函数单调性(2)[上学期]

(共40张PPT)
§2.1.3 函数的简单性质
(函数的单调性)
主讲人:吴江市青云中学 水菊芳
引例1：图示是某市一天24小时内的气温变化图。气温θ是关于时间 t 的函数，记为θ＝ f (t) ，观察这个气温变化图，说明气温在哪些时间段内是逐渐升高的或下降的？
引例2：画出下列函数的图象
（1）y = x
x
y
y = x
O
1
1
·
·
引例2：画出下列函数的图象
（1）y = x
x
y
y = x
O
1
1
·
·
引例2：画出下列函数的图象
（1）y = x
此函数在区间 内y随x的增大而增大，在区间 y随x的增大而减小；
x
y
y = x
O
1
1
·
·
引例2：画出下列函数的图象
（1）y = x
此函数在区间 内y随x的增大而增大，在区间 y随x的增大而减小；
x1
f(x1)
x
y
y = x
O
1
1
·
·
引例2：画出下列函数的图象
（1）y = x
此函数在区间 内y随x的增大而增大，在区间 y随x的增大而减小；
x1
f(x1)
x
y
y = x
O
1
1
·
·
引例2：画出下列函数的图象
（1）y = x
此函数在区间 内y随x的增大而增大，在区间 y随x的增大而减小；
x1
f(x1)
x
y
y = x
O
1
1
·
·
引例2：画出下列函数的图象
（1）y = x
此函数在区间 内y随x的增大而增大，在区间 y随x的增大而减小；
x1
f(x1)
x
y
y = x
O
1
1
·
·
引例2：画出下列函数的图象
（1）y = x
此函数在区间 内y随x的增大而增大，在区间 y随x的增大而减小；
x1
f(x1)
（-∞, +∞ ）
（2）y = x2
引例2：画出下列函数的图象
O
x
y
y = x2
（2）y = x2
引例2：画出下列函数的图象
1
·
1
·
O
x
y
y = x2
（2）y = x2
引例2：画出下列函数的图象
1
·
1
·
此函数在区间 内y随x的增大而增大，在区间 内y随x的增大而减小。
O
x
y
y = x2
（2）y = x2
引例2：画出下列函数的图象
1
·
1
·
此函数在区间 内y随x的增大而增大，在区间 内y随x的增大而减小。
x1
f(x1)
O
x
y
y = x2
（2）y = x2
引例2：画出下列函数的图象
1
·
1
·
此函数在区间 内y随x的增大而增大，在区间 内y随x的增大而减小。
f(x1)
x1
O
x
y
y = x2
（2）y = x2
引例2：画出下列函数的图象
1
·
1
·
此函数在区间 内y随x的增大而增大，在区间 内y随x的增大而减小。
f(x1)
x1
O
x
y
y = x2
（2）y = x2
引例2：画出下列函数的图象
1
·
1
·
此函数在区间 内y随x的增大而增大，在区间 内y随x的增大而减小。
f(x1)
x1
O
x
y
y = x2
（2）y = x2
引例2：画出下列函数的图象
1
·
1
·
此函数在区间 内y随x的增大而增大，在区间 内y随x的增大而减小。
f(x1)
x1
O
x
y
y = x2
（2）y = x2
引例2：画出下列函数的图象
1
·
1
·
此函数在区间 内y随x的增大而增大，在区间 内y随x的增大而减小。
f(x1)
x1
O
x
y
y = x2
（2）y = x2
引例2：画出下列函数的图象
1
·
1
·
此函数在区间 内y随x的增大而增大，在区间 内y随x的增大而减小。
f(x1)
x1
（-∞, 0 ]
[0, +∞ )
0
y
x1
x2
f(x2)
f(x1)
0
y
x1
x2
f(x2)
f(x1)
x
x
·
·
·
·
在区间I内 在区间I内
图象 y=f(x) y=f(x)
图象特征
数量 特征
0
y
x1
x2
f(x2)
f(x1)
0
y
x1
x2
f(x2)
f(x1)
x
x
·
·
·
·
在区间I内 在区间I内
图象 y=f(x) y=f(x)
图象特征 从左至右，图象上升
数量 特征
0
y
x1
x2
f(x2)
f(x1)
0
y
x1
x2
f(x2)
f(x1)
x
x
·
·
·
·
在区间I内 在区间I内
图象 y=f(x) y=f(x)
图象特征 从左至右，图象上升
数量 特征 y随x的增大而增大
0
y
x1
x2
f(x2)
f(x1)
0
y
x1
x2
f(x2)
f(x1)
x
x
·
·
·
·
在区间I内 在区间I内
图象 y=f(x) y=f(x)
图象特征 从左至右，图象上升 从左至右，图象下降
数量 特征 y随x的增大而增大
0
y
x1
x2
f(x2)
f(x1)
0
y
x1
x2
f(x2)
f(x1)
x
x
·
·
·
·
在区间I内 在区间I内
图象 y=f(x) y=f(x)
图象特征 从左至右，图象上升 从左至右，图象下降
数量 特征 y随x的增大而增大
y随x的增大而减小
0
y
x1
x2
f(x2)
f(x1)
0
y
x1
x2
f(x2)
f(x1)
x
x
·
·
·
·
在区间I内 在区间I内
图象 y=f(x) y=f(x)
图象特征 从左至右，图象上升 从左至右，图象下降
数量 特征 y随x的增大而增大
当x1＜x2时， f(x1) < f(x2) y随x的增大而减小
0
y
x1
x2
f(x2)
f(x1)
0
y
x1
x2
f(x2)
f(x1)
x
x
·
·
·
·
在区间I内 在区间I内
图象 y=f(x) y=f(x)
图象特征 从左至右，图象上升 从左至右，图象下降
数量 特征 y随x的增大而增大
当x1＜x2时， f(x1) < f(x2) y随x的增大而减小
当x1＜x2时， f(x1) > f(x2)
函数的单调性定义：
函数的单调性定义：
设函数y= f (x)的定义域为A，区间I A
函数的单调性定义：
设函数y= f (x)的定义域为A，区间I A
如果对于区间I内的任意两个值x1，x2 ，
当x1< x2时，都有f(x1) < f(x2),
那么就说y= f (x) 在区间I上是增函数,
I称为y= f (x)单调增区间。
函数的单调性定义：
设函数y= f (x)的定义域为A，区间I A
如果对于区间I内的任意两个值x1，x2 ，
当x1< x2时，都有f(x1) < f(x2),
那么就说y= f (x) 在区间I上是增函数,
I称为y= f (x)单调增区间。
如果对于区间I内的任意两个值x1，x2 ，
当x1< x2时，都有f(x1) > f(x2),那么
就说y= f (x)在区间I上是减函数,
I称为y= f (x)单调减区间。
探索题 判断下列说法是否正确。
2. 定义在R上的函数 f (x) 满足 f (-1) 1. 函数y= f (x)是（0，2）上的单调增函数，则此
函数的单调增区间为（0，2）；
(×)
(×)
例1 求证：函数 f (x) = – – 1在区间（－∞，0）
上是单调增函数。
1
x
例2 试判断函数y= x2 + x 在（0，＋∞）上是增函数还是减函数？并给予证明。
解：函数y= x2 + x 在（0，＋∞）上是增函数
下面给予证明：
设 x1，x2 为区间(0,＋∞)上的任意两个值，且x1则f (x1) – f (x2)= (x12 + x1 ) – (x22 + x2 )
=( x12 –x22) + (x1 – x2)
= (x1 – x2) (x1 + x2) + (x1 – x2)
= (x1 – x2) (x1 + x2 +1)
又 x2 ＞ x1 ＞ 0，所以x1 – x2< 0， x1 + x2 +1 ＞0，
所以f (x1)– f (x2)<0
所以函数y= x2 + x 在（0，＋∞）上是增函数
小结：在区间I内
0
y
x1
x2
f(x2)
f(x1)
0
y
x1
x2
f(x2)
f(x1)
x
x
·
·
·
·
单调增函数 单调减函数
图象
图象特征 自左至右，图象上升. 自左至右，图象下降.
数量 特征 y随x的增大而增大
当x1＜x2时， f(x1) < f(x2) y随x的增大而减小
当x1＜x2时， f(x1) > f(x2)
判断函数单调性的方法：
1、图象法
2、代数论证法
证明函数的单调性常用步骤：
(1)取值
(2)作差变形
(3)定号
(4)结论
思考题: 讨论函数y=x + (x ＞ 0)的单调性。
1
x
作业：课本第37页
练习5、6
谢谢，再见！