函数的单调性（1）
教学目标：
（1）知识与技能：掌握函数单调性的概念以及判断函数单调性的方法。
（2）过程与方法：利用多媒体手段，激发学生学习兴趣，再通过情境再现、问题探究、实践体验等方法培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力。
（3）情感态度与价值观：使学生养成细心观察、归纳、分析的良好习惯，培养学生不断探求新知识的精神。
教学重点：增函数、减函数的概念。
教学难点：利用函数的单调性概念证明或判断函数的单调性。
教学方法：合作探究与多媒体辅助教学相结合
教学过程 （设计说明）
情景创设
欣赏1： 明确目标、引起思考。
给出函数单调性的图形语言
调动学生的参与意识，通过
直观图形得出结论，渗透数形
结合的数学思想。
欣赏2：
思考1：分析函数图象的上升与下降情况。 给出函数单调性的
思考2：能否用x与f（x）来描述图象的上升与 数学语言。
下降？ 通过教师指图说明，
图象上升： 使学生把定义与直观图象
图象下降： 结合起来，加深对概念的
思考3：在所给区间中是任意取值，还是取 理解，渗透数形结合分析
特殊值？ 问题的数学思想方法。
（任意取值）
欣赏3：
此图由上一组图象
补充得到。
思考4：与在其定义域上是增函数还 结合具体函数强调：
是减函数？ 1、函数的单调性是与区间紧
在其定义域上既不是增函数又不 密相连的，它所反映的是
是减函数， 函数局部的性质特征。
但在 上是减函数，在上是 2、有些函数虽然在整个定义
增函数。 域上不是单调的，但是有可
在其定义域上既不是增函数又不 能有单调区间。
是减函数，
但在 上是减函数，在上也是
减函数。
二、数学构建
1、函数单调性的概念
设函数的定义域为，，任意
当时，都有：
(1),则在区间上是单调增函数，
称为单调增区间；
(2) ,则在区间上是单调减函数，
称为单调减区间。
如果函数在区间上是单调增函数或单
调减函数，那么就说函数在区间上具有
单调性，单调增区间和单调减区间统称为单调区间。
概念辨析
由于函数的单调性是在给定区间上的性质，因 此组训练有助于学生
此，函数的单调性反映的是函数的局部性质。--（ ） 更加细致、深刻的理解
若 在区间A、B上都是单调减函 函数单调性的概念，结
数，则它在A B为单调减函数。---------------（ ） 和实例的辨析可以激发
由于在整个定义域上不单调，因此它也 学生的学习兴趣，且记
没有单调区间。------------------------------------------（ ） 忆效果较为长久。
（4）对于单独的一点，不存在单调性问题。--（ ）
3、单调性概念中应注意的问题
区间在定义域中，是定义域的子集；
有些函数在整个定义域上单调，有些函数只有 此环节由学生通过分组
在定义域的某些区间上单调； 讨论，再进行自由发言，最
两个单调区间不能随意合并； 后再由教师进行引导，使
函数的单调性是对某个区间而言的，单独的一 结论更加简洁、规范。
点函数的单调性无意义；
（5）的三个特征：任意性、有大小、同属于一
个单调区间；
（6）有些函数在整个定义域上不单调，但有单调区
间。
4、判断（证明）函数单调性的方法
（1）图象法：观察沿x轴正方向的升降情况。
例1、如图是定义在闭区间[0，24]上的函数y=f(x)的图
象，根据图象说出y=f(x)的单调区间以及在每个单调 本例可在学生思考的
区间上y=f(x)是增函数还是减函数。 基础上，请同学个别发言。
注意：
1、区间端点可开可闭。
2、横轴上移不改变图象
上点的横坐标，因此，
单调区间不变。
3、纵轴右移改变了图象
原图： 增区间为[4，14]，减区间为[0，4]，[14，24] 上点的横坐标，因此，
上移横轴：增区间为[4，14]，减区间为[0，4]，[14，24] 单调区间改变。
右移纵轴：增区间为[0，10]，减区间为[-4，0]，[10，20]
（2）、定义法：利用函数单调性的定义
例2、求证：函数在R上是增函数。 由于例2难度教大，学生
证明：设任意的R，且-------------（设值）难以从中归纳出判断（证明）
------------（作差）的方法及步骤，因而有必要利
----------------------（变形）用黑板详细讲解，通过分析
，引导学生抽象、概括出方法
即------------------（定号）及步骤，提示学生注意证明过
函数在R上是增函数------（结论）程的规范性及严谨性。
总结：利用定义证明函数单调性的步骤
“设值---比较---结论”
类题演练 通过练习加深对概念的理解，
证明函数在上是单调减函数。 熟悉判断方法，达到巩固，消化
判断函数在的单调性。 新知识的目的。同时强化解题步
课堂小结 骤，形成并提高解题能力。
函数单调性的定义 （请两位同学板演）
判断或证明函数单调性的方法：
图象法、定义法。
用定义法证明函数单调性的步骤：
“设值---比较---结论”。
作业
习题2.1(3)第1，2，7题
附： 板书设计
函数的单调性（1）
屏幕 例2
（含解答过程） 函数单调性概念
类题演练 （1） 类题演练（2）
总结步骤
函
数
的
单
调
性
（1）
执教：解志巍
江苏省建湖高级中学
函数的单调性（1）说课设计
江苏省建湖高级中学 解志巍
教材分析：苏教版高中数学必修1 2.1.3函数的简单性质
函数的单调性是函数的一个重要性质，也是在研究函数时经常会用到的一个有利工具，它在比较大小、对函数的定性分析以及与其他知识的综合应用上都有广泛的应用。因此，在备课的过程中，我不断地思考：如何依据新课程理念，设计教学过程？如何结合教学内容，发展学生能力？学生在学习中又将会遇到哪些问题？希望通过对这一节课的学习，既能让学生掌握函数单调性的概念和证明（判断）函数单调性的方法，又可加深学生对函数的本质认识，也为今后研究函数的其他性质做好充分的准备。
教学目标：
根据新课程教学标准和本节教学内容，贯穿以创新教育为核心的素质教育宗旨，本着教材的特点和高一学生的认知能力和数学思维
特征，设定教学目标为
（1）知识与技能：掌握函数单调性的概念以及判断函数单调性的方法。
（2）过程与方法：利用多媒体手段，激发学生学习兴趣，再通过情境再现、问题探究、实践体验等方法培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力。
（3）情感态度与价值观：使学生养成细心观察、归纳、分析的良好习惯，培养学生不断探求新知识的精神。
教学重点、难点:
本节的教学重点是增函数、减函数的概念。难点是利用函数的单调性概念证明或判断函数的单调性。用定义证明或判断函数的单调性，在本节课中学生是第一次接触，所以所选的例题不宜过难，主要是让学生领会这种方法，至于进一步的巩固提高可放在下节课进行。
教学方法与教学手段：合作探究与多媒体辅助教学相结合
教学过程 （设计说明）
情景创设（课件展示）
欣赏1：一次函数y=x+1 和 明确目标、引起思考。结合初中阶
二次函数的图象 段学生就已熟悉的一次函数、二次函数
欣赏2：一次函数y=-x+1 和 反比例函数的图象，给出增函数、减
反比例函数 的图象 函数的图形语言，调动学生的参 （由学生观察图象思考一下问题） 与意识，通过直观图形得出结论，渗
思考1：分析函数图象的上升与下降情况。 透数形结合的数学思想。
思考2：能否用x与f（x）来描述图象的上升与 由形得数，给出增函数、减函数的
下降？ 数学语言，通过教师指图说明，使学
图象上升： 生把定义与直观图象结合起来，加深
图象下降： 对概念的理解，渗透数形结合分析问
思考3：在所给区间中是任意取值，还是取 题的数学思想方法。
特殊值？
（任意取值） 思考题均由学生讨论后单独作答。
欣赏3：
给出和在整个定义域上的图象。 此图由上一组图象补充得到。
思考4：与在其定义域上是增函数还 结合具体函数强调：
是减函数？ 1、函数的单调性是与区间紧
在其定义域上既不是增函数又不 密相连的，它所反映的是
是减函数， 函数局部的性质特征。
但在 上是减函数，在上是 2、有些函数虽然在整个定义
增函数。 域上不是单调的，但是有可
在其定义域上既不是增函数又不 能有单调区间。
是减函数， 3、明确区间的端点值不影响函数
但在 上是减函数，在上也是 的单调性。
减函数。
二、数学构建
1、函数单调性的概念
设函数的定义域为，，任意 结合前面的思考题，逐步形成函
当时，都有： 数单调性的概念，注意形成过程的
(1),则在区间上是单调增函数， 展示，为使学生能形成一个细致而
称为单调增区间； 深刻的印象，这一概念要由教师引
(2) ,则在区间上是单调减函数， 导学生分析后，书写在黑板上，并
称为单调减区间。 对关键性的词语加以标注。
如果函数在区间上是单调增函数或单
调减函数，那么就说函数在区间上具有
单调性，单调增区间和单调减区间统称为单调区间。
概念辨析（课件展示）
由于函数的单调性是在给定区间上的性质，因 此组训练有助于学生更加细致
此，函数的单调性反映的是函数的局部性质。--（ ） 全面的理解函数单调性的概念，结
若 在区间A、B上都是单调减函 和实例的辨析可以激发学生的学习
数，则它在A B为单调减函数。---------------（ ） 兴趣，且记忆效果较为长久。
由于在整个定义域上不单调，因此它也 ，
没有单调区间。-------------------------------------（ ）
（4）对于单独的一点，不存在单调性问题。--（ ）
3、单调性概念中应注意的问题（课件展示）
区间在定义域中，是定义域的子集；
有些函数在整个定义域上单调，有些函数只有 此环节由学生通过分组
在定义域的某些区间上单调； 讨论，再进行自由发言，最
两个单调区间不能随意合并； 后再由教师进行引导，使
函数的单调性是对某个区间而言的，单独的一 结论更加简洁、规范。
点函数的单调性无意义；
（5）的三个特征：任意性、有大小、同属于一 讨论结束后教师可展示
个单调区间； 内容，以便增强条理性。
（6）有些函数在整个定义域上不单调，但有单调区
间。
4、判断（证明）函数单调性的方法 （课件展示） 通过以上的学习，学生对本节课
（1）图象法：观察沿x轴正方向的升降情况。 知识已经有了初步的理解，此例可
例1、根据定义在闭区间[0，24]上的函数y=f(x)的图象，说出 作为课内的初级操作评价，让学生
y=f(x)的单调区间以及在每个单调区间上是增函数还是减函数。 充分暴露思维障碍，帮助教师了解
学生获取知识上的现状，以便调整教
学节奏。
（2）、定义法：利用函数单调性的定义
例2、求证：函数在R上是增函数。 由于例2难度教大，学生
证明：设任意的R，且-------------（设值） 难以从中归纳出判断（证明）
------------（作差） 的方法及步骤，因而有必要利
----------------------（变形） 用黑板详细讲解，通过分析
，引导学生抽象、概括出方法
即------------------（定号） 及步骤，提示学生注意证明过
函数在R上是增函数------（结论） 程的规范性及严谨性。
总结：利用定义证明函数单调性的步骤 可请一位中等程度的同学来
“设值---比较---结论” 试一下，以检验学习效果。
类题演练 通过练习加深对概念的理解，
证明函数在上是单调减函数。 熟悉判断方法，达到巩固，消化
判断函数在的单调性。 新知识的目的。同时强化解题步
课堂小结 骤，形成并提高解题能力。
函数单调性的定义 （可请两位基础相对较弱的同
判断或证明函数单调性的方法： 学板演）
图象法、定义法。
用定义法证明函数单调性的步骤： 小结可分层次选一些同学发言，
“设值---比较---结论”。 以检验本节课的教学效果。
作业
习题2.1(3)第1，2，7题
选做题： 1、已知函数y=f(x) 是（0，+∞）上的增函数，比较f()与f()的大小关系。 2、已知函数f(x)=+2+b(a≠0)在上有最小值2和最大值5，求a与b的值。
（选做题目的既是对课堂的进一步延伸，继续培养学生分析问题和解决问题的能力，同时也可达到分层教学的目的。）
附： 板书设计
函数的单调性（1）
屏幕 例2
含解答过程 函数单调性概念
（教师板书）
(教师板书)
总结步骤：
类题演练（1） 类题演练（2）
（学生完成）
（学生板演） （学生板演）
教案说明：
函数的单调性是函数的一个重要性质，也是在研究函数时经常会用到的一个有利工具，它在比
较大小、对函数的定性分析以及与其他知识的综合应用上都有广泛的应用。因此，在备课过程中，我
根据新课程教学标准和本节教学内容，贯穿以创新教育为核心的素质教育宗旨，本着教材的特点和高
一学生的认知能力和数学思维特征，对本节课作了整体上的考虑。课题的引入是通过初中所熟悉的一
次函数、二次函数及反比例函数的图象，这样，容易激活学生的思维，进而得到知识上的升华。
在备课的过程中，我还在不断地思考，如何才能让学生“动”起来，真正成为教学活动的主体？
高中阶段的学生，思维水平已经进入了一个黄金时期，但由于传统理念的束缚，绝大多数同学不善于
甚至是不敢于在老师和同学面前表达自己的想法，生怕自己在大家面前说错什么，或是认为自己说的没有其他同学好，不能给大家留下好印象，更得不到老师的认可。为了使同学们能走出这种误区，打消顾虑，在整个教学活动过程中，我努力为他们营造出一个民主、轻松的学习氛围，安排了讨论交流
自主发言等环节，并通过课件展示、板演练习等方式刺激学生的感官，激发学习热情，此外，教师
要以饱满而又亲切的精神状态对待每一位同学，尽量发现每位同学的优点，利用适当的时机给与肯
定对于出现的错误要给与细致的分析。相信，在教师的细心组织和引导下，同学们一定能够不断累积自信，焕发出学习上的不竭动力，畅游于其乐无穷的数学海洋。
收获
函
数
的
单
调
性
（1）
执教：解志巍
江苏省建湖高级中学
