人教版七年级下数学疑难点专题专练——5.2平行线及其证明
一、单选题
1．（2022七下·喀什期末）如图，下列条件中，不能判断直线的是（ ）
A．∠1=∠2 B．∠3=∠4
C．∠4=∠6 D．∠2＋∠5=180°
【答案】C
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：∵∠1=∠2，
∴l1l2，
故A不符合题意；
∵∠3=∠4
∴l1l2，
故B不符合题意；
∠4与∠6不是两条直线被第三条直线所截形成的角，所以即使∠4=∠6，也不能判定l1l2，
故C符合题意；
∵∠2＋∠5=180°，
∴l1l2，
故D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】平行线的判定：（1）内错角相等，两直线平行；（2）同位角相等，两直线平行；（3）同旁内角互补，两直线平行，据此一一判断得出答案.
2．（2022八上·奉贤期中）如图，下列推论正确的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A、，
∴（内错角相等，两直线平行），不符合题意；
B、，
∴（同位角相等，两直线平行），不符合题意；
C、由无法得到，不符合题意；
D、，
∴（同位角相等，两直线平行），符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用平行线的判定方法逐项判断即可。
3．（2021七上·东坡期末）如图所示，给出下列条件：①∠1＝∠B；②∠EFD＋∠B＝180°；③∠B＝∠D；④∠E＝∠B；⑤∠BFD＝∠B．其中，一定能判断AB∥CD的条件的个数为（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：①当∠1＝∠B时，根据同位角相等，两直线平行可得AB∥CD，故①符合题意；
②当∠EFD＋∠B＝180°时，
∵∠BFC＝∠EFD，
∴∠BFC＋∠B＝180°，
∴根据同旁内角互补，两直线平行，可得AB∥CD，故②符合题意；
③∠B与∠D不是两条直线被第三条直线所截形成的角，故当∠B＝∠D时，无法判断AB∥CD，故③不符合题意；
④当∠E＝∠B时，根据内错角相等，两直线平行，可得AB∥DE，但无法判断AB∥CD，故④不符合题意；
⑤当∠BFD＝∠B时，根据内错角相等，两直线平行得AB∥CD，故⑤符合题意．
则符合题意的有①②⑤，共3个.
故答案为：B.
【分析】平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，据此判断.
4．（2022七下·定州月考）如图，木条a、b、c用螺丝固定在木板上且，将木条a、木条b、木条c看作是在同一平面内的三条直线、、，若使直线、直线达到平行的位置关系，则下列描述正确的是（ ）
A．木条a、c固定不动，木条b绕点E顺时针旋转
B．木条a、c固定不动，木条b绕点E逆时针旋转
C．木条b、c固定不动，木条a绕点B逆时针旋转
D．木条b、c固定不动，木条a绕点B顺时针旋转
【答案】B
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A、木条a、c固定不动，木条b绕点E顺时针旋转20°，∠DEM＝90°≠∠ABM，该选项不符合题意；
B、木条a、c固定不动，木条b绕点E逆时针旋转20°，∠DEM＝50°＝∠ABM，∴AC∥BD，该选项符合题意；
C、木条b、c固定不动，木条a绕点B逆时针旋转20°，∠ABM＝30°≠∠DEM，该选项不符合题意；
D、木条b、c固定不动．木条a绕点B顺时针旋转50°，∠ABM＝100°≠∠DEM，该选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用平行线的性质求解即可。
5．（2022七下·定州月考）如图所示的四种沿AB进行折叠的方法中，不一定能判断纸带两条边a，b互相平行的是（ ）
A．如图1，展开后测得∠1=∠2
B．如图2，展开后测得∠1=∠2且∠3=∠4
C．如图3，测得∠1=∠2
D．在图4中，展开后测得∠1+∠2=180°
【答案】C
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】A、 当∠1=∠2时，内错角相等，两直线平行，所以；
B、由∠1=∠2且∠3=∠4可得∠1=∠2=∠3=∠4=90 ，所以；
C、∠1=∠2不能判定a，b互相平行；
D、∠1+∠2=180°时，同旁内角互补，两直线平行，所以．
故答案为：C．
【分析】利用平行线的判定方法求解即可。
6．一副直角三角尺叠放如图1所示，现将含
角的三角尺ADE固定不动，将含
角的三角尺ABC绕顶点
顺时针转动，使两块三角尺至少有一组边互相平行，如图2，当
时，
，则
)其他所有可能符合条件的度数为（ ）
A． 和
B． 和
C． 和
D．以上都有可能
【答案】B
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：如图1，
①当AC//DE时，∠BAD=∠DAE=45°；
如图2，
②当BC//AD时，∠DAB=∠B=60°；
如图3，
③当BC//AE时，
∵∠EAB-∠B=60°，
∴∠BAD=∠DAE+∠EAB=45°+60°=105°；
如图4，
④当AB//DE时，
∵∠E=∠EAB=90°
∴∠BAD=∠DAE+∠EAB=45°+90°=135°.
故答案为：B.
【分析】根据题意可分四种情况，并画出图形进行讨论：①当AC//DE时，∠BAD=∠DAE=45°；②当BC//AD时，∠DAB=∠B=60°；③当BC//AE时，∠EAB-∠B=60°，可得∠BAD=∠DAE+∠EAB=45°+60°=105°；④当AB//DE时，∠E=∠EAB=90°，可得∠BAD=∠DAE+∠EAB=45°+90°=135°，据此判断即可.
7．（2021七上·阳城期末）为了检验一条纸带的两条边线是否平行，小明沿折叠后，如图，测量得到：①；②；③；④．其中能够判定两条边线、互相平行的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：
∴ 故①符合题意；
∵
∴ 不能得到 故②不符合题意；
∵
∴
由折叠可得：
∴
∴，故③符合题意；
∴ 不能得到 故④不符合题意；
故答案为：B
【分析】根据平行线的判定方法逐项判断即可。
二、填空题
8．（2022·信都模拟）为增强学生体质，某学校将“抖空竹”引入阳光体育一小时活动．图1是一位同学抖空竹时的一个瞬间，数学老师把它抽象成图2的数学问题：已知AB∥CD，∠EAB=80°，∠ECD=110°．求∠AEC的度数．小明在解决过程中，过E点作EF∥CD，则可以得到EF∥AB，其理由是 ，根据这个思路可得∠AEC= °．
【答案】平行于同一直线的两直线平行；30
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】解：过E点作EF∥CD，
∵AB∥CD，
∴EF∥AB（平行于同一直线的两直线平行），
∴∠EAB+∠AEF=180°，
∵EF∥CD，
∴∠CEF+∠ECD=180°，
∵∠EAB=80°，∠ECD=110°，
∴∠AEF=100°，∠CEF=70°，
∴∠AEC=∠AEF-∠CEF=30°．
故答案为：平行于同一直线的两直线平行；30．
【分析】根据平行公理推论得到EF//AB，再根据平行线的性质求解即可。
三、解答题
9．（2022八上·河南开学考）如图，直线EF分别与直线AB，CD相交于点P和点Q，PG平分∠APQ，QH平分∠DQP，并且∠1＝∠2，说出图中哪些直线平行，并说明理由．
【答案】解：AB∥CD，PG∥QH，
理由：∵PG平分∠APQ，QH平分∠DQP，
∵∠1=∠2，
∴∠GPQ=∠PQH，∠APQ=∠PQD，
∴AB∥CD，PG∥QH.
【知识点】平行线的判定；角平分线的定义
【解析】【分析】 AB∥CD，PG∥QH，理由：由角平分线的定义可得∠1=∠GPQ=∠APQ，∠2=∠PQH=∠EQD，由∠1=∠2可得∠GPQ=∠PQH，∠APQ=∠PQD， 根据平行线的判定即得结论.
10．（2022七下·大安期末）如图AF 与BD相交于点C，∠B=∠ACB， 且CD平分∠ECF．求证： ．
请完成下列推理过程：
证明：∵CD 平分∠ECF
∴∠ECD= ▲ （ ）
∵∠ACB=∠FCD( ）
∴∠ECD=∠ACB( ）
∵∠B=∠ACB
∴∠B=∠▲（ ）
∴ （ ）．
【答案】证明：∵CD平分∠ECF
∴∠ECD∠FCD(角平分线的定义)
∵∠ACB∠FCD(对顶角相等)
∴∠ECD∠ACB(等量代换)
∵∠B=∠ACB
∴∠B=∠ECD( 等量代换)
∴(同位角相等，两直线平行) ．
【知识点】平行线的判定
【解析】【分析】利用角平分线的定义，平行线的判定方法证明即可。
11．（2022七下·宁远期末）完成下面的证明：如图，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠α+∠β＝90°，求证：AB∥CD．
完成推理过程：
BE平分∠ABD（已知），
∴∠ABD＝2∠α（ ）．
∵DE平分∠BDC（已知），
∴∠BDC＝2∠β（ ）
∴∠ABD+∠BDC＝2∠α+2∠β＝2（∠α+∠β）（ ）
∵∠α+∠β＝90°（已知），
∴∠ABD+∠BDC＝180°（ ）．
∴AB∥CD（ ）．
【答案】解： BE平分∠ABD（已知），
∴∠ABD=2∠α（角平分线的定义）．
∵DE平分∠BDC（已知），
∴∠BDC=2∠β （角平分线的定义）
∴∠ABD+∠BDC=2∠α+2∠β=2（∠α+∠β）（等量代换）
∵∠α+∠β=90°（已知），
∴∠ABD+∠BDC=180°（等量代换）．
∴AB∥CD（同旁内角互补两直线平行）．
故答案为角平分线的定义，角平分线的定义，等量代换，等量代换，同旁内角互补两直线平行．
【知识点】平行线的判定；角平分线的定义
【解析】【分析】根据角平分线的概念可得∠ABD=2∠α，∠BDC=2∠β，则∠ABD+∠BDC=2(∠α+∠β)，结合已知条件可得∠ABD+∠BDC=180°，然后根据同旁内角互补，两直线平行，进行证明.
12．（2022七下·郯城期中）完成下面推理填空：
如图，E，F分别在AB和CD上，，与互余，于G．
求证：．
证明：∵，∴（ ），
∵（已知），∴ ▲ ▲ （ ），
∴（ ），
∵（平角的定义），∴．
∵与互余（已知），∴（互余的定义），
∴（ ），∴（ ）．
【答案】证明：∵
∴（垂直的定义）
∵（已知）
∴（同位角相等，两直线平行）
∴（两直线平行，同位角相等）
∵（平角的定义）
∴．
∵与互余（已知）
∴（互余的定义），
∴（同角的余角相等）
∴（内错角相等，两直线平行）．
【知识点】平行线的判定
【解析】【分析】根据平行线的判定和性质求解即可。
13．（2022七下·赵县月考）把下面的说理过程补充完整：
已知，如图，直线AB，CD被直线EF所截，点H为CD与EF的交点，GH⊥CD于点H，∠2＝30°，∠1＝60°．试说明：．
解：∵GH⊥CD（ ），
∴∠CHG＝90°（ ）．
又∵∠2＝30°（ ），
∴∠3＝（ ）．
∴∠4＝60°（ ）．
又∵∠1＝60°（ ），
∴∠1＝∠4（ ）．
∴（ ）．
【答案】解：∵GH⊥CD（已知），
∴∠CHG＝90°（垂直定义）．
又∵∠2＝30°（已知），
∴∠3＝60°．
∴∠4＝60°（对顶角相等）．
又∵∠1＝60°（已知），
∴∠1＝∠4（等量代换）．
∴（同位角相等，两直线平行）．
【知识点】平行线的判定
【解析】【分析】利用平行线的判定方法求解即可。
14．（2022七下·浦北月考）如图，，，.问吗？为什么？
【答案】解：平行，理由如下：∵∠ACD=360°-90°-136°=134°，∠BAC=180°-46°=134°
∴ ∠ACD=∠BAC
∴（内错角相等，两直线平行 ）
【知识点】角的运算；平行线的判定
【解析】【分析】根据周角的定义可得∠ACD=360°-∠DCE-∠ACE=134°，根据邻补角的性质可得∠BAC=180°-∠BAF=134°，则∠ACD=∠BAC，然后根据内错角相等，两直线平行进行证明.
15．（2021八上·胶州期末）已知：如图．在△ABC中．点D，E，F分到在边AB，AC，BC上，CD与EF相交于点H，且∠BDC+∠DHF＝180°．∠DEF=∠B，求证：DE∥BC．
【答案】证明：∵∠BDC+∠DHF＝180°．
∴，
∴∠B=∠EFC，
∵∠DEF=∠B，
∴∠EFC=∠DEF，
∴．
【知识点】平行线的判定
【解析】【分析】根据同旁内角互补两直线平行得出，根据两直线平行同位角相等得出∠B=∠EFC，再根据∠DEF=∠B，等量代换得出∠EFC=∠DEF，再根据内错角相等两直线平行得出．
四、综合题
16．（2022七下·攸县期末）三角板是学习数学的重要工具 ，将一副三角板的直角顶点 C 按如图所示的方式叠放在一起， 当 时 ，且点 E 在直线AC 的上方时， 解决下列问题∶ （友情提示 ∶ ∠A=60°，∠D=30°，∠B=∠E=45°）
（1）①若 ∠DCE=45°，求∠ACB；
②若∠ACB=140°，求∠DCE ；
（2）由（1）猜想 ∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由；
（3）这两块三角板是否存在一组边互相平行？
若存在，请直接写出∠ACE的所有可能的值（不必说明理由）；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：①∵∠ACD=90°，∠DCE=45°，
∴∠ACE=45°，
∴∠ACB=∠ACE+∠ECB=45°+90°=135°；
②∵∠ACB=140°，∠ACD=∠ECB=90°，
∴∠ACE=140°－90°=50°，
∴∠DCE=∠DCA－∠ACE =90°－50°=40°；
（2）解：∠ACB与∠DCE互补．理由如下：
∵∠ACD=90°，
∴∠ACE=90°－∠DCE，
又∵∠BCE=90°，所以∠ACB=∠BCE+∠ACE =90°+90°－∠DCE=180°－∠DCE，
∴∠ACB+∠DCE=180°－∠DCE+∠DCE=180°；
（3）解：存在一组边互相平行．
当∠ACE=45°时，∠ACE=∠E=45°，
此时AC∥BE，
当∠ACE=30°时，∠ACB=120°，
此时∠A+∠ACB=180°，
此时AD∥BC．
【知识点】角的大小比较；平行线的判定
【解析】【分析】（1）①由角的构成得∠ACE=∠ACD-∠DCE可求得∠ACE的度数，再由∠ACB=∠ACE+∠BCE可求解；
②由角的构成得∠ACE=∠ACB-∠BCE可求得∠ACE的度数，然后结合图形得∠DCE=∠ACD-∠ACE可求解；
（2）由∠ACE=∠ACD-∠DCE，∠ACB=∠BCE+∠ACE=180°－∠DCE，于是∠ACB+∠DCE=180°－∠DCE+∠DCE可求解；
（3）存在一组边互相平行，结合题意根据同旁内角互补两直线平行及内错角相等两直线平行可求解.
17．（2022七下·秦皇岛期中）如图，在中，，垂足为D，点E在上，，垂足为F．
（1）求证：
（2）如果，求证：．
【答案】（1）证明：∵，，
∴，
∴．
（2）证明：由（1）知，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】平行线的判定
【解析】【分析】（1）根据可得CD//EF；
（2）根据，再结合可得，即可得到。
18．（2022七下·赵县月考）已知，，∠B＝∠A＝100°，试回答下列问题：
（1）如图1所示，试说明：；
（2）如图2，若点E，F在BC上，且满足∠FOC＝∠AOC，并且OE平分∠BOF．试求∠EOC的度数；
（3）在（2）的条件下，若平行移动AC，如图3，则∠OCB∶∠OFB的值是 ．
【答案】（1）解：∵，∴，又∵，∴，∴．
（2）解：由（1）已得：，
，，
∵，平分，
∴，，
∴．
（3）1：2
【知识点】角的运算；平行线的判定；角平分线的定义
【解析】【解答】（3）解：∵，∴，，又∵，∴，∴，∴，故答案为：1：2．
【分析】（1）利用平行线的判定方法求解即可；
（2）根据角平分线和平行线的性质求出，，再利用角的运算和等量代换可得；
（3）先求出，再求出即可。
19．（2022七下·哈尔滨开学考）已知，在三角形ABC中，AD⊥BC于D，F是AB上一点，FE⊥BC于E，∠ADG＝∠BFE
（1）如图1，求证：DG∥AB
（2）如图2，若∠BAC＝90°，请直接写出图中与∠CAD互余的角，不需要证明.
【答案】（1）证明：∵AD⊥BC，FE⊥BC
∴∠DAB＝∠FEB＝90°
∴AD∥EF
∴∠BFE＝∠BAD
∵∠ADG＝∠BFE
∴∠BAD＝∠ADG
∴DG∥AB
（2）解：∠BAD，∠BFE，∠ADG，∠C
【知识点】余角、补角及其性质；平行线的判定
【解析】【分析】（1）根据∠DAB＝∠FEB＝90°，可得AD∥EF，所以∠BFE＝∠BAD，结合∠ADG＝∠BFE可得∠BAD＝∠ADG，因此DG∥AB；
（2）根据余角的定义求解即可。
20．如图，已知∠1=∠2，∠BAC= 20°，∠ACF=80°．
（1）求∠2的度数；
（2）请说明FC∥AD的理由．
【答案】（1）解：∵∠1=∠2，∠BAC=20°，
∴∠2=∠1= (180°-∠BAC)= ×(180°- 20°)= 80°．
（2）解：由(1)得∠2=80°，
又∠ACF=80°，
∴∠2=∠ACF，
∴FC∥AD(内错角相等，两直线平行)．
【知识点】平行线的判定
【解析】【分析】（1）根据平角的定义可证得∠2=∠1= (180°-∠BAC)，代入计算可求出∠2的度数.
（2）利用（1）可证得∠2=∠ACF；利用内错角相等，两直线平行，可证得结论.
1 / 1人教版七年级下数学疑难点专题专练——5.2平行线及其证明
一、单选题
1．（2022七下·喀什期末）如图，下列条件中，不能判断直线的是（ ）
A．∠1=∠2 B．∠3=∠4
C．∠4=∠6 D．∠2＋∠5=180°
2．（2022八上·奉贤期中）如图，下列推论正确的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．（2021七上·东坡期末）如图所示，给出下列条件：①∠1＝∠B；②∠EFD＋∠B＝180°；③∠B＝∠D；④∠E＝∠B；⑤∠BFD＝∠B．其中，一定能判断AB∥CD的条件的个数为（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4．（2022七下·定州月考）如图，木条a、b、c用螺丝固定在木板上且，将木条a、木条b、木条c看作是在同一平面内的三条直线、、，若使直线、直线达到平行的位置关系，则下列描述正确的是（ ）
A．木条a、c固定不动，木条b绕点E顺时针旋转
B．木条a、c固定不动，木条b绕点E逆时针旋转
C．木条b、c固定不动，木条a绕点B逆时针旋转
D．木条b、c固定不动，木条a绕点B顺时针旋转
5．（2022七下·定州月考）如图所示的四种沿AB进行折叠的方法中，不一定能判断纸带两条边a，b互相平行的是（ ）
A．如图1，展开后测得∠1=∠2
B．如图2，展开后测得∠1=∠2且∠3=∠4
C．如图3，测得∠1=∠2
D．在图4中，展开后测得∠1+∠2=180°
6．一副直角三角尺叠放如图1所示，现将含
角的三角尺ADE固定不动，将含
角的三角尺ABC绕顶点
顺时针转动，使两块三角尺至少有一组边互相平行，如图2，当
时，
，则
)其他所有可能符合条件的度数为（ ）
A． 和
B． 和
C． 和
D．以上都有可能
7．（2021七上·阳城期末）为了检验一条纸带的两条边线是否平行，小明沿折叠后，如图，测量得到：①；②；③；④．其中能够判定两条边线、互相平行的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
8．（2022·信都模拟）为增强学生体质，某学校将“抖空竹”引入阳光体育一小时活动．图1是一位同学抖空竹时的一个瞬间，数学老师把它抽象成图2的数学问题：已知AB∥CD，∠EAB=80°，∠ECD=110°．求∠AEC的度数．小明在解决过程中，过E点作EF∥CD，则可以得到EF∥AB，其理由是 ，根据这个思路可得∠AEC= °．
三、解答题
9．（2022八上·河南开学考）如图，直线EF分别与直线AB，CD相交于点P和点Q，PG平分∠APQ，QH平分∠DQP，并且∠1＝∠2，说出图中哪些直线平行，并说明理由．
10．（2022七下·大安期末）如图AF 与BD相交于点C，∠B=∠ACB， 且CD平分∠ECF．求证： ．
请完成下列推理过程：
证明：∵CD 平分∠ECF
∴∠ECD= ▲ （ ）
∵∠ACB=∠FCD( ）
∴∠ECD=∠ACB( ）
∵∠B=∠ACB
∴∠B=∠▲（ ）
∴ （ ）．
11．（2022七下·宁远期末）完成下面的证明：如图，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠α+∠β＝90°，求证：AB∥CD．
完成推理过程：
BE平分∠ABD（已知），
∴∠ABD＝2∠α（ ）．
∵DE平分∠BDC（已知），
∴∠BDC＝2∠β（ ）
∴∠ABD+∠BDC＝2∠α+2∠β＝2（∠α+∠β）（ ）
∵∠α+∠β＝90°（已知），
∴∠ABD+∠BDC＝180°（ ）．
∴AB∥CD（ ）．
12．（2022七下·郯城期中）完成下面推理填空：
如图，E，F分别在AB和CD上，，与互余，于G．
求证：．
证明：∵，∴（ ），
∵（已知），∴ ▲ ▲ （ ），
∴（ ），
∵（平角的定义），∴．
∵与互余（已知），∴（互余的定义），
∴（ ），∴（ ）．
13．（2022七下·赵县月考）把下面的说理过程补充完整：
已知，如图，直线AB，CD被直线EF所截，点H为CD与EF的交点，GH⊥CD于点H，∠2＝30°，∠1＝60°．试说明：．
解：∵GH⊥CD（ ），
∴∠CHG＝90°（ ）．
又∵∠2＝30°（ ），
∴∠3＝（ ）．
∴∠4＝60°（ ）．
又∵∠1＝60°（ ），
∴∠1＝∠4（ ）．
∴（ ）．
14．（2022七下·浦北月考）如图，，，.问吗？为什么？
15．（2021八上·胶州期末）已知：如图．在△ABC中．点D，E，F分到在边AB，AC，BC上，CD与EF相交于点H，且∠BDC+∠DHF＝180°．∠DEF=∠B，求证：DE∥BC．
四、综合题
16．（2022七下·攸县期末）三角板是学习数学的重要工具 ，将一副三角板的直角顶点 C 按如图所示的方式叠放在一起， 当 时 ，且点 E 在直线AC 的上方时， 解决下列问题∶ （友情提示 ∶ ∠A=60°，∠D=30°，∠B=∠E=45°）
（1）①若 ∠DCE=45°，求∠ACB；
②若∠ACB=140°，求∠DCE ；
（2）由（1）猜想 ∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由；
（3）这两块三角板是否存在一组边互相平行？
若存在，请直接写出∠ACE的所有可能的值（不必说明理由）；若不存在，请说明理由．
17．（2022七下·秦皇岛期中）如图，在中，，垂足为D，点E在上，，垂足为F．
（1）求证：
（2）如果，求证：．
18．（2022七下·赵县月考）已知，，∠B＝∠A＝100°，试回答下列问题：
（1）如图1所示，试说明：；
（2）如图2，若点E，F在BC上，且满足∠FOC＝∠AOC，并且OE平分∠BOF．试求∠EOC的度数；
（3）在（2）的条件下，若平行移动AC，如图3，则∠OCB∶∠OFB的值是 ．
19．（2022七下·哈尔滨开学考）已知，在三角形ABC中，AD⊥BC于D，F是AB上一点，FE⊥BC于E，∠ADG＝∠BFE
（1）如图1，求证：DG∥AB
（2）如图2，若∠BAC＝90°，请直接写出图中与∠CAD互余的角，不需要证明.
20．如图，已知∠1=∠2，∠BAC= 20°，∠ACF=80°．
（1）求∠2的度数；
（2）请说明FC∥AD的理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：∵∠1=∠2，
∴l1l2，
故A不符合题意；
∵∠3=∠4
∴l1l2，
故B不符合题意；
∠4与∠6不是两条直线被第三条直线所截形成的角，所以即使∠4=∠6，也不能判定l1l2，
故C符合题意；
∵∠2＋∠5=180°，
∴l1l2，
故D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】平行线的判定：（1）内错角相等，两直线平行；（2）同位角相等，两直线平行；（3）同旁内角互补，两直线平行，据此一一判断得出答案.
2．【答案】D
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A、，
∴（内错角相等，两直线平行），不符合题意；
B、，
∴（同位角相等，两直线平行），不符合题意；
C、由无法得到，不符合题意；
D、，
∴（同位角相等，两直线平行），符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用平行线的判定方法逐项判断即可。
3．【答案】B
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：①当∠1＝∠B时，根据同位角相等，两直线平行可得AB∥CD，故①符合题意；
②当∠EFD＋∠B＝180°时，
∵∠BFC＝∠EFD，
∴∠BFC＋∠B＝180°，
∴根据同旁内角互补，两直线平行，可得AB∥CD，故②符合题意；
③∠B与∠D不是两条直线被第三条直线所截形成的角，故当∠B＝∠D时，无法判断AB∥CD，故③不符合题意；
④当∠E＝∠B时，根据内错角相等，两直线平行，可得AB∥DE，但无法判断AB∥CD，故④不符合题意；
⑤当∠BFD＝∠B时，根据内错角相等，两直线平行得AB∥CD，故⑤符合题意．
则符合题意的有①②⑤，共3个.
故答案为：B.
【分析】平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，据此判断.
4．【答案】B
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A、木条a、c固定不动，木条b绕点E顺时针旋转20°，∠DEM＝90°≠∠ABM，该选项不符合题意；
B、木条a、c固定不动，木条b绕点E逆时针旋转20°，∠DEM＝50°＝∠ABM，∴AC∥BD，该选项符合题意；
C、木条b、c固定不动，木条a绕点B逆时针旋转20°，∠ABM＝30°≠∠DEM，该选项不符合题意；
D、木条b、c固定不动．木条a绕点B顺时针旋转50°，∠ABM＝100°≠∠DEM，该选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用平行线的性质求解即可。
5．【答案】C
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】A、 当∠1=∠2时，内错角相等，两直线平行，所以；
B、由∠1=∠2且∠3=∠4可得∠1=∠2=∠3=∠4=90 ，所以；
C、∠1=∠2不能判定a，b互相平行；
D、∠1+∠2=180°时，同旁内角互补，两直线平行，所以．
故答案为：C．
【分析】利用平行线的判定方法求解即可。
6．【答案】B
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：如图1，
①当AC//DE时，∠BAD=∠DAE=45°；
如图2，
②当BC//AD时，∠DAB=∠B=60°；
如图3，
③当BC//AE时，
∵∠EAB-∠B=60°，
∴∠BAD=∠DAE+∠EAB=45°+60°=105°；
如图4，
④当AB//DE时，
∵∠E=∠EAB=90°
∴∠BAD=∠DAE+∠EAB=45°+90°=135°.
故答案为：B.
【分析】根据题意可分四种情况，并画出图形进行讨论：①当AC//DE时，∠BAD=∠DAE=45°；②当BC//AD时，∠DAB=∠B=60°；③当BC//AE时，∠EAB-∠B=60°，可得∠BAD=∠DAE+∠EAB=45°+60°=105°；④当AB//DE时，∠E=∠EAB=90°，可得∠BAD=∠DAE+∠EAB=45°+90°=135°，据此判断即可.
7．【答案】B
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：
∴ 故①符合题意；
∵
∴ 不能得到 故②不符合题意；
∵
∴
由折叠可得：
∴
∴，故③符合题意；
∴ 不能得到 故④不符合题意；
故答案为：B
【分析】根据平行线的判定方法逐项判断即可。
8．【答案】平行于同一直线的两直线平行；30
【知识点】平行公理及推论
【解析】【解答】解：过E点作EF∥CD，
∵AB∥CD，
∴EF∥AB（平行于同一直线的两直线平行），
∴∠EAB+∠AEF=180°，
∵EF∥CD，
∴∠CEF+∠ECD=180°，
∵∠EAB=80°，∠ECD=110°，
∴∠AEF=100°，∠CEF=70°，
∴∠AEC=∠AEF-∠CEF=30°．
故答案为：平行于同一直线的两直线平行；30．
【分析】根据平行公理推论得到EF//AB，再根据平行线的性质求解即可。
9．【答案】解：AB∥CD，PG∥QH，
理由：∵PG平分∠APQ，QH平分∠DQP，
∵∠1=∠2，
∴∠GPQ=∠PQH，∠APQ=∠PQD，
∴AB∥CD，PG∥QH.
【知识点】平行线的判定；角平分线的定义
【解析】【分析】 AB∥CD，PG∥QH，理由：由角平分线的定义可得∠1=∠GPQ=∠APQ，∠2=∠PQH=∠EQD，由∠1=∠2可得∠GPQ=∠PQH，∠APQ=∠PQD， 根据平行线的判定即得结论.
10．【答案】证明：∵CD平分∠ECF
∴∠ECD∠FCD(角平分线的定义)
∵∠ACB∠FCD(对顶角相等)
∴∠ECD∠ACB(等量代换)
∵∠B=∠ACB
∴∠B=∠ECD( 等量代换)
∴(同位角相等，两直线平行) ．
【知识点】平行线的判定
【解析】【分析】利用角平分线的定义，平行线的判定方法证明即可。
11．【答案】解： BE平分∠ABD（已知），
∴∠ABD=2∠α（角平分线的定义）．
∵DE平分∠BDC（已知），
∴∠BDC=2∠β （角平分线的定义）
∴∠ABD+∠BDC=2∠α+2∠β=2（∠α+∠β）（等量代换）
∵∠α+∠β=90°（已知），
∴∠ABD+∠BDC=180°（等量代换）．
∴AB∥CD（同旁内角互补两直线平行）．
故答案为角平分线的定义，角平分线的定义，等量代换，等量代换，同旁内角互补两直线平行．
【知识点】平行线的判定；角平分线的定义
【解析】【分析】根据角平分线的概念可得∠ABD=2∠α，∠BDC=2∠β，则∠ABD+∠BDC=2(∠α+∠β)，结合已知条件可得∠ABD+∠BDC=180°，然后根据同旁内角互补，两直线平行，进行证明.
12．【答案】证明：∵
∴（垂直的定义）
∵（已知）
∴（同位角相等，两直线平行）
∴（两直线平行，同位角相等）
∵（平角的定义）
∴．
∵与互余（已知）
∴（互余的定义），
∴（同角的余角相等）
∴（内错角相等，两直线平行）．
【知识点】平行线的判定
【解析】【分析】根据平行线的判定和性质求解即可。
13．【答案】解：∵GH⊥CD（已知），
∴∠CHG＝90°（垂直定义）．
又∵∠2＝30°（已知），
∴∠3＝60°．
∴∠4＝60°（对顶角相等）．
又∵∠1＝60°（已知），
∴∠1＝∠4（等量代换）．
∴（同位角相等，两直线平行）．
【知识点】平行线的判定
【解析】【分析】利用平行线的判定方法求解即可。
14．【答案】解：平行，理由如下：∵∠ACD=360°-90°-136°=134°，∠BAC=180°-46°=134°
∴ ∠ACD=∠BAC
∴（内错角相等，两直线平行 ）
【知识点】角的运算；平行线的判定
【解析】【分析】根据周角的定义可得∠ACD=360°-∠DCE-∠ACE=134°，根据邻补角的性质可得∠BAC=180°-∠BAF=134°，则∠ACD=∠BAC，然后根据内错角相等，两直线平行进行证明.
15．【答案】证明：∵∠BDC+∠DHF＝180°．
∴，
∴∠B=∠EFC，
∵∠DEF=∠B，
∴∠EFC=∠DEF，
∴．
【知识点】平行线的判定
【解析】【分析】根据同旁内角互补两直线平行得出，根据两直线平行同位角相等得出∠B=∠EFC，再根据∠DEF=∠B，等量代换得出∠EFC=∠DEF，再根据内错角相等两直线平行得出．
16．【答案】（1）解：①∵∠ACD=90°，∠DCE=45°，
∴∠ACE=45°，
∴∠ACB=∠ACE+∠ECB=45°+90°=135°；
②∵∠ACB=140°，∠ACD=∠ECB=90°，
∴∠ACE=140°－90°=50°，
∴∠DCE=∠DCA－∠ACE =90°－50°=40°；
（2）解：∠ACB与∠DCE互补．理由如下：
∵∠ACD=90°，
∴∠ACE=90°－∠DCE，
又∵∠BCE=90°，所以∠ACB=∠BCE+∠ACE =90°+90°－∠DCE=180°－∠DCE，
∴∠ACB+∠DCE=180°－∠DCE+∠DCE=180°；
（3）解：存在一组边互相平行．
当∠ACE=45°时，∠ACE=∠E=45°，
此时AC∥BE，
当∠ACE=30°时，∠ACB=120°，
此时∠A+∠ACB=180°，
此时AD∥BC．
【知识点】角的大小比较；平行线的判定
【解析】【分析】（1）①由角的构成得∠ACE=∠ACD-∠DCE可求得∠ACE的度数，再由∠ACB=∠ACE+∠BCE可求解；
②由角的构成得∠ACE=∠ACB-∠BCE可求得∠ACE的度数，然后结合图形得∠DCE=∠ACD-∠ACE可求解；
（2）由∠ACE=∠ACD-∠DCE，∠ACB=∠BCE+∠ACE=180°－∠DCE，于是∠ACB+∠DCE=180°－∠DCE+∠DCE可求解；
（3）存在一组边互相平行，结合题意根据同旁内角互补两直线平行及内错角相等两直线平行可求解.
17．【答案】（1）证明：∵，，
∴，
∴．
（2）证明：由（1）知，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】平行线的判定
【解析】【分析】（1）根据可得CD//EF；
（2）根据，再结合可得，即可得到。
18．【答案】（1）解：∵，∴，又∵，∴，∴．
（2）解：由（1）已得：，
，，
∵，平分，
∴，，
∴．
（3）1：2
【知识点】角的运算；平行线的判定；角平分线的定义
【解析】【解答】（3）解：∵，∴，，又∵，∴，∴，∴，故答案为：1：2．
【分析】（1）利用平行线的判定方法求解即可；
（2）根据角平分线和平行线的性质求出，，再利用角的运算和等量代换可得；
（3）先求出，再求出即可。
19．【答案】（1）证明：∵AD⊥BC，FE⊥BC
∴∠DAB＝∠FEB＝90°
∴AD∥EF
∴∠BFE＝∠BAD
∵∠ADG＝∠BFE
∴∠BAD＝∠ADG
∴DG∥AB
（2）解：∠BAD，∠BFE，∠ADG，∠C
【知识点】余角、补角及其性质；平行线的判定
【解析】【分析】（1）根据∠DAB＝∠FEB＝90°，可得AD∥EF，所以∠BFE＝∠BAD，结合∠ADG＝∠BFE可得∠BAD＝∠ADG，因此DG∥AB；
（2）根据余角的定义求解即可。
20．【答案】（1）解：∵∠1=∠2，∠BAC=20°，
∴∠2=∠1= (180°-∠BAC)= ×(180°- 20°)= 80°．
（2）解：由(1)得∠2=80°，
又∠ACF=80°，
∴∠2=∠ACF，
∴FC∥AD(内错角相等，两直线平行)．
【知识点】平行线的判定
【解析】【分析】（1）根据平角的定义可证得∠2=∠1= (180°-∠BAC)，代入计算可求出∠2的度数.
（2）利用（1）可证得∠2=∠ACF；利用内错角相等，两直线平行，可证得结论.
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