（人教B版）高中数学必修5-1-1-3课后强化作业（含答案）

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基 础 巩 固
一、选择题
1．三角形的两边长为3cm、5cm，其夹角的余弦是方程5x2－7x－6＝0的根，则此三角形的面积是(　　)
A．6cm2 B.cm2
C．8cm2 D．10cm2
[答案]　A
[解析]　解方程5x2－7x－6＝0，得x1＝－或x2＝2.
由题意，得三角形的两边长为3cm、5cm，其夹角的余弦为－，
∴夹角的正弦为，
故三角形的面积S＝×3×5×＝6cm2.
2．△ABC中，若∠A＝60°，b＝16，此三角形面积S＝220，则a的值为(　　)
A．7 B．25
C．55 D．49
[答案]　D
[解析]　由题意，得S＝220＝bcsinA＝×16×c×，
∴c＝55.[来源:数理化网]
由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA
＝162＋552－2×16×55×＝2401，
∴a＝49.
3．在△ABC中，若sinA>sinB，则有(　　)
A．aC．a>b D．a、b的大小无法确定
[答案]　C
[解析]　利用正弦定理将角的关系化为边的关系，由＝可得＝，因为△ABC中sinA>0，sinB>0，所以结合已知有sinA>sinB>0，从而>1，即a>b.[来源:www.]
4．(2012～2013学年度云南腾冲一中高二期中测试)若△ABC中，sinA:sinB:sinC＝2:3:4，那么cosC＝(　　)
A．－ B.
C．－ D.
[答案]　A
[解析]　由正弦定理，得sinA:sinB:sinC＝a:b:c＝2:3:4，
令a＝2k，b＝3k，c＝4k(k>0)，
∴cosC＝
＝＝－.
5．在△ABC中，若△ABC的面积S＝(a2＋b2－c2)，则∠C为(　　)
A. B.
C. D.[来源:www.]
[答案]　A
[解析]　由S＝(a2＋b2－c2)，得absinC＝×2abcosC，∴tanC＝1，∴C＝.
6．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为(　　)
A. B.
C. D.
[答案]　D
[解析]　设三角形的底边长为a，则周长为5a，∴等腰三角形腰的长为2a.设顶角为α，由余弦定理，得cosα＝＝.
二、填空题
7．在△ABC中，a＝2，b＝，A＝45°，则边c＝________.
[答案]　3＋
[解析]　由余弦定理，得a2＝c2＋b2－2cbcosA，
∴12＝c2＋6－2c×，
∴c2－2c－6＝0，
解得c＝3＋.
8．在△ABC中，a＝7，b＝4，c＝，则△ABC的最小角为________．
[答案]　
[解析]　∵a＝7，b＝4，c＝，
∴ccosC＝＝＝，
又∵C∈(0，π)，∴C＝.
三、解答题
9．(2012～2013学年度山西忻州一中高二期中测试)在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，且c＝2，C＝.
(1)若△ABC的面积为，求a、b的值；
(2)若sinB＝2sinA，求△ABC的面积．
[解析]　(1)由余弦定理，得
c2＝a2＋b2－2abcosC，
又c＝2，C＝，
∴a2＋b2－ab＝4.
由已知得S△ABC＝＝absinC＝ab，∴ab＝4.
由，解得.
(2)∵sinB＝2sinA，∴b＝2a.
又c＝2，C＝，∴a2＋b2－ab＝4.
由，解得.
∴S△ABC＝absinC＝.
能 力 提 升
一、选择题
1．在△ABC中，lga－lgb＝lgsinB＝－lg，∠B为锐角，则∠A的值是(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．90°
[答案]　A
[解析]　由题意得＝sinB＝，又∵∠B为锐角，
∴B＝45°，又＝＝，sinA＝sinB×＝，
∴∠A＝30°.
2．在△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，且2b＝a＋c，∠B＝30°，△ABC的面积为，那么b等于(　　)
A. B．1＋
C. D．2＋
[答案]　B
[解析]　∵2b＝a＋c，又由于∠B＝30°，
∴S△ABC＝acsinB＝acsin30°＝，解得ac＝6.
由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB
＝(a＋c)2－2ac－2ac·cos30°＝4b2－12－6，
即b2＝4＋2，由b>0，解得b＝1＋.
3．△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有两解的是(　　)
A．b＝10，∠A＝45°，∠C＝70°
B．a＝30，b＝25，∠A＝150°
C．a＝7，b＝8，∠A＝98°
D．a＝14，b＝16，∠A＝45°
[答案]　D
[解析]　A中已知两角与一边，有唯一解，B中，a>b，且∠A＝150°，也有唯一解，C中b>a，且∠A＝98°为钝角，故解不存在，D中由于b·sin45°4．若＝＝，则△ABC的形状为(　　)
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
[答案]　B
[解析]　解法一：由正弦定理，得
＝＝
即tanA＝tanB＝tanC，
∵A、B、C∈(0，π)，∴A＝B＝C，
∴△ABC为等边三角形．
解法二：由余弦定理，得cosA＝，
cosB＝，cosC＝，
又∵＝＝，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴b2＋c2－a2＝a2＋c2－b2＝a2＋b2－c2，
∴a＝b＝c，故选B.
二、填空题
5．△ABC中，B＝120°，AC＝7，AB＝5，则△ABC的面积为________．
[答案]　
[解析]　由余弦定理知72＝52＋BC2＋5BC，即BC2＋5BC－24＝0，
解之得BC＝3，所以S＝×5×3×sin120°＝.
6．在△ABC中，已知AB＝4，AC＝7，BC边上的中线长为，那么边BC的长为__________．
[答案]　9
[解析]　设BC中点为D，延长AD到E，使DE＝AD，则△ABD≌△ECD，
∴cos∠BAD＝cos∠AEC＝＝，
BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos∠BAD＝，[来源:www.www.]
∴BD＝.∴BC＝9.
三、解答题
7．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知＝.
(1)求的值；[来源:数理化网]
(2)若cosB＝，△ABC的周长为5，求b的长．
[解析]　(1)由正弦定理＝＝＝2R知
＝，
即cosAsinB－2cosCsinB＝2cosBsinC－cosBsinA，
即sin(A＋B)＝2sin(B＋C)．
又由A＋B＋C＝π知，sinC＝2sinA，所以＝2.
(2)由(1)知＝2，∴c＝2a，
则由余弦定理，得b2＝a2＋(2a)2－2·a·2acosB＝4a2
∴b＝2a，∴a＋2a＋2a＝5，∴a＝1，∴b＝2.
8．(2013·湖北理，17)在△ABC中，角A、B、C对应的边分别是 a、b、c.已知cos2A－3cos(B＋C)＝1.
(1)求角A的大小；
(2)若△ABC的面积S＝5，b＝5，求sinBsinC的值．
[解析]　(1)由cos2A－3cos(B＋C)＝1，得2cos2A＋3cosA－2＝0.
即(2cosA－1)(cosA＋2)＝0，解得cosA＝或cosA＝－2(舍去)．
因为0(2)由S＝bcsinA＝bc＝5，得bc＝20，又b＝5，所以c＝4.
由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA＝25＋16－20＝21，故a＝.
又由正弦定理，得sinBsinC＝·＝sin2A＝×＝.
9．(2013·重庆文，18)在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a2＝b2＋c2＋bc.
(1)求A；
(2)设a＝，S为△ABC的面积，求S＋3cosBcosC的最大值，并指出此时B的值．
[解析]　(1)由余弦定理，得cosA＝＝＝－.
又∵0(2)由(1)得sinA＝，又由正弦定理及a＝，得
S＝bcsinA＝··asinC＝3sinBsinC，
∴S＋3cosBcosC＝3(sinBsinC＋cosBcosC)＝3cos(B－C)．
当B＝C，即B＝＝时，S＋3cosBcosC取最大值3.
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