程老师数学培优·15252000987 奋斗成就未来 9.4.1 矩形及其性质
9.4 矩形、菱形、正方形
第1课时 矩形及其性质
知识总结：
1.有一个角是直角的平行四边形叫______________.
2.矩形是特殊的_______________，具有平行四边形的一切性质.
3.矩形特殊性质（1）_____________________________；（2）___________________________.
4.矩形的两条对角线将矩形分成_______对全等的等腰三角形，且这四个等腰三角形的__________相等.
5.矩形的对称性：矩形既是中心对称图形，又是轴对称图形；对称中心是两条对角线的_________；对称轴有________条，是两组对边中点连线所在的直线.
基础练习
1.下列有关矩形的说法正确的是( )
A.两组对边分别平行的四边形是矩形 B.有一个角是直角的四边形是矩形
C.矩形一定是平行四边形 D.平行四边形是矩形
2.数学实践活动课上，小王用细木条制作了一个四边形木框(如图所示)，经测量得知该木框的两组对边长
度分别相等，且有一个内角是直角，则该木框________(填“是”或“不是”)矩形.
3.矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是( )
A.对角相等 B.对角线相等 C.对边平行且相等 D.对角线互相平分
4.在矩形ABCD中，已知AB＝8，BC＝15，则BD的长为( )
A.16 B.17 C.18 D.20
5.如图，四边形ABCD是矩形，其中AB＜AD，AC，BD相交于点0，则图中等腰三角形的个数为( )
A.2 B.4 C.6 D.8
6.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点0，已知∠ADB＝30°，OD＝1，则该矩形的面积为( )
A. B.2 C. D.4
7.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，AE⊥BD于点E，若∠DBC＝25°，则∠OAE＝________.
8.如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，已知AB＝4，CF＝3，则矩
形ABCD的周长为____________.
9.如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝10，点E是BC上一点，连接AE，DE，若ED平分∠AEC，求CE的长.
综合拓展
10.如图，点O是矩形ABCD的对角线BD的中点，若AB＝8，0C＝5，则矩形ABCD的周长为( )
A.18 B.24 C.28 D.30
11.如图，在□ABCD中，点O为对角线AC的中点，点E为AB边上一动点(点E不与点A，B重合)，连接EO并延长交CD于点F，连接AF，CE，若四边形AECF一定不是矩形，则∠BAD的度数不可能是( )
A.45° B.60° C.90° D.120°
12.如图，矩形ABCD在平面直角坐标系中，对角线AC在x轴上，点A的坐标是(－2，0)，点D的坐标是(2，2)，点C的坐标是(3，0)，则点B的坐标是( )
A.(－1,－2) B.(－1，－3) C.(－，－2) D.(－，－3)
13.如图，在矩形ABCD中，CD＝，∠DBC＝30°，将矩形ABCD以点C为旋转中心，顺时针旋转一定角度后，点D的对应点落在对角线BD上，BC交A'D'于点E，则△CED'的面积为___________.
14.如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，点E在AD上运动，连接BE和CE，当△BCE是等腰三角形时，AE的长为___________.
15.(矩形中的折叠问题) 如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝9，点E是DC的中点，将△ADE沿AE折叠，点D落在矩形ABCD的内部F处，连接AF并延长交BC于点G.则CG的长为__________.
16.(矩形性质的综合题) 如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别与AB，CD的延长线交于点M，N，与AC交于点0，与AD交于点E.
(1)求证：BM＝DN；
(2)若AB＝4，AD＝10，求AE的长.中小学教育资源及组卷应用平台
9.4 矩形、菱形、正方形
第1课时 矩形及其性质
知识总结：
1.有一个角是直角的平行四边形叫___矩形__.
2.矩形是特殊的__平行四边形__，具有平行四边形的一切性质.
3.矩形特殊性质（1）__四个角都是直角____；（2）__对角线相等___.
4.矩形的两条对角线将矩形分成__2__对全等的等腰三角形，且这四个等腰三角形的__面积__相等.
5.矩形的对称性：矩形既是中心对称图形，又是轴对称图形；对称中心是两条对角线的__交点__；对称轴有_2_条，是两组对边中点连线所在的直线.
基础练习
1.下列有关矩形的说法正确的是( C )
A.两组对边分别平行的四边形是矩形 B.有一个角是直角的四边形是矩形
C.矩形一定是平行四边形 D.平行四边形是矩形
2.数学实践活动课上，小王用细木条制作了一个四边形木框(如图所示)，经测量得知该木框的两组对边长
度分别相等，且有一个内角是直角，则该木框_是__(填“是”或“不是”)矩形.
3.矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是( B )
A.对角相等 B.对角线相等 C.对边平行且相等 D.对角线互相平分
4.在矩形ABCD中，已知AB＝8，BC＝15，则BD的长为( B )
A.16 B.17 C.18 D.20
5.如图，四边形ABCD是矩形，其中AB＜AD，AC，BD相交于点0，则图中等腰三角形的个数为( B )
A.2 B.4 C.6 D.8
6.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点0，已知∠ADB＝30°，OD＝1，则该矩形的面积为( A )
A. B.2 C. D.4
7.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，AE⊥BD于点E，若∠DBC＝25°，则∠OAE＝__40°_.
8.如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，已知AB＝4，CF＝3，则矩
形ABCD的周长为___22___.
9.如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝10，点E是BC上一点，连接AE，DE，若ED平分∠AEC，求CE的长.
解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD//BC，AD＝BC，∴∠CED＝∠ADE,
又∵ED平分∠AEC，∴∠CED＝∠AED,∴∠ADE＝∠AED,∴AE＝AD＝10,
在Rt△ABE中，BE＝＝＝8. ∴ CE＝BC－BE＝10－8＝2.
综合拓展
10.如图，点O是矩形ABCD的对角线BD的中点，若AB＝8，0C＝5，则矩形ABCD的周长为( C )
A.18 B.24 C.28 D.30
11.如图，在□ABCD中，点O为对角线AC的中点，点E为AB边上一动点(点E不与点A，B重合)，连接EO并延长交CD于点F，连接AF，CE，若四边形AECF一定不是矩形，则∠BAD的度数不可能是( D )
A.45° B.60° C.90° D.120°
12.如图，矩形ABCD在平面直角坐标系中，对角线AC在x轴上，点A的坐标是(－2，0)，点D的坐标是(2，2)，点C的坐标是(3，0)，则点B的坐标是( A )
A.(－1,－2) B.(－1，－3) C.(－，－2) D.(－，－3)
13.如图，在矩形ABCD中，CD＝，∠DBC＝30°，将矩形ABCD以点C为旋转中心，顺时针旋转一定角度后，点D的对应点落在对角线BD上，BC交A'D'于点E，则△CED'的面积为____.
【解析】根据旋转的性质得CD＝CD'＝.∠A'D'C＝∠ADC＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，∠DBC＝30°，
∴∠BDC＝60°，∴△CDD'是等边三角形，∠DCD'＝60°，∠BCD'＝30°，
设ED'＝x，则CE＝2x，由勾股定理得ED'2+CD'2＝CE2，即x2+3＝(2x)2，解得x＝1(负值已舍），
∴ S△CED'＝CD'·ED'＝.
14.如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，点E在AD上运动，连接BE和CE，当△BCE是等腰三角形时，AE的长为__或或3－___.
【解析】△BCE是等腰三角形可分三种情况：
①当EB＝EC时，∵四边形ABCD是矩形.∴∠A＝∠D＝90°，AB＝DC＝2,
∴Rt△ABE≌Rt△DCE∴AE＝ED＝；
②当EB＝BC＝3时，在Rt△ABE中，由勾股定理，得AE＝＝；
③当CE＝BC＝3时，同理可得DE＝，AE＝AD－DE＝3－.
∴AE的长为或或3－.
15.(矩形中的折叠问题) 如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝9，点E是DC的中点，将△ADE沿AE折叠，点D落在矩形ABCD的内部F处，连接AF并延长交BC于点G.则CG的长为__1__.
【解析】如解图，连接EG.
∵在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝9，∴AB＝DC＝6，AD＝BC＝9，∠B＝∠C＝∠D＝90°.
∵点E是DC的中点，∴DE＝EC＝3，
∵将△ADE沿AE折叠，点D落在矩形ABCD的内部F处，
∴AF＝AD＝9，EF＝DE＝EC＝3，∠B＝∠C＝∠AFE＝90°.
∴Rt△EFG≌Rt△ECG.∴GF＝CC.
设CG为x，在Rt△ABG中，根据勾股定理得AB2+BG2＝AG2，即62+(9－x)2＝(9+x)2，解得x＝1.
∴CG的长为1.
16.（矩形性质的综合题) 如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别与AB，CD的延长线交于点M，N，与AC交于点0，与AD交于点E.
(1)求证：BM＝DN；
(2)若AB＝4，AD＝10，求AE的长.
(1)证明：∵MN是AC的垂直平分线，∴A0＝CO，∠AOM＝∠CON＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，∴AB//CD,AB＝CD.∴∠M＝∠N.
在△AOM和△CON中，∴△AOM≌△CON(AAS)，∴AM＝CN
∴AM－AB＝CN－CD, ∴BM＝DN;
(2)解：如解图，连接CE，
∵MN是AC的垂直平分线，∴CE＝AE,
设AE＝CE＝x，则DE＝10－x，
∵四边形ABCD是矩形，∴∠CDE＝90°，CD＝AB＝4，
在Rt△CDE中，CD2+DE2＝CE2，即42+(10－x)2＝x2，解得x＝ ，∴AE的长为
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