人教版七年级下数学疑难点专题专练——8.4三元一次方程组之知道两个方程求三个未知数的关系
一、单选题
1.(2022七下·侯马期末)6月18日,最开始是京东的周年庆,2013年后,618就成了各大电商平台的网购节了.在618当日,小梦在某电商平台上选择了甲乙丙三种商品,当购物车内选3件甲,2件乙,1件丙时显示价格为420元;当选2件甲,3件乙,4件丙时显示价格为580元,那么购买甲、乙、丙各两件时应该付款( )
A.200元 B.400元 C.500元 D.600元
【答案】B
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解:设甲、乙、丙三种商品的单价分别为x元、y元、z元,
由题意可得方程组,
①+②可得,
∴,
故购买甲、乙、丙各两件时应该付款400元;
故答案为:B.
【分析】设甲、乙、丙三种商品的单价分别为x元、y元、z元,根据题意列出方程组求解即可。
2.(2021七下·东阳期末)已知买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元,买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元,则购买10支铅笔、10块橡皮与10本日记本共需( )元
A.16 B.60 C.30 D.66
【答案】B
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解:设铅笔单价为x元,橡皮的单价为y元,日记本的单价为z元,
由题意得:,
由①×2-②得:x+y+z=6,
∴10x+10y+10z=10×6=60,
即购买10支铅笔、10块橡皮与10本日记本共需60元.
故答案为:B.
【分析】设铅笔单价为x元,橡皮的单价为y元,日记本的单价为z元,根据买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元可得20x+3y+2z=32;根据买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元可得39x+5y+3z=58,利用第一个方程的2倍减去第二个方程可得x+y+z的值,据此解答.
3.(2021七下·遂宁期末)若 , ,则x+y+z的值等于( )
A.0 B.2 C.1 D.无法求出
【答案】C
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解:两式相加得:5x+5y+5z=5
两边同除以5,得x+y+z=1
故答案为:C.
【分析】将两个式子相加,然后除以5即可得到x+y+z的值.
4.(2021七下·长寿期末)若实数 满足 ,则 ( )
A. B. C. D.不能确定值
【答案】A
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】
①×3得: ③,
②×2得: ④,
③-④得: =-3,
故答案为:A.
【分析】观察两个方程系数的特点,利用①×3-②×2,可求出x+y+6z的值.
5.(2018七下·邵阳期中)已知 (xyz≠0),则x:y:z的值为( )
A.1:2:3 B.3:2:1 C.2:1:3 D.不能确定
【答案】A
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解: ,
①-②×4得-5y-16y+2z+12z=0,
解得y= z,
把y= z代入②得x+ z-3z=0,
解得x= z,
所以x:y:z= z: z:z=1:2:3.
故答案为:A.
【分析】把原方程组看作为关于x、y的二元一次方程组,先利用加减消元法解得y= z,再利用代入消元法解得x= z,然后计算x:y:z.
6.有甲、乙、丙三种货物,若购买甲3件,乙7件,丙1件,共需63元,若购甲4件,乙10件,丙1件共需84元.现在购买甲、乙、丙各一件,共需( )元.
A.21 B.23 C.25 D.27
【答案】A
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】解:设购买甲、乙、丙各一件分别需要x,y,z元,
由题意得,
②﹣①得x+3y=21,
代入①得x+y+2(x+3y)+z=63,
即x+y+z+2×21=63,
∴x+y+z=63﹣42=21.
故选A.
【分析】设购买甲、乙、丙各一件分别需要x,y,z元,列出方程组,消去z后,得到x+3y的值,再代入①,即可求得x+y+z的值,也即购买甲、乙、丙各一件的共需钱数.
二、填空题
7.(2022七下·十堰期中)小华和小慧到校门外文具店买文件,小华购铅笔2支,练习本2本,圆珠笔1支,共付9元钱;小慧购同样铅笔1支,练习本4本,圆珠笔2支,共付12元钱,若小明去买与她们一样的购铅笔1支、练习本2本、圆珠笔1支,他需付 元钱.
【答案】7
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解:设购一支铅笔,一本练习本,一支圆珠笔分别需要x,y,z元,
根据题意得,
由①+②得,
整理得,
所以购铅笔1支、练习本2本、圆珠笔1支需要7元钱.
故答案为:7.
【分析】先假设购一支铅笔,一本练习本,一支圆珠笔分别需要x,y,z元,根据“购铅笔2支,练习本2本,圆珠笔1支,共付9元钱; 购同样铅笔1支,练习本4本,圆珠笔2支,共付12元钱 ”,就可以列出2个方程,再将两方程相加即可得出结论.
8.(2020七下·南召期中)已知 满足: ,则a∶b∶c等于 .
【答案】1∶2∶1
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解:
所以①×2-②,得b=2c.
将b=2c代入①,得a-4c+3c=0,
∴a=c.
∴a∶b∶c=c∶2c∶c=1∶2∶1.
故答案为:1∶2∶1.
【分析】利用加减法,求出用c表示的a、b,再进一步代入求出比值即可.
9.(2020七下·乌鲁木齐期中)六一儿童节将至,孩子王儿童商店推出甲、乙、丙三种特价玩具,若购甲3件,乙2件,丙1件需要400元;购甲1件,乙2件,丙3件需要440元,则购买甲乙丙三种玩具各一件需要 元.
【答案】210
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解:设甲玩具的单价为x元,乙玩具的单价为y元,丙玩具的单价为z元,
依题意,得: ,
(①+②)÷4,得:x+y+z=210.
故答案为:210.
【分析】设甲玩具的单价为x元,乙玩具的单价为y元,丙玩具的单价为z元,根据“购甲3件,乙2件,丙1件需400元:购甲1件,乙2件,丙3件需440元”,即可得出关于x,y,z的三元一次方程组,再利用(①+②)÷4,即可求出结论.
10.(2020七下·奉化期中)已知 ,则 .
【答案】7
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解:
方程②×2,得4x+10y+8z=30 ③,
方程③-①,得3x+3y-3z=21 ④,
方程④÷3,得,x+y-z=7.
故答案为:7.
【分析】将方程②×2-①,得3x+3y-3z=21,方程两边同时除以3即可求解.
11.(2019七下·如皋期中)已知 x+2y﹣3z=0,2x+3y+5z=0( ),则 = .
【答案】
【知识点】分式的值;三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解:由题意得: ,
①×2-②得y=11z,
代入①得x=-19z,
原式= .
故答案为: .
【分析】①×2-②消去x,用含z的式子表示出y,将y的式子代入①消去y,用含z的式子表示出X,进而将x,y的式子代入代数式,即可解决问题.
12.(2019七下·港南期中)有甲,乙,丙三种笔,已知买甲种笔2支和乙种1支,丙种3支共12.5元,买甲种笔1支,乙种,4支,丙种5支,共18.5元,那么买甲种笔1支和乙种2支,丙种3支共需 元.
【答案】11.5
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】设买1支甲,乙,丙三种笔各a,b,c元.由题意得:
由②×2-①得:b+c=3.5 ③,
由③代入①得:a+c=4.5 ④,
由④+2×③得:a+2b+3c=11.5.
故答案是:11.5.
【分析】设买1支甲,乙,丙三种笔各a,b,c元. 根据
买甲种笔2支和乙种1支,丙种3支共12.5元列出方程2a+3c+b=12.5;根据买种笔1支,乙种,4支,丙种5支,共18.5元列出方程a+4b+5c=18.5.利用加减消元求出a+c,b+c的值,将其变形再相加即可求出a+2b+3c的值.
13.(2019七下·长春月考)若 ,那么代数式 .
【答案】3
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】根据题意,得
由 (2)- (1),得
故答案为:3.
【分析】观察所给方程,两个方程相减即可求解.
14.已知 ,则 = .
【答案】
【知识点】代数式求值;三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解: ,
①×7﹣②×6得:2x﹣3y=0,
解得:x= y,
①×2+②×3得:11x﹣33z=0
解得:x=3z,
∵x= y,x=3z,
∴y=2z,
∴ = = = .
【分析】已知方程组中,两个方程三个未知数,因此利用加减消元法,将三元一次方程组转化为二元一次方程组,用含y的代数式分别表示出x、z,再代入求值即可。
15.若4x﹣3y﹣6z=0,x+2y﹣7z=0(xyz≠0),则 的值等于 .
【答案】﹣13
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解:∵4x﹣3y﹣6z=0,
∴x= y+ z,
又∵x+2y﹣7z=0,
∴x=7z﹣2y,
∴7z﹣2y= y+ z,
解得y=2z,
把它代入x=7z﹣2y,
∴x=3z,
∴ = =﹣13,
【分析】把4x﹣3y﹣6z=0和x+2y﹣7z=0化为x=几z,y=几z,然后把它代入到所求的式子中,直接把三元化为一元。
16.有铅笔、练习本、圆珠笔三种学习用品,若购铅笔3支,练习本7本,圆珠笔1支共需3.15元;若购铅笔4支,练习本10本,圆珠笔1支共需4.2元,那么,购铅笔、练习本、圆珠笔各1件共需 元.
【答案】1.05
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解:设购一支铅笔,一本练习本,一支圆珠笔分别需要x,y,z元,
根据题意得:,
②﹣①得:x+3y=1.05,
∴3x+9y=3.15③
②﹣③得:x+y+z=1.05.
故答案为:1.05.
【分析】等量关系为:3×铅笔的单价+7×练习本的单价+1×圆珠笔的单价=3.15;4×铅笔的单价+10×练习本的单价+1×圆珠笔的单价=4.2,把两个方程相减后乘3,再让第2个方程减去得到的方程可得购铅笔、练习本、圆珠笔各1件共需的钱数.
三、计算题
17.(2017七下·大同期末)已知x,y,z都不为零,且满足4x-3y-6z=0,x+2y-7z=0.求 的值.
【答案】解:由 ,解得 ,
∵x,y,z都不为零,
∴ =
【知识点】代数式求值;三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】先根据题意用含有z的式子来表示x、y,然后代入 即可得.
18.已知 ,xyz≠0,求 的值.
【答案】解: ,
整理得 ,
解得x= ,
代入 = = =
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】首先把三元一次方程组化为关于x、y的二元一次方程组,把x、y用z表示,进一步代入代数式求得数值即可.
四、解答题
19.(2017七下·大同期末)已知x,y,z都不为零,且满足4x-3y-6z=0,x+2y-7z=0.求 的值.
【答案】解:由 ,解得 ,
∵x,y,z都不为零,
∴ = .
【知识点】分式的值;三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】对于本题涉及到三元一次方程组的解答,首先将z看成已知数,解出含有z表示的关于x和y的不等式的解,再将含z表示的x和y的值代入所求的代数式中进行化简.
五、应用题
20.已知实数x、y、z满足 ,试求 的值.
【答案】解:∵实数x、y、z满足 ,
∴x= y,z= y,
将x= y,z= y代入 可得:
=
=
【知识点】分式的值;三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解:∵实数x、y、z满足 ,
∴x= y,z= y,
将x= y,z= y代入 可得:
=
= .
【分析】先根据x、y、z满足 ,求出:x= y,z= y,然后代入求值即可.
1 / 1人教版七年级下数学疑难点专题专练——8.4三元一次方程组之知道两个方程求三个未知数的关系
一、单选题
1.(2022七下·侯马期末)6月18日,最开始是京东的周年庆,2013年后,618就成了各大电商平台的网购节了.在618当日,小梦在某电商平台上选择了甲乙丙三种商品,当购物车内选3件甲,2件乙,1件丙时显示价格为420元;当选2件甲,3件乙,4件丙时显示价格为580元,那么购买甲、乙、丙各两件时应该付款( )
A.200元 B.400元 C.500元 D.600元
2.(2021七下·东阳期末)已知买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元,买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元,则购买10支铅笔、10块橡皮与10本日记本共需( )元
A.16 B.60 C.30 D.66
3.(2021七下·遂宁期末)若 , ,则x+y+z的值等于( )
A.0 B.2 C.1 D.无法求出
4.(2021七下·长寿期末)若实数 满足 ,则 ( )
A. B. C. D.不能确定值
5.(2018七下·邵阳期中)已知 (xyz≠0),则x:y:z的值为( )
A.1:2:3 B.3:2:1 C.2:1:3 D.不能确定
6.有甲、乙、丙三种货物,若购买甲3件,乙7件,丙1件,共需63元,若购甲4件,乙10件,丙1件共需84元.现在购买甲、乙、丙各一件,共需( )元.
A.21 B.23 C.25 D.27
二、填空题
7.(2022七下·十堰期中)小华和小慧到校门外文具店买文件,小华购铅笔2支,练习本2本,圆珠笔1支,共付9元钱;小慧购同样铅笔1支,练习本4本,圆珠笔2支,共付12元钱,若小明去买与她们一样的购铅笔1支、练习本2本、圆珠笔1支,他需付 元钱.
8.(2020七下·南召期中)已知 满足: ,则a∶b∶c等于 .
9.(2020七下·乌鲁木齐期中)六一儿童节将至,孩子王儿童商店推出甲、乙、丙三种特价玩具,若购甲3件,乙2件,丙1件需要400元;购甲1件,乙2件,丙3件需要440元,则购买甲乙丙三种玩具各一件需要 元.
10.(2020七下·奉化期中)已知 ,则 .
11.(2019七下·如皋期中)已知 x+2y﹣3z=0,2x+3y+5z=0( ),则 = .
12.(2019七下·港南期中)有甲,乙,丙三种笔,已知买甲种笔2支和乙种1支,丙种3支共12.5元,买甲种笔1支,乙种,4支,丙种5支,共18.5元,那么买甲种笔1支和乙种2支,丙种3支共需 元.
13.(2019七下·长春月考)若 ,那么代数式 .
14.已知 ,则 = .
15.若4x﹣3y﹣6z=0,x+2y﹣7z=0(xyz≠0),则 的值等于 .
16.有铅笔、练习本、圆珠笔三种学习用品,若购铅笔3支,练习本7本,圆珠笔1支共需3.15元;若购铅笔4支,练习本10本,圆珠笔1支共需4.2元,那么,购铅笔、练习本、圆珠笔各1件共需 元.
三、计算题
17.(2017七下·大同期末)已知x,y,z都不为零,且满足4x-3y-6z=0,x+2y-7z=0.求 的值.
18.已知 ,xyz≠0,求 的值.
四、解答题
19.(2017七下·大同期末)已知x,y,z都不为零,且满足4x-3y-6z=0,x+2y-7z=0.求 的值.
五、应用题
20.已知实数x、y、z满足 ,试求 的值.
答案解析部分
1.【答案】B
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解:设甲、乙、丙三种商品的单价分别为x元、y元、z元,
由题意可得方程组,
①+②可得,
∴,
故购买甲、乙、丙各两件时应该付款400元;
故答案为:B.
【分析】设甲、乙、丙三种商品的单价分别为x元、y元、z元,根据题意列出方程组求解即可。
2.【答案】B
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解:设铅笔单价为x元,橡皮的单价为y元,日记本的单价为z元,
由题意得:,
由①×2-②得:x+y+z=6,
∴10x+10y+10z=10×6=60,
即购买10支铅笔、10块橡皮与10本日记本共需60元.
故答案为:B.
【分析】设铅笔单价为x元,橡皮的单价为y元,日记本的单价为z元,根据买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元可得20x+3y+2z=32;根据买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元可得39x+5y+3z=58,利用第一个方程的2倍减去第二个方程可得x+y+z的值,据此解答.
3.【答案】C
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解:两式相加得:5x+5y+5z=5
两边同除以5,得x+y+z=1
故答案为:C.
【分析】将两个式子相加,然后除以5即可得到x+y+z的值.
4.【答案】A
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】
①×3得: ③,
②×2得: ④,
③-④得: =-3,
故答案为:A.
【分析】观察两个方程系数的特点,利用①×3-②×2,可求出x+y+6z的值.
5.【答案】A
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解: ,
①-②×4得-5y-16y+2z+12z=0,
解得y= z,
把y= z代入②得x+ z-3z=0,
解得x= z,
所以x:y:z= z: z:z=1:2:3.
故答案为:A.
【分析】把原方程组看作为关于x、y的二元一次方程组,先利用加减消元法解得y= z,再利用代入消元法解得x= z,然后计算x:y:z.
6.【答案】A
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】解:设购买甲、乙、丙各一件分别需要x,y,z元,
由题意得,
②﹣①得x+3y=21,
代入①得x+y+2(x+3y)+z=63,
即x+y+z+2×21=63,
∴x+y+z=63﹣42=21.
故选A.
【分析】设购买甲、乙、丙各一件分别需要x,y,z元,列出方程组,消去z后,得到x+3y的值,再代入①,即可求得x+y+z的值,也即购买甲、乙、丙各一件的共需钱数.
7.【答案】7
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解:设购一支铅笔,一本练习本,一支圆珠笔分别需要x,y,z元,
根据题意得,
由①+②得,
整理得,
所以购铅笔1支、练习本2本、圆珠笔1支需要7元钱.
故答案为:7.
【分析】先假设购一支铅笔,一本练习本,一支圆珠笔分别需要x,y,z元,根据“购铅笔2支,练习本2本,圆珠笔1支,共付9元钱; 购同样铅笔1支,练习本4本,圆珠笔2支,共付12元钱 ”,就可以列出2个方程,再将两方程相加即可得出结论.
8.【答案】1∶2∶1
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解:
所以①×2-②,得b=2c.
将b=2c代入①,得a-4c+3c=0,
∴a=c.
∴a∶b∶c=c∶2c∶c=1∶2∶1.
故答案为:1∶2∶1.
【分析】利用加减法,求出用c表示的a、b,再进一步代入求出比值即可.
9.【答案】210
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解:设甲玩具的单价为x元,乙玩具的单价为y元,丙玩具的单价为z元,
依题意,得: ,
(①+②)÷4,得:x+y+z=210.
故答案为:210.
【分析】设甲玩具的单价为x元,乙玩具的单价为y元,丙玩具的单价为z元,根据“购甲3件,乙2件,丙1件需400元:购甲1件,乙2件,丙3件需440元”,即可得出关于x,y,z的三元一次方程组,再利用(①+②)÷4,即可求出结论.
10.【答案】7
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解:
方程②×2,得4x+10y+8z=30 ③,
方程③-①,得3x+3y-3z=21 ④,
方程④÷3,得,x+y-z=7.
故答案为:7.
【分析】将方程②×2-①,得3x+3y-3z=21,方程两边同时除以3即可求解.
11.【答案】
【知识点】分式的值;三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解:由题意得: ,
①×2-②得y=11z,
代入①得x=-19z,
原式= .
故答案为: .
【分析】①×2-②消去x,用含z的式子表示出y,将y的式子代入①消去y,用含z的式子表示出X,进而将x,y的式子代入代数式,即可解决问题.
12.【答案】11.5
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】设买1支甲,乙,丙三种笔各a,b,c元.由题意得:
由②×2-①得:b+c=3.5 ③,
由③代入①得:a+c=4.5 ④,
由④+2×③得:a+2b+3c=11.5.
故答案是:11.5.
【分析】设买1支甲,乙,丙三种笔各a,b,c元. 根据
买甲种笔2支和乙种1支,丙种3支共12.5元列出方程2a+3c+b=12.5;根据买种笔1支,乙种,4支,丙种5支,共18.5元列出方程a+4b+5c=18.5.利用加减消元求出a+c,b+c的值,将其变形再相加即可求出a+2b+3c的值.
13.【答案】3
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】根据题意,得
由 (2)- (1),得
故答案为:3.
【分析】观察所给方程,两个方程相减即可求解.
14.【答案】
【知识点】代数式求值;三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解: ,
①×7﹣②×6得:2x﹣3y=0,
解得:x= y,
①×2+②×3得:11x﹣33z=0
解得:x=3z,
∵x= y,x=3z,
∴y=2z,
∴ = = = .
【分析】已知方程组中,两个方程三个未知数,因此利用加减消元法,将三元一次方程组转化为二元一次方程组,用含y的代数式分别表示出x、z,再代入求值即可。
15.【答案】﹣13
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解:∵4x﹣3y﹣6z=0,
∴x= y+ z,
又∵x+2y﹣7z=0,
∴x=7z﹣2y,
∴7z﹣2y= y+ z,
解得y=2z,
把它代入x=7z﹣2y,
∴x=3z,
∴ = =﹣13,
【分析】把4x﹣3y﹣6z=0和x+2y﹣7z=0化为x=几z,y=几z,然后把它代入到所求的式子中,直接把三元化为一元。
16.【答案】1.05
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解:设购一支铅笔,一本练习本,一支圆珠笔分别需要x,y,z元,
根据题意得:,
②﹣①得:x+3y=1.05,
∴3x+9y=3.15③
②﹣③得:x+y+z=1.05.
故答案为:1.05.
【分析】等量关系为:3×铅笔的单价+7×练习本的单价+1×圆珠笔的单价=3.15;4×铅笔的单价+10×练习本的单价+1×圆珠笔的单价=4.2,把两个方程相减后乘3,再让第2个方程减去得到的方程可得购铅笔、练习本、圆珠笔各1件共需的钱数.
17.【答案】解:由 ,解得 ,
∵x,y,z都不为零,
∴ =
【知识点】代数式求值;三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】先根据题意用含有z的式子来表示x、y,然后代入 即可得.
18.【答案】解: ,
整理得 ,
解得x= ,
代入 = = =
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】首先把三元一次方程组化为关于x、y的二元一次方程组,把x、y用z表示,进一步代入代数式求得数值即可.
19.【答案】解:由 ,解得 ,
∵x,y,z都不为零,
∴ = .
【知识点】分式的值;三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】对于本题涉及到三元一次方程组的解答,首先将z看成已知数,解出含有z表示的关于x和y的不等式的解,再将含z表示的x和y的值代入所求的代数式中进行化简.
20.【答案】解:∵实数x、y、z满足 ,
∴x= y,z= y,
将x= y,z= y代入 可得:
=
=
【知识点】分式的值;三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解:∵实数x、y、z满足 ,
∴x= y,z= y,
将x= y,z= y代入 可得:
=
= .
【分析】先根据x、y、z满足 ,求出:x= y,z= y,然后代入求值即可.
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