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人教版七年级下数学疑难点专题专练——8.2二元一次方程组之整体换元法
一、单选题
1．（2022七下·漯河期末）若关于x，y的二元一次方程组 的解是 ，则关于m，n的二元一次方程组 的解是（ ）
A． B．
C． D．
2．（）已知方程组 的解是 则方程组 的解是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2021七下·仪征期末）已知关于x、y的方程组 的解是 ，则关于m、n方程组 的解为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
4．若关于x，y的方程组
的解为
则方程组
的解为 .
5．（2021八上·温岭竞赛）已知方程组 的解是 则关于x，y的方程组 的解为 。
三、计算题
6．（2022七上·岷县开学考）解下列方程组：
（1）
（2）
7．（2022七下·台江期末）解方程组：
（1）
（2）
8．解方程组
9．解方程组
四、解答题
10．（2022八上·包头期末）阅读材料：善于思考的小明同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法．
解：把，看成一个整体，设，，
原方程组可化为，
解得，，
∴原方程组的解为，
请仿照小明同学的方法，用“整体换元”法解方程组
11．把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫整体代换或换元思想，请根据上面的思想解决下面问题：
若关于x、y的方程组 的解是 ，求关于x，y的方程组 的解.
12．如果关于x，y的二元一次方程组 的解是 ，求关于x，y的方程组 的解.
13．请阅读下列材料，解答问题材料：解方程组 ，若设x+y=m，x-y=n，则原方程组可变形为 用加减消元法解得 ，所以 ，再解这个方程组得 ，由此可以看出，在上述解方程组的过程中，把某个式子看成个整体，用一个字母去代替它，我们把这种解方程组的方法叫做换元法.
问题：请你用上述方法解方程组
14．如果关于x，y的二元一次方程组 的解是 ，不求a，b的值，你能否求出x，y关于的二元一次方程组 的解？如果能，请求出方程组的解.
五、综合题
15．（2022八上·济南期中）阅读下列材料：
小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：解方程组，小明发现如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程：
令，．
原方程组化为，
解得，
把代入，，
得，
解得．
∴原方程组的解为．
请你参考小明同学的做法解方程组：
（1）
（2）
16．（2022七下·杭州期末）已知是二元一次方程组的解．
（1）求a，b的值．
（2）求方程组的解．
17．（2022七下·云阳期中）解方程组
解：设，
原方程组可以化为
解得
即：此种解方程组的方法叫换元法.
（1）运用上述方法解下列方程组；
（2）已知关于x，y的方程组的解为，求关于m、n的方程组的解.
18．已知关于x，y的方程组 的解是
（1）若把x换成m，y换成n，得到的关于m，n的方程组为 ，则这个方程组的解是 .
（2）若把x换成2x，y换成3y，得到方程组 ，则 ，所以这个方程组的解是 .
（3）根据以上的方法解方程组
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】二元一次方程组的解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：设m-n=x'，m+n=y'，
则 ，
由题意得： ，
即，
解得 .
故答案为：A.
【分析】设m-n=x'，m+n=y'，利用换元法，结合题意求出，从而得出，再解关于m、n的二元一次方程组即可.
2．【答案】C
【知识点】二元一次方程组的解；解二元一次方程组
【解析】【解答】解：在方程组 中，
设 ，
则变形为方程组 由题知
所以 ，即
故答案为：C.
【分析】利用换元法求解，设 ，把原方程化为从而求出a、b值，最后求x和y值即可.
3．【答案】A
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【解答】解：由题意得 ，
解得 ，
故答案为：A.
【分析】将m+n和m-n看着整体，利用已知条件可得到关于m，n的方程组，解方程组求出m，n的值.
4．【答案】
【知识点】二元一次方程组的解；解二元一次方程组
【解析】【解答】解：将
代入方程组
，得：
，
将①+a1，②+a2得：
，
又∵，
∴3x=6，2y=6，
∴x=2，y=3，
∴方程组
的解为
.
故答案为：
.
【分析】将原方程组解代入方程得
，利用等式性质变形为
，再根据
，利用等式性质，对应项相等得3x=6，2y=6，解出x和y即可.
5．【答案】 或
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵ 方程组 的解是 ，
∴
∴
∴
∴
解之： 或
【分析】将已知方程组的解代入方程组，可得到，再将代入第二个方程组，可得到，由此可推出，然后求出方程组的解.
6．【答案】（1）解：
，可得：，
解得，
把③代入①，解得，
原方程组的解是．
（2）解：根据题意，可得
，可得：，
解得，
把③代入①，解得，
原方程组的解是．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）利用第一个方程的3倍加上第二个方程的2倍可得x的值，将x的值代入第一个方程中可得y的值，进而可得方程组的解；
（2）将方程化为整式方程，然后利用第一个方程的4倍加上第二个方程求出y的值，将y的值代入第一个方程中求出x的值，进而可得方程组的解.
7．【答案】（1）解：
①+②得：6x=10，
解得：x=，
将x=代入①解得：y=，
方程组的解为：；
（2）解：原方程组整理为：
将①代入②得：-4y+y=3，
解得：y=-1，
将y=-1代入①得x=2，
方程组的解为：．
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）观察方程组中未知数y的系数互为相反数，所以用方程①+②可消去未知数y，求得未知数x的值，把x的值代入其中一个方程可求得y的值，再写出结论可求解；
（2）由题意先将原方程组化简，用代入消元法可求解.
8．【答案】解：令x+y=m，x-y=n，
得
②-①得，m=10.
把m=10代入①，得
=7-5=2，n=6，
即
③+④得，
2x=16，x=8.
把x=8代入③得，
Y=10-8=2，
故原方程组的解为
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【分析】观察方程组中含未知数部分，可将x+y和x-y看着整体，设x+y=m，x-y=n，可得到关于m，n的方程组，解方程组求出m，n的值；然后回代，建立关于x，y的方程组，解方程组求出x，y的值，可得到原方程组的解.
9．【答案】解： 原方程组可变成 ，
设x+y-1=，x-y+3=b，
∴
解之： ，
∴
解之：
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【分析】将方程组转化为 ，将x+y-1和x-y+3看着整体，设x+y-1=a，x-y+3=b，可得到关于a，b的方程组，解方程组求出a，b的值，然后代入所设的式子，建立关于x，y的方程组，解方程组求出x，y的值.
10．【答案】解：设，，原方程可化为 ，即，
②-①得，，
∴，
把代入②得，，
∴
∴
解得：．
【知识点】定义新运算；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】设，，原方程可化为，再利用加减消元法求解二元一次方程组即可。
11．【答案】解：∵ ，
∴ ，
由题意知 解得
∴原方程组的解为
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【分析】将方程组转化为 ，利用第一个方程组的解可得到 ，然后解方程组求出x，y的值.
12．【答案】解：∵二元一次方程组 的解是 ，
∴ ，解得 ，
∴所求方程组的解为
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【分析】对照两方程组，可知x+2y=7，x-2y=1，建立关于x，y的方程组，解方程组求出x，y的值.
13．【答案】解：设x+y=m，x-y=n，
则原方程组可变形为 ，
用加减消元法，解得
∴
解得
∴原方程组的解为
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】将方程组中的x-y和x+y看着整体，利用换元法，设x+y=m，x-y=n，可得到关于m，n的方程组，解方程组求出m，n的值，然后回代，可得到关于x，y的方程组，解方程组求出x，y的值.
14．【答案】解：第二个方程组中的x+y与x-y相当于第一个方程组中的x，y，据此即可列方程组求解.
根据题意可得
解得
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【分析】将第二个方程组中的x+y与x-y看着整体，即相当于第一个方程组中的x，y，根据第一个方程组的解为 ， 可得到关于x，y的方程组，解方程组求出x，y的值，即可得到第二个方程组的解.
15．【答案】（1）解：令，，
方程组变形为，
解得，
所以，
解得
∴原方程组的解为．
（2）解：令
原方程组化为
解得，
把代入
得，
解得·
【知识点】定义新运算；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）参照题干中的计算方法令，，可得，再利用加减消元法法求出二元一次方程组的解即可；
（2）参照题干中的计算方法令，可得，再求解即可。
16．【答案】（1）解：把代入方程组得：
解得：
（2）解：由题意得：
解得：
∴方程组的解为
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）把代入方程组得出解方程组求出a，b的值，即可得出答案；
（2）把a，b的值代入方程组，得出，解方程组求出x，y的值，即可得出答案.
17．【答案】（1）解：设，，
∴原方程组可变为：，
解这个方程组得，
即，
所以；
（2）解：由题意得，，
解得：.
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）观察方程组中含未知数的特点：可知设 ，， 可得到关于x，y的方程组，解方程组求出x，y的值，然后回代，可得到关于a，b的方程组，解方程组求出a，b的值.
（2）将m-2和n+3看着整体，可得到m-2=6，n+3=7，解方程求出m，n的值.
18．【答案】（1）
（2）；
（3）解：将方程组 ，变形为
∴ ，解得 ，
∴方程组 的解为
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【解答】（1）∵关于x，y的方程组 的解是 ，
若把x换成m，y换成n，得到的关于m，n的方程组为 ，则这个方程组的解是
故答案为：4，-6.
（2） 若把x换成2x，y换成3y，得到方程组 ，则 ，
解之：.
【分析】（1）利用已知方程组的解，将x换成m，y换成n，可得到m的值就是x的值；n的值就是y的值，即可得到关于m，n的方程组的解.
（2）若将x换成2x，y换成3y，可知x的值就是2x的值；y的值就是3y的值，由此可得到方程组的解.
（3）将方程组转化为，由此可推出，然后解方程组求出x，y的值.
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人教版七年级下数学疑难点专题专练——8.2二元一次方程组之整体换元法
一、单选题
1．（2022七下·漯河期末）若关于x，y的二元一次方程组 的解是 ，则关于m，n的二元一次方程组 的解是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二元一次方程组的解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：设m-n=x'，m+n=y'，
则 ，
由题意得： ，
即，
解得 .
故答案为：A.
【分析】设m-n=x'，m+n=y'，利用换元法，结合题意求出，从而得出，再解关于m、n的二元一次方程组即可.
2．（）已知方程组 的解是 则方程组 的解是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二元一次方程组的解；解二元一次方程组
【解析】【解答】解：在方程组 中，
设 ，
则变形为方程组 由题知
所以 ，即
故答案为：C.
【分析】利用换元法求解，设 ，把原方程化为从而求出a、b值，最后求x和y值即可.
3．（2021七下·仪征期末）已知关于x、y的方程组 的解是 ，则关于m、n方程组 的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【解答】解：由题意得 ，
解得 ，
故答案为：A.
【分析】将m+n和m-n看着整体，利用已知条件可得到关于m，n的方程组，解方程组求出m，n的值.
二、填空题
4．若关于x，y的方程组
的解为
则方程组
的解为 .
【答案】
【知识点】二元一次方程组的解；解二元一次方程组
【解析】【解答】解：将
代入方程组
，得：
，
将①+a1，②+a2得：
，
又∵，
∴3x=6，2y=6，
∴x=2，y=3，
∴方程组
的解为
.
故答案为：
.
【分析】将原方程组解代入方程得
，利用等式性质变形为
，再根据
，利用等式性质，对应项相等得3x=6，2y=6，解出x和y即可.
5．（2021八上·温岭竞赛）已知方程组 的解是 则关于x，y的方程组 的解为 。
【答案】 或
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵ 方程组 的解是 ，
∴
∴
∴
∴
解之： 或
【分析】将已知方程组的解代入方程组，可得到，再将代入第二个方程组，可得到，由此可推出，然后求出方程组的解.
三、计算题
6．（2022七上·岷县开学考）解下列方程组：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
，可得：，
解得，
把③代入①，解得，
原方程组的解是．
（2）解：根据题意，可得
，可得：，
解得，
把③代入①，解得，
原方程组的解是．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）利用第一个方程的3倍加上第二个方程的2倍可得x的值，将x的值代入第一个方程中可得y的值，进而可得方程组的解；
（2）将方程化为整式方程，然后利用第一个方程的4倍加上第二个方程求出y的值，将y的值代入第一个方程中求出x的值，进而可得方程组的解.
7．（2022七下·台江期末）解方程组：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
①+②得：6x=10，
解得：x=，
将x=代入①解得：y=，
方程组的解为：；
（2）解：原方程组整理为：
将①代入②得：-4y+y=3，
解得：y=-1，
将y=-1代入①得x=2，
方程组的解为：．
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）观察方程组中未知数y的系数互为相反数，所以用方程①+②可消去未知数y，求得未知数x的值，把x的值代入其中一个方程可求得y的值，再写出结论可求解；
（2）由题意先将原方程组化简，用代入消元法可求解.
8．解方程组
【答案】解：令x+y=m，x-y=n，
得
②-①得，m=10.
把m=10代入①，得
=7-5=2，n=6，
即
③+④得，
2x=16，x=8.
把x=8代入③得，
Y=10-8=2，
故原方程组的解为
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【分析】观察方程组中含未知数部分，可将x+y和x-y看着整体，设x+y=m，x-y=n，可得到关于m，n的方程组，解方程组求出m，n的值；然后回代，建立关于x，y的方程组，解方程组求出x，y的值，可得到原方程组的解.
9．解方程组
【答案】解： 原方程组可变成 ，
设x+y-1=，x-y+3=b，
∴
解之： ，
∴
解之：
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【分析】将方程组转化为 ，将x+y-1和x-y+3看着整体，设x+y-1=a，x-y+3=b，可得到关于a，b的方程组，解方程组求出a，b的值，然后代入所设的式子，建立关于x，y的方程组，解方程组求出x，y的值.
四、解答题
10．（2022八上·包头期末）阅读材料：善于思考的小明同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法．
解：把，看成一个整体，设，，
原方程组可化为，
解得，，
∴原方程组的解为，
请仿照小明同学的方法，用“整体换元”法解方程组
【答案】解：设，，原方程可化为 ，即，
②-①得，，
∴，
把代入②得，，
∴
∴
解得：．
【知识点】定义新运算；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】设，，原方程可化为，再利用加减消元法求解二元一次方程组即可。
11．把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫整体代换或换元思想，请根据上面的思想解决下面问题：
若关于x、y的方程组 的解是 ，求关于x，y的方程组 的解.
【答案】解：∵ ，
∴ ，
由题意知 解得
∴原方程组的解为
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【分析】将方程组转化为 ，利用第一个方程组的解可得到 ，然后解方程组求出x，y的值.
12．如果关于x，y的二元一次方程组 的解是 ，求关于x，y的方程组 的解.
【答案】解：∵二元一次方程组 的解是 ，
∴ ，解得 ，
∴所求方程组的解为
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【分析】对照两方程组，可知x+2y=7，x-2y=1，建立关于x，y的方程组，解方程组求出x，y的值.
13．请阅读下列材料，解答问题材料：解方程组 ，若设x+y=m，x-y=n，则原方程组可变形为 用加减消元法解得 ，所以 ，再解这个方程组得 ，由此可以看出，在上述解方程组的过程中，把某个式子看成个整体，用一个字母去代替它，我们把这种解方程组的方法叫做换元法.
问题：请你用上述方法解方程组
【答案】解：设x+y=m，x-y=n，
则原方程组可变形为 ，
用加减消元法，解得
∴
解得
∴原方程组的解为
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】将方程组中的x-y和x+y看着整体，利用换元法，设x+y=m，x-y=n，可得到关于m，n的方程组，解方程组求出m，n的值，然后回代，可得到关于x，y的方程组，解方程组求出x，y的值.
14．如果关于x，y的二元一次方程组 的解是 ，不求a，b的值，你能否求出x，y关于的二元一次方程组 的解？如果能，请求出方程组的解.
【答案】解：第二个方程组中的x+y与x-y相当于第一个方程组中的x，y，据此即可列方程组求解.
根据题意可得
解得
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【分析】将第二个方程组中的x+y与x-y看着整体，即相当于第一个方程组中的x，y，根据第一个方程组的解为 ， 可得到关于x，y的方程组，解方程组求出x，y的值，即可得到第二个方程组的解.
五、综合题
15．（2022八上·济南期中）阅读下列材料：
小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：解方程组，小明发现如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程：
令，．
原方程组化为，
解得，
把代入，，
得，
解得．
∴原方程组的解为．
请你参考小明同学的做法解方程组：
（1）
（2）
【答案】（1）解：令，，
方程组变形为，
解得，
所以，
解得
∴原方程组的解为．
（2）解：令
原方程组化为
解得，
把代入
得，
解得·
【知识点】定义新运算；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）参照题干中的计算方法令，，可得，再利用加减消元法法求出二元一次方程组的解即可；
（2）参照题干中的计算方法令，可得，再求解即可。
16．（2022七下·杭州期末）已知是二元一次方程组的解．
（1）求a，b的值．
（2）求方程组的解．
【答案】（1）解：把代入方程组得：
解得：
（2）解：由题意得：
解得：
∴方程组的解为
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）把代入方程组得出解方程组求出a，b的值，即可得出答案；
（2）把a，b的值代入方程组，得出，解方程组求出x，y的值，即可得出答案.
17．（2022七下·云阳期中）解方程组
解：设，
原方程组可以化为
解得
即：此种解方程组的方法叫换元法.
（1）运用上述方法解下列方程组；
（2）已知关于x，y的方程组的解为，求关于m、n的方程组的解.
【答案】（1）解：设，，
∴原方程组可变为：，
解这个方程组得，
即，
所以；
（2）解：由题意得，，
解得：.
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）观察方程组中含未知数的特点：可知设 ，， 可得到关于x，y的方程组，解方程组求出x，y的值，然后回代，可得到关于a，b的方程组，解方程组求出a，b的值.
（2）将m-2和n+3看着整体，可得到m-2=6，n+3=7，解方程求出m，n的值.
18．已知关于x，y的方程组 的解是
（1）若把x换成m，y换成n，得到的关于m，n的方程组为 ，则这个方程组的解是 .
（2）若把x换成2x，y换成3y，得到方程组 ，则 ，所以这个方程组的解是 .
（3）根据以上的方法解方程组
【答案】（1）
（2）；
（3）解：将方程组 ，变形为
∴ ，解得 ，
∴方程组 的解为
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【解答】（1）∵关于x，y的方程组 的解是 ，
若把x换成m，y换成n，得到的关于m，n的方程组为 ，则这个方程组的解是
故答案为：4，-6.
（2） 若把x换成2x，y换成3y，得到方程组 ，则 ，
解之：.
【分析】（1）利用已知方程组的解，将x换成m，y换成n，可得到m的值就是x的值；n的值就是y的值，即可得到关于m，n的方程组的解.
（2）若将x换成2x，y换成3y，可知x的值就是2x的值；y的值就是3y的值，由此可得到方程组的解.
（3）将方程组转化为，由此可推出，然后解方程组求出x，y的值.
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