（a－b）于是：
5*3＝（5＋3）（5－3）＝16；
3*5＝（3＋5）（3－5）＝－16；
5*3*3＝16*3＝247．
（1）按以上定义，填空：2*3＝_____；2*3*5＝_____．
（2）请你参照以上方法，也定义一种新运算，并举几个运算的例子．
2．下列命题是真命题？还是假命题？
（1）若a∥b，b∥c，则a∥c；
（2）如果a是有理数，则 a2＋1＞0；
（3）若a2＞b2，则a＞b；
（4）若ab＝0，则a＝0；
（5）如果两个角的两边互相平行，这两个角一定相等；
（6）绝对值等于它本身的数是正数．
在独立思考的基础上，安排小组讨论．
参考答案：
1．（1）2*3＝－5；2*3*5＝0；
（2）略
2．（1）、（2）是真命题；（3）、（4）、（5）、（6）是假命题．
根据班级情况，灵活安排教学内容．
总结
（1）通过本节课的学习，有什么收获？
（2）还有哪些疑问？
讨论后共同小结．
师生互动，总结学习成果，体验成功．
课后作业
1．课本习题12.1第1、2、3题；
2．课外思考题（选做）：
请查阅费尔马数、相亲数、圣经数、回文数、正直数的定义，并谈谈你的体会！
学生课后独立完成．
（1）发展学生知识整合的能力.
（2）选做题让不同层次的学生得到不同的发展．
数学教学设计
教 材：义务教育教科书·数学（七年级下册）
12.2 证明（1）
教学目标
1．能在观察、实验、操作的基础上，对所作的猜想加以证实；
2．通过积极参与，获得正确的数学推理方法，理解数学的严谨、严密性，并培养与他人合作的意识．
教学重点
学会判断一个数学结论必须一步一步、有理有据地进行推理并进一步感受说理的必要性．
教学难点
初步学会说理，并发展有条理的思考和表达的能力．
教学过程（教师）
学生活动
设计思路
情景导入
同学们听说过或见过海市蜃楼吗？
夏天，平静无风的海面或沙漠上，有时能看到楼台、亭阁、集市、庙宇等虚幻景象出现在远方的空中……
自然界中看到的景象是真实存在的吗？
学生各自发表意见和想法．
较好地发挥了“情景导入”的作用，在好奇心的驱动之下，学生欲罢不能，很容易就产生了继续学习、探索新知识的欲望．
探究活动一
先猜一猜图中的两条线段AB与CD哪一条长一些？
请再量一量证实你的猜想．
学生观看思考动手操作并回答．
通过观察和实验操作来证实自己的判断是否有误，生活中有，数学中有时也有类似的现象．
探究活动二
图（1）中有曲线吗？请把图（2）中编号相同的点用线段连接起来．
观察、思考、感悟．
通过观察和实验操作来证实自己的判断是否有误，生活中有，数学中有时也有类似的现象．
感悟归纳
从以上两个探究活动中，你有什么感悟啊？
实验、观察、操作是人们认识事物的重要手段，但仅凭实验、观察、操作是不够的，所以正确地认识事物，不能单凭直觉，还要加以证实！
师生共同探讨．
突出本课的重点，如何说明你的判断是正确的．
例题讲解
例1 有两条如图所示小路，这两条小路哪个长？这两条小路的面积怎样？
观察、思考、说理．
感受说理的必要性和重要性，从而激发学生追求真理的兴趣和欲望．
例题讲解
例2 小明和小林在研究代数式2－2m＋m2的值的情况时得出了两种不同的结论．
小明填写表格：
m
－2
0
4
6
……
2－2m＋m2
10
2
10
26
……
小林填写表格：
m
－6
－4
2
0
……
2－2m＋m2
50
26
2
2
……
请你再取一些m的值代入代数式算一算，说明小明和小林的结论是否正确．你是否有新的发现？新的结论？
思考：本题中，你用什么方法去说明别人的观点不正确？你又是怎么说明自己的观点是正确的？
观察、操作、思考、独立完成．
让学生通过观察、操作、猜想、探究得出结论．
数学实验一
（1）在提供的模板中取两个直角三角形和两个直角梯形，按图①拼成8×8的正方形，用胶带粘好．
（2）用同样的两个直角三角形和两个直角梯形，能按图②恰好拼成13×5的矩形吗？动手试一试！
请同学们再计算一下图①、图②的面积，你发现了什么？
学生独立完成，说说自己的想法．
让学生体会数学学习的方法．
数学实验二
如图：（1）画∠AOB＝90°，并画∠AOB的角平分线OC．
（2）将三角尺的直角顶点落在OC的任意一点P上，使三角尺的两条直角边与∠AOB的两边分别交于点E、F，并比较PE、PF的长度．
（3）把三角尺绕点P旋转，比较PE与PF的长度．
你能得到什么结论？你的结论一定成立吗？与同学交流．
学生独立完成，说说自己的想法．
进一步加强说理的作用，让学生体会数学学习的方法．
能力检测
1．你认为大圆内的10个小圆的周长之和与另一个大圆内的2个小圆的周长之和哪一个大一些？请你猜一猜，并用学过的知识和数学方法验证你的猜想．
学生独立完成，说说自己的想法．
让学生体会数学学习的方法．
2．今年五一节期间，王老板在其经营的服装店里卖出两件衣服，其中一件是裤子售价为168元，盈利20％，一件是夹克衫售价也是168元，但亏损20％，问王老板在这次的交易过程中是赚了还是亏了，如果是赚了，赚了多少？如果是亏了，亏了多少？还是不赚不亏？
学生独立完成，说说自己的想法．
进一步加强感受说理的作用．
课堂小结
本节课你的收获是什么？
共同小结．
师生互动，总结学习成果，体验成功．
课后作业
1．课本P149练一练第1、2、3题．
2．（选做题）一位老农有一块地，形状是平行四边形，地里有一口水井，他将水井与地的4角分别相连，把地分成4块，然后对他的儿子说：“地分给你们了，每人各取相对的两块；水井不分，两家共用．”精明的弟弟要求先选，在看到土地后果断地选择了①、③两地，同学们，老实的哥哥吃亏了吗？
课后完成必做题，并根据自己的能力水平确定是否选做思考题．
选做题有一定的难度，学生可根据自己的能力去自主选做．这样就能实现《课程标准》中所要求的“让不同层次的学生得到不同的发展”．
数学教学设计
教 材：义务教育教科书·数学（七年级下册）
12.2 证明（2）
教学目标
1．了解证明的定义、基本步骤和书写格式．
2．经历证明命题的过程，感受数学的严谨、结论的确定，初步树立言之有理、落笔有据的推理意识，发展初步的演绎推理能力．
3．感受欧几里得的演绎体系对数学发展和人类文明的价值．
教学重点
会证明命题，能规范写出证明过程．
教学难点
证明过程中，能做到推理严谨、书写规范．
教学过程（教师）
学生活动
设计思路
情景创设
1．通过上节课的学习，怎么样说明一个数学问题是正确的？
2．回忆下列2个命题的学习过程，你会说明它们是正确的吗？
（1）同位角相等，两直线平行．
（2）内错角相等，两直线平行．
1．回忆上节课，知道要说明一个数学问题是正确的需要经过说理．
2．回忆两个命题的学习过程，体会到命题（1）是基本事实，命题（2）是由命题（1）说理得到的．
1．通过回忆，为新课的学习作好铺垫．
2．由已经学习的两个命题出发，体会数学结论正确性证明的两种情况，引入基本事实的概念．
新知探索
1．证明的概念．
2000多年前，古希腊数学家欧几里得对前人在数学上的成果进行了系统整理，他把人们公认的一些真命题作为公理，并以此作为出发点，用推理的方法证实了一系列命题，编纂成了人类文明史上具有里程碑意义的数学巨著——《原本》．
根据已知的真命题，确定某个命题真实性的过程叫做证明．经过证明的真命题称为定理．
基本事实
（1）同位角相等，两直线平行；
（2）两直线平行，同位角相等；
（3）两边和它们夹角对应相等的两个三角形全等；
（4）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等；
（5）三边对应相等的两个三角形全等．
2．证明的步骤．
下面，我们从基本事实出发，证明“垂直于同一条直线的两条直线平行”（过程略）．
证明过程必须做到言必有据．证明过程通常包含几个推理，每个推理应包括因、果和由因得果的依据．
证明与图形有关的命题，一般有以下的步骤：
（1）根据题意，画出图形；
（2）根据命题的条件、结论，结合图形，写出已知、求证；
（3）写出证明过程．
1．阅读关于《原本》的知识，体会欧几里得几何证明的发展历史，了解证明及定理的概念，知道5个基本事实．
2．尝试证明命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”，感受因、果和由因得果的依据的得来．
1．通过阅读，让学生进一步了解数学史，了解证明及定理的概念，知道5个基本事实．
2．让学生经历命题证明的过程，引导学生体会推理的思考方法，在讨论、交流中发展学生有条理的表达能力，体会证明的步骤和书写规范．
例题学习
例1 已知：如图，直线AB、CD被直线EF所截，AB∥CD，MG平分∠EMB，NH平分∠END．
求证：MG∥NH．
积极思考，尝试证明，同桌间交流书写规程，进一步体会证明要求．
通过同桌交流、教师点评，让学生熟悉证明的要求．
随堂练习
1．已知：如图，AD∥BC，∠BAD＝∠DCB．
求证：∠1＝∠3．
2．已知：A、O、B在一直线上，OM 平分∠AOC，ON平分∠BOC．
求证：OM⊥ON．
认真完成两条练习题．
及时巩固证明的要求，初步树立言必有理，落笔有据的推理意识．
课堂小结
通过本课的复习，
1．我对“证明” 有以下几方面的认识．
2．我还有一些疑惑：
师生共同小结，梳理本节课的学习收获，寻找存在问题．
让学生交流，自主建构知识，提升能力，让学生寻找问题，确定．
课后作业
1．必做题．
课本习题12.2P154-155第4、5题；
2．选做题：
课本习题12.2P156第7题．
做好记录，先行思考．
及时巩固所学知识，通过分层作业使不同的学生都有不同的发展．
数学教学设计
教 材：义务教育教科书·数学（七年级下册）
12.2 证明（3）
教学目标
1．进一步了解证明的基本步骤和书写格式；
2．会证明三角形内角和定理以及推论，并能简单运用；
3．继续感受数学的严谨性和数学结论的确定性，在交流中发展有条理思考和表达的能力，树立言之有理、落笔有据的推理意识．
教学重点
会证明三角形内角和定理及其推论，并能简单运用．
教学难点
添加辅助线和有条理的表述．
教学过程（教师）
学生活动
设计思路
一、方法引领
证明：两直线平行，同旁内角互补．
（1）证明命题的基本步骤是什么？
（2）在这个命题的证明过程中运用了哪些知识？
观察、思考、回答、感悟．
提出问题（1）证明命题的基本步骤是什么？通过这个问题让学生回忆证明命题的一般步骤；然后给出证明一个过程，提出问题（2）在命题的证明过程中运用了哪些知识？通过这个问题让学生知道“两直线平行，同位角相等”反映了∠1和∠2的位置关系与数量关系；“平角的定义”得到了∠1＋∠3＝180°，也就得到了∠1＋∠2＝180°，同时“180°”的得出为本节课的教学作铺垫．
问题：三角形有三条边、三个内角，它们有怎样的数量关系呢？
观察、思考、回答．
通过图像变化，得出三角形，自然过渡到本节课将要学习的内容．
二、自主构建
1．证明：三角形三个内角的和等于180°．
问题1：这个命题的条件和结论是什么？请你结合图形，说出已知，求证；
问题2：由180 °你想到什么？怎样将∠A、∠B、∠C搬在一起？
问题1的学生活动：
1．回忆旧知．
2．观察、思考、回答．
问题2的学生活动：
1.独立思考．围绕问题2思考证明方法，把想法画到学案纸上．
2．小组合作．把各自的方法在小组内交流、探讨．
3．小组汇报．学生每个小组内推选一名代表汇报，相互补充．
4．有条理表述．学生选择合适的方法书写证明过程，并展示讲解．
为了让学生体会并认识到学习本节课知识的必要性，在这里让学生回忆了小学里是如何得出“三角形三个内角的和等于180°”这一结论的．起到一个过渡的作用，同时为辅助线的教学作一个铺垫．在小组交流中，教师适时引导：①为了证明的需要我们可以在原来的图形上添加辅助线．②添辅助线，实质是构造新图形，把新问题转化为我们已经会解决的问题．③可以通过画平行线实现拼图中的搬动三角形的两个角，以利于学生体会添辅助线有必要、有意义．在小组汇报和学生表达时，应让学生充分交流证明的思路，在交流中发展有条理思考和有条理表达的能力．
2．议一议．
如图1：∠ACD是△ABC的一个外角，那么它与不相邻的两个内角∠A、∠B之间有怎样的数量关系？为什么？
结论： ．
观察、思考、说理．
让学生从不同角度去证明三角形内角和定理的推论，既巩固了新知，同时也让学生感受到证明方法、角度的多样性，从而进一步发展学生有条理的思考、表达的能力．
三、互动体验
已知：如图2，AC、BD 相交于点O ．
求证：∠A ＋∠B ＝∠C ＋∠D ．
请结合以下三个问题思考：
（1）由条件你想到什么？
（2）由结论你想到什么？
（3）结合图形你想到什么？
学生独立完成，说说自己的想法．
教学中，要关注学生能否形式化的表达，同时更要关注发展学生合符逻辑的思考和有条理的表达的能力，鼓励学生主动的表达和交流．设计三个问题的目的在于引导学生学会思考问题和解决问题，教给学生分析问题的思路、方法．
四、能力提升
已知：如图3，AD是△ABC的角平分线，E是BC延长线上一点，∠B＝∠EAC ．
求证：∠ADE ＝∠DAE ．
学生独立完成，说说自己的想法，然后书写证明过程，最后展示交流．
进一步引导学生从已知条件出发向结论探索，也可引导学生从结论出发向已知条件探索，或者从已知条件出发和结论两个方向互相逼近，从而进一步提高学生分析问题和解决问题的能力，巩固本节课所学知识、方法．
五、智慧建构
本节课学习了哪些知识？掌握了什么技能？学到了哪些方法？获得了怎样的学习经验？
共同小结．
师生互动，总结学习成果，体验知识的发生发展过程，总结提炼解决问题的方法．
六、布置作业
必做题：习题12.2第6、7、8两题．
选做题：探讨“三角形三个内角的和等于
180°”的多种证明方法，写一篇数学小论文．
课后完成必做题，并根据自己的能力水平确定是否选做思考题．
选做题解法较多，但又不规定必须用几种方法，学生可根据自己的能力去自主选做．这样就能实现《课程标准》中所要求的“让不同层次的学生得到不同的发展”．
数学教学设计
教 材：义务教育教科书·数学（七年级下册）
12.3 互逆命题（1）
教学目标
1．引导学生通过具体实例，了解原命题及其逆命题的概念；
2．会识别两个互逆命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立；
3．通过具体的例子了解反例的作用，知道利用反例可以证明一个命题是错误的．
教学重点
会识别两个互逆命题，并能利用反例证明一个命题是错误的．
教学难点
准确表述一个命题的逆命题，学会利用反例进行有条理的表述．
教学过程（教师）
学生活动
设计思路
问题情境
出示：两直线平行，同位角相等．
同位角相等，两直线平行．
提问：
1．这两个命题的条件和结论分别是什么？是真命题还是假命题？
2．从结构上看，这两个命题有什么联系和区别？
揭示课题．
积极思考，回答问题．
问题情境的设计首先让学生回顾命题的条件和结论，以及它的真假性，为后续学习做准备，继而让学生观察一对命题的联系和区别，揭示出本节课的课题并引入“互逆命题”的概念．
互逆命题的概念
1．举例：在我们学过的命题中，还有类似的一些例子吗？（同桌交流）
2．形成概念：在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题是另一个命题的逆命题．
同桌两人一组，将自己所举的例子说给对方听，并全班进行交流．
尝试归纳“互逆命题”的概念．
通过举例便于让学生归纳出它们的条件和结论之间的共性来，从而水到渠成的归纳出互逆命题的概念．
试一试
1．下列各组命题是否是互逆命题：
（1）“正方形的四个角都是直角”与“四个角都是直角的四边形是正方形”；
（2）“等于同一个角的两个角相等”与“如果两个角都等于同一个角，那么这两个角相等”；
（3）“对顶角相等”与“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”；
（4）“同位角相等，两直线平行”与“同位角不相等，两直线不平行”．
2．说出下列命题的逆命题，并与同学交流．
（1）如果a2＝b2，那么a＝b；
（2）如果两个角是对顶角，那么它们的平分线组成一个平角；
（3）末位数字是5的数，能被5整除；
（4）锐角与钝角互为补角．
3．判断上面第2题中五对互逆命题的真假．
积极思考，细心观察．
认真思考，展开讨论．
通过练习，让学生能正确识别两个互逆命题，从而加深对互逆命题概念的理解．
通过交流，让学生意识到制作逆命题时不是简单的将条件和结论互换就可以了事的，而应该先弄清条件与结论的意思，再对其中的某些词作必要的修饰，然后进行对调，否则会造成语句不通或意思含混．
通常如果原命题是“如果……那么……”的形式，制作它的逆命题相对而言简单些，如果原命题是简略形式，在制作逆命题时觉得表述上有困难，你也可以将它改成“如果……那么……”的形式，再制作它的逆命题．
通过判断五对互逆命题的真假，为下一环节的讨论作铺垫．
议一议
1．说明一个命题是真命题可以用推理的方法去证明，那如何说明一个命题是假命题呢 (小组交流) ？
举出一个符合命题的条件，但命题结论不成立的例子来说明命题是假命题，这样的例子称为反例．
数学中，判断一个命题是假命题，只需举出一个反例．
2．如果一个命题是真命题，那么它的逆命题一定是真命题吗？
体验并了解利用反例（符合命题的条件，但不符合命题的结论的例子）可以判断一个命题是错误的．
观察、思考，并归纳、小结得出“一对互逆命题的真假性不一定相同”．
组织学生交流各自判断一个命题是假命题的方法，以利于引导学生体验并了解利用反例（符合命题的条件，但不符合命题的结论的例子）可以判断一个命题是错误的．
组织学生思考并交流各自判断命题真假的情况，以利于学生主动发现：一对互逆命题的真假性不一定相同．
练一练
举反例说明下列命题是假命题．
（1）如果|a|＝|b|，那么a=b；
（2）任何数的平方大于0；
（3）两个锐角的和是钝角；
（4）如果一点到线段两端的距离相等，那么这点是这条线段的中点．
发表意见，表达观点，相互补充．
锻炼学生的口头表达能力，培养学生勇于发表自己看法的能力，会进行简单的说理．
拓展延伸
课外阅读“第一次数学危机”“著名的反例”．
认真阅读两篇文章，体会反例的作用．
通过阅读，让学生体会反例帮助我们发现了无理数，从而推动了数学科学的发展，通过反例可以让冥思苦想正面不能解决的问题，以否定的方式巧妙解决，从而带来许多的惊喜．
小结
本节课你学会了什么？你有什么收获？
共同小结．
师生互动，总结学习成果，体验成功．
课后作业
课本P161习题12.3第1、2题．
仔细做题，学会归纳．
巩固课堂所学知识，训练解题能力，提升数学素养．
数学教学设计
教 材：义务教育教科书·数学（七年级下册）
作
12.3 互逆命题（2）
教学目标
1．体会认识图形“位置关系”和“数量关系”的内在联系；
2．经历构造一个命题的逆命题，并证明这个逆命题是真命题，获得新的数学结论的过程，学习逆向思考研究问题．
教学重点
体会认识图形“位置关系”和“数量关系”的内在联系．
教学难点
有条理的说理．
教学过程（教师）
学生活动
设计思路
情景导入
复习提问：在你已经学习过的命题中，举出两个命题，它们不仅是逆命题，而且都是真命题．
积极思考，回答问题．
引导学生既举数学中的例子，也举生活中的例子．
巩固上一节课学习的重要概念——互逆命题．通过举例使学生进一步感受互逆命题在日常生活和数学学习中的应用．
探索活动
如图：
（1）如果AD∥EF，那么可以得到什么结论？
（2）如果∠EFC＋∠C＝180°，那么可以得到什么结论呢？
（3）证明AD∥EF，需要什么条件？证明EF∥BC呢？
（4）证明AD∥EF∥BC，需要什么条件？
学生回顾“三线八角”的相关知识，积极思考，回答问题．
问题（1）、（2）是“由已知想可知”的思考；问题（3）、（4）是“由未知想需知”的思考．
引导学生逐步认识：图形特殊的“位置关系”往往决定了图形具有特殊的“数量关系”；反过来，图形特殊的“数量关系”常常决定了图形具有特殊的“位置关系”．体会认识图形需要关注形与数之间的内在联系，并为例1作铺垫．
例题教学
例1 证明：平行于同一条直线的两条直线平行．
1．按照证明与图形有关的命题的一般步骤画图，写已知、求证．
2．观察、思考、证明．
3．学生板演．
巩固与图形有关的命题证明的一般步骤．
结合上一个问题的分析思考，学生意识到要得到直线平行这个“位置关系”，就需要有三线八角的“数量关系”作为条件．主动添加辅助线，构造新图形，进行证明．
通过板演，进一步学会规范书写和有条理的说理．
例题教学
例2 证明：直角三角形的两个锐角互余．
1．按照证明与图形有关的命题的一般步骤画图，写已知、求证．
2．观察、思考、证明．
3．学生板演．
巩固例1的教学目的，同时为下一个教学环节——构造证明逆命题，探究结论作准备，在课堂教学中起承上启下的作用．
同时两道例题都引导学生再一次感受欧几里得“从基本事实出发，证明一个又一个命题”的方法．
拓展延伸
说出命题“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题．
这个命题是真命题吗？为什么？
1．发表意见，表达观点；
2．写出证明过程，互相检查批改．
感受构造一个命题的逆命题，并证明这个命题是真命题，是探索一些新的数学结论的方法，以利于发展学生思考的能力．
为以后探索几何图形的判定方法埋下伏笔．
课堂练习
1．（1）如图，AB∥CD，AB、DE相交于点G，∠B＝∠D． 在下列括号内填写推理的依据：
∵AB∥CD (已知)，
∴∠EGA＝∠D ( )，
又∵∠B＝∠D (已知)，
∴∠EGA＝∠B( )，
∴DE∥BF ( )．
（2）上述推理中，应用了哪两个互逆的真命题？
思考并作答（根据学生的实际能力表现，可安排小组讨论）．
1．巩固“三线八角”的相关知识；
2．学习几何证明的书写方法．
课堂练习
2．（1）已知：如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，且∠ACD＝∠B．求证：CD⊥AB．
（2）你在（1）的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题？
积极思考解决办法——运用本节课所学数学知识解决问题．
组织学生小组交流讨论，通过合作学习的方式进一步巩固本节课的学习内容，同时活跃课堂气氛，在一堂课的后半段激发学生学习的热情，以提高课堂效率．
课堂小结
通过今天的学习，你有哪些收获与体会，说出来和同学们分享．
共同小结．
师生互动，总结学习成果，体验成功．
课后作业
1．课本P161习题12.3第3、4题；
2．思考题（选做）：
（1）已知：如图，在在△ABC 中，点E 在AC上，点F 在BC上，点D、G 在AB上，FG∥CD，∠EDC＝∠BFG ．
求证：∠AED ＝∠ACB．
（2）你在（1）的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题？
课后完成必做题，并根据自己的能力水平确定是否选做思考题．
选做题是课堂练习的延续和提升，首先要应用FG∥CD得∠BCD＝∠BFG，再结合
∠EDC＝∠BFG得∠BCD＝∠EDC，然后由
∠BCD＝∠EDC得到DE∥BC，从而得到
∠AED＝∠ACB．学生还有可能有不同的证明方法，只要合理就行．通过思考题的训练提高学生应用图形“位置关系”和“数量关系”互相转换的能力．
课件17张PPT。12.1 定义与命题七年级(下册)作 者：周进荣（无锡市蠡园中学） 初中数学
你的根据是什么? 在我们丰富的数学世界里有许多神奇的数．你听说过费尔马数、相亲数、圣经数、回文数、正直数、水仙花数吗？我们先来认识一下“水仙花数”吧！各个数位上数字的立方和等于其本身的三位数叫做“水仙花数” ．
比如，153是“水仙花数”，因为13+53+33=153.
同学们，你们能从113、407、220三个数中找出“水仙花数”吗? 一般地，对某一名称或术语进行描述或作出
规定就叫做该名称或术语的定义． 【材料阅读】12.1 定义与命题在同一平面内，不相交的两条直线是平行线．数轴上表示一个数的点到原点的距离是这个数的绝对值．能使方程两边的值相等的未知数的值是方程的解．【说一说】12.1 定义与命题 比较下列句子在表述形式上哪些对事情作了判断？哪些没有对事情作出判断？ （1）鸟是动物；
【辨一辨】
（2）若a2=4，求a的值；
（3）若a2=b2，则a=b；
（4）a、b两条直线平行吗？
（5）画一个角等于已知角；
（6）0.33是无理数；
（7）两直线平行,同位角相等．12.1 定义与命题 像（1）、（3）、（6）、（7）对某一件事情作出判断的句子叫做命题． 命题的特征：句子、有判断 、有对错． 比较下列句子在表述形式上哪些对事情作了判断？哪些没有对事情作出判断？ （1）鸟是动物；
（3）若a2=b2，则a=b；
（6）0.33是无理数；
（7）两直线平行,同位角相等．【辨一辨】12.1 定义与命题命题： 两直线平行，同位角相等．（题设） 在数学中，命题一般可看作由题设（条件）
和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是
由已知事项推出的事项． （结论）【命题的结构】12.1 定义与命题相等对顶角(两个角是)条件:(补上适当词语)结论:角两个（1）对顶角相等条件：两个角是对顶角，结论：这两个角相等．找出下列命题的条件和结论．【例题】如果两个角是对顶角，那么这两个角相等． 改写：方法:
先结论，
后条件．12.1 定义与命题找出下列命题的条件和结论．【例题】（2）π是无理数条件：一个数是π ，结论：这个数是无理数． 如果一个数是π ，那么这个数是无理数． 改写：12.1 定义与命题 下列命题的条件是什么？结论又是什么？【议一议】（1 ）如果a、b两数的积为0，那么a、b两数都为0；（2 ）如果两个角互为补角，那么这两数和为180°；（3 ）两直线平行，同旁内角互补；（4 ）两直线相交，只有一个交点；（5 ）有公共端点的两个角是对顶角 .以上各个命题作出的判断正确吗？12.1 定义与命题（1 ）如果a、b两数的积为0，那么a、b两数都为0；（2 ）如果两个角互为补角，那么这两角和为180°；（3 ）两直线平行，同旁内角互补；（4 ）两直线相交，只有一个交点；（5 ）有公共端点的两个角是对顶角 . 命题（2）、（3）、（4）都是正确的，也就是说，如果条件成立，那么结论成立.像这样的命题叫做真命题. 像命题（1）、（5），当条件成立时，不能保证结论总是正确的，也就是说结论不成立，这样的命题叫做假命题.【议一议】12.1 定义与命题判断下列命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？
(1)相等的角是对顶角；
(2)内错角相等；
(3)大于90度的角是平角；
(4)如果a＞b，b＞c，那么a＞c ．
假命题假命题真命题假命题【辨一辨】12.1 定义与命题下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？不是不是是不是是（1）画一个角等于已知角；（2）a、b两条直线平行吗？（3）直角三角形两锐角互余；
（4）过一点画已知直线的垂线；（5）若a＝b ，则a2＝ b2 . 下列命题的条件是什么？结论又是什么？ 它们是真命题？还是假命题？【练一练】12.1 定义与命题1．在数学运算中，除了加、减、乘、除等运算外，还可以定义新的运算．如定义一种“星”运算，“*”是它的运算符号，其运算法则是：
于是：按以上定义，填空：＿＿＿，＿＿ ＿． 请你参照以上方法，也定义一种新运算，并举
几个运算的例子.【拓展提升】12.1 定义与命题（1）若a∥b，b∥c，则a∥c ；
（2）如果a是有理数，则 a2 +1＞0 ；
（3）若a2＞b2 ，则 a＞b ；
（4）若 ab＝0 ，则a＝0 ；
（5）如果两个角的两边互相平行，这两个角一定相等；
（6）绝对值等于它本身的数是正数． 2.下列命题是真命题？还是假命题？【拓展提升】12.1 定义与命题
1．通过今天的学习，你有什么收获？
2．还有什么疑问？12.1 定义与命题【课后作业】
1．课本习题12.1第1、2、3题；
2．课外思考题（选做）：
请查阅费尔马数、相亲数、圣经数、回文数、正直数 的定义，并谈谈你的体会！
12.1 定义与命题谢 谢!课件14张PPT。七年级(下册)初中数学 12.2 证明（1）作 者：鞠金海（无锡市太湖格致中学） 12.2 证明(1)【情境引入】同学们听说过或见过海市蜃楼吗？
夏天，平静无风的海面或沙漠上，有时能看到楼台、亭阁、集市、庙宇等虚幻景象出现在远方的空中……自然界中看到的景象是真实存在的吗?【探究活动一】先猜一猜图中的两条线段AB与CD哪一条长一些？请再量一量证实你的猜想．12.2 证明(1)【探究活动二 】图（1）中有曲线吗？请把图（2）中编号相同的点用线段连接起来.12.2 证明(1)【感悟归纳 】
从以上两个探究活动中，你有什么感悟啊？ 实验、观察、操作是人们认识事物的重要手段，但仅凭实验、观察、操作是不够的，所以正确地认识事物，不能单凭直觉，还要加以证实！ 12.2 证明(1)【例1】有两条如图所示小路，这两条小路哪个长？这两条小路的面积怎样？12.2 证明(1)【例2 】小明和小林在研究代数式2－2m＋m2的值的情况时，得出了两种不同的结论.
小明填写表格:
小林填写表格:
请你再取一些m的值代入代数式算一算，说明小明和小林的结论是否正确．你是否有新的发现？新的结论？
思考：本题中，你用什么方法去说明别人的观点不正确？你又是怎么说明自己的观点是正确的？12.2 证明(1)【数学实验一】（1）在提供的模板中取两个直角三角形和两个直角梯形，按图①拼成8×8的正方形，用胶带粘好.
（2）用同样的两个直角三角形和两个直角梯形，能按图②恰好拼成13×5的矩形吗？动手试一试！ 请同学们再计算一下图①、图②的面积，你发现了什么？12.2 证明(1)【数学实验二】如图，（1）画∠AOB＝90°，并画∠AOB的角平分线OC.
（2）将三角尺的直角顶点落在OC的任意一点P上，使三角尺的两条直角边与∠AOB的两边分别交于点E、F，并比较PE、PF的长度；
（3）把三角尺绕点P旋转，
比较PE与PF的长度.
你能得到什么结论？你的
结论一定成立吗？与同学交流 ．12.2 证明(1)【能力检测 】 1．你认为大圆内的10个小圆的周长之和与另一个大圆内的2个小圆的周长之和哪一个大一些？请你猜一猜，并用学过的知识和数学方法验证你的猜想．12.2 证明(1)【能力检测】 2．今年五一节期间，王老板在其经营的服装店里卖出两件衣服，其中一件是裤子售价为168元，盈利20％，一件是夹克衫售价也是168元，但亏损20％，问王老板在这次的交易过程中是赚了还是亏了，如果是赚了，赚了多少？如果是亏了，亏了多少？还是不赚不亏？12.2 证明(1)【小结】
通过今天的学习，你学会了什么？你会正确运用吗？通过这节课的学习，你有什么感受呢，说出来告诉大家. 12.2 证明(1)【课后作业】
1. 课本P149练一练第1、2、3题.
2.（选做题）一位老农有一块地，形状是平行四边形，地里有一口水井，他将水井与地的4角分别相连，把地分成4块，然后对他的儿子说：“地分给你们了，每人各取相对的两块；水井不分，两家共用．”精明的弟弟要求先选，在看到土地后果断地选择了①、③两地，同学们，老实的哥哥吃亏了吗？
12.2 证明(1)谢 谢!课件12张PPT。12.2 证明（2）七年级(下册)作 者：徐秀峰 （泰州市兴化戴泽初级中学） 初中数学 回忆下列2个命题的学习过程，你会说明它们是正确的吗？
（1）同位角相等，两直线平行.
（2）内错角相等，两直线平行.12.2 证明（2）数学问题正确性.说理通过实践，基本事实.通过说理.【情景创设】 2000多年前，古希腊数学家欧几里得对前人在数学上的成果进行了系统整理，他把人们公认的一些真命题作为公理，并以此作为出发点，用推理的方法证实了一系列命题，编纂成了人类文明史上具有里程碑意义的数学巨著——《原本》. 一个数学结论的正确性是如何确认的？ 根据已知的真命题，确定某个命题真实性的过程叫做证明.经过证明的真命题称为定理.【新知探索】12.2 证明（2）同位角相等,两直线平行；
(2) 两直线平行,同位角相等；
(3) 两边和它们夹角对应相等的两个三角形全等；(4) 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等；(5) 三边对应相等的两个三角形全等.基本事实12.2 证明（2）【新知探索】 下面，我们从基本事实出发，证明“垂直于同一条直线的两条直线平行”. 已知：求证：如图，在直线a、b、c中，a⊥c，b⊥c.a∥b.证明：∵ a⊥c∴∠1＝90°∵b⊥c (已知),
∴∠2＝90°（垂直的定义）.∵∠1＝90°，∠2＝90°（已证），∴∠1＝∠2（等量代换）.∵∠1＝∠2（已证）.∴ a∥b(已知),（垂直的定义）.（同位角相等，两直线平行）.12.2 证明（2）求证：a∥b.证明：∵ a⊥c∴∠1＝90°∵b⊥c (已知),
∴∠2＝90°（垂直的定义）.∵∠1＝90°，∠2＝90°（已证），∴∠1＝∠2（等量代换）.∵∠1＝∠2（已证）.∴ a∥b(已知),（垂直的定义）.（同位角相等，两直线平行）.证明过程通常包含几个推理.因果由因到果
的依据已知事项推得的结论基本事实、定义、已学过的定理以及等式性质、不等式性质等．12.2 证明（2）证明与图形有关的命题，一般有以下的步骤：（1）根据题意，画出图形；（2）根据命题的条件、结论，结合图形，写出已知、求证；（3）写出证明过程.12.2 证明（2） 例1 已知：如图，直线AB、CD被直线EF所截，AB∥CD，MG平分∠EMB，NH平分∠END.
求证：MG∥NH.【例题学习】12.2 证明（2） 2. 已知：A、O、B在一直线上，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC.
求证：OM⊥ON.
AOBCMN 1.已知：如图，AD∥BC,∠BAD＝∠DCB.
求证：∠1＝∠3.
第2题图第1题图【随堂练习】12.2 证明（2）通过本课的复习,
1.我对“证明” 有以下几方面的认识：
2.我还有一些疑惑：【课堂小结】12.2 证明（2）【课后作业】
必做题：
课本习题12.2 P154-155 第4、5题；
选做题：
课本习题12.2 P156第7题.12.2 证明（2）谢 谢!课件13张PPT。七年级(下册)初中数学 12.2 证明（3）作 者：王华军（泰州市兴化戴泽初级中学） 证明：∵ AB∥CD（已知）,
∴ ∠2＝∠3（两直线平行，同位角相等），
∵ ∠1＋∠3＝180°（平角的定义），
∴ ∠1＋∠2＝180°（等量代换）． 证明：两直线平行，同旁内角互补．已知：AB∥CD；
求证：∠1 + ∠2 = 180°；【方法引领】【方法引领】【方法引领】【方法引领】 证明：三角形三个内角的和等于180°． 问题1：这个命题的条件和结论是什么？
请结合图形，说出已知、求证； 问题2：由180°你想到什么？
怎样将∠A、∠B、 ∠C“搬”到一起？ 【自主构建】ACB【自主构建】 已知：如图，AC、BD 相交于点O .求证：∠A＋∠B＝ ∠C＋∠D.【互动体验】 已知：如图，AD是△ABC的角平分线，E是BC延长线上一点， ∠B = ∠EAC .
求证：∠ADE=∠DAE .由条件你想到什么？
由结论你想到什么？
结合图形你想到什么？【能力提升】【智慧建构】本节课学习了哪些知识？
掌握了什么技能？
学到了哪些方法？
获得了怎样的学习经验？命题应用定理
(推论)证明条件结论图形：位置、数量 已有知识、经验已 知辅助线图 形【智慧建构】【布置作业】必做题：习题12.2第6、7、8题． 选做题：探讨“三角形三个内角的和等于180°”
的多种证明方法，写一篇数学小论文.谢 谢!课件12张PPT。12.3 互逆命题（1）七年级(下册)作 者：董翠花（泰州市兴化戴泽初级中学） 初中数学12.3 互逆命题（1）两直线平行，同位角相等．同位角相等，两直线平行．【问题情境】12.3 互逆命题（1）如果 a＋b＞0 ，那么 a＞0，b＞0如果 a ＞0，b ＞0 ，那么 a＋b＞0【问题情境】12.3 互逆命题（1） 两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题.
其中一个命题是另一个命题的逆命题. 1．下列各组命题是否是互逆命题：
（1）“正方形的四个角都是直角”与“四个角都是直角的四边形是正方形”；
（2）“等于同一个角的两个角相等”与“如果两个角都等于同一个角，那么这两个角相等”；
（3）“对顶角相等”与“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”；
（4）“同位角相等，两直线平行”与“同位角不相等，两直线不平行” ．12.3 互逆命题（1）【试一试】2 ．说出下列命题的逆命题，并与同学交流．
（1）如果a2＝b2，那么a＝b；
（2）如果两个角是对顶角，那么它们的平分线组成一个平角；
（3）末位数字是5的数，能被5整除；
（4）锐角与钝角互为补角.
12.3 互逆命题（1）【试一试】逆命题：如果a＝b，那么a2＝b2 .逆命题：如果两个角的平分线组成一个平角，那么这两个角是对顶角.逆命题：能被5整除的数的末位数字是5．逆命题：互为补角的两个角一个是锐角一个是钝角． 举反例说明下列命题是假命题：
（1）如果|a|＝|b| ，那么a＝b；
（2）任何数的平方大于0；
（3）两个锐角的和是钝角；
（4）如果一点到线段两端的距离相等，那么这点是这条线段的中点．12.3 互逆命题（1）【练一练】第一次数学危机
公元前五世纪，毕达哥拉斯学派认为“万物皆是数”——任何数都可以表示为整数或整数的比.他的门徒希伯索斯发现一个反例：当正方形边长为整数1时，对角线的长就无法用整数表示！从而引发第一次数学危机.希伯索斯因为没有按毕达哥拉斯“保持沉默”的要求，把这个问题公之于众，结果被投尸大海，葬身鱼腹，造成历史上震惊数学界的无理数发现惨案.12.3 互逆命题（1）【拓展延伸】12.3 互逆命题（1）著名的反例
公元1640年，法国著名数学家费尔马发现：
220＋1＝3，
221＋1＝5，
222＋1＝17，
223＋1＝257，
224＋1＝65537……
而3、5、17、257、65537都是质数，于是费尔马猜想：
对于一切自然数n，22n＋1都是质数，可是，到了1732年，
数学家欧拉发现：225＋1＝4294967297＝641×6700417.
这说明了22n＋1是一个合数，从而否定了费尔马的猜想.【拓展延伸】【小结】
本节课你学会了什么？你有什么收获？12.3 互逆命题（1）课本P161习题12.3 第1、2题.7.1 探索直线平行的条件（1）【课后作业】谢 谢!课件12张PPT。12.3 互逆命题（2）七年级(下册)作 者：马爱平（ 泰州市兴化戴泽初级中学） 初中数学 在你已经学习过的命题中，举出两个命题，它们不仅是逆命题，而且都是真命题． 12.3 互逆命题（2）如图：
（1）如果AD∥EF，那么可以得到什么结论？
（2）如果∠EFC＋∠C＝180°，那么可以得到什么结论呢？
（3）证明AD∥EF，需要什么条件？证明EF∥BC 呢？
（4）证明AD∥EF∥BC，需要什么条件？12.3 互逆命题（2） 图形特殊的“位置关系”常常决定了图形具有特殊的“数量关系”；
反过来，图形特殊的“数量关系”常常决定了图形具有特殊的“位置关系”．12.3 互逆命题（2）例1 证明：平行于同一条直线的两条直线平行． 已知：如图，直线a、b、c 中，b∥a， c∥a．
求证：b∥c ．证明：作直线a、b、c的截线d．
∵b∥a (已知)，
∴∠2＝∠1 (两直线平行，同位角相等)，
∵c∥a (已知)，
∴∠3＝∠1 (两直线平行，同位角相等)，
∴∠2＝∠3 (等量代换)，
∴b∥c (同位角相等，两直线平行)．12.3 互逆命题（2） 例2 证明：直角三角形的两个锐角互余． 已知：如图，在△ABC 中，∠C＝90°，
求证：∠A＋∠B＝90°． 证明：在△ABC 中， ∠A＋∠B＋∠C ＝180°
（三角形三个内角的和等于180°），
∴∠A ＋∠B ＝ 180°－ ∠C（等式性质)，
∵ ∠C ＝ 90°(已知)，
∴∠A ＋∠B ＝ 180°－ 90°（等量代换)，
∴ ∠A ＋∠B ＝ 90°． 说出命题“直角三角形的两个锐角互余”的
逆命题．这个命题是真命题吗？为什么？ 12.3 互逆命题（2） 构造一个命题的逆命题，并证明这个命题是真命题，我们就能探索并获得一些新的数学结论．这是一种逆向思考研究问题的方法．12.3 互逆命题（2）【练习】
1． (1)如图，AB∥CD，AB、DE 相交于点G，
∠B＝∠D． 在下列括号内填写推理的依据：
∵AB∥CD (已知)，
∴∠EGA ＝∠D ( )．
又∵∠B ＝∠D (已知)，
∴∠EGA ＝∠B( )，
∴DE∥BF ( )．
(2)上述推理中，应用了哪两个互逆的真命题？ 12.3 互逆命题（2） 2.（1）已知：如图，在直角三角形ABC 中∠ACB
＝ 90°，D 是AB 上一点，且∠ACD ＝∠B ．
求证：CD⊥AB．
（2）你在（1）的证明过程中应用了哪两个
互逆的真命题？12.3 互逆命题（2）【小结】
通过今天的学习，你有哪些收获与体会，说出来和同学们分享．12.3 互逆命题（2）【课后作业】
1．课本P161习题12.3第3、4题；
2．思考题（选做）
（1）已知：如图，在△ABC 中，点E 在AC上，
点F 在BC上，点D、G 在AB上，FG∥CD，
∠EDC ＝∠BFG ．
求证：∠AED ＝∠ACB．
（2）你在（1）的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题？
12.3 互逆命题（2）谢 谢!真命题与公理、定理
初学几何的同学，对真命题、公理、定理之间的区别与联系容易混淆，现作如下辨析，供同学们参考．
真命题就是正确的命题，即如果命题的题设成立，那么结论一定成立．如：
①两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．
②如果a＞b，b＞c那么a＞c．
③对顶角相等．
公理是人们在长期实践中总结出来的、正确的命题，它不需要用其他的方法来证明，初一几何我们学过的主要公理有：
①经过两点有一条直线，并且只有一条直线．
②经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行．
③同位角相等，两直线平行．
④两直线平行，同位角相等．
公理的正确性是在实践中得以证实的，是被大家公认的，不再需要其他的证明，并且它可以作为证明其他真命题的依据．如应用公理③可以推导出“内错角相等，两直线平行”和“同旁内角互补，两直线平行”．
定理是根据公理或已知的定理推导出来的真命题，这些真命题都是最基本的和常用的，所以被人们选作定理．还有许多经过证明的真命题没有被选作定理．所以，定理都是真命题，而真命题不都是定理．例如：“若∠1＝∠2，∠2＝∠3，那么∠1＝∠3”，这就是一个真命题，但不能说是定理．
总之，公理和定理都是真命题，但有的真命题既不是公理，也不是定理．公理和定理的区别主要在于：公理的正确性不需要用推理来证明，而定理需要证明．
证明的必要性
在几何中，除了公理以外，不管所论及的命题的结论是多么明显，都必须通过推理来证明．
这是因为：
第一，直观有时会造成错觉，直观并不永远可信．
如在图1中，线段AB好像小于线段AC；图2中，竖线好像比横线长；图3中，左图中心的圆好像比右图中心的圆小；图4中上面一根横线好像比下面的一根长，但是，所有这些都是观察中的错觉．如果用圆规，直尺认真地量一量，就会发现它们实际上是相等的，这些例子说明直观并不可靠．
图1 图2
图3 图4
第二，通过对少数具体例子的观察，测量得出的结论，并不能保证“永远正确”，不能保证在一般情况下都成立．
第三，有时，图形的性质并不能通过测量得出．例如：两条直线永不相交的性质就不可能通过实际测量来认定．
第四，通过推理的方法来研究图形，不仅可以使我们掌握许多无法通过观察、度量能得到的性质，而且可以揭示这些性质之间的内在联系，有利于对几何图形的研究．
因此，在几何中，除了公理以外，任何一个命题的正确性，只有在进行了推理论证以后，才会得到认可，而这种推理论证，就是借助于演绎推理来进行的．
观察与推理
观察是就事物在自然条件下所发生的形态，通过感官认识对象的方法．
我们通过观察，可以得到许多知识．几何中研究的物体的形状、大小、位置关系等，许多都是通过观察得来的．
不过，从观察得到的认识，是初步的，往往是不全面的，不深入的．例如，我们在小学数学里观察过一些三角形三个角的和，得到“三角形三个角的和等于180°”的结论．那么，是不是所有的三角形都是这样的呢？为什么每个三角形三个角的和必然是180°呢？只用观察的方法就不够了，而要在观察的基础上，一步一步地，有根有据地说明理由，这就是推理．
在学习平行线的判定方法时，我们在观察和实验的基础上，得到了“同位角相等，两直线平行”．接着，根据同位角与内错角的关系，推出了“内错角相等，两直线平行”的结论．这说明，推理不仅可以使我们从观察实验得到的知识更全面、更深入，而且还可以进一步得到一些新知识．
学习几何离不开观察和实验，也需要掌握推理的方法.
逻辑推理问题举例
数学中有一类问题，叫做逻辑推理问题，它往往从一些关联的条件出发，应用一定的知识，通过分析、推理，排除不可能情况，然后做出正确的判断，下面举例说明：
A、B、C、D四人对王老师的藏书数目做出以下估计：
A说：“王老师有五百本书．”
B说：“王老师至少有一千本书．”
C说：“王老师的书不到两千本．”
D说：“王老师最少有一本书．”
这四个估计中只有一个是对的，问王老师究竟有多少本书？
分析：首先，A说得不对，否则C、D说的也对了，与已知“只有一句正确”相抵触，同理，B说的也不对，否则D也说对了．
请注意，B与C的估计至少有一个是正确的，因为只有一个对，故C说的对，再由已知，推出D说的不对，从而知：王老师一本书也没有．
你能对下面这个问题作出解答吗？
练习：有三个箱子分别涂以红、黄、蓝三色，一个苹果放入其中之一，且
（1）红箱上写着：“苹果在这只箱子里”；
（2）黄箱上写着：“苹果不在这只箱子里”；
（3）蓝箱上写着：“苹果不在红箱子里”．
已知（1）、（2）、（3）中只有一句是真的，问苹果在哪只箱子里？
《周髀算经》简介
《周髀算经》是算经十书之一，约成书于公元前二世纪，原名《周髀》，它是我国最古老的天文学著作，书中大部分的记载与天文学的计算有关．
我国自古谈论天体者分为三家，即盖天、宣夜、浑天．盖天起源甚早，由鲍澣之跋可知周髀算经乃盖天理论，盖天者顾名思义谓天如笠盖，日月星辰在此盖上运行，人居其内地上，整部周髀算经就是古代盖天天文学家用三角测量法度量天体距离并解释四极四季的书籍．其中涉及部分数学内容，这些数学内容包括：整数与分数四则运算，等差数列与一次内插法，勾股定理一般形式的明确表述及勾股测量，并用到了开平方法．
《周髀算经》是我国古代数学发展史上的一部重要著作，唐初规定它为国子监明算科的教材之一，故改名《周髀算经》．此书准确著作年代难以查考，现存周髀算经为东汉末年赵君卿所注，甄鸾重述，李淳风注释．原作者不知为何人，也无法推知成书年代．按该书言及『昔者周公问于商高曰……』、『昔者荣方问于陈子』、『吕氏曰……』三段，可以视为最后部份应在秦相吕不韦时期之后所完成的．然而汉书艺文志并未言及此书，到隋书经籍志才有记载，赵君卿所撰序文中谈到『浑天有灵宪之文，盖天有周髀之法』灵宪是东汉张衡所作，以此推之，赵君卿不是东汉末年之人，就是魏晋之间人．
《周髀算经》，书凡二卷，意义一卷，书后所附清嘉定六年鲍澣所作之跋，谈及『周髀算经二卷，古盖天之为也，以句股之法度天地之高厚，推日月之运行，而得其度数．其书出于商周之间，自周公受之于商高，周人志之，谓之周髀，其所后来远矣．』则肯定该书成于商周之间．学者胡适认为该书前半部当为殷商周初之作，后半部是后汉作品，似乎可信．在赵君卿周髀注中，他撰成勾股圆方图说，附录于周髀首章的注文中，勾股图说短短五百多字，附图六张，简练地总结了后汉时期勾股算术的辉煌成就，不祇勾股定理和其他关于勾股胘的恒等式，即所谓的勾股定理获得了相当严格的证明，并且对二次方程解法提供了新的意见．
例说数学解题的思维过程
陕西师范大学数学系? 罗增儒
在数学教学中暴露思维过程早就引起了人们的关注．暴露概念的形成过程，暴露命题的发现过程，暴露证明的探究过程等，包括暴露这些过程中犯错误的真实活动．但是，这种暴露大多停留在可见事实的陈述上，内在思维性质的细致揭示不多，也常常进行到思路初步打通、结论初步得出时就停了下来．本文想从解题分析的角度提供一个简单例子，展示内在的思维过程，并在证明得出之后仍继续进行下去，先给出题目：
两直线被第三条直线所截，内错角相等，则两直线平行．
1．浮现数学表象．
通过认真阅读，我们接收到题目所提供的信息，首先在脑子里出现了一个图形（几何型表象），与这个图形相伴随的是一个问题（代数型表象）：由数量关系去确定位置关系．
在问题的牵引下，思维的齿轮开始启动，有3个展开的起点．
（1）由图形表象，我们回想起“三线八角”基本图形，回想起与此图形有关的命题，如两直线被第三条直线所截，有：
1）同位角相等两直线平行；
2）内错角相等两直线平行．
……
这些命题的附图，在我们脑海里逐幅浮现出来．
（2）由条件∠1＝∠2（数量关系）所唤起的问题有：
1）由角的相等关系能得出什么？进而问：
2）图1中有与∠1相等的角吗？
3）图1中有与∠2相等的角吗？
……
一开始，“由条件能推出什么”是一道开放性问题，我们不知道该往哪些地方推进，但随着对结论思考的深化，会慢慢明朗起来．
（3）由结论AB∥CD（位置关系）所唤起的问题有：得出直线平行需要什么条件？题目提供了这样的条件没有？如果不是直接提供，那么间接提供有没有？……
由此激活了记忆储存中的相关知识，并又激活更多的记忆储存（扩散）：
1）同位角（内错角）相等，则两直线平行；进而问
2）什么是同位角（内错角）？图1中有同位角（内错角）吗？有相等的同位角（内错角）吗？
3）已知条件的相等角能导出“同位角（内错角）相等”吗？
……
这是表象的一个有序深化过程．
2．产生数学直感．
上述三方面的思考，促使我们更专注于图形，图中有3条直线，8个角，8条射线，1条线段，其中哪些信息对于我们解题是有用的，哪些是多余的呢？（这相当于一道条件过剩、结论发散的开放题）当然，一开始我们并不清楚，但是目标意识驱使我们去考虑角的关系，因为课本中两条直线平行的判定均与角有关，而已知条件又给出了等角．所以，我们的思考逐渐集中到：从图形中找同位角（或内错角），找相等的角，找相等的同位角（或内错角）．
这时，伴随着问题的需要，图1被分解出一系列的部分图形（图2中实线图），并凸现在我们的眼前：
（1）有与∠1成同位角的角吗？图2-（1）出现，进而问，∠1与∠3会相等吗？
（2）有与∠2成同位角的角吗？图2-（2）出现，进而问，∠2与∠4会相等吗？
（3）与∠1（或∠2）成内错角关系的角，图1找不到．
（4）与∠1相等的角除∠2外，还有它的对顶角∠4（图2-（3））；与∠2相等的角除∠1外，还有它的对顶角∠3（图2-（4））．
……
于是，对图1的感知，出现了图3的右方图形．
我们认为，从图1的8个角中找出∠2的对顶角∠3（或∠1的对项角∠4），是解题的重大进展，它能为图形各部分数学关系的沟通起桥梁作用．
3．展开数学想象．
对具体形象的感知和判别，使我们看到∠3与∠2成对项角（图2-（4））是相等的，而∠3又与∠1成同位角（图2-（1）），这促使我们思考∠1与∠3会不会相等，也促使我们将已有的表象：∠1＝∠2与∠2＝∠3（或∠1＝∠4），产生新的联结（有逻辑思维的推动），得∠1＝∠3（或∠2＝∠4或∠3＝∠4），
从而产生新的表象：AB∥CD．
于是，在数量关系∠1＝∠2与位置关系AB∥CD之间，在空旷而缺少联系的画面上（见图1），添上了两个数量关系∠2＝∠3，∠1＝∠3：
再将它们组成和谐的逻辑结构，便得出证明．
4．给出逻辑证明．
证明1：
证明2：
证明3：
这些证明是抽象思维的过程，表达得干净、简洁而严密．而获得这些结果的过程却是历经“表象——直感——想象”的形象思维过程，在得出AB∥CD之前，四个角∠1、∠2、∠3、∠4之间的关系是一个条件与结论都发散的开放题．为了与简捷的逻辑证明相对照，我们将思考过程（证明1）图示如下：
5．反思解题过程．
上述解题的过程，把“题”作为考察的对象，把“解”作为研究的目标．我们推崇“解题分析”，是希望解题研究不要停留在这一阶段上，继续把上述解题活动（包括问题和解）作为研究对象，探究解题规律，学会怎样解题（基本任务），具体研究的方法是分析解题过程．
事实上，给出的证明也是一个思维过程，也需要我们去暴露，并且这种暴露比前一阶段的暴露有更高的层次、需要更强的自觉性，是培养思维深刻性与批判性的极好途径．我们一再说过，解题教学缺少这一阶段是进宝山而空还，而把这一阶段停留在检验、回顾、寻找一题多解、作出若干推广的常识层面上，则是一种损失与浪费，让我们对证明1的书写作出具体结构的分析．
（1）首先，我们将证明1分解为三个步骤：
第1步：从图形中看出∠3与∠2成对顶角，并得出∠3＝∠2，这是由位置关系推出数量关系的过程．
第2步：把另一已知条件用上，将两个等式∠1＝∠2、∠2＝∠3 结合起来，得出∠1＝∠3，这是由数量关系推出新数量关系的过程．
第3步：从图形中看出∠1＝∠3为同位角，其相等可得出AB∥CD，这是由数量关系推出位置关系的过程．
示意为：
（2）其次，根据上面的整体分解，可将证明1的书写加以充实：
（3）由于这个图形已经显示出，解题中用到了哪些知识（或方法），先用哪些后用哪些，哪个与哪个作了配合．所以，只须将其再作充实（图7），便可更自觉、也更直观地看到，解题过程是这样一个“三位一体”的工作：有用捕捉、有关提取、有效组合：
1）从理解题意中捕捉有用的信息．
包括从题目的叙述及题目的附图两方面去充分理解题意，从图7可见，这共有3条信息．
（a）从题目的文字叙述中获取“符号信息”．
∠1＝∠2??????????????????????? ①
（b）从题目的图形中获取“形象信息”．
∠1与∠3为同位角，?????????????②
∠2与∠3为对顶角，???????????? ③
2）从记忆储存中提取有关的信息．
这是一批被解题需要激活的知识，并随着解题的进展而扩散，从图7可见，这有3条信息．
（a）对顶角相等．???????????????????????? ④
（b）等于第三个量的两个量相等（传递性）．?? ⑤
（c）同位角相等，则两直线平行．?????????? ? ⑥
3）把这两方面的信息（共6条）进行有效的组合，使之成为一个和谐的逻辑结构（共有3步推理）．
这样，通过分析解题过程我们看清了，这个题目在解决过程中的知识结构与逻辑关系，进一步还归纳出“什么叫解题”的一个可操作回答：从理解题意中捕捉有用的信息，从记忆储存中提取有关的信息，并将这两组信息组成一个和谐的逻辑结构．
6．展开动态想象．
也许我们一开始就感到图形表象有一种对称结构（对称美的召唤），它朦朦胧胧只是因为对称中心没有显化．也许是在解题分析中，由于已证明了AB∥CD，所以居中平行线MN上每一点都是两平行线AB、CD的对称中心，而直线EF上每一点都是直线本身的对称中心，因而图1本身是中心对称图形．
于是，我们有这样的直感，图8中若AB与CD不平行，必然破坏对称性．这是一种不充分的推理，体现了形象思维的特征，同时也揭示了证明的一个新方向．
设EF上的截点为P、Q，而O为线段PQ的中心（图8）．想象会使我们看到，当图形绕点O旋转180°时，射线PE会与射线QF重合，又由∠1＝∠2知，射线PB会与射线QC重合，从而直线AB与直线CD换位，且射线OE与射线OF换位．这一想象实际上已经完成了旧表象到新表象的改造，数量关系∠1＝∠2（保证了旋转180°后图形重合）已经转化为位置关系AB∥CD．否则AB与CD在左（右）边有一个交点，则右（左）边也有一个对称的交点，造成AB和CD重合，与已知矛盾．
以上例示，经历了“表象——直感——想象——论证——反思……”的思维过程，前半部分主要是形象思维，后半部分主要是逻辑思维，在叙述中强调了把解题活动作为对象的再认识．不妥之处，盼批评指正．
参考文献
1. 罗增儒，钟湘湖.直觉探索方法.郑州：大象出版社，1999．
化圆为方问题
约公元前460年，古希腊智人学派提出几何作图三大问题：化圆为方、三等分角和倍立方．希腊人的兴趣在于从理论上去解决这些问题．正因为三大问题很难用标尺解出，往往使研究者闯入未知的领域中……这些问题困扰人类二千多年都不得其解．
对于化圆为方问题，19世纪，在人们揭示了数的本质后，才认识到问题的症结所在，原来的圆的面积为πR2（R为圆的半径），其中π是一个超越数，它是不能精确测得的，假设化圆为方的话，其边长为m，则问题就是要：πR2＝m2．这个问题由于π的缘故而受到了挫折，成为一个千古难题．
数学的研究，有一个根本的东西就是条件，化圆为方问题不能解的条件，就是几何中只允许使用圆规和无刻度的直尺，希望能通过有限次的作图，把圆的面积化为等积的正方形，如果我们取消了这个限制，就是改换条件，这个问题不仅可以解决，而且解决的方法还不只一种．
15世纪著名画家达·芬奇曾有一个很巧妙的办法在不加圆规，直尺限制条件下实现了化圆为方．他的作法是：如图取半径为R的直圆柱，其高取为，将其沿侧棱剪开，得一个矩形，这个矩形的一条边长为，另一边长为2πR，它的面积恰好为2πR×＝πR2，这一步他实现了把圆化为矩形的目的．紧接着，再以和2πR为基础，作这两条线的比例中项，以此为边作正方形，其面积恰好为πR2，这一步，他实现了把圆化为矩形的目的．
“命题”学习三部曲
江苏 高峰
同学们，在日常生活中有许多的事和物需要我们通过说理的方式对它们是与非、对与错作出判断，而我们在说理时，常常要使用一些名称或术语．而要对名称和术语进行描述、做出规定，就是给出它们的定义．而要对事物作出判断，就需要命题．下面我就给同学们聊一聊数学中的“命题”，供同学们参考．
一、理解“命题”的含义
对事物进行判定的句子叫做命题，简单地说，也就是可以判断它是正确的或错误的句子叫做命题．
命题的定义中体现了以下两层含义：
（1）命题必须是完整的句子．
（2）这个句子必须对某一事物做出明确的肯定或否定的判断．命题中，不存在“大约”、“大概”、“差不多”、“左右”等含糊不清的词语．
例1 判断下列语句是否是命题？
① 对应角相等的两个三角形一定全等；
② 不许大声说话；
③ 作线段AB＝CD；
④ 你爱好什么运动？
⑤ 人是高等动物；
⑥ 同一平面内不相交的两直线叫做平行线．
解析：判断一个句子是否是命题要抓住两条：
（1）必须是一个完整的句子，这个句子通常是陈述句（包括肯定句和否定句），而疑问句和命令性语句都不是命题；
（2）必须对某一事件作出肯定或否定的判断．
所以①⑤⑥是命题；②③④不是命题．
二、分清命题的结构
1．结构形式：每个命题都是由条件和结论两部分组成，条件是已知事项，结论是由已知事项推断出的事项．即
命题组成
题设
结论
组成剖析
已知事项
由已知事项推出的事项
表达形式
如果……
那么……
2．表达形式：命题一般都可以写成“如果…… ，那么……”的形式，“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论，但有些命题的条件、结论不太分明，可先写成“如果……，那么……”的形式，再找条件和结论．
注意：1．命题的题设部分有时也可以用“若……”或“已知……”等形式，命题的结论部分有时也可写成“则……”或“求证……”等形式．
2．有的命题的题设和结论不止一个，我们在用“如果……，那么……”的形式改写命题时，要特别注意．
例2 说出“同角的补角相等”的条件和结论．
分析：本命题的条件、结论不太分明，我们可将其写成“如果……，那么……”的形式，再找条件和结论．
解：命题“同角的补角相等”可写为“如果这两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等”．所以本命题的条件是：这两个角是同一个角的补角，结论是：这两个角相等．
三、会辨命题的真假
1．对于一个命题来说，它可能是正确的，也可能是错误的．正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题．
2．真命题假命题的比较．
真命题
如果题设成立，那么结论一定成立．
假命题
题设成立时，不能保证结论总是正确的．
3．要说明一个命题是假命题，通常可以举出一个例子，使之具有命题的条件，而不具有命题的结论，这种例子称为反例；要说明一个命题是真命题需根据基本事实和已经证明的定理等进行推理证明．
例3 阅读下列语句，完成后面的题目．
（1）同类项的数字系数必须相同；（2）数轴上的点与实数是一一对应的；（3）若，则；（4）响应党中央号召，开发大西南；（5）台湾是中华人民共和国不可分割的领土；（6）“法轮功”是邪教；（7）改革开放是社会发展的动力；（8）今晚你去看电影吗？（9）鸦片战争是中国近代史的开端；（10）两点之间的线段叫做这两点之间的距离．
①其中属于命题的是 ，不属于命题的是 ；
②其中属于真命题的是 ；
③对于每个假命题，你是怎样判断的？
解析：①属于命题的有：（1）、（2）、（3）、（5）、（6）、（7）、（9）、（10），不属于命题的有：（4）、（8）；
②属于真命题的有：（2）、（5）、（6）、（7）、（9）；
③要说明命题是假命题，可采用举反例的方法，如：（1）中a和－a是同类项，但系数不同；（3）中，但7≠－7；（10）中两点之间的距离是指两点之间的线段的“长度”．
