数学人教A版（2019）选修第三册7.4.1 二项分布（共28张ppt)

(共28张PPT)
第七章 随机变量及其分布
人教A版2019必修第三册
7.4.1 二项分布
1.离散型随机变量的方差：
2.方差与标准差的性质：
为随机变量X的标准差，记为σ(X).
温故知新：
方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散.
“三个臭皮匠顶个诸葛亮”是在中国民间流传很广的一句谚语，这句
谚语是非常有道理的，下面我们从概率的角度来探讨一下这个问题：
情境引入
假如刘备手下有诸葛亮和9名谋士组成的智囊团，假定对某事进行决策时，每名谋士决策正确的概率为0.7，诸葛亮决策正确的概率为0.85，现在要为某事能否可行征求每位谋士的意见，并按照多数人的意见作出决策，试比较诸葛亮和智囊团决策正确概率的大小．
问题　上述情境中的问题，假如让你猜想的话，你能得到正确的答案吗？
提示　智囊团决策正确的概率要大于诸葛亮决策正确的概率，具体怎么计算的通过学习本节课的内容即可解决．
复习回顾本节将研究两类重要的概率模型---二项分布和超几何分布.(1)P(A∪B) =P(A) +P(B) (当A与B互斥时);(3)P(AB) =P(A)·P(B) (当A与B相互独立时).前面我们学习了互斥事件、条件概率、相互独立事件的意义,这些都是我们在具体求概率时需要考虑的一些模型,吻合模型用公式去求概率简便.那么求概率还有什么模型呢？(2)P(B|A) = ; 在实际问题中，有许多随机试验与掷硬币试验具有相同的特征，它们只包含两个可能结果. 例如，检验一件产品结果为合格或不合格，飞碟射击时中靶或脱靶，医学检验结果为阳性或阴性等. 我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验(Bernoulli trials).
我们将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验.显然，n重伯努利试验具有如下共同特征:
(1) 同一个伯努利试验重复做n次；
(2) 各次试验的结果相互独立.
1.伯努利试验
“重复”意味着各次试验的概率相同.
探究：某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8. 连续3次射击，中靶次数X的概率分布列是怎样的
解：
用Ai表示“第i次射击中靶”(i＝1, 2, 3)，则X的概率分布列为
由于3次射击恰好1次中靶 ( 2次中靶 ) 的所有可能结果的概率相等，故为了简化表示，中靶次数X的分布列可表示为
一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(02.二项分布的定义：
如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布， 记作X～B(n，p).
随机变量X服从二项分布的三个前提条件：
(1)每次试验都是在同一条件下进行的；
(2)每一次试验都彼此相互独立；
(3)每次试验出现的结果只有两个，即某事件要么发生，要么不发生.
例1：将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次，求:
(1) 恰好出现5次正面朝上的概率；
(2) 正面朝上出现的频率在[0.4，0.6]内的概率.
解：设A＝“正面朝上”，则P(A)＝0.5. 用X表示事件A发生的次数，则
X～B(10，0.5).
(2) 正面朝上出现的频率在[0.4，0.6]内等价于4≤X≤6，于是所求概率为
(1)恰好出现5次正面朝上的概率为：
例2：如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为0，1，2， ，10，用X表示小球最后落入格子的号码，求X的分布列.
解：
例3 甲、乙两选手进行象棋比赛, 如果每局比赛甲获胜的概率为0.6, 乙获胜的概率为0.4, 那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更有利？
解法1：采用3局2胜制, 甲最终获胜有两种可能的比分2:0或2:1, 前者是前两局比赛全胜, 后者是前两局甲、乙各用一局且第3局甲胜. 因为每局比赛的结果是独立的, 甲最终获胜的概率为
= 0.648.
类似地, 采用5局3胜制, 甲最终获胜有3种比分3:0或3:1或3:2. 因为每局比赛的结果是独立的, 甲最终获胜的概率为
因为p2>p1, 所以采用5局3胜制对甲更有利.
p1 = 0.62+[ ×0.61×(1-0.6)1]×0.6
= 0.62+ ×0.62×0.4
p2=0.63+ ×0.63×0.4+ ×0.63×0.42 = 0.68256.
= 0.68256.p1=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)采用5局3胜制,不妨设赛满5局,用X表示5局比赛中甲获胜的局数,则X~B(5, 0.6).甲最终获胜的概率为因为p2>p1,所以采用5局3胜制对甲更有利.实际上,比赛局数越多,对实力较强者越有利.例3甲、乙两选手进行象棋比赛,如果每局比赛甲获胜的概率为0.6,乙获胜的概率为0.4,那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更有利？解法2：采用3局2胜制,不妨设赛满3局,用X表示3局比赛中甲获胜的局数,则X~B(3, 0.6).甲最终获胜的概率为= 0.648.p1=P(X=2)+P(X=3)= ×0.62×0.4+ ×0.63= ×0.63×0.42+ ×0.64×0.41+ ×0.65思考为什么假定赛满3局或5局，不影响甲最终获胜的概率 采用3局2胜制赛满3局时，若前2局获胜，那第3局的胜负并不影响甲获胜；同样，采用5局3胜制赛满5局，若前3局获胜，那后2局的胜负并不影响甲获胜，若前4局胜3局，那第5局的胜负也不影响甲获胜.所以赛满3局或5局，均不会不影响甲最终获胜的概率.探究：假设随机变量X服从二项分布B(n，p)，那么X的均值
和方差各是什么
我们知道，抛掷一枚质地均匀的硬币，“正面朝上”的概率为0.5，如果掷100次硬币，期望有100×0.5＝50次正面朝上. 根据均值的含义，对于服从二项分布的随机变量X, 我们猜想E(X)＝np. 我们不妨从简单开始, 先考察n较小的情况.
(1)当n＝1时，X分布列为 P(X＝0)＝1－p，P(X＝1)＝p，则有
E(X)＝p，D(X)＝p(1－p).
(2)当n＝2时，X分布列为 P(X＝0)＝(1－p)2, P(X＝1)＝2p(1－p), P(X＝2)＝p2.
E(X)＝0×(1－p)2＋1×2p(1－p)＋2p2 ＝2p.
D(X)＝ 02×(1－p)2＋12×2p(1－p)＋22×p2－(2p)2＝2p(1－p).
由此可猜想，若X～B(n，p)，则有
若X~B(n, p)，则有
3. 二项分布的均值与方差
下面对均值进行证明.
证明：
课堂练习
解：
1.将一枚质地均匀的硬币连续抛掷4次，X表示“正面朝上”出现的次数.
(1) 求X的分布列；
(2) E(X)＝_______，D(X)＝_________.
2
1
解：
2.鸡接种一种疫苗后，有80%不会感染某种病毒.如果5只鸡接种了疫苗，求：
(1) 没有鸡感染病毒的概率；(2) 恰好有1只鸡感染病毒的概率.
3.判断下列表述正确与否，并说明理由:
(1) 12道四选一的单选题，随机猜结果，猜对答案的题目数X～B(12， 0.25)；
(2)100件产品中包含10件次品，不放回地随机抽取6件，其中的次品数Y～B(6，0.1).
解：
每道题猜对答案与否是独立的，且每道题猜对答案的概率为0.25，故猜对答案的题目数X服从二项分布，即X～B(12，0.25).
(1) 正确. 理由如下：
每次抽到次品的概率为0.1，但由于是不放回抽样，所以每次是否抽到次品不独立，不满足二项分布的条件.
(2)错误. 理由如下：
随堂检测
答案　B
答案　C
3．同时抛掷两枚质地均匀的硬币10次，设两枚硬币同时出现反面的次数为X，则D(X)等于(　　)
解析　因为X～B(2，p)，
5.一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中有放回地取5次，则取到红球次数的数学期望是 ，方差为________.
6. 将一枚质地均匀的硬币连续抛掷4次，X表示“正面朝上”出现的次数.
(1) 求X的分布列；
(2) E(X)＝_______，D(X)＝_________.
所以X的分布列为
解：
8.某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为0.6，且每次射击的结果互不影响，已知射手射击了5次，求:
(1) 其中只在第一、三、五次击中目标的概率；
(2) 其中恰有3次击中目标的概率；
(3) 其中恰有3次连续击中目标，而其他两次没有击中目标的概率.
1.二项分布：
一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p (0此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)
若X～B(n，p)，则有
2.二项分布的均值与方差：
课堂小结：