安徽省宿州市泗县2022-2023学年高二下学期开学考试数学试题（Word版含答案）
文档属性
| 名称 | 安徽省宿州市泗县2022-2023学年高二下学期开学考试数学试题（Word版含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 800.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-02-20 15:04:47 | ||
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文档简介
泗县2022-2023学年高二下学期开学考试
数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．直线与直线的夹角为（ ）
A． B． C． D．
2．某课外兴趣小组通过随机调查，利用列联表和统计量研究数学成绩优秀是否与性别有关．计算得，经查阅临界值表知，则下列判断正确的是（ ）
A．每100个数学成绩优秀的人中就会有1名是女生
B．若某人数学成绩优秀，那么他为男生的概率是0.010
C．有99%的把握认为“数学成绩优秀与性别有关
D．在犯错误的概率不超过1%的前提下认为“数学成绩优秀与性别无关”
3．数列的一个通项公式为（ ）
A． B． C． D．
4．展开式中的系数为（ ）
A．14 B．20 C．25 D．28
5．从3男3女共6名医生中，抽取3名医生参加社区核酸检测工作，则至少有2名女医生参加的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．将6名实习教师分配到3所学校进行培调，每名实习教师只能分配到1个学校，每个学校至少分配1名实习教师，则不同的分配方案共有（ ）
A．240种 B．360种 C．450种 D．540种
7．下列说法正确的是（ ）
①若随机变量的概率分布列为，则
②若随机变量，，则
③若随机变量，则
④在含有4件次品的10件产品中，任取3件，X表示取到的次品数，则
A．②③ B．②④ C．①②③ D．②③④
8．设、椭圆的左、右焦点，格圆上存在点M，，使得离心率，则e取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）
9．设离散型随机变量X的分布列为：
X 0 1 2 3 4
p q 0.4 0.1 0.2 0.2
若离散型随机变量Y满足，则下列结果正确的有（ ）
A． B． C． D．
10．已知抛物线的焦点为F，准线为l，过抛物线C上一点P作的垂线，垂足为Q，则下列说法正确的是（ ）
A．准线l的方程为
B．若过焦点F的直线交抛物线C于两点，且，则
C．若，则的最小值为3
D．延长交抛物线C于点M，若，则
11．关于的二项展开式，下列说法正确的是（ ）
A．二项式系数和为128 B．各项系数和为
C．项的系数为 D．第三项和第四项的系数相等
12．如图，在棱长为2的正方体中，M，N分别是的中点，则（ ）
A．四点A，M，N，C共面
B．直线与平面所成角为
C．异面直线与所成角的余弦值为
D．过M，B，C三点的平面截正方体所得图形面积为
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13．已知向量，若与垂直，则___________．
14．盒子里有6个球，其中有3个白球和3个红球，每次从中抽出1个球，抽出的球不再放回，则在第1次抽到白球的条件下，第2次抽到红球的概率为___________．
15．已知数列对任意正整数n都有，且是方程的两个实根，则___________．
16．已知数列的前n项和为，则下列说法正确的是___________．
①若，则；
②若，则是等差数列；
③若数列为等差数列，，则；
④若数列为等差数列，，则时，最大．
四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（10分）某企业年研发费用x（百万元）与企业年利润y（百万元）之间具有线性相关关系，该企业近5年的年研发费用和年利润的具体数据如下表：
年研发费用x（百万元） 1 2 3 4 5
年利润y（百万元） 2 3 4 4 7
（1）求y关于x的线性回归方程；
（2）如果该企业某年研发费用投入10百万元，预测该企业获得的年利润为多少？
参考公式：线性回归方程的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：．
18．（12分）某县教育局从县直学校推荐的6名教师中任选3人去参加进修活动，这6名教师中，语文、数学、英语教师各2人．
（1）求选出的数学教师人数多于语文教师人数的概率；
（2）设X表示选出的3人中数学教师的人数，求X的分布列及期望．
19．（12分）已知数列中，且点在函数的图像上，为数列的前n项和．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
20．（12分）已知双曲线的焦点为，且其渐近线为．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）过左焦点作斜率为的弦，求的周长．
21．（12分）如图，四棱锥中，为等边三角形，，E为的中点，平面平面．
（1）求点D到平面的距离；
（2）求平面与平面夹角的正弦值．
22．（12分）已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆右焦点作两条互相垂直的弦与，求的取值范围．
开学考参考答案
1．D 【详解】因为直线，所以，则直线m的倾斜角，又直线，所以直线n的倾斜角为，所以直线与直线的夹角为，故选：D．
2．C 【解析】∵，∴有99%的把握认为“数学成绩优秀与性别有关”，即在犯错误的概率不超过1%的前提下认为“数学成绩优秀与性别有关”．
3．D 【详解】奇数项为负，偶数项为正，可用来实现，而各项分母可看作，各项分子均为1，∴该数列的通项公式为．故选：D．
4．A 【详解】展开式的通项公式为，因此所展开式的系数为，故选：A．
5．B 【详解】由题意从3男3女共6名医生中，抽取3名医生参加社区核酸检测工作，共有种选法，如果至少有2名女医生参加，则有种选法，故至少有2名女医生参加的概率为，故选：B．
6．D 【详解】将6名教师分3组，有3种分法，即1，2，3、1，1，4、2，2，2，共有种分法，再分配给3所学校，可得种，故选D．
7．D 【解答】解：对于A∴随机变量的概率分布为，
∴，∴，∴，故①不正确；
对于B，，∴，故②正确；
对于C，由，得，故③正确；
对于D，由题意，得，故④正确．故选D．
8．C 【详解】由，设，
在中，由正弦定理有：，离心率，
则；解得：，
由于，得，显然成立，由有，即，得，
所以椭圆离心率取值范围为．故选：C．
9．AB 【详解】对A：由，，，故A正确；
对B：，故B正确；
对C：，故C错误；
对D：，故D错误．故选：AB．
10．ACD 【解答】解：因为抛物线C的方程为，所以，所以准线l的方程为，A正确；
由题意可知，B错误；
由抛物线C上的点到焦点F与到准线的距离相等可知，所以当Q，P，E三点共线时，取得最小值，即为点E到准线的距离，所以最小值为3，C正确；
如图所示，不妨设P在第一象限，过P作轴于点H，过M作轴于点N，过M作准线的垂线，垂足为D，设准线与x轴的交点为G，则，，易知，则有，即，解得，则，D正确，故选ACD．
11．AC 【详解】解：由题知，中二项式系数和为，故选项A正确；
将代入二项式中可得各项系数和为，故选项B错误；
在中，第三项的二项式系数为，第四项的二项式系数为，因为，所以选项D错误；
在中，第项，取，即，故，故项的系数为，故选项C正确．故选AC．
12．BCD 【详解】对于A，连接和，由此可知点A，M，N在平面中，点平面，则四点A，M，N，C不共面，故选项A错误；
对于B，分别以所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立如图
所示空间直角坐标系，则，则，设直线与面所成角为，
设平面的法向量为，则，
令，则，所以，
所以，所以，故选项B正确；
对于C，因为，结合选项B的坐标可得：，
设异面直线与面所成角为，则，
所以异面直线与面所成角的余弦值为，故选项C正确；
对于D，过点M作，因为，所以且，
所以四边形为平行四边形，则P，M，Q，B，C五点共面，也即过M，B，C三点的平面截正方体所得图形为平行四边形，由题意可知：，
因为为正方体，所以平面，因为平面，
所以，所以平行四边形为矩形，则，故选项D正确，故选：BCD．
13． 【详解】解：∵与垂直，∴，则，解得，∴，
则，∴．故答案为：．
14． 【详解】设第1次抽到白球为事件A，第2次抽到红球为事件B，
则，则在第1次抽到白球的条件下，第2次抽到红球的概率为．故答案：．
15．12 【详解】因为数列对任意正整数n都有，所以数列是等差数列，因为，是方程的两个实根，由根与系数的关系可得，
因为数列是等差数列，所以，故答案为：12．
16．②④ 【解答】解：对于A、若，当时，整理得，
当时，（不满足此式），故，故①错误；
对于B、当时，，
当时，也适合上式，故，
故，故是等差数列，故②正确；
对于C、在等差数列中，，
故，所以，故③错误；
对于D、在等差数列中，，故，
，故，故，
故在等差数列中，，故当时，最大，故④正确．故选②④．
17．（1）；（2）11.7百万元
【详解】（1）依题意，，而，，，
则，，
所以y关于x的线性回归方程为，
（2）由（1）知，当时，，
所以当该企业某年研发费用投入8百万元时，预测该企业获得的年利润为11.7百万元．．
18．（1）；（2）
【详解】（1）解：某学校推荐的6名教师中任选3人去参加进修活动，基本事件总数，
这6名教师中，语文教师2人，数学教师2人，英语教师2人，
设事件A表示“选出的语文教师人数多于数学教师人数”，
表示“恰好选出1名语文教师和2名英语教师”，表示“恰好选出2名语文教师”，
则彼此互斥，且，
∴选出的语文教师人数多于数学教师人数的概率．
（2）解：由于从6名教师中任选3人的结果为，
从6名教师中任取3人，其中恰有k名语文教师的结果为，
那么从6名教师中任选3人，恰有名语文教师的概率
所以，，
．
19．（1）；（2）
【详解】（1）解：由已知得：，即，
根据等差数列的定义知数列是首项为2，公差为2的等差数列，所以．
（2）∴，∴，
因为，所以是等差数列，首项是，公差是1，
∴．
20．（1）；（2）54
【详解】（1）因为双曲线的焦点在x轴上，设双曲线方程为，
由题意得解得，所以双曲线方程为．
（2）依题意得直线的方程为，设．
联立，得，且，
所以．
由题知A，B两点都在双曲线左支上，且，由双曲线定义，，
从而，
的周长为．
21．（1）；（2）
【详解】（1）取的中点O，连接，因为为等边三角形，所以．
因为，平面平面，平面平面，∴平面．
又，E为的中点，∴，∵，∴．
分别以所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则，
，
设平面的法向量为，则，即．
令，得平面的一个法向量为．
又，所以点D到平面的距离．
（2）又，设平面的一个法向量为，
则，即，令，得平面的一个法向量为
则．
∴，故平面与平面夹角的正弦值为．
22．（1）；（2）
【详解】（1）∵，所以．
设椭圆方程为，将代入，得．故椭圆方程为．
（2）①当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在，易得其中一条弦为长轴，另一条弦长为椭圆的通径为，即；
②当两条弦斜率均存在且不为0时，设，
设直线的方程为，则直线的方程为，
将直线的方程代入椭圆方程中，并整理得：，
∴，∴，
同理，，∴，
令，则，
∴，
∵，∴，∴，∴，
∴，∴．
综合①②可知，的取值范围为．
数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．直线与直线的夹角为（ ）
A． B． C． D．
2．某课外兴趣小组通过随机调查，利用列联表和统计量研究数学成绩优秀是否与性别有关．计算得，经查阅临界值表知，则下列判断正确的是（ ）
A．每100个数学成绩优秀的人中就会有1名是女生
B．若某人数学成绩优秀，那么他为男生的概率是0.010
C．有99%的把握认为“数学成绩优秀与性别有关
D．在犯错误的概率不超过1%的前提下认为“数学成绩优秀与性别无关”
3．数列的一个通项公式为（ ）
A． B． C． D．
4．展开式中的系数为（ ）
A．14 B．20 C．25 D．28
5．从3男3女共6名医生中，抽取3名医生参加社区核酸检测工作，则至少有2名女医生参加的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．将6名实习教师分配到3所学校进行培调，每名实习教师只能分配到1个学校，每个学校至少分配1名实习教师，则不同的分配方案共有（ ）
A．240种 B．360种 C．450种 D．540种
7．下列说法正确的是（ ）
①若随机变量的概率分布列为，则
②若随机变量，，则
③若随机变量，则
④在含有4件次品的10件产品中，任取3件，X表示取到的次品数，则
A．②③ B．②④ C．①②③ D．②③④
8．设、椭圆的左、右焦点，格圆上存在点M，，使得离心率，则e取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）
9．设离散型随机变量X的分布列为：
X 0 1 2 3 4
p q 0.4 0.1 0.2 0.2
若离散型随机变量Y满足，则下列结果正确的有（ ）
A． B． C． D．
10．已知抛物线的焦点为F，准线为l，过抛物线C上一点P作的垂线，垂足为Q，则下列说法正确的是（ ）
A．准线l的方程为
B．若过焦点F的直线交抛物线C于两点，且，则
C．若，则的最小值为3
D．延长交抛物线C于点M，若，则
11．关于的二项展开式，下列说法正确的是（ ）
A．二项式系数和为128 B．各项系数和为
C．项的系数为 D．第三项和第四项的系数相等
12．如图，在棱长为2的正方体中，M，N分别是的中点，则（ ）
A．四点A，M，N，C共面
B．直线与平面所成角为
C．异面直线与所成角的余弦值为
D．过M，B，C三点的平面截正方体所得图形面积为
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13．已知向量，若与垂直，则___________．
14．盒子里有6个球，其中有3个白球和3个红球，每次从中抽出1个球，抽出的球不再放回，则在第1次抽到白球的条件下，第2次抽到红球的概率为___________．
15．已知数列对任意正整数n都有，且是方程的两个实根，则___________．
16．已知数列的前n项和为，则下列说法正确的是___________．
①若，则；
②若，则是等差数列；
③若数列为等差数列，，则；
④若数列为等差数列，，则时，最大．
四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（10分）某企业年研发费用x（百万元）与企业年利润y（百万元）之间具有线性相关关系，该企业近5年的年研发费用和年利润的具体数据如下表：
年研发费用x（百万元） 1 2 3 4 5
年利润y（百万元） 2 3 4 4 7
（1）求y关于x的线性回归方程；
（2）如果该企业某年研发费用投入10百万元，预测该企业获得的年利润为多少？
参考公式：线性回归方程的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：．
18．（12分）某县教育局从县直学校推荐的6名教师中任选3人去参加进修活动，这6名教师中，语文、数学、英语教师各2人．
（1）求选出的数学教师人数多于语文教师人数的概率；
（2）设X表示选出的3人中数学教师的人数，求X的分布列及期望．
19．（12分）已知数列中，且点在函数的图像上，为数列的前n项和．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
20．（12分）已知双曲线的焦点为，且其渐近线为．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）过左焦点作斜率为的弦，求的周长．
21．（12分）如图，四棱锥中，为等边三角形，，E为的中点，平面平面．
（1）求点D到平面的距离；
（2）求平面与平面夹角的正弦值．
22．（12分）已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆右焦点作两条互相垂直的弦与，求的取值范围．
开学考参考答案
1．D 【详解】因为直线，所以，则直线m的倾斜角，又直线，所以直线n的倾斜角为，所以直线与直线的夹角为，故选：D．
2．C 【解析】∵，∴有99%的把握认为“数学成绩优秀与性别有关”，即在犯错误的概率不超过1%的前提下认为“数学成绩优秀与性别有关”．
3．D 【详解】奇数项为负，偶数项为正，可用来实现，而各项分母可看作，各项分子均为1，∴该数列的通项公式为．故选：D．
4．A 【详解】展开式的通项公式为，因此所展开式的系数为，故选：A．
5．B 【详解】由题意从3男3女共6名医生中，抽取3名医生参加社区核酸检测工作，共有种选法，如果至少有2名女医生参加，则有种选法，故至少有2名女医生参加的概率为，故选：B．
6．D 【详解】将6名教师分3组，有3种分法，即1，2，3、1，1，4、2，2，2，共有种分法，再分配给3所学校，可得种，故选D．
7．D 【解答】解：对于A∴随机变量的概率分布为，
∴，∴，∴，故①不正确；
对于B，，∴，故②正确；
对于C，由，得，故③正确；
对于D，由题意，得，故④正确．故选D．
8．C 【详解】由，设，
在中，由正弦定理有：，离心率，
则；解得：，
由于，得，显然成立，由有，即，得，
所以椭圆离心率取值范围为．故选：C．
9．AB 【详解】对A：由，，，故A正确；
对B：，故B正确；
对C：，故C错误；
对D：，故D错误．故选：AB．
10．ACD 【解答】解：因为抛物线C的方程为，所以，所以准线l的方程为，A正确；
由题意可知，B错误；
由抛物线C上的点到焦点F与到准线的距离相等可知，所以当Q，P，E三点共线时，取得最小值，即为点E到准线的距离，所以最小值为3，C正确；
如图所示，不妨设P在第一象限，过P作轴于点H，过M作轴于点N，过M作准线的垂线，垂足为D，设准线与x轴的交点为G，则，，易知，则有，即，解得，则，D正确，故选ACD．
11．AC 【详解】解：由题知，中二项式系数和为，故选项A正确；
将代入二项式中可得各项系数和为，故选项B错误；
在中，第三项的二项式系数为，第四项的二项式系数为，因为，所以选项D错误；
在中，第项，取，即，故，故项的系数为，故选项C正确．故选AC．
12．BCD 【详解】对于A，连接和，由此可知点A，M，N在平面中，点平面，则四点A，M，N，C不共面，故选项A错误；
对于B，分别以所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立如图
所示空间直角坐标系，则，则，设直线与面所成角为，
设平面的法向量为，则，
令，则，所以，
所以，所以，故选项B正确；
对于C，因为，结合选项B的坐标可得：，
设异面直线与面所成角为，则，
所以异面直线与面所成角的余弦值为，故选项C正确；
对于D，过点M作，因为，所以且，
所以四边形为平行四边形，则P，M，Q，B，C五点共面，也即过M，B，C三点的平面截正方体所得图形为平行四边形，由题意可知：，
因为为正方体，所以平面，因为平面，
所以，所以平行四边形为矩形，则，故选项D正确，故选：BCD．
13． 【详解】解：∵与垂直，∴，则，解得，∴，
则，∴．故答案为：．
14． 【详解】设第1次抽到白球为事件A，第2次抽到红球为事件B，
则，则在第1次抽到白球的条件下，第2次抽到红球的概率为．故答案：．
15．12 【详解】因为数列对任意正整数n都有，所以数列是等差数列，因为，是方程的两个实根，由根与系数的关系可得，
因为数列是等差数列，所以，故答案为：12．
16．②④ 【解答】解：对于A、若，当时，整理得，
当时，（不满足此式），故，故①错误；
对于B、当时，，
当时，也适合上式，故，
故，故是等差数列，故②正确；
对于C、在等差数列中，，
故，所以，故③错误；
对于D、在等差数列中，，故，
，故，故，
故在等差数列中，，故当时，最大，故④正确．故选②④．
17．（1）；（2）11.7百万元
【详解】（1）依题意，，而，，，
则，，
所以y关于x的线性回归方程为，
（2）由（1）知，当时，，
所以当该企业某年研发费用投入8百万元时，预测该企业获得的年利润为11.7百万元．．
18．（1）；（2）
【详解】（1）解：某学校推荐的6名教师中任选3人去参加进修活动，基本事件总数，
这6名教师中，语文教师2人，数学教师2人，英语教师2人，
设事件A表示“选出的语文教师人数多于数学教师人数”，
表示“恰好选出1名语文教师和2名英语教师”，表示“恰好选出2名语文教师”，
则彼此互斥，且，
∴选出的语文教师人数多于数学教师人数的概率．
（2）解：由于从6名教师中任选3人的结果为，
从6名教师中任取3人，其中恰有k名语文教师的结果为，
那么从6名教师中任选3人，恰有名语文教师的概率
所以，，
．
19．（1）；（2）
【详解】（1）解：由已知得：，即，
根据等差数列的定义知数列是首项为2，公差为2的等差数列，所以．
（2）∴，∴，
因为，所以是等差数列，首项是，公差是1，
∴．
20．（1）；（2）54
【详解】（1）因为双曲线的焦点在x轴上，设双曲线方程为，
由题意得解得，所以双曲线方程为．
（2）依题意得直线的方程为，设．
联立，得，且，
所以．
由题知A，B两点都在双曲线左支上，且，由双曲线定义，，
从而，
的周长为．
21．（1）；（2）
【详解】（1）取的中点O，连接，因为为等边三角形，所以．
因为，平面平面，平面平面，∴平面．
又，E为的中点，∴，∵，∴．
分别以所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则，
，
设平面的法向量为，则，即．
令，得平面的一个法向量为．
又，所以点D到平面的距离．
（2）又，设平面的一个法向量为，
则，即，令，得平面的一个法向量为
则．
∴，故平面与平面夹角的正弦值为．
22．（1）；（2）
【详解】（1）∵，所以．
设椭圆方程为，将代入，得．故椭圆方程为．
（2）①当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在，易得其中一条弦为长轴，另一条弦长为椭圆的通径为，即；
②当两条弦斜率均存在且不为0时，设，
设直线的方程为，则直线的方程为，
将直线的方程代入椭圆方程中，并整理得：，
∴，∴，
同理，，∴，
令，则，
∴，
∵，∴，∴，∴，
∴，∴．
综合①②可知，的取值范围为．
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