第十六章二次根式 综合素质评价（含答案）
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第十六章二次根式综合素质评价
一、选择题(每题3分，共30分)
1．若在实数范围内有意义，则x的取值范围在数轴上表示正确的是( )
2．下列等式正确的是( )
A．()2＝7 B．＝－7
C．＝7 D．(－)2＝－7
3．下列二次根式中，最简二次根式是( )
A. B. C. D.
4．若两个最简二次根式与能够合并，则b的值为( )
A．－1 B． C．0 D．1
5．【2022·雅安】下列计算正确的是( )
A．32＝6 B．＝－
C．(－2a2)2＝2a4 D．＋2＝3
6．若是整数，则正整数n的最小值是( )
A．2 B．3 C．4 D．5
7．若实数a，b满足ab＞0，则化简a的结果为( )
A．－ B. C. D．－
8．若x为实数，在“(＋1)x”的“”中添上一种运算符号(在“＋，－，×，÷”中选择)后，其运算的结果为有理数，则x不可能是( )
A.＋1 B.－1 C．2 D．1－
9．【2021·包头】若x＝＋1，则代数式x2－2x＋2的值为( )
A．7 B．4 C．3 D．3－2
10．已知m＝1＋，n＝1－，则代数式的值为( )
A．9 B．±3 C．3 D．5
二、填空题(每题3分，共24分)
11．计算：×＝________．
12．如果两个最简二次根式与能合并，那么a＝________．
13．若y＝＋＋1，则x－y＝________．
14．计算(－2)2 024(＋2)2 025的结果是__________.
15．在△ABC中，a，b，c为三角形的三边长，化简－2|c－a－b|＝____________．
16．△ABC的面积S＝12 cm2，底边a＝2 cm，则底边上的高为________cm.
17．【数学建模】【2022·舟山】某动物园利用杠杆原理称象：如图，在点P处挂一根质地均匀且足够长的钢梁(呈水平状态)，将装有大象的铁笼和弹簧秤(秤的重力忽略不计)分别悬挂在钢梁的点A，B处，当钢梁保持水平时，弹簧秤读数为k(N)．若铁笼固定不动，移动弹簧秤使BP扩大到原来的n(n＞1)倍，且钢梁保持水平，则弹簧秤读数为________(N)(用含n，k的代数式表示)．
18．【规律探索题】观察下列二次根式化简：＝－1，＝－，….从中找出规律并计算：(＋＋…＋＋)×(＋1)＝________.
三、解答题(19题16分，20题8分，24题12分，其余每题10分，共66分)
19．计算下列各式：
(1)＋(2＋)； (2)(4－3)÷2；
(3)2－4＋3；
(4)÷(a>0，b>0)．
20．比较＋与＋2的大小关系．
21．已知＝0，求(＋2)(－2)的值．
22．【阅读理解题】阅读材料：
∵对于任意正实数a，b，(－)2≥0，
∴a－2＋b≥0.
∴a＋b≥2.
∴当a＝b时，a＋b有最小值2.
根据上述内容，回答下列问题
(1)若m＞0，只有当m＝________时，m＋有最小值________；若m＞0，只有当m＝______时，2m＋有最小值________；
(2)疫情期间为了解决临时隔离问题，高速公路检测站入口处，检测人员利用一面墙(墙的长度不限)和63米长的钢丝网围成了9间相同的长方形隔离房，如图．设每间隔离房的面积为S(米2)．问：当每间隔离房的长、宽各为多少时，使每间隔离房的面积S最大？最大面积是多少？
23．拦河坝的横断面是梯形，如图，其上底是 m，下底是 m，高是 m.
(1)求横断面的面积；
(2)若用300 m3的土，可修多长的拦河坝？
24．【数学抽象】(1)用“＝”“＞”“＜”填空：4＋3________2，1＋________2，5＋5________2.
(2)由(1)中各式猜想m＋n与2(m≥0，n≥0)的大小，并说明理由．
(3)请利用上述结论解决下面问题：某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成长方形的花圃，如图所示，花圃恰好可以借用一段墙体，为了围成面积为200 m2的花圃，所用的篱笆至少为多少米？
答案
一、1.D 2.A 3.A 4．D 5．D 6．B 7.A
8．C 9.C 10．C 解：∵m－n＝(1＋)－(1－)＝2，mn＝(1＋)(1－)＝－1，
∴＝＝＝＝3.
二、11.6 12.4 13． 14．＋2
15．－a－3b＋3c
解：∵a，b，c为三角形的三边长，
∴a＋c＞b，a＋b＞c，
即a－b＋c＞0，c－a－b＜0.
∴－2|c－a－b|＝(a－b＋c)＋2(c－a－b)＝－a－3b＋3c.
16.4
17. 解：设装有大象的铁笼重力为a N，将弹簧秤移动到B′的位置时，弹簧秤读数为k′ N.
由题意可得BP·k＝PA·a，B′P·k′＝PA·a，
∴BP·k＝B′P·k′.
又∵B′P＝nBP，
∴k′＝＝＝.
18.2 023
分析：先将第一个括号内的各项分母有理化，此时发现，除第二项和倒数第二项外，其他各项的和为0，由此可计算出第一个括号内式子的值，然后再计算其与第二个括号内式子的乘积．
三、19.解：(1)原式＝2＋2＋()2＝4＋5；
(2)原式＝4÷2－3÷2＝2－；
(3)原式＝6－＋12＝17；
(4)原式＝(－＋2＋)·＝·－·＋2·＋·＝－＋2＋＝a2＋a－＋2.
20．解：∵＋＞0，＋2＞0，(＋)2＝7＋2＝7＋，(＋2)2＝7＋4＝7＋，
∴(＋)2<(＋2)2.
∴＋<＋2.
21．解：由题意得解得
∴(＋2)(－2)＝()2－(2)2＝a－4b＝5－4×10＝－35.
22．解：(1)1；2；2；8
(2)设每间隔离房与墙平行的边长为x米，与墙垂直的边长为y米，
依题意，得9x＋12y＝63，
即3x＋4y＝21，
∴3x＋4y≥2，
即21≥2，
∴xy≤，
即S≤.
∴当3x＝4y时，Smax＝，
此时，x＝，y＝，
即当每间隔离房长为米，宽为米时，使每间隔离房的面积S最大，最大面积为米2.
23．解：(1)S＝(＋)×＝(2＋4)×＝×6×＝3(m2)．
答：横断面的面积为3 m2.
(2)＝＝＝＝(m)．
答：可修 m长的拦河坝．
24．解：(1)＞；＞；＝
(2)m＋n≥2.理由如下：
当m≥0，n≥0时，(－)2≥0，
∴()2－2＋()2≥0.
∴m－2＋n≥0.
∴m＋n≥2.
(3)设花圃平行于墙的一边长为a m，垂直于墙的一边长为b m，则a＞0，b＞0，ab＝200.
根据(2)中的结论可得a＋2b≥2＝2＝2＝2×20＝40，
∴所用的篱笆至少为40 m.
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第十六章二次根式综合素质评价
一、选择题(每题3分，共30分)
1．若在实数范围内有意义，则x的取值范围在数轴上表示正确的是( )
2．下列等式正确的是( )
A．()2＝7 B．＝－7
C．＝7 D．(－)2＝－7
3．下列二次根式中，最简二次根式是( )
A. B. C. D.
4．若两个最简二次根式与能够合并，则b的值为( )
A．－1 B． C．0 D．1
5．【2022·雅安】下列计算正确的是( )
A．32＝6 B．＝－
C．(－2a2)2＝2a4 D．＋2＝3
6．若是整数，则正整数n的最小值是( )
A．2 B．3 C．4 D．5
7．若实数a，b满足ab＞0，则化简a的结果为( )
A．－ B. C. D．－
8．若x为实数，在“(＋1)x”的“”中添上一种运算符号(在“＋，－，×，÷”中选择)后，其运算的结果为有理数，则x不可能是( )
A.＋1 B.－1 C．2 D．1－
9．【2021·包头】若x＝＋1，则代数式x2－2x＋2的值为( )
A．7 B．4 C．3 D．3－2
10．已知m＝1＋，n＝1－，则代数式的值为( )
A．9 B．±3 C．3 D．5
二、填空题(每题3分，共24分)
11．计算：×＝________．
12．如果两个最简二次根式与能合并，那么a＝________．
13．若y＝＋＋1，则x－y＝________．
14．计算(－2)2 024(＋2)2 025的结果是__________.
15．在△ABC中，a，b，c为三角形的三边长，化简－2|c－a－b|＝____________．
16．△ABC的面积S＝12 cm2，底边a＝2 cm，则底边上的高为________cm.
17．【数学建模】【2022·舟山】某动物园利用杠杆原理称象：如图，在点P处挂一根质地均匀且足够长的钢梁(呈水平状态)，将装有大象的铁笼和弹簧秤(秤的重力忽略不计)分别悬挂在钢梁的点A，B处，当钢梁保持水平时，弹簧秤读数为k(N)．若铁笼固定不动，移动弹簧秤使BP扩大到原来的n(n＞1)倍，且钢梁保持水平，则弹簧秤读数为________(N)(用含n，k的代数式表示)．
18．【规律探索题】观察下列二次根式化简：＝－1，＝－，….从中找出规律并计算：(＋＋…＋＋)×(＋1)＝________.
三、解答题(19题16分，20题8分，24题12分，其余每题10分，共66分)
19．计算下列各式：
(1)＋(2＋)； (2)(4－3)÷2；
(3)2－4＋3；
(4)÷(a>0，b>0)．
20．比较＋与＋2的大小关系．
21．已知＝0，求(＋2)(－2)的值．
22．【阅读理解题】阅读材料：
∵对于任意正实数a，b，(－)2≥0，
∴a－2＋b≥0.
∴a＋b≥2.
∴当a＝b时，a＋b有最小值2.
根据上述内容，回答下列问题
(1)若m＞0，只有当m＝________时，m＋有最小值________；若m＞0，只有当m＝______时，2m＋有最小值________；
(2)疫情期间为了解决临时隔离问题，高速公路检测站入口处，检测人员利用一面墙(墙的长度不限)和63米长的钢丝网围成了9间相同的长方形隔离房，如图．设每间隔离房的面积为S(米2)．问：当每间隔离房的长、宽各为多少时，使每间隔离房的面积S最大？最大面积是多少？
23．拦河坝的横断面是梯形，如图，其上底是 m，下底是 m，高是 m.
(1)求横断面的面积；
(2)若用300 m3的土，可修多长的拦河坝？
24．【数学抽象】(1)用“＝”“＞”“＜”填空：4＋3________2，1＋________2，5＋5________2.
(2)由(1)中各式猜想m＋n与2(m≥0，n≥0)的大小，并说明理由．
(3)请利用上述结论解决下面问题：某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成长方形的花圃，如图所示，花圃恰好可以借用一段墙体，为了围成面积为200 m2的花圃，所用的篱笆至少为多少米？
答案
一、1.D 2.A 3.A 4．D 5．D 6．B 7.A
8．C 9.C 10．C 解：∵m－n＝(1＋)－(1－)＝2，mn＝(1＋)(1－)＝－1，
∴＝＝＝＝3.
二、11.6 12.4 13． 14．＋2
15．－a－3b＋3c
解：∵a，b，c为三角形的三边长，
∴a＋c＞b，a＋b＞c，
即a－b＋c＞0，c－a－b＜0.
∴－2|c－a－b|＝(a－b＋c)＋2(c－a－b)＝－a－3b＋3c.
16.4
17. 解：设装有大象的铁笼重力为a N，将弹簧秤移动到B′的位置时，弹簧秤读数为k′ N.
由题意可得BP·k＝PA·a，B′P·k′＝PA·a，
∴BP·k＝B′P·k′.
又∵B′P＝nBP，
∴k′＝＝＝.
18.2 023
分析：先将第一个括号内的各项分母有理化，此时发现，除第二项和倒数第二项外，其他各项的和为0，由此可计算出第一个括号内式子的值，然后再计算其与第二个括号内式子的乘积．
三、19.解：(1)原式＝2＋2＋()2＝4＋5；
(2)原式＝4÷2－3÷2＝2－；
(3)原式＝6－＋12＝17；
(4)原式＝(－＋2＋)·＝·－·＋2·＋·＝－＋2＋＝a2＋a－＋2.
20．解：∵＋＞0，＋2＞0，(＋)2＝7＋2＝7＋，(＋2)2＝7＋4＝7＋，
∴(＋)2<(＋2)2.
∴＋<＋2.
21．解：由题意得解得
∴(＋2)(－2)＝()2－(2)2＝a－4b＝5－4×10＝－35.
22．解：(1)1；2；2；8
(2)设每间隔离房与墙平行的边长为x米，与墙垂直的边长为y米，
依题意，得9x＋12y＝63，
即3x＋4y＝21，
∴3x＋4y≥2，
即21≥2，
∴xy≤，
即S≤.
∴当3x＝4y时，Smax＝，
此时，x＝，y＝，
即当每间隔离房长为米，宽为米时，使每间隔离房的面积S最大，最大面积为米2.
23．解：(1)S＝(＋)×＝(2＋4)×＝×6×＝3(m2)．
答：横断面的面积为3 m2.
(2)＝＝＝＝(m)．
答：可修 m长的拦河坝．
24．解：(1)＞；＞；＝
(2)m＋n≥2.理由如下：
当m≥0，n≥0时，(－)2≥0，
∴()2－2＋()2≥0.
∴m－2＋n≥0.
∴m＋n≥2.
(3)设花圃平行于墙的一边长为a m，垂直于墙的一边长为b m，则a＞0，b＞0，ab＝200.
根据(2)中的结论可得a＋2b≥2＝2＝2＝2×20＝40，
∴所用的篱笆至少为40 m.
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