九校联考数学试题参考答案 p212、当直线 l 垂直于 y轴时，△ABO面积为 8，p=4故 A正确；取 AB中点M，过M作MN 准线
2
（答案仅供参考，有不足或错误欢迎批评指正）
选择题（每题 5分，共 60分） 于 N，由梯形中位线定理|MN|=6，故 M到 x轴距离为 6-2=4，B 正确；
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
设AB：y kx 2 x2 2，联立 8y可得 x 8kx 16 0，由韦达定理知 x x 16，
D C B C C C A B AC BD ACD ABD 1 2
4、找到 A，D 关于 y 轴，x轴的对称点 M，N，由反射性质知总路径长为|MN|，用两点距离公式即得。
x 2 x 21 2 (x
2
1x2 ) o
C 3 3C 3 C 3 3 y y 4，OA OB x x5、任取三个点有 种，其中三点共线的有 种，故能构成三角形 3C =190 个 1 2 8 8 64 1 2
y1y2 12 <0，故 AOB 90 。
12 5 12 5
1 一定是钝角三角形，C错误；
6、①每步都走 1 个台阶，有 1 种；②走 1 步 2 个台阶，有C7 =7 种
| AF | 4 | BF | y1 2 4(y2 2) y1 4y2 10 2 4y1y2 10 18，D正确
2 3
③走 2 步 2 个台阶，有C6 =15 种；④走 3步 2个台阶，有C5 =10 种 填空题（每题 5分，共 20分）
⑤每步都走 2 个台阶，有 1 种；共计 34 种。 3
13、y=2x-6 14、 15、252 16、109
7、直线 HP 与平面 BMG 没有交点，所以 HP//平面 BMG,取 CD 中点 N，可证平面 AHN//平面 BDG，故 P 4
15、第一步：涂 2，有 4 种颜色；第二步：涂 5，有 3种颜色
5
在 AN 上运动，当DP AN时，DP 最小，此时△HDP 的面积最小，求得 第三步：涂 3，当 3与 5同色时，4 有 3 种颜色；当 3和 5 不同色时，3 有 2 种颜色，4有 2 种颜色，
5 第三步共 7 种。 第四步：涂 1，有 3 种颜色。共计 4 3 7 3 252种
8、取双曲线的右焦点 F1 ，由双曲线定义 | FM | | F1M | 2 ，故原式等价为存在点 M 使得 16、
| FM | | AM | 3 | F A | 3 b2 c2 3 b2 2
令x 1，得 -3 a b c d e f 16
1 ，所以 1 ，即 ，由 c 1，解得 c 5 ，而 a=1，故离
整理得：a b c d e f 19
心率 e 5。 令x 0，得 -96 a 1,a 97
求出左右两边x4系数，得3C19、以直线 l是否过原点分类讨论。 5 （- 2） e 1,e 31
将 a、e代入即可求得 b+c+d+f=109
2 2 解答题10、A、 4 5 100个；B、用插空法，共 7个位置，在中间插两个空，C6 =15种
17、
C 24、 1=15种；
0 1 2
（1）由题意Cn Cn Cn 46，解得 n=9 或-10（舍去-10），故 n=9--------5 分
D、若甲先拿，有 3种，第二步安排甲拿到的贺卡的主人拿，有 3种，共3 3 9种
9 k 9 3k
k 9 k k k 9 k
（2）通项T C 2 x 2 x C 2 x 2k 1 9 9 ------------7 分
11、A、CH 平面FGD可得CH FD；B、取 CG中点M，显然 PM∥FG，而 PM与平面 ACH 9 3k
0 3 6令 =0，得 k=3，常数项为C9 2 =5376---------------10 分2
相交，故 FG与平面 ACH不平行；C、 FH 平面AEGC，BF∥平面 AEGC，点 P 到平面 AEGC 的距
18、（1）设 M（x，y）,因为 Q（-4，0）得 P（2x+4，2y）
离即为点 F到平面 AEGC 的距离。D、取 CG中点M，PM 平面CGHD，PH与平面 CGHD所成角
2 2 2 2
将 P 代入圆中： (2x 4) 4y 4，化简得: (x 2) y 1
PM 2
的正弦值为 。（此题亦可用空间向量）
PH 3
故 M 的轨迹方程为 (x 2)2 y2 1-------------------6 分
5 b 5
（2）把 M 的轨迹记为⊙E，则 E（-2，0） 20、（1）∵双曲线 E的一条渐近线方程为 y x ∴ ①
2 a 2
y 1选①：AB 方程为 (x 4) 2，即 x-4y+4=0，点 E 到 AB 的距离为 ，
4 17 2
当 F1F
o
2M 90 时， | F2M |
5 b
= ②
2 a
4 2 2 13
点 O 到 AB 的距离为 ，由垂径定理得 | AB | 2 1 ( )2 2
17 17 17 由①②得a 2,b 5 --------------------------------3分
1 4 13 4 13 x2 y2
∴ S ABO 2 -----------------12 分 ∴双曲线的方程为 1------------------4 分2 17 17 17 4 5
选②：答案一样
F (3,0) x
2 y2
（2）、 2 ，设 PQ：x=my+3,联立 14 5
6
19、（1）如图，作 AO BC，由题意 CD= 2 ，AO=
2 得 (5m2 4)y2 30my 25 0
折起过程中，△BCD 面积不变，当 AO 为三棱锥 A-BCD 的高时，三棱锥 A-BCD 体积最大。 y y 30m 251 2 2 , y1y2 2 -------------------6 分5m 4 5m 4
V 1 S AO 1 6 2 6 2A BCD BCD = -----------6 分 53 3 2 2 2 可得my1y2 (y1 y2 ) ①。6
（2）如图，建立空间直角坐标系 y1
k x 2 y (x
(0,0, 6 ) ( 6 ,0,0) ( 6 ,0,0) (0, 2,0) 1 1 1 2
2) y1(my2 1) my1y 2 y1则 A ，B ，C ，D y ②------------9分2 2 2 k2 2 y2 (x1 2) y2 (my1 5) my1y2 5y2
x2 2
( 6 ,0, 6 )， ( 6, 2,0) 1 5
2 2 k y1 y2 1
将①代入②得： 1 6 6 ----------------------12分
设 AC，BD 所成的角为θ， k 52 y 25 y 5
6 1 6 2
21、（1）由菱形性质知 AF CD --------------1分
如图，建立空间直角坐标系，则 C（0，0，0）D（2，0，2），F（0，0，
∴ 2）
6 作 BM y轴，BM=1，CM 3，则 G（1， 3，0）
AC与 BD所成角的余弦值为 ------------12分
4
则
而 ∴ ∴ FG CD ------------4 分
∵AF 平面AFG，FG 平面AFG，AF FG F
∴CD 平面AFG -------------6 分
(x1, y1 2) (x2 , y2 2)
（2）如图，建立空间直角坐标系 x1x2 (y1 2)(y2 2)
则 C（0，0，0），A（2，0，0），F（0，0，2） x1x2 (kx1 b 2)(kx2 b 2)
平面 ABC的一个法向量m (0,0,1) ---------------7分 (k 2 1)x1x2 (b 2)k(x1 x2 ) (b 2)
2
BG
设 =λ， [0,1]，则 BG BE (0,0,2) (0,0,2 )
BE 利用韦达定理代入化简得：
∴G (1, 3,2 ) 5b2 16b 12 0
解得：b 6 （2 舍去）或b
∴ FG (1, 3,2 2),FA (2,0, 2) 5
n (x, y, z) x 3y (2 2)z 0
6
∴直线 CD 过定点 (0, ) --------------8 分
设平面 AFG的一个法向量为 ，则 5
2x 2z 0
此时 x1 x
12k
2 2 , x1x
64
2 2
取 n ( 3,1 2 , 3) ----------------------9分 5(4 k ) 25(4 k )
3 78 1 6
设平面 AFG 与平面 ABC 所成角为θ，则 cos | cos(m, n) | S ( 2) | x x |
6 (1 2 )2 13
DCB 2 5 1 2
8
(x1 x
2
2 ) 4x1x2
2 2 2 2
5
解得： 或 (均符合题意)
4 4 32 25k 2 64
25 4 k 2 -----------------------------------10分
BG 2 2 78
∴存在一点 G， = ，使平面 AFG 与平面 ABC 所成角的余弦值为 。----12 分
BE 4 13 25k 2 64 t(t 8) 32 t 32t 32令 ，上式= ①
25 t 2 64 t 2 36 36
22、（1）∵点 P到原点最大距离为 2，故 a=2--------------------------1分 4 t
25 t
∵M（3，1）到椭圆右顶点距离为 5，∴ (3 b)2 1 5，
t 36 8 36 25 32 64而 ，∴①
解得：b=1或 5（舍去 5）---------------------------------3分 t 8 2 25 25
2
y2
∴椭圆的方程为 x2 1--------------------4 分 64
4 ∴△BCD面积的最大值为 -------------------------------12分25
y2 2 2 2 2
（2）设 CD：y=kx+b，联立 x 1得： (4 k )x 2kbx b 4 0
4
2kb b2 4
∴ x1 x2 2 , x1x2 2 ---------5 分4 k 4 k
∵ AC AD ∴ AC AD 0
即5 2 3
分宜中学 玉山一中 临川一中 A、 B、 C、 D、15 2 2
2023 年江西省 南城一中 南康中学 高安中学 高二联合考试
y2
彭泽一中 泰和中学 樟树中学 8 x
2
、双曲线 2 1的左焦点为 F，A（0，-b），M为双曲线右支上一点，若存在M，使得 | FM | | AM | 5，b
数学试卷 则双曲线离心率的取值范围为（ ）
A、 (1, 3] B、 (1, 5] C、[ 3, ) D、[ 5, )
注意事项：
1 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分 150 分.考试时间为 120 分钟. 二、多选题（每题 5 分，共 20 分）
2 本试卷分试题卷和答题卷，第Ⅰ卷（选择题）的答案应填在答题卷卷首相应的空格内，做在第Ⅰ卷的无效.
3 9、已知直线 在 x轴上的截距是 y轴上截距的 2倍，则 a的值可能是（ ）答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡相应的位置。 l : (a 2)x y 2a 3 0
第Ⅰ卷 A． 5 B．0 C． 3 D．-2
一、单选题(每题 5 分，共 40 分) 2 2
1、若 a (1,2, 1),b ( 2, x,2)若 a// b，则 x =（ ） 10、下列说法正确的是（ ）
A、用 0，1，2，3，4能组成 48 个不同的 3位数。
A、0 B、2 C、4 D、-4 B、将 10个团员指标分到 3个班，每班要求至少得 2个，有 15种分配方案。
2、圆 x2 y2 4与圆 (x 3)2 (y 4)2 9的关系为（ ） C、小明去书店看了 4本不同的书，想借回去至少 1本，有 16种方案。
A D、甲、乙、丙、丁各写了一份贺卡，四人互送贺卡，每人各拿一张贺卡且每人不能拿到自己写的贺卡，有 9、内切 B、相交 C、外切 D、相离
种不同的方法。
3、如图，在三棱柱 ABC-DEF中，P,Q分别是 CF,AB的中点，PQ a AB b AC c AD，则 a b c =（ ）
11、如图，正方体 ABCD-EFGH棱长为 1，点 P为 BF的中点，下列说法正确的是（ ）
A．1 B．-1 C．0.5 D．-2 A、 FD CH
4 B、FG∥平面 ACH、如图，一束光线从 A（3，4）出发，经过坐标轴反射两次经过点 D（6，2），则总路径长即 | AB | | BC | |CD |
2
总长为（ ） C、点 P到平面 AGC的距离为 2
A、3 5 B、6 C、3 13 D、 85 2D、PH与平面 CGHD所成角的正弦值为
3
12 2、已知顶点在原点 O的抛物线 x 2py, ( p 0)，过抛物线焦点 F的动直线 l 交抛物线于 A、B两点，当直
线 l 垂直于 y轴时，△ABO 面积为 8.下列结论正确的是（ ）
A 2、抛物线方程为 x 8y。 B、若 AB=12，则 AB的中点到 x轴距离为 4. 。
第（4）题图 第（5）题图 第（7）题图 C、△ABO有可能为直角三角形。 D、|AF|+4|BF|的最小值为 18。
5 三、填空题（每题 5 分，共 20 分）、如图，在正三角形的 12个点中任取三个点构成三角形，能构成三角形的数量为（ ）
1
A、220 B、200 C、190 D 170 13、与直线 y x垂直，且过点（3，0）的直线方程为 。、 2
6、小王同学家 3楼与 4 楼之间有 8 个台阶，已知小王一步可走一个或两个台阶，那么他从 3 楼到 4 楼不同的 x2 y2
走法总数为（ ） 14、椭圆 1的左右焦点分别为F1,F2，P为椭圆上一点，则△ PF1F2面积与△PF1F2周长的比值的最
A、28种 B、32种 C、34种 D 25 16、40种
7、如图，长方体 ABCD-EFGH 中，AB=BC=2，BF=1，M为 EF 的中点，P为底面 ABCD 上一点，若直线 HP 大值为 。
与平面 BMG没有交点，则△HDP面积的最小值为( )
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2
15 x y
2
、网课期间，小王同学趁课余时间研究起了七巧板，有一次他将七巧板拼成如下图形状，现需要给下图七巧 20、双曲线 E： 2 2 1, (a 0,b 0) 的左右焦点分别为 F1,F2 ，其中双曲线 E 的一条渐近线方程为
板右下方的五个块涂色（图中的 1，2，3，4，5），有 4 a b种不同颜色可供选择，要求有公共边的两块区域不能同
色，有 种不同的涂色方案。
y 5 x，M为双曲线上一点，当 F1F2M 90
o
时， | F 52M | 。2 2
(1)求双曲线的方程。
k
(2)A、B 为双曲线左右顶点，过 F2作一条直线交双曲线于 P，Q，设 AP，BQ 的斜率为 k1,k2 ，求 1 的值。k2
y
16 3(x 2)5、若 a bx cx2 dx3 ex4 fx5 (1 x)4 ，其中 a，b，c，d，e，f为常数，那么 b+c+d+f= 。
四、解答题（17 题 10 分，其余每题 12 分，共 70 分）
1
17、已知 (2 x )n 展开式中前三项二项式系数之和为 46。
x
（1）求 n的值。（2）请求出展开式的常数项。
18 2 2 x、已知圆 C： x y 4，P为圆 C上任意一点，Q（-4，0）
（1）求 PQ中点M的轨迹方程。
（2）若经过 Q的直线 l 与M的轨迹相交于 A、B，在下列条件中选一个，求△ABO的面积。
1 4 17
条件①：AB斜率为 ； ②原点 O 到 AB的距离为 .
4 17 第 20 题图 第 21 题图 第 22 题图
21、如图，正三棱柱 ABC-DEF 中，AB=AD=2，点 G 为线段 BE 上一点（含端点）。
（1）当 G 为 BE 的中点时，求证：CD 平面AFG
19 o o、如图(1)是将一副直角三角尺拼成的平面图形，已知 BC= 6 ， ACB 45 ， D 60 ，现将△ABC沿
着 BC折起使之与△BCD 78 BG构成二面角,如图（2）。 （2）是否存在一点 G，使平面 AFG 与平面 ABC 所成角的余弦值为 ？若存在，请求出 的值，若不存在，
（1）当三棱锥 A-BCD 体积最大时，求三棱锥 A-BCD的体积。 13 BE
（2）在（1）的情况下，求 AC与 BD所成角的余弦值。 请说明理由。
y2 x2
22、设椭圆 2 2 1.(a b 0)的两焦点为 F1,F2，P为椭圆上任意一点，点 P到原点最大距离为 2，a b
若M（3，1）到椭圆右顶点距离为 5。
（1）求椭圆的方程。
（2）设椭圆的上、下顶点分别为 A、B，过 A做两条互相垂直的直线交椭圆于 C、D，问直线 CD是否经过定
点？如果是，请求出定点坐标，并求出△BCD面积的最大值。如果不是，请说明理由。
（1） （2）
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