数学人教A版（2019）选修第三册7.3.2离散型随机变量的方差（共22张ppt）

(共22张PPT)
第七章 随机变量及其分布
人教A版2019必修第三册
7.3.2离散型随机变量的方差
学习目标
1.通过具体实例，理解取有限值的离散型随机变量的方差与标准差的概念.
2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题.
3.掌握方差的性质以及两点分布的方差的求法.

1.离散型随机变量的均值：
一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示，
X x1 x2 xn
P p1 p2 pn
则称
为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望.
2.均值的性质：
3.随机变量X服从两点分布，则有
知识回顾
随机变量的均值是一个重要的数字特征，它反映了随机变量取值的平均水平或分布的“集中趋势” . 因为随机变量的取值围绕其均值波动，而随机变量的均值无法反映波动幅度的大小 . 所以我们还需要寻找反映随机变量取值波动大小的数字特征.
问题 从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛. 根据以往的成绩记录，甲、乙两名同学击中目标靶的环数X和Y的分布列如下表所示.
如何评价这两名同学的射击水平
X 6 7 8 9 10
P 0.09 0.24 0.32 0.28 0.07
Y 6 7 8 9 10
P 0.07 0.22 0.38 0.30 0.03
通过计算可得，
由于两个均值相等，所以用均值不能区分这两名同学的射击水平.
评价射击水平，除了要了解击中环数的均值外，还要考虑稳定性，即击中环数的离散程度.
思考 怎样定量刻画离散型随机变量取值的离散程度
一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示.
X x1 x2 xn
P p1 p2 pn
则称
一、离散型随机变量的方差
为随机变量X的方差， 有时也记为Var(X)，并称 为随机变量X的标准差，记为σ(X).
随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度. 方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散.
问题 从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛. 根据以往的成绩记录，甲、乙两名同学击中目标靶的环数X和Y的分布列如下表所示.
分别计算这两名同学的方差，并用此评价他们的射击水平.
X 6 7 8 9 10
P 0.09 0.24 0.32 0.28 0.07
Y 6 7 8 9 10
P 0.07 0.22 0.38 0.30 0.03
解：
∴随机变量Y的取值相对更集中，即乙同学的射击成绩相对更稳定.
思考：离散型随机变量的方差和样本方差之间有何关系
(1)离散型随机变量的方差即为总体的方差,它是一个常数,不随样本的变化而变化;
(2)样本方差则是随机变量,它是随样本不同而变化的.
在方差的计算中，为了使运算简化，还可以用下面的结论.
证明：
二、方差的性质
探究：离散型随机变量X加上一个常数，方差会有怎样的变化 离散型随机变量X乘以一个常数，方差又有怎样的变化 它们和期望的性质有什么不同
均值的性质：
方差的性质：
例5： 抛掷一枚质地均匀的骰子，求掷出的点数X的方差.
解法1：随机变量X的分布列为
例5： 抛掷一枚质地均匀的骰子，求掷出的点数X的方差.
解法2：随机变量X的分布列为
例6 投资A，B两种股票，每股收益的分布列分别如下表所示.
解：
股票A收益的分布列
股票B收益的分布列
收益X /元 －1 0 2
概率 0.1 0.3 0.6
收益Y /元 0 1 2
概率 0.3 0.4 0.3
(1) 投资哪种股票的期望收益大 (2) 投资哪种股票的风险较高
∵E(X)>E(Y)，∴ 投资股票A的期望收益较大.
∵D(X)>D(Y)，∴ 投资股票A的风险较高.
随机变量的方差是一个重要的数字特征,它刻
画了随机变量的取值与其均值的偏离程度,或者说反映随机变量取值的离散程度.
在不同的实际问题背景中,方差可以有不同的解释.
例如,如果随机变量是某项技能的测试成绩,那么方差的大小反映了技能的稳定性;
如果随机变量是加工某种产品的误差,那么方差的大小反映了加工的精度;
如果随机变量是风险投资的收益,那么方差的大小反映了投资风险的高低.
课堂练习
解：
1.已知随机变量X的分布列为
X 1 2 3 4
P 0.2 0.3 0.4 0.1
求D(X)和σ(2X＋7).
3.甲、乙两个班级同学分别目测数学教科书的长度，其误差X和Y(单位: cm)的分布列如下:
解：
甲班的目测误差分布列
X －2 －1 0 1 2
P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1
先直观判断X和Y的分布哪一个离散程度大，再分别计算X和Y的方差，验证你的判断.
乙班的目测误差分布列
Y －2 －1 0 1 2
P 0.05 0.15 0.6 0.15 0.05
直观的观察可判断X的离散程度较大，下面用方差验证.
∵D(X)>D(Y)，∴ X的分布离散程度较大.
随堂检测
1. 有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息:
解：据已知分布列可得
甲单位不同职位月工资X /元 1200 1400 1600 1800
获得相应职位的概率P 0.4 0.3 0.2 0.1
乙单位不同职位月工资X /元 1000 1400 1800 2200
获得相应职位的概率P 0.4 0.3 0.2 0.1
根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？
∴如果你希望不同职位的工资差距小一些，就选择甲单位；如果你希望不同职位的工资差距大一些，就选择乙单位；.
2.已知随机变量X的分布列
X 0 1 2 3 4
P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1
求DX和σX
解：
3.若随机变量X满足P（X＝c）＝1，其中c为常数，求EX和DX
解：
X c
P 1
离散型随机变量X的分布列为：
EX＝c×1＝c
DX＝（c－c）2×1＝0
1.离散型随机变量的方差：
2.方差与标准差的性质：
为随机变量X的标准差，记为σ(X).
课堂小结：
方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散.