人教版七年级下数学疑难点专题专练——5.3平行线判定及拐点问题
一、单选题
1．（2022七下·乐亭期末）如图，点D为的角平分线AE延长线上的一点，过点D作于点F，若，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022七下·迁安期末）如图，将一副三角板的直角顶点重合，且使，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022七下·黄山期末）如图所示，，，若，则的度数为（ ）
A．100° B．110° C．120° D．130°
4．（2022七下·东港期末）如图，若，，，则的度数是（ ）
A．25° B．30° C．36° D．38°
5．（2022七下·嵊州期末）把长方形纸片MNPQ沿AC，AB折叠成如图所示，AM的对应线段落在AC上，若∠NAC＝38°，则的度数为（ ）
A．109° B．110° C．115° D．100°
6．（2022七下·张家港期末）如图，ABC的角平分线CD，BE相交于点F，∠BAC＝∠AGB，AGBC，下列结论中不一定成立的是（ ）
A．∠BAG＝2∠CBE B．
C．∠AEB＝∠GBE D．∠ADC＝∠AEB
二、填空题
7．（2022七下·双城期末）如图，已知AB∥EG，BC∥DE，CD∥EF，则x、y、z三者之间的关系是 ．
8．（2022七下·容县期末）如图，，、分别平分和，，与互补，则的度数为 .
9．（2022七下·长沙期末）如图，AB∥CD，CF平分∠DCG，GE平分∠CGB交FC的延长线于点E，若∠E＝34°，则∠B的度数为 ．
10．（2022七下·广陵期末）如图，AB∥CD，∠DCE的角平分线CG的反向延长线和∠ABE的角平分线BF交于点F，∠E﹣∠F=33°，则∠E= ．
11．（2022七下·嵊州期末）如图，，点E在AB上方，点F在AB，CD之间，AB平分∠EAF，CF平分∠ECD，EC交线段AB于点G．若，则∠EAF的度数为 ．
12．（2022七下·盱眙期末）如图，//，EP、FP分别平分、，若，则 °．（用含m，n的代数式表示）
13．（2022七下·上虞期末）生活中常见一种折叠拦道闸，如图1所示．若想求解某些特殊状态下的角度，需将其抽象为几何图形，如图2所示，垂直于地面于，平行于地面，则
三、解答题
14．（2022七下·辛集期末）如图，点P为∠AOB的角平分线OC上的一点，过点P作PM∥OB交OA于点M，过点P作PN⊥OB于点N．当∠AOB＝60°时，求∠OPN的度数．
解：∵PN⊥OB于点N，
∴∠PNB＝ ▲ °（ ）（填推理的依据）．
∵PM∥OB，
∴∠MPN＝∠PNB＝90°，
∠POB＝ ▲ （ ）（填推理的依据）．
∵OP平分∠AOB，且∠AOB＝60°，
∴∠POB＝∠AOB＝30°（角的平分线的定义）．
∴∠MPO＝ ▲ °．
∵∠MPO+∠OPN＝∠MPN，
∴∠OPN＝ ▲ °．
15．（2022七下·任丘期末）如图所示，在△ABC中，E，G分别是BC，AC上的点，D，F是AB上的点，已知EF⊥AB，垂足为F，CD⊥AB，垂足为D，∠1＝∠2， 试判断∠AGD和∠ACB是否相等，为什么？
16．（2022七下·双辽期末）请根据条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由．
已知：如图，，．
求证： ．
证明：∵ ▲ （ ），
又∵，
∴▲ （等量代换）．
∴∥▲（ ）．
∴ ▲ （ ）．
又∵，
∴．
∴（ ）．
17．（2022七下·东港期末）完成下面的说理过程：（不用抄题，直接将所填内容写到答题卡上即可）
已知：如图，点E在线段的延长线上，点F在线段的延长线上，连接E，，，．
求证：．
证明：因为（ ▲ ），
又因为（已知），
所以（等量代换），
所以（同旁内角互补，两直线平行），
所以（ ▲ ），
因为（已知），
所以（等量代换），
所以（ ▲ ），
所以（ ▲ ）．
四、综合题
18．（2022七下·馆陶期末）在中，射线平分交于点，点在直线上运动（不与点重合），过点作交直线于点．
（1）如图1，点在线段上运动时，平分，
①若，，则 ▲ ；
②若，则 ▲ ；
③探究与之间的数量关系，说明理由；
（2）若点在射线上运动时，的角平分线所在直线与射线交于点，与之间的数量关系是否与（1）中③相同，若不同请写出新的关系并画图说明理由．
19．（2022七下·承德期末）在一次数学综合实践活动课上，同学们进行了如下探究活动：将一块等腰直角三角板的顶点G放置在直线上，旋转三角板．
（1）如图1，在边上任取一点P（不同于点G，E），过点P作，若，求的度数；
（2）如图2，过点E作，请探索并说明与之间的数量关系；
（3）将三角板绕顶点G转动，过点E作，并保持点E在直线的上方．在旋转过程中，探索与之间的数量关系，并说明理由．
20．（2022七下·惠东期末）如图①，已知AD∥BC，∠B=∠D=120°．
（1）请问：AB与CD平行吗？为什么？
（2）若点E、F在线段CD上，且满足AC平分∠BAE，AF平分∠DAE，如图②，求∠FAC的度数．
（3）若点E在直线CD上，且满足∠EAC=∠BAC，求∠ACD：∠AED的值（请自己画出符合题意图形，并解答）．
21．（2022七下·大安期末）如图：
（1）如图1，∠CEF=90°，点B在射线EF上，若∠ABF=50°，∠C=40° ，试判断AB、CD的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，∠CEF=120° ，点B在射线EF上，且．则∠ABE与∠C的数量关系为：
22．（2022七下·迁安期末）平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．
（1）如图1，若，点在、内部，如图1，、、之间有怎样的数量关系？请证明你的结论．
小红：过点作，如图2
∵（已知）
∴（ ）
∴ ▲ ， ▲ （两直线平行，内错角相等）
∵（已知）
∴ ▲ （等量代换）
请把小红的证明过程补充完整；
（2）小明：延长线段交于点，根据平行线性质和三角形的相关知识得到三个角的关系，如图3，按小明的思路给出证明过程；
（3）在图4中，与相交，但由于纸张大小的原因，无法直接测量、的夹角大小． 小亮测得，，． 请通过计算及说理求与所夹锐角度数．
23．（2022七下·宜春期末）问题：已知线段AB∥CD，在AB、CD间取一点P（点P不在直线AC上），连接PA、PC，试探索∠APC与∠A、∠C之间的关系．
（1）端点A、C同向：
如图1，点P在直线AC右侧时，∠APC﹣（∠A+∠C）＝ 度；
如图2，点P在直线AC左侧时，∠APC+（∠A+∠C）＝ 度；
（2）端点A、C反向：
如图3，点P在直线AC右侧时，∠APC与∠A﹣∠C有怎样的等量关系？写出结论并证明；
如图4，点P在直线AC左侧时，∠APC﹣（∠A﹣∠C）＝ ▲ 度．
24．（2022七下·石城期末）已知：如图，直线，点C是PQ，MN之间（不在直线PQ，MN上）的一个动点.
（1）若∠1与∠2都是锐角，如图1，请直接写出∠C与∠1∠2之间的数量关系.
（2）若小明把一块三角板（∠A=30°，∠C=90°）如图2放置，点D，E，F是三角板的边与平行线的交点，若∠AEN=∠A，求∠BDF的度数.
（3）将图2中的三角板进行适当转动，如图3，直角顶点C始终在两条平行线之间，点G在线段CD上，连结EG，且有∠CEG=∠CEM，给出下列两个结论：
①的值不变；
②∠GEN－∠BDF的值不变.
其中只有一个是正确的，你认为哪个是正确的？讲求出不变的值是多少.
25．（2022七下·大连期末）如图1，点E、F分别在直线AB、CD上，点P为AB、CD之间的一点，且．
（1）求证：；
（2）如图2，点G在射线FC上，PG平分，，探究与之间的数量关系．并说明理由；
（3）如图3，，．直线HQ分别交FN，EM于H、Q两点，若，求的度数．
26．（2022七下·前进期末）七年级同学解决平行线问题时，遇到这样的问题，请你帮忙解决：已知AB∥CD，
（1）如图1，猜想∠AEC，∠BAE，∠DCE之间有什么数量关系不必说明理由；
（2）如图2，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC．BE、DE所在直线交于点E，若∠FAD=40°，∠ABC=50°，求∠BED的度数；
（3）将图（2）中的线段BC沿DC所在的直线平移，使得点B在点A的右侧，∠FAD=m°，∠ABC=n°，其他条件不变，得到图3，请直接写出∠BED的度数（用含m，n的式子表示）．
27．（2022七下·南康期末）已知AB∥CD，点E在射线BC上，连接AE，DE，设∠BAE＝α，∠CDE＝β．
（1）如图1，当点E在线段BC上时，∠AED＝ （用含α，β的式子表示）；
（2）如图2，当点E在线段BC的延长线上时．
①判断∠AED与α，β的数量关系，并说明理由；
②若M为平面内一动点，且MA∥ED，请直接写出∠MAB与β的数量关系．
28．（2022七下·双台子期末）
（1）问题情境：如图1，，，，求的度数；
（2）问题迁移：在（1）的条件下，如图2，的角平分线与的角平分线交于点F，则的度数为多少？请说明理由；
（3）问题拓展：如图3，，点P在射线上移动时（点P与点O，M，D三点不重合），记，，请直接写出与，之间的数量关系．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；角平分线的定义
【解析】【解答】解：在△ABC中，∠BAC＝180° ∠B ∠C＝180° 50° 80°＝50°，
∵AD是角平分线，
∴∠BAE＝∠BAC＝25°，
在△ABE中，∠AEB＝180° ∠B ∠BAE＝75°，
∴∠AEB＝∠DEF＝75°，
∵DF⊥BC，
∴∠DFE＝90°，
∴∠D＝180° ∠DFE ∠DEF
＝180° 90° 75°
＝15°
故答案为：C．
【分析】先利用三角形的内角和及角平分线的定义求出∠BAE＝∠BAC＝25°，再利用三角形的内角和求出∠D＝180° ∠DFE ∠DEF＝15°即可。
2．【答案】A
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】如图：
故答案为：A
【分析】利用平行线的性质可得，再利用三角形的内角和求出即可。
3．【答案】C
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，过E作，
∵
∴
∴
∵，
∵，
∴
故答案为：C
【分析】先求出，再求出，最后计算求解即可。
4．【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：如图所示，延长AE交CD于点F，
∵，，
∴∠1+∠ACD=180°，
∴∠ACD=180°-∠1=180°-70°=110°，
∵∠2是△DEF的外角，
∴∠3+∠AFD=∠2，
∴∠3=∠2-∠AFD=140°-110°-30°．
故答案为：B
【分析】延长AE交CD于点F，利用平行线的性质可得∠ACD=180°-∠1=180°-70°=110°，再利用三角形的外角的性质可得∠3=∠2-∠AFD=140°-110°-30°。
5．【答案】A
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵∠NAC＝38°，
∴，
由折叠的性质知，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：A．
【分析】已知∠NAC的度数，根据邻补角的性质（一个角与它的邻补角的和等于180°）可求出∠MAC的度数，根据折叠的性质（折叠前后两个图形全等，对应边相等，对应角相等）可求出∠MAB的度数，再利用平行线的性质（两直线平行，同旁内角互补）进一步求出∠ABQ即可.
6．【答案】D
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；角平分线的定义
【解析】【解答】解：A、∵BE是ABC的角平分线，
∴．
∵，
∴，
∴．
选项不符合题意；
B、∵BE是∠ABC的角平分线，CD是∠BCA的角平分线，
∴，．
在中，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
选项不符合题意；
C、∵，
∴，
在中，
∵，
∴．
在中，
∵，
∴．
∵∠BAC＝∠AGB，，
∴．
∵，，
又∵，BE是ABC的角平分线，
∴，
∴．
选项不符合题意；
D、∵BE是ABC的角平分线，CD是BCA的角平分线，
∴，．
∵，，
∴，，
∵，，
∴，，
∴．
由此可见，只有当时，才成立，
选项符合题意；
故答案为：D.
【分析】由角平分线的概念可得2∠CBE=∠CBA，由平行线的性质可得∠CBA=∠BAG，则∠BAG=2∠CBE，据此判断A；根据角平分线的概念可得2∠CBE=∠CBA，2∠BCD=∠BCA，由内角和定理可得∠CBA+∠BCA+∠BAC=180°，则∠CBE+∠BCD=90°-∠BAC，由外角的性质可得∠CBE+∠BCD=∠CFE，进而判断B；由平行线的性质可得∠CBA=∠BAG，由内角和定理可得∠BCA=180°-∠CBA-∠BAC，∠ABG=180°-∠BGA-∠BAG，由已知条件可知∠BAC=∠AGB，推出∠ABG=∠BCA，根据外角的性质以及角的和差关系可得∠CBE=∠EBA，进而判断C；由角平分线的概念可得∠CBE=∠EBA，∠BCD=∠DCA，结合外角的性质可得∠ADC=∠CBE+∠EBA+∠BCD，∠AEB=∠ACD+∠DCB+∠CBE，进而推出∠ADC-∠EBA=∠AEB-∠ACD，据此判断D.
7．【答案】z+y=x
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】如图所示，延长AB交DE于H，
∵AB∥EG，
∴∠AHE=∠HEG
∵BC∥DE，
∴∠AHE=∠ABC=x
∴∠HEG=∠ABC=x
∵CD∥EF，
∴∠DEF=∠D=z
∵∠DEF+∠FEG=∠HEG
∴z+y=x
故答案为：z+y=x．
【分析】延长AB交DE于H，根据平行线的性质可推出∠HEG=∠AHE=∠ABC=x，∠DEF=∠D=z，根据∠DEF+∠FEG=∠HEG即可求解.
8．【答案】36
【知识点】平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：延长FB交CD于点G，
∵BF，DF分别平分∠ABE和∠CDE，
∴∠1＝∠2，∠FBA＝∠FBE，
∵AB∥CD，
∴∠FBA＝∠3，
∵BF∥DE，
∴∠3＝∠EDC＝2∠2，∠F＝∠1，
设∠F＝x，则∠1＝∠2＝x，∠3＝2x，∠ABE＝4x，
∵∠F与∠ABE互补，
∠F＋∠ABE＝180°，
∴x＋4x＝180°，
解得，x＝36°，
∴∠F的度数为36°.
故答案为：36.
【分析】延长FB交CD于点G，利用角平分线的定义可证得∠1＝∠2，∠FBA＝∠FBE，利用平行线的性质可知∠FBA＝∠3，∠3＝∠EDC＝2∠2，∠F＝∠1；设∠F＝x，可表示出∠ABE的度数；然后根据∠F与∠ABE互补，可得到关于x的方程，解方程求出x的值，即可求出∠F的度数.
9．【答案】68°
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：如图，延长DC交BG于M．由题意设∠DCF=∠GCF=x，∠CGE=∠MGE=y．
则有，
①-2×②得：∠GMC=2∠E，
∵∠E=34°，
∴∠GMC=68°，
∵AB∥CD，
∴∠GMC=∠B=68°.
故答案为：68°.
【分析】延长DC交BG于M．根据角平分线的概念可设∠DCF=∠GCF=x，∠CGE=∠MGE=y．根据外角的性质可得2x=2y+∠GMC，x=y+∠E，联立可得∠GMC=2∠E，结合∠E的度数可得∠GMC的度数，然后根据平行线的性质进行解答.
10．【答案】82°
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质；多边形内角与外角；角平分线的定义
【解析】【解答】解：如图，过F作FH∥AB，
∵AB∥CD，
∴FH∥AB∥CD，
∵∠DCE的角平分线CG的反向延长线和∠ABE的角平分线BF交于点F，
∴可设∠ABF=∠EBF=α=∠BFH，∠DCG=∠ECG=β=∠CFH，
∴∠ECF=180°﹣β，∠BFC=∠BFH﹣∠CFH=α﹣β，
∴四边形BFCE中，∠E+∠BFC=360°﹣α﹣（180°﹣β）=180°﹣（α﹣β）=180°﹣∠BFC，
即∠E+2∠BFC=180°，①
又∵∠E﹣∠BFC=33°，
∴∠BFC=∠E﹣33°，②
∴由①②可得，∠E+2（∠E﹣33°）=180°，
解得∠E=82°.
故答案为：82°.
【分析】过F作FH∥AB，根据平行于同一直线的两条直线互相平行得FH∥AB∥CD，根据角平分线的概念以及平行线的性质可设∠ABF=∠EBF=α=∠BFH，∠DCG=∠ECG=β=∠CFH，则∠ECF=180°﹣β，∠BFC=α﹣β，根据四边形内角和为360°可得∠E+2∠BFC=180°，由已知条件可得∠BFC=∠E﹣33°，据此求解.
11．【答案】96°
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点F作FH∥AB，如图所示：
∵，
∴FH∥AB∥CD，
∴，
∵AB平分∠EAF，CF平分∠ECD，
∴，
∴，
∵，，
∴，
整理得：，
∴；
故答案为：96°．
【分析】过点F作FH∥AB，根据平行于同一直线的两条直线互相平行，得FH∥AB∥CD，结合角平分线的定义可得，进而可得，最后问题可求解.
12．【答案】
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：分别作EM、FN、PQ平行于AC，如图，
则AC∥EM∥PQ∥FN∥BD
∵，，
∴，
∵EP分别平分，
∴，
∴，
同理，∵，， FP分别平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
即：，
∵，，，
∴，
∴
故答案为：．
【分析】分别作EM、FN、PQ平行于AC，根据两直线平行同旁内角互补和两直线平行内错角相等可得∠FEP=∠PEM+(180° -m°)，∠EFP=∠PFN+(180° -n°)，再根据两直线平行同旁内角互补列等式∠MEF+∠NFE= 180°，利用∠PEM+∠PFN=∠QPE+∠QPF=∠P即可求出∠P.
13．【答案】270
【知识点】角的运算；平行公理及推论；平行线的性质
【解析】【解答】解：过点B作BF∥AE，如图，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：270.
【分析】过点B作BF∥AE，则BF∥AE∥CD，由平行线的性质可得∠BCD+∠CBF=180°，根据垂直的概念可得∠ABF=90°，然后根据∠ABC+∠BCD=∠ABF+∠CBF+∠BCD进行计算.
14．【答案】解：∵PN⊥OB于点N，
∴∠PNB=90°（垂直的定义）．
∵PM∥OB，
∴∠MPN=∠PNB=90°，
∠POB=∠MPO（两直线平行，内错角相等）．
∵OP平分∠AOB，且∠AOB=60°，
∴∠POB=∠AOB=30°（角的平分线的定义）．
∴∠MPO=30°．
∵∠MPO+∠OPN=∠MPN，
∴∠OPN=60°．
【知识点】角的运算；平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【分析】利用角平分线的定义可得∠POB＝∠AOB＝30° ，利用平行线的性质可得∠MPN=∠PNB=90°，∠POB=∠MPO，再角的运算求解即可。
15．【答案】解：∠AGD＝∠ACB.
理由如下：
因为EF⊥AB，CD⊥AB(已知)，所以∠EFB＝∠CDB＝90°(垂直的定义)，
所以EF∥CD(同位角相等，两直线平行)，所以∠1＝∠ECD(两直线平行，同位角相等)．又因为∠1＝∠2(已知)，所以∠ECD＝∠2(等量代换)，所以GD∥CB(内错角相等，两直线平行)，所以∠AGD＝∠ACB(两直线平行，同位角相等)．
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】利用平行线的性质和判定方法求解即可。
16．【答案】证明：∵∠1＝∠BFD（对顶角相等），
又∵∠1＝∠2，
∴∠BFD＝∠2（等量代换）．
∴BC∥DE（同位角相等，两直线平行）．
∴∠C＋∠CDE＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．
又∵∠B＋∠CDE＝180°，
∴∠B＝∠C．
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】利用平行线的判定与性质证明求解即可。
17．【答案】证明：因为∠1＝∠2（对顶角相等），
又因为∠1＋∠3＝180°（已知），
所以∠2＋∠3＝180°（等量代换），
所以AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行），
所以∠D＝∠BCF（两直线平行，同位角相等），
因为∠B＝∠D（已知），
所以∠B＝∠BCF（等量代换），
所以BE∥DF（内错角相等，两直线平行），
所以∠E＝∠F（两直线平行，内错角相等），
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】利用平行线的性质和判定方法求解即可。
18．【答案】（1）解：①；
②
③；
理由如下：
∵，∴，
∵平分，平分，
∴，，
∵，
∴；
（2）解：答：不同．．理由如下：
设交于，①当点在线段上时，
由（1）得：，，，
∵，
∴
．
②当点在线段的延长线上时，
由（1）得：，，，
∵，
∴
．
综上所述：关系不同，新关系为．
【知识点】角的运算；平行线的性质；三角形的外角性质；角平分线的定义
【解析】【解答】（1）①，
，
，
，
，
平分，平分，
，
，
，
，
故答案为：，
②，
，
，
，
平分，平分，
，
，
故答案为：
【分析】（1）①由，，由三角形内角和定理求出，由平行线的性质得出，由角平分线定义得出，由三角形的外角性质得出即可得出答案；②由，得出，再由平分，平分，得出，即可得解；③由平分，平分，得出，，再由，即可得解；
（2）设交于，①当点在线段上时，②当点在线段的延长线上时，分类讨论即可。
19．【答案】（1）解：∵，
∴，
∵，，
∴；
（2）解：，
理由：如图，过点F作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴；
（3）解：①如图1中，当点F在直线的上方时，过点F作，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴；
②当点F在直线与直线之间时，过点F作，如下图：
由（2）可知：；
③当点F在直线的下方时，过点F作，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴．
综上所述，①当点F在直线的上方时，；
②当点F在直线与直线之间时，；
③当点F在直线的下方时，．
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【分析】（1）先利用平行线的性质可得，再结合，求出∠2的度数即可；
（2）过点F作FP//AB，利用平行线的性质可得，，再利用角的运算可得；
（3）分三种情况：①当点F在直线的上方时，过点F作，②当点F在直线与直线之间时，过点F作，③当点F在直线的下方时，过点F作，再分别求解即可。
20．【答案】（1）解：平行．
如图①．
∵AD∥BC，∴∠A+∠B=180°．
又∵∠B=∠D=120°，∴∠D+∠A=180°，∴AB∥CD；
（2）解：如图②．
∵AD∥BC，∠B=∠D=120°，∴∠DAB=60°．
∵AC平分∠BAE，AF平分∠DAE，∴∠EAC=∠BAE，∠EAF=∠DAE，
∴∠FAC=∠EAC+∠EAF=（∠BAE+∠DAE）=∠DAB=30°；
（3）解：①如图3，当点E在线段CD上时，
由（1）可得AB∥CD，∴∠ACD=∠BAC，∠AED=∠BAE．
又∵∠EAC=∠BAC，∴∠ACD：∠AED=2：3；
②如图4，当点E在DC的延长线上时，
由（1）可得AB∥CD，∴∠ACD=∠BAC，∠AED=∠BAE．
又∵∠EAC=∠BAC，∴∠ACD：∠AED=2：1．
综上所述：∠ACD：∠AED=2：3或2：1．
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）利用平行线的判定与性质求解即可；
（2）先求出 ∠DAB=60°，再求出∠EAC=∠BAE，∠EAF=∠DAE， 最后计算求解即可；
（3）分类讨论，结合图形，利用平行线的性质求解即可。
21．【答案】（1）解：理由：如图，过点E作，
∴∠ABF=∠GEF=50°，∵∠CEF=90°，，∵∠C=40°，∴∠GEC=∠C，∴EG∥CD，∴；
（2）∠ABE-∠C=60°
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：（2）过点E作EH∥AB，
则∠ABE+∠HEF=180°①，∵AB∥CD，∴EH∥CD，∴∠C=∠CEH，∵∠CEH+∠HEF=∠CEF=120°，∴∠C+∠HEF=120°②，①-②得，∠ABE-∠C=60°．故答案为：∠ABE-∠C=60°．
【分析】（1）先求出 ∠ABF=∠GEF=50°， 再求出 ∠GEC=∠C， 最后证明求解即可；
（2）利用平行线的判定与性质计算求解即可。
22．【答案】（1）解：过点作，如图2∵（已知）
∴（平行于同一条直线的两条直线互相平行）
∴，（两直线平行，内错角相等）
∵（已知）∴（等量代换）
（2）解：小明的做法：∵，∴，∵ ，∴．
（3）解：在中，∵，，∴，∵，，∴ ，∴，设、相交于点，
∴，∴．
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【分析】（1）过点作，结合，利用平行于同一条直线的两条直线互相平行，可得，根据两直线平行，内错角相等可得，， 由 即得；
（2）由可得，根据三角形外角的性质可得， 从而得出；
（3）在中，利用三角形内角和定理可得∠PBD+∠PDB=59°，结合，，可求出， 从而求出∠ABD+∠CDB=177°，设、相交于点，在△BOD中，根据三角形内角和定理可求出∠BOD的度数，即得结论.
23．【答案】（1）0；360
（2）解：，证明：过点P作，
，，，，，，；
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）如图：过点P作，
，，，，，，度，
故答案为：0；
如图：过点P作，
，，，，，，度，
故答案为：360；
（2）如图：过点P作，
，，，，，，，
故答案为：180．
【分析】（1）利用平行线的性质和角的运算求解即可；
（2）利用平行线的性质和判定方法求解即可。
24．【答案】（1）解：∠C=∠1+∠2．
理由：如图1，过C作CD∥PQ，
∵PQ∥MN，
∴CD∥MN，
∴∠1=∠ACD，∠2=∠BCD，
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=∠1+∠2．
（2）解：∵∠AEN=∠A=30°，
∴∠MEC=30°，
由（1）可得，∠C=∠MEC+∠PDC=90°，
∴∠PDC=90°-∠MEC=60°，
∴∠BDF=∠PDC=60°；
（3）解：结论①的值不变是正确的，
设∠CEG=∠CEM=x，则∠GEN=180°-2x，
由（1）可得，∠C=∠CEM+∠CDP，
∴∠CDP=90°-∠CEM=90°-x，
∴∠BDF=90°-x，
∴==2（定值）， 即的值不变，值为2．
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【分析】（1）过C作CD∥PQ，利用平行线的性质可得∠1=∠ACD，∠2=∠BCD，再利用角的运算和等量代换可得∠ACB=∠ACD+∠BCD=∠1+∠2；
（2）先求出∠MEC=30°，再求出∠PDC=90°-∠MEC=60°，即可得到∠BDF=∠PDC=60°；
（3）设∠CEG=∠CEM=x，则∠GEN=180°-2x， 求出∠BDF=90°-x，再代入计算可得==2。
25．【答案】（1）证明：如图1，过P作．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴，
∵，
∴．
（2）解：．
证明：如图2，过P作．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵PG平分，
∴，
∴．
∵，，
∴．
∴．
∵．
∴，
∴．
（3）解：如图3，过P作，过H作，过Q作．
∵，
∴．
∵，，
∴设，则，，．
∵，
∴，．
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
又∵，
∴．
∴．
∴
．
∴．
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）过P作，先证明可得，再结合可得；
（2）过P作，利用平行线的性质及角的运算和等量代换可得；
（3）过P作，过H作，过Q作，设，则，，，求出，结合可得，求出，再利用平行线的性质可得，，利用角的运算可得，即可得到。
26．【答案】（1）解：∠AEC=∠BAE+∠DCE，理由如下：如图1，作EF∥AB，则有EF∥CD，
∴∠1=∠BAE，∠2=∠DCE，∴∠AEC=∠1+∠2=∠BAE+∠DCE；
（2）解：如图2，过点E作EH∥AB，
∵AB∥CD，∠FAD=40°，∴∠ADC=∠FAD=40°，∵DE平分∠ADC，∴∠EDC=∠ADC=20°，∵BE平分∠ABC，∠ABC=50°，∴∠ABE=∠ABC=25°，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EH，∴∠BEH=∠ABE=25°，∠DEH=∠EDC=20°，∴∠BED=∠BEH+∠DEH=45°；
（3）解：∠BED=180°-n°+m°
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：(3)过点E作EG∥AB，如图：
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC=n°，∠ADC=∠FAD=m°，∴∠ABE=∠ABC=n°，∠CDE=∠ADC=m°，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EG，∴∠BEG=180°-∠ABE=180°-n°，∠CDE=∠DEG=m°，∴∠BED=∠BEG+∠DEG=180°-n°+m°．
【分析】（1）根据平行线的性质即可得出结论；
（2）过点E作EH∥AB，根据平行线的性质和角平分线的定义，即可得出结论；
（3）过点E作EG∥AB，根据平行线的性质和角平分线的定义，即可得出结论。
27．【答案】（1）
（2）解：①．理由如下：
如图，作EF∥AB，
∴∠AEF=∠BAE＝α，
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠DEF=∠CDE＝β．
∴；
②或
【知识点】平行线的性质；三角形的综合；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：（1）如图，过点E作EF∥AB，
∴∠AEF=∠BAE＝α，
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠DEF=∠CDE＝β．
∴∠AED=∠AEF+∠DEF=α+β．
故答案为：
（2）②如图， 当点M在∠BAE的内部时，
∵AM∥DE，
∴∠MAE=，
∵∠BAE＝α，
∴∠MAB=∠BAE-∠MAE=α-（α-β）=β；
如图， 当点M在∠BAE的外部时，
∵AM∥DE，
∴∠NAE=，
∵∠BAE＝α，
∴∠NAB=∠BAE-∠NAE=α-（α-β）=β；
∴∠MAB=180°-∠BAN=180°-β；
综上所述，∠MAB与β的数量关系为或．
【分析】（1）过点E作EF∥AB，利用平线线的性质和角的运算可得∠AED=∠AEF+∠DEF=α+β；
（2）①作EF//AB，利用EF//CD，可得∠DEF=∠CDE＝β，再利用角的运算可得；
②分两种情况：当点M在∠BAE的内部时，当点M在∠BAE的外部时，分别画出图形，再利用角的运算求解即可。
28．【答案】（1）解：过点P作，
如图，∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
，
∴．
（2）解：分别过点P和点F作，，
如图，∵，
∴，
∴，，，，
由（1）得，
∵的角平分线与的角平分线交于点F，
∴，
∴，
∴．
（3）当点P在上时，；当点P在延长线上时，；当点P在延长线上时，．
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：（3）当点P在上时，如原题图3，和（1）同理可得：；
当点P在延长线上时，如图所示，AP交CD于点E，
∵，
∴，
又∵，
；
当点P在延长线上时，如图所示，CP交AB于点F，
∵，
∴，
又∵，
∴．
综上所述，当点P在上时，；当点P在延长线上时，；当点P在延长线上时，．
【分析】（1）过点P作，利用平行线的性质可得，，再利用角的运算和等量代换可得；
（2）分别过点P和点F作，，利用平行线的性质可得，，，，再利用角平分线的定义可得，再利用角的运算和等量代换可得；
（3）分三种情况：①当点P在上时，②当点P在延长线上时，③当点P在延长线上时，再分别求解即可。
1 / 1人教版七年级下数学疑难点专题专练——5.3平行线判定及拐点问题
一、单选题
1．（2022七下·乐亭期末）如图，点D为的角平分线AE延长线上的一点，过点D作于点F，若，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；角平分线的定义
【解析】【解答】解：在△ABC中，∠BAC＝180° ∠B ∠C＝180° 50° 80°＝50°，
∵AD是角平分线，
∴∠BAE＝∠BAC＝25°，
在△ABE中，∠AEB＝180° ∠B ∠BAE＝75°，
∴∠AEB＝∠DEF＝75°，
∵DF⊥BC，
∴∠DFE＝90°，
∴∠D＝180° ∠DFE ∠DEF
＝180° 90° 75°
＝15°
故答案为：C．
【分析】先利用三角形的内角和及角平分线的定义求出∠BAE＝∠BAC＝25°，再利用三角形的内角和求出∠D＝180° ∠DFE ∠DEF＝15°即可。
2．（2022七下·迁安期末）如图，将一副三角板的直角顶点重合，且使，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】如图：
故答案为：A
【分析】利用平行线的性质可得，再利用三角形的内角和求出即可。
3．（2022七下·黄山期末）如图所示，，，若，则的度数为（ ）
A．100° B．110° C．120° D．130°
【答案】C
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，过E作，
∵
∴
∴
∵，
∵，
∴
故答案为：C
【分析】先求出，再求出，最后计算求解即可。
4．（2022七下·东港期末）如图，若，，，则的度数是（ ）
A．25° B．30° C．36° D．38°
【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：如图所示，延长AE交CD于点F，
∵，，
∴∠1+∠ACD=180°，
∴∠ACD=180°-∠1=180°-70°=110°，
∵∠2是△DEF的外角，
∴∠3+∠AFD=∠2，
∴∠3=∠2-∠AFD=140°-110°-30°．
故答案为：B
【分析】延长AE交CD于点F，利用平行线的性质可得∠ACD=180°-∠1=180°-70°=110°，再利用三角形的外角的性质可得∠3=∠2-∠AFD=140°-110°-30°。
5．（2022七下·嵊州期末）把长方形纸片MNPQ沿AC，AB折叠成如图所示，AM的对应线段落在AC上，若∠NAC＝38°，则的度数为（ ）
A．109° B．110° C．115° D．100°
【答案】A
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵∠NAC＝38°，
∴，
由折叠的性质知，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：A．
【分析】已知∠NAC的度数，根据邻补角的性质（一个角与它的邻补角的和等于180°）可求出∠MAC的度数，根据折叠的性质（折叠前后两个图形全等，对应边相等，对应角相等）可求出∠MAB的度数，再利用平行线的性质（两直线平行，同旁内角互补）进一步求出∠ABQ即可.
6．（2022七下·张家港期末）如图，ABC的角平分线CD，BE相交于点F，∠BAC＝∠AGB，AGBC，下列结论中不一定成立的是（ ）
A．∠BAG＝2∠CBE B．
C．∠AEB＝∠GBE D．∠ADC＝∠AEB
【答案】D
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；角平分线的定义
【解析】【解答】解：A、∵BE是ABC的角平分线，
∴．
∵，
∴，
∴．
选项不符合题意；
B、∵BE是∠ABC的角平分线，CD是∠BCA的角平分线，
∴，．
在中，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
选项不符合题意；
C、∵，
∴，
在中，
∵，
∴．
在中，
∵，
∴．
∵∠BAC＝∠AGB，，
∴．
∵，，
又∵，BE是ABC的角平分线，
∴，
∴．
选项不符合题意；
D、∵BE是ABC的角平分线，CD是BCA的角平分线，
∴，．
∵，，
∴，，
∵，，
∴，，
∴．
由此可见，只有当时，才成立，
选项符合题意；
故答案为：D.
【分析】由角平分线的概念可得2∠CBE=∠CBA，由平行线的性质可得∠CBA=∠BAG，则∠BAG=2∠CBE，据此判断A；根据角平分线的概念可得2∠CBE=∠CBA，2∠BCD=∠BCA，由内角和定理可得∠CBA+∠BCA+∠BAC=180°，则∠CBE+∠BCD=90°-∠BAC，由外角的性质可得∠CBE+∠BCD=∠CFE，进而判断B；由平行线的性质可得∠CBA=∠BAG，由内角和定理可得∠BCA=180°-∠CBA-∠BAC，∠ABG=180°-∠BGA-∠BAG，由已知条件可知∠BAC=∠AGB，推出∠ABG=∠BCA，根据外角的性质以及角的和差关系可得∠CBE=∠EBA，进而判断C；由角平分线的概念可得∠CBE=∠EBA，∠BCD=∠DCA，结合外角的性质可得∠ADC=∠CBE+∠EBA+∠BCD，∠AEB=∠ACD+∠DCB+∠CBE，进而推出∠ADC-∠EBA=∠AEB-∠ACD，据此判断D.
二、填空题
7．（2022七下·双城期末）如图，已知AB∥EG，BC∥DE，CD∥EF，则x、y、z三者之间的关系是 ．
【答案】z+y=x
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】如图所示，延长AB交DE于H，
∵AB∥EG，
∴∠AHE=∠HEG
∵BC∥DE，
∴∠AHE=∠ABC=x
∴∠HEG=∠ABC=x
∵CD∥EF，
∴∠DEF=∠D=z
∵∠DEF+∠FEG=∠HEG
∴z+y=x
故答案为：z+y=x．
【分析】延长AB交DE于H，根据平行线的性质可推出∠HEG=∠AHE=∠ABC=x，∠DEF=∠D=z，根据∠DEF+∠FEG=∠HEG即可求解.
8．（2022七下·容县期末）如图，，、分别平分和，，与互补，则的度数为 .
【答案】36
【知识点】平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：延长FB交CD于点G，
∵BF，DF分别平分∠ABE和∠CDE，
∴∠1＝∠2，∠FBA＝∠FBE，
∵AB∥CD，
∴∠FBA＝∠3，
∵BF∥DE，
∴∠3＝∠EDC＝2∠2，∠F＝∠1，
设∠F＝x，则∠1＝∠2＝x，∠3＝2x，∠ABE＝4x，
∵∠F与∠ABE互补，
∠F＋∠ABE＝180°，
∴x＋4x＝180°，
解得，x＝36°，
∴∠F的度数为36°.
故答案为：36.
【分析】延长FB交CD于点G，利用角平分线的定义可证得∠1＝∠2，∠FBA＝∠FBE，利用平行线的性质可知∠FBA＝∠3，∠3＝∠EDC＝2∠2，∠F＝∠1；设∠F＝x，可表示出∠ABE的度数；然后根据∠F与∠ABE互补，可得到关于x的方程，解方程求出x的值，即可求出∠F的度数.
9．（2022七下·长沙期末）如图，AB∥CD，CF平分∠DCG，GE平分∠CGB交FC的延长线于点E，若∠E＝34°，则∠B的度数为 ．
【答案】68°
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：如图，延长DC交BG于M．由题意设∠DCF=∠GCF=x，∠CGE=∠MGE=y．
则有，
①-2×②得：∠GMC=2∠E，
∵∠E=34°，
∴∠GMC=68°，
∵AB∥CD，
∴∠GMC=∠B=68°.
故答案为：68°.
【分析】延长DC交BG于M．根据角平分线的概念可设∠DCF=∠GCF=x，∠CGE=∠MGE=y．根据外角的性质可得2x=2y+∠GMC，x=y+∠E，联立可得∠GMC=2∠E，结合∠E的度数可得∠GMC的度数，然后根据平行线的性质进行解答.
10．（2022七下·广陵期末）如图，AB∥CD，∠DCE的角平分线CG的反向延长线和∠ABE的角平分线BF交于点F，∠E﹣∠F=33°，则∠E= ．
【答案】82°
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质；多边形内角与外角；角平分线的定义
【解析】【解答】解：如图，过F作FH∥AB，
∵AB∥CD，
∴FH∥AB∥CD，
∵∠DCE的角平分线CG的反向延长线和∠ABE的角平分线BF交于点F，
∴可设∠ABF=∠EBF=α=∠BFH，∠DCG=∠ECG=β=∠CFH，
∴∠ECF=180°﹣β，∠BFC=∠BFH﹣∠CFH=α﹣β，
∴四边形BFCE中，∠E+∠BFC=360°﹣α﹣（180°﹣β）=180°﹣（α﹣β）=180°﹣∠BFC，
即∠E+2∠BFC=180°，①
又∵∠E﹣∠BFC=33°，
∴∠BFC=∠E﹣33°，②
∴由①②可得，∠E+2（∠E﹣33°）=180°，
解得∠E=82°.
故答案为：82°.
【分析】过F作FH∥AB，根据平行于同一直线的两条直线互相平行得FH∥AB∥CD，根据角平分线的概念以及平行线的性质可设∠ABF=∠EBF=α=∠BFH，∠DCG=∠ECG=β=∠CFH，则∠ECF=180°﹣β，∠BFC=α﹣β，根据四边形内角和为360°可得∠E+2∠BFC=180°，由已知条件可得∠BFC=∠E﹣33°，据此求解.
11．（2022七下·嵊州期末）如图，，点E在AB上方，点F在AB，CD之间，AB平分∠EAF，CF平分∠ECD，EC交线段AB于点G．若，则∠EAF的度数为 ．
【答案】96°
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点F作FH∥AB，如图所示：
∵，
∴FH∥AB∥CD，
∴，
∵AB平分∠EAF，CF平分∠ECD，
∴，
∴，
∵，，
∴，
整理得：，
∴；
故答案为：96°．
【分析】过点F作FH∥AB，根据平行于同一直线的两条直线互相平行，得FH∥AB∥CD，结合角平分线的定义可得，进而可得，最后问题可求解.
12．（2022七下·盱眙期末）如图，//，EP、FP分别平分、，若，则 °．（用含m，n的代数式表示）
【答案】
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：分别作EM、FN、PQ平行于AC，如图，
则AC∥EM∥PQ∥FN∥BD
∵，，
∴，
∵EP分别平分，
∴，
∴，
同理，∵，， FP分别平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
即：，
∵，，，
∴，
∴
故答案为：．
【分析】分别作EM、FN、PQ平行于AC，根据两直线平行同旁内角互补和两直线平行内错角相等可得∠FEP=∠PEM+(180° -m°)，∠EFP=∠PFN+(180° -n°)，再根据两直线平行同旁内角互补列等式∠MEF+∠NFE= 180°，利用∠PEM+∠PFN=∠QPE+∠QPF=∠P即可求出∠P.
13．（2022七下·上虞期末）生活中常见一种折叠拦道闸，如图1所示．若想求解某些特殊状态下的角度，需将其抽象为几何图形，如图2所示，垂直于地面于，平行于地面，则
【答案】270
【知识点】角的运算；平行公理及推论；平行线的性质
【解析】【解答】解：过点B作BF∥AE，如图，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：270.
【分析】过点B作BF∥AE，则BF∥AE∥CD，由平行线的性质可得∠BCD+∠CBF=180°，根据垂直的概念可得∠ABF=90°，然后根据∠ABC+∠BCD=∠ABF+∠CBF+∠BCD进行计算.
三、解答题
14．（2022七下·辛集期末）如图，点P为∠AOB的角平分线OC上的一点，过点P作PM∥OB交OA于点M，过点P作PN⊥OB于点N．当∠AOB＝60°时，求∠OPN的度数．
解：∵PN⊥OB于点N，
∴∠PNB＝ ▲ °（ ）（填推理的依据）．
∵PM∥OB，
∴∠MPN＝∠PNB＝90°，
∠POB＝ ▲ （ ）（填推理的依据）．
∵OP平分∠AOB，且∠AOB＝60°，
∴∠POB＝∠AOB＝30°（角的平分线的定义）．
∴∠MPO＝ ▲ °．
∵∠MPO+∠OPN＝∠MPN，
∴∠OPN＝ ▲ °．
【答案】解：∵PN⊥OB于点N，
∴∠PNB=90°（垂直的定义）．
∵PM∥OB，
∴∠MPN=∠PNB=90°，
∠POB=∠MPO（两直线平行，内错角相等）．
∵OP平分∠AOB，且∠AOB=60°，
∴∠POB=∠AOB=30°（角的平分线的定义）．
∴∠MPO=30°．
∵∠MPO+∠OPN=∠MPN，
∴∠OPN=60°．
【知识点】角的运算；平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【分析】利用角平分线的定义可得∠POB＝∠AOB＝30° ，利用平行线的性质可得∠MPN=∠PNB=90°，∠POB=∠MPO，再角的运算求解即可。
15．（2022七下·任丘期末）如图所示，在△ABC中，E，G分别是BC，AC上的点，D，F是AB上的点，已知EF⊥AB，垂足为F，CD⊥AB，垂足为D，∠1＝∠2， 试判断∠AGD和∠ACB是否相等，为什么？
【答案】解：∠AGD＝∠ACB.
理由如下：
因为EF⊥AB，CD⊥AB(已知)，所以∠EFB＝∠CDB＝90°(垂直的定义)，
所以EF∥CD(同位角相等，两直线平行)，所以∠1＝∠ECD(两直线平行，同位角相等)．又因为∠1＝∠2(已知)，所以∠ECD＝∠2(等量代换)，所以GD∥CB(内错角相等，两直线平行)，所以∠AGD＝∠ACB(两直线平行，同位角相等)．
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】利用平行线的性质和判定方法求解即可。
16．（2022七下·双辽期末）请根据条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由．
已知：如图，，．
求证： ．
证明：∵ ▲ （ ），
又∵，
∴▲ （等量代换）．
∴∥▲（ ）．
∴ ▲ （ ）．
又∵，
∴．
∴（ ）．
【答案】证明：∵∠1＝∠BFD（对顶角相等），
又∵∠1＝∠2，
∴∠BFD＝∠2（等量代换）．
∴BC∥DE（同位角相等，两直线平行）．
∴∠C＋∠CDE＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．
又∵∠B＋∠CDE＝180°，
∴∠B＝∠C．
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】利用平行线的判定与性质证明求解即可。
17．（2022七下·东港期末）完成下面的说理过程：（不用抄题，直接将所填内容写到答题卡上即可）
已知：如图，点E在线段的延长线上，点F在线段的延长线上，连接E，，，．
求证：．
证明：因为（ ▲ ），
又因为（已知），
所以（等量代换），
所以（同旁内角互补，两直线平行），
所以（ ▲ ），
因为（已知），
所以（等量代换），
所以（ ▲ ），
所以（ ▲ ）．
【答案】证明：因为∠1＝∠2（对顶角相等），
又因为∠1＋∠3＝180°（已知），
所以∠2＋∠3＝180°（等量代换），
所以AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行），
所以∠D＝∠BCF（两直线平行，同位角相等），
因为∠B＝∠D（已知），
所以∠B＝∠BCF（等量代换），
所以BE∥DF（内错角相等，两直线平行），
所以∠E＝∠F（两直线平行，内错角相等），
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】利用平行线的性质和判定方法求解即可。
四、综合题
18．（2022七下·馆陶期末）在中，射线平分交于点，点在直线上运动（不与点重合），过点作交直线于点．
（1）如图1，点在线段上运动时，平分，
①若，，则 ▲ ；
②若，则 ▲ ；
③探究与之间的数量关系，说明理由；
（2）若点在射线上运动时，的角平分线所在直线与射线交于点，与之间的数量关系是否与（1）中③相同，若不同请写出新的关系并画图说明理由．
【答案】（1）解：①；
②
③；
理由如下：
∵，∴，
∵平分，平分，
∴，，
∵，
∴；
（2）解：答：不同．．理由如下：
设交于，①当点在线段上时，
由（1）得：，，，
∵，
∴
．
②当点在线段的延长线上时，
由（1）得：，，，
∵，
∴
．
综上所述：关系不同，新关系为．
【知识点】角的运算；平行线的性质；三角形的外角性质；角平分线的定义
【解析】【解答】（1）①，
，
，
，
，
平分，平分，
，
，
，
，
故答案为：，
②，
，
，
，
平分，平分，
，
，
故答案为：
【分析】（1）①由，，由三角形内角和定理求出，由平行线的性质得出，由角平分线定义得出，由三角形的外角性质得出即可得出答案；②由，得出，再由平分，平分，得出，即可得解；③由平分，平分，得出，，再由，即可得解；
（2）设交于，①当点在线段上时，②当点在线段的延长线上时，分类讨论即可。
19．（2022七下·承德期末）在一次数学综合实践活动课上，同学们进行了如下探究活动：将一块等腰直角三角板的顶点G放置在直线上，旋转三角板．
（1）如图1，在边上任取一点P（不同于点G，E），过点P作，若，求的度数；
（2）如图2，过点E作，请探索并说明与之间的数量关系；
（3）将三角板绕顶点G转动，过点E作，并保持点E在直线的上方．在旋转过程中，探索与之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）解：∵，
∴，
∵，，
∴；
（2）解：，
理由：如图，过点F作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴；
（3）解：①如图1中，当点F在直线的上方时，过点F作，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴；
②当点F在直线与直线之间时，过点F作，如下图：
由（2）可知：；
③当点F在直线的下方时，过点F作，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴．
综上所述，①当点F在直线的上方时，；
②当点F在直线与直线之间时，；
③当点F在直线的下方时，．
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【分析】（1）先利用平行线的性质可得，再结合，求出∠2的度数即可；
（2）过点F作FP//AB，利用平行线的性质可得，，再利用角的运算可得；
（3）分三种情况：①当点F在直线的上方时，过点F作，②当点F在直线与直线之间时，过点F作，③当点F在直线的下方时，过点F作，再分别求解即可。
20．（2022七下·惠东期末）如图①，已知AD∥BC，∠B=∠D=120°．
（1）请问：AB与CD平行吗？为什么？
（2）若点E、F在线段CD上，且满足AC平分∠BAE，AF平分∠DAE，如图②，求∠FAC的度数．
（3）若点E在直线CD上，且满足∠EAC=∠BAC，求∠ACD：∠AED的值（请自己画出符合题意图形，并解答）．
【答案】（1）解：平行．
如图①．
∵AD∥BC，∴∠A+∠B=180°．
又∵∠B=∠D=120°，∴∠D+∠A=180°，∴AB∥CD；
（2）解：如图②．
∵AD∥BC，∠B=∠D=120°，∴∠DAB=60°．
∵AC平分∠BAE，AF平分∠DAE，∴∠EAC=∠BAE，∠EAF=∠DAE，
∴∠FAC=∠EAC+∠EAF=（∠BAE+∠DAE）=∠DAB=30°；
（3）解：①如图3，当点E在线段CD上时，
由（1）可得AB∥CD，∴∠ACD=∠BAC，∠AED=∠BAE．
又∵∠EAC=∠BAC，∴∠ACD：∠AED=2：3；
②如图4，当点E在DC的延长线上时，
由（1）可得AB∥CD，∴∠ACD=∠BAC，∠AED=∠BAE．
又∵∠EAC=∠BAC，∴∠ACD：∠AED=2：1．
综上所述：∠ACD：∠AED=2：3或2：1．
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）利用平行线的判定与性质求解即可；
（2）先求出 ∠DAB=60°，再求出∠EAC=∠BAE，∠EAF=∠DAE， 最后计算求解即可；
（3）分类讨论，结合图形，利用平行线的性质求解即可。
21．（2022七下·大安期末）如图：
（1）如图1，∠CEF=90°，点B在射线EF上，若∠ABF=50°，∠C=40° ，试判断AB、CD的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，∠CEF=120° ，点B在射线EF上，且．则∠ABE与∠C的数量关系为：
【答案】（1）解：理由：如图，过点E作，
∴∠ABF=∠GEF=50°，∵∠CEF=90°，，∵∠C=40°，∴∠GEC=∠C，∴EG∥CD，∴；
（2）∠ABE-∠C=60°
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：（2）过点E作EH∥AB，
则∠ABE+∠HEF=180°①，∵AB∥CD，∴EH∥CD，∴∠C=∠CEH，∵∠CEH+∠HEF=∠CEF=120°，∴∠C+∠HEF=120°②，①-②得，∠ABE-∠C=60°．故答案为：∠ABE-∠C=60°．
【分析】（1）先求出 ∠ABF=∠GEF=50°， 再求出 ∠GEC=∠C， 最后证明求解即可；
（2）利用平行线的判定与性质计算求解即可。
22．（2022七下·迁安期末）平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．
（1）如图1，若，点在、内部，如图1，、、之间有怎样的数量关系？请证明你的结论．
小红：过点作，如图2
∵（已知）
∴（ ）
∴ ▲ ， ▲ （两直线平行，内错角相等）
∵（已知）
∴ ▲ （等量代换）
请把小红的证明过程补充完整；
（2）小明：延长线段交于点，根据平行线性质和三角形的相关知识得到三个角的关系，如图3，按小明的思路给出证明过程；
（3）在图4中，与相交，但由于纸张大小的原因，无法直接测量、的夹角大小． 小亮测得，，． 请通过计算及说理求与所夹锐角度数．
【答案】（1）解：过点作，如图2∵（已知）
∴（平行于同一条直线的两条直线互相平行）
∴，（两直线平行，内错角相等）
∵（已知）∴（等量代换）
（2）解：小明的做法：∵，∴，∵ ，∴．
（3）解：在中，∵，，∴，∵，，∴ ，∴，设、相交于点，
∴，∴．
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【分析】（1）过点作，结合，利用平行于同一条直线的两条直线互相平行，可得，根据两直线平行，内错角相等可得，， 由 即得；
（2）由可得，根据三角形外角的性质可得， 从而得出；
（3）在中，利用三角形内角和定理可得∠PBD+∠PDB=59°，结合，，可求出， 从而求出∠ABD+∠CDB=177°，设、相交于点，在△BOD中，根据三角形内角和定理可求出∠BOD的度数，即得结论.
23．（2022七下·宜春期末）问题：已知线段AB∥CD，在AB、CD间取一点P（点P不在直线AC上），连接PA、PC，试探索∠APC与∠A、∠C之间的关系．
（1）端点A、C同向：
如图1，点P在直线AC右侧时，∠APC﹣（∠A+∠C）＝ 度；
如图2，点P在直线AC左侧时，∠APC+（∠A+∠C）＝ 度；
（2）端点A、C反向：
如图3，点P在直线AC右侧时，∠APC与∠A﹣∠C有怎样的等量关系？写出结论并证明；
如图4，点P在直线AC左侧时，∠APC﹣（∠A﹣∠C）＝ ▲ 度．
【答案】（1）0；360
（2）解：，证明：过点P作，
，，，，，，；
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）如图：过点P作，
，，，，，，度，
故答案为：0；
如图：过点P作，
，，，，，，度，
故答案为：360；
（2）如图：过点P作，
，，，，，，，
故答案为：180．
【分析】（1）利用平行线的性质和角的运算求解即可；
（2）利用平行线的性质和判定方法求解即可。
24．（2022七下·石城期末）已知：如图，直线，点C是PQ，MN之间（不在直线PQ，MN上）的一个动点.
（1）若∠1与∠2都是锐角，如图1，请直接写出∠C与∠1∠2之间的数量关系.
（2）若小明把一块三角板（∠A=30°，∠C=90°）如图2放置，点D，E，F是三角板的边与平行线的交点，若∠AEN=∠A，求∠BDF的度数.
（3）将图2中的三角板进行适当转动，如图3，直角顶点C始终在两条平行线之间，点G在线段CD上，连结EG，且有∠CEG=∠CEM，给出下列两个结论：
①的值不变；
②∠GEN－∠BDF的值不变.
其中只有一个是正确的，你认为哪个是正确的？讲求出不变的值是多少.
【答案】（1）解：∠C=∠1+∠2．
理由：如图1，过C作CD∥PQ，
∵PQ∥MN，
∴CD∥MN，
∴∠1=∠ACD，∠2=∠BCD，
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=∠1+∠2．
（2）解：∵∠AEN=∠A=30°，
∴∠MEC=30°，
由（1）可得，∠C=∠MEC+∠PDC=90°，
∴∠PDC=90°-∠MEC=60°，
∴∠BDF=∠PDC=60°；
（3）解：结论①的值不变是正确的，
设∠CEG=∠CEM=x，则∠GEN=180°-2x，
由（1）可得，∠C=∠CEM+∠CDP，
∴∠CDP=90°-∠CEM=90°-x，
∴∠BDF=90°-x，
∴==2（定值）， 即的值不变，值为2．
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【分析】（1）过C作CD∥PQ，利用平行线的性质可得∠1=∠ACD，∠2=∠BCD，再利用角的运算和等量代换可得∠ACB=∠ACD+∠BCD=∠1+∠2；
（2）先求出∠MEC=30°，再求出∠PDC=90°-∠MEC=60°，即可得到∠BDF=∠PDC=60°；
（3）设∠CEG=∠CEM=x，则∠GEN=180°-2x， 求出∠BDF=90°-x，再代入计算可得==2。
25．（2022七下·大连期末）如图1，点E、F分别在直线AB、CD上，点P为AB、CD之间的一点，且．
（1）求证：；
（2）如图2，点G在射线FC上，PG平分，，探究与之间的数量关系．并说明理由；
（3）如图3，，．直线HQ分别交FN，EM于H、Q两点，若，求的度数．
【答案】（1）证明：如图1，过P作．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴，
∵，
∴．
（2）解：．
证明：如图2，过P作．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵PG平分，
∴，
∴．
∵，，
∴．
∴．
∵．
∴，
∴．
（3）解：如图3，过P作，过H作，过Q作．
∵，
∴．
∵，，
∴设，则，，．
∵，
∴，．
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
又∵，
∴．
∴．
∴
．
∴．
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）过P作，先证明可得，再结合可得；
（2）过P作，利用平行线的性质及角的运算和等量代换可得；
（3）过P作，过H作，过Q作，设，则，，，求出，结合可得，求出，再利用平行线的性质可得，，利用角的运算可得，即可得到。
26．（2022七下·前进期末）七年级同学解决平行线问题时，遇到这样的问题，请你帮忙解决：已知AB∥CD，
（1）如图1，猜想∠AEC，∠BAE，∠DCE之间有什么数量关系不必说明理由；
（2）如图2，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC．BE、DE所在直线交于点E，若∠FAD=40°，∠ABC=50°，求∠BED的度数；
（3）将图（2）中的线段BC沿DC所在的直线平移，使得点B在点A的右侧，∠FAD=m°，∠ABC=n°，其他条件不变，得到图3，请直接写出∠BED的度数（用含m，n的式子表示）．
【答案】（1）解：∠AEC=∠BAE+∠DCE，理由如下：如图1，作EF∥AB，则有EF∥CD，
∴∠1=∠BAE，∠2=∠DCE，∴∠AEC=∠1+∠2=∠BAE+∠DCE；
（2）解：如图2，过点E作EH∥AB，
∵AB∥CD，∠FAD=40°，∴∠ADC=∠FAD=40°，∵DE平分∠ADC，∴∠EDC=∠ADC=20°，∵BE平分∠ABC，∠ABC=50°，∴∠ABE=∠ABC=25°，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EH，∴∠BEH=∠ABE=25°，∠DEH=∠EDC=20°，∴∠BED=∠BEH+∠DEH=45°；
（3）解：∠BED=180°-n°+m°
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：(3)过点E作EG∥AB，如图：
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC=n°，∠ADC=∠FAD=m°，∴∠ABE=∠ABC=n°，∠CDE=∠ADC=m°，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EG，∴∠BEG=180°-∠ABE=180°-n°，∠CDE=∠DEG=m°，∴∠BED=∠BEG+∠DEG=180°-n°+m°．
【分析】（1）根据平行线的性质即可得出结论；
（2）过点E作EH∥AB，根据平行线的性质和角平分线的定义，即可得出结论；
（3）过点E作EG∥AB，根据平行线的性质和角平分线的定义，即可得出结论。
27．（2022七下·南康期末）已知AB∥CD，点E在射线BC上，连接AE，DE，设∠BAE＝α，∠CDE＝β．
（1）如图1，当点E在线段BC上时，∠AED＝ （用含α，β的式子表示）；
（2）如图2，当点E在线段BC的延长线上时．
①判断∠AED与α，β的数量关系，并说明理由；
②若M为平面内一动点，且MA∥ED，请直接写出∠MAB与β的数量关系．
【答案】（1）
（2）解：①．理由如下：
如图，作EF∥AB，
∴∠AEF=∠BAE＝α，
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠DEF=∠CDE＝β．
∴；
②或
【知识点】平行线的性质；三角形的综合；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：（1）如图，过点E作EF∥AB，
∴∠AEF=∠BAE＝α，
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠DEF=∠CDE＝β．
∴∠AED=∠AEF+∠DEF=α+β．
故答案为：
（2）②如图， 当点M在∠BAE的内部时，
∵AM∥DE，
∴∠MAE=，
∵∠BAE＝α，
∴∠MAB=∠BAE-∠MAE=α-（α-β）=β；
如图， 当点M在∠BAE的外部时，
∵AM∥DE，
∴∠NAE=，
∵∠BAE＝α，
∴∠NAB=∠BAE-∠NAE=α-（α-β）=β；
∴∠MAB=180°-∠BAN=180°-β；
综上所述，∠MAB与β的数量关系为或．
【分析】（1）过点E作EF∥AB，利用平线线的性质和角的运算可得∠AED=∠AEF+∠DEF=α+β；
（2）①作EF//AB，利用EF//CD，可得∠DEF=∠CDE＝β，再利用角的运算可得；
②分两种情况：当点M在∠BAE的内部时，当点M在∠BAE的外部时，分别画出图形，再利用角的运算求解即可。
28．（2022七下·双台子期末）
（1）问题情境：如图1，，，，求的度数；
（2）问题迁移：在（1）的条件下，如图2，的角平分线与的角平分线交于点F，则的度数为多少？请说明理由；
（3）问题拓展：如图3，，点P在射线上移动时（点P与点O，M，D三点不重合），记，，请直接写出与，之间的数量关系．
【答案】（1）解：过点P作，
如图，∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
，
∴．
（2）解：分别过点P和点F作，，
如图，∵，
∴，
∴，，，，
由（1）得，
∵的角平分线与的角平分线交于点F，
∴，
∴，
∴．
（3）当点P在上时，；当点P在延长线上时，；当点P在延长线上时，．
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：（3）当点P在上时，如原题图3，和（1）同理可得：；
当点P在延长线上时，如图所示，AP交CD于点E，
∵，
∴，
又∵，
；
当点P在延长线上时，如图所示，CP交AB于点F，
∵，
∴，
又∵，
∴．
综上所述，当点P在上时，；当点P在延长线上时，；当点P在延长线上时，．
【分析】（1）过点P作，利用平行线的性质可得，，再利用角的运算和等量代换可得；
（2）分别过点P和点F作，，利用平行线的性质可得，，，，再利用角平分线的定义可得，再利用角的运算和等量代换可得；
（3）分三种情况：①当点P在上时，②当点P在延长线上时，③当点P在延长线上时，再分别求解即可。
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