南京市高三数学单元检测——集合与函数
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分． 在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的）
1．设全集U={－2，－1，0，1，2}，A={－2，－1，0}，B={0，1，2}，则（UA）∩B= （ ）
A．{0} B．{－2，－1} C．{1，2} D．{0，1，2}
2．下列函数中，在定义域内既是奇函数又是减函数的是 （ ）
A． B． C． D．
3．设则的大小关系是 ( )
A． B． C． D．
4．条件甲：“”是条件乙：“”的 （ ）
A．充要条件 B．既不充分也不必要条件
C．充分不必要条件 D．必要不充分条件
5．设f(x)＝|x－1|－|x|，则f[f()]等于 ( )
A．1 B．0 C． D．－
6．已知函数存在反函数，且的图象过定点（3，1），则函数的图象一定过点 （ ）
A． B． C． D．
7．若函数在区间（－1，0）上有的递增区间是 （ ）
A． B． C． D．
8．已知是定义在R上的奇函数， 则的值是 ( )
A． B．－2 C． D．
9．如图所示，单位圆中弧AB的长为x，表示弧AB与弦AB所围成的弓形面积，则函数的图象是 ( )
A B
C D
10．设为偶函数，且对任意的正数x都有，若，则等于 ( )
A．2 B．－2 C．8 D．－8
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
11．若函数的定义域为[0，1]，则函数的定义域为____________．
12．已知（x∈R），则函数的最小值为____________．
13．不等式的解集为 ．
14．若直线与函数的图象恰有两个不同的交点，则实数a的取值范围是_______．
15．设的反函数为，若，则
_____________．
16．设函数，给出下列四个命题： ①的图象可由反比例函数经平移变换得到；②的图象是中心对称图形，其对称中心是(-2，2)；③一定存在反函数；④在定义域上是增函数．
其中正确命题的序号是____________．
三、解答题（本大题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分12分）已知p：方程有两个不等的负实根，
q：方程无实根． 若p或q 为真，p且q为假． 求实数m的取值范围。
18． （本小题满分14分）对函数．
（1）若的定义域为R，值域为，试求实数a的值；
（2）若在内是增函数，试求实数a的取值范围．
19．（本小题满分14分）已知函数．
（1）求的反函数；
（2）试判断的奇偶性；
（3）求使的x的取值范围．
20．（本小题满分14分）某工厂有一个容量为300吨的水塔，每天从早上6时起到晚上10时止供应该厂的生产和生活用水，已知该厂生活用水为每小时10吨，工业用水量W（吨）与时间t（小时，且规定早上6时t＝0）的函数关系为W＝100．水塔的进水量分为10级，第一级每小时进水10吨，以后每提高一级，每小时进水量就增加10吨．若某天水塔原有水100吨，在开始供水的同时打开进水管，问进水量选择为第几级时，既能保证该厂的用水（水塔中水不空）又不会使水溢出
21． (A)（本小题满分16分） 设是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=1对称，对任意x1、x2∈［0，］， 都有， 且．
（1）求，；
（2）证明是周期函数．
21．(B)（本小题满分16分） 设是定义在R上的奇函数且对一切实数x有，又当x时，，请研究后回答下列问题，并说明理由：
（1）证明：是周期函数；
（2）当时，求的解析式；
（3）当时，求的解析式；
（4）请直接写出当R时的函数解析式．
参考答案:
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A B A A C C B D D
二、填空题
11． ； 12． 2 13．
14． 15． 2 16．①②③
三、解答题
17．由题意，p， q中有且仅有一为真，一为假。
p真m>2， q真<01若p假q真，则1综上所述：m∈(1，2]∪[3，+∞)．
18．解：设．
（1）易知函数g(x)的值域是，又g(x)的值域是，∴ 3-a2=2，解得．
（2）问题等价于函数g(x)在上为减函数，且g(x)>0对任意恒成立，
则且g(1)>0，解得实数a的取值范围是。
19．解：（1）由得，所以或；
（2）因为的定义域关于原点对称，且
，所以是奇函数；
（3）由得．
当时，，即；
当时，，即．
所以，当时，；当时，．
20．解：设进水量选第x级，则t小时后水塔中水的剩余量为y＝100＋10xt－10t－100，且0≤t≤16． 根据题意0＜y≤300，∴0＜100＋10xt－10t－100≤300．
由左边得x＞1＋10（）＝1＋10〔－＋〕，
当t＝4时，1＋10〔－＋〕有最大值3．5． ∴x＞3．5．
由右边得x≤＋1，当t＝16时，＋1有最小值4．75，∴x≤4．75．
综合上述，进水量应选为第4级．
21．（A） （1）解：因为对x1， x2∈［0，］，都有f (x1+x2)=f (x1)·f (x2)，
所以f (x)=≥0，x∈［0，1］．
又因为f (1)=f (+)=f ()·f ()=［f ()］2，
f ()=f (+)=f ()·f ()=［f（）］2，
又f (1)=a>0，
所以f ()=a， f ()=．
（2）证明：依题意设y=f (x)关于直线x=1对称，故f (x)=f (1+1－x)， 即f (x)=f (2－x)，x∈R．
又由f (x)是偶函数知f(－x)=f(x)，x∈R，
∴f(－x)=f(2－x)，x∈R．
将上式中－x以x代换得f(x)=f(x+2)，这表明f(x)是R上的周期函数，且2是它的一个周期．
21．（B）解：（1）f (x+4)= －f (x+2)=f (x)， ∴f (x)是周期为4的周期函数．
（2）当时，， 由题知 ，
f(x)是奇函数， ∴．
（3）由f(x)是定义在R上的奇函数得f(0)=0，
∴时，
当时， ，又f (2)=f (0)= 0，
∴ 时，
（4）R时，（kZ）．
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