（人教B版）高中数学必修5-1-1-2课后强化作业（含答案）

基 础 巩 固
一、选择题
1．在△ABC中，b＝5，c＝5，A＝30°，则a等于(　　)
A．5 B．4
C．3 D．10
[答案]　A
[解析]　由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA，
∴a2＝52＋(5)2－2×5×5×cos30°，
∴a2＝25，∴a＝5.
2．在△ABC中，已知a2＝b2＋c2＋bc，则角A等于(　　)
A. B.
C. D.或
[答案]　C
[解析]　∵a2＝b2＋c2＋bc，
∴cosA＝＝＝－，
又∵03．(2012～2013学年度山东平邑二中高二期中测试)在△ABC中，已知a＝1，b＝2，C＝60°，则边c等于(　　)
A. B.
C．3 D．4
[答案]　A
[解析]　由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC＝1＋4－2×1×2×cos60°＝1＋4－2×1×2×＝3，
∴c＝.
4．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若(a2＋c2－b2)tanB＝ac，则角B的值为(　　)
A. B.
C.或 D.或
[答案]　D
[解析]　依题意得，·tanB＝，
∴sinB＝，∴B＝或B＝，选D.
5．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c满足b2＝ac，且c＝2a，则cosB＝(　　)
A. B.
C. D.
[答案]　B
[解析]　由b2＝ac，又c＝2a，由余弦定理，得cosB＝＝＝.
6．(2013·天津理，6)在△ABC中，∠ABC＝，AB＝，BC＝3，则sin∠BAC＝(　　)
A. B.
C. D.
[答案]　C
[解析]　本题考查了余弦定理、正弦定理．
由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB×BC·cos，
∴AC2＝2＋9－2××3×＝5.∴AC＝.
由正弦定理，得＝，
∴sinA＝＝＝.
二、填空题
7．以4、5、6为边长的三角形一定是________三角形．(填：锐角、直角、钝角)
[答案]　锐角
[解析]　由题意可知长为6的边所对的内角最大，设这个最大角为α，则cosα＝＝>0，因此0°<α<90°.
8．在△ABC中，a＝3，c＝2，B＝150°，则b＝______.
[答案]　7
[解析]　b2＝a2＋c2－2accosB＝27＋4－12cos150°＝49.∴b＝7.
三、解答题
9．在△ABC中，A＋C＝2B，a＋c＝8，ac＝15，求b.
[解析]　解法一：在△ABC中，由A＋C＝2B，A＋B＋C＝180°，知B＝60°.
a＋c＝8，ac＝15，则a、c是方程x2－8x＋15＝0的两根．
解得a＝5，c＝3或a＝3，c＝5.
由余弦定理，得
b2＝a2＋c2－2accosB＝9＋25－2×3×5×＝19.
∴b＝.
解法二：在△ABC中，∵A＋C＝2B，A＋B＋C＝180°，
∴B＝60°.
由余弦定理，得
b2＝a2＋c2－2accosB＝(a＋c)2－2ac－2accosB
＝82－2×15－2×15×＝19.
∴b＝.
能 力 提 升
一、选择题
1．在△ABC中，AB＝3，BC＝，AC＝4，则AC边上的高为(　　)
A. B.
C. D．3
[答案]　B
[解析]　由余弦定理，可得cosA＝＝＝，所以sinA＝.则AC边上的高h＝ABsinA＝3×＝，故选B.
2．在△ABC中，∠B＝60°，b2＝ac，则这个三角形是(　　)
A．不等边三角形 B．等边三角形
C．等腰三角形 D．直角三角形
[答案]　B
[解析]　由余弦定理，得
cosB＝＝＝，
则(a－c)2＝0，∴a＝c，又∠B＝60°，
∴△ABC为等边三角形．
3．在△ABC中，三边长AB＝7，BC＝5，AC＝6，则·等于(　　)
A．19 B．－14
C．－18 D．－19
[答案]　D
[解析]　在△ABC中AB＝7，BC＝5，AC＝6，
则cosB＝＝.
又·＝||·||cos(π－B)
＝－||·||cosB
＝－7×5×＝－19.
4．△ABC的三内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，若p∥q，则C的大小为(　　)
A. B.
C. D.
[答案]　B
[解析]　∵p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，p∥q，
∴(a＋c)(c－a)－b(b－a)＝0，
即a2＋b2－c2＝ab.
由余弦定理，得cosC＝＝＝，
∵0二、填空题
5．在△ABC中，已知sinA:sinB:sinC＝4:5:6，则cosA:cosB:cosC＝________.
[答案]　12:9:2
[解析]　由正弦定理，得＝＝，得a:b:c＝sinA: sinB:sinC＝4:5:6，
令a＝4k，b＝5k，c＝6k(k>0)，
由余弦定理，得
cosA＝＝，
同理可得cosB＝，cosC＝，
故cosA:cosB:cosC＝::＝12:9:2.
6．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1，D是边BC上一点，DC＝2BD，则·＝________.
[答案]　－
[解析]　由余弦定理，得
BC2＝22＋12－2×2×1×(－)＝7，∴BC＝，
∴cosB＝＝.
∴·＝(＋)·
＝·＋·
＝－2××＋××1＝－.
三、解答题
7．在△ABC中，已知sinC＝，a＝2，b＝2，求边c.
[解析]　∵sinC＝，且0当C＝时，cosC＝，
此时，c2＝a2＋b2－2abcosC＝4，即c＝2.
当C＝时，cosC＝－，
此时，c2＝a2＋b2－2abcosC＝28，即c＝2.
8．已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB＝2，BC＝6，CD＝DA＝4，求四边形ABCD的面积．
[解析]　如图，连结AC.
∵B＋D＝180°，∴sinB＝sinD.
S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝AB·BC·sinB＋AD·DC·sinD＝14sinB.
由余弦定理，得AB2＋BC2－2AB·BC·cosB＝AD2＋DC2－2AD·DC·cosD，
即40－24cosB＝32－32cosD.
又cosB＝－cosD，
∴56cosB＝8，cosB＝.
∵0°∴S四边形ABCD＝14sinB＝8.
9．(2013·山东理，17)设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a＋c＝6，b＝2，cosB＝.
(1)求a、c的值；
(2)求sin(A－B)的值．
[解析]　(1)由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB得，b2＝(a＋c)2－2ac(1＋cosB)，
又已知a＋c＝6，b＝2，cosB＝，∴ac＝9.
由a＋c＝6，ac＝9，解得a＝3，c＝3.
(2)在△ABC中，∵cosB＝，
∴sinB＝＝.
由正弦定理，得sinA＝＝，
∵a＝c，∴A为锐角，∴cosA＝＝.
∴sin(A－B)＝sinAcosB－cosAsinB＝.