一、选择题
1．设点M的直角坐标为(1，－，2)，则它的柱坐标是( )
A．(2，，2) B．(2，，2)
C．(2，，2) D．(2，，2)
解析：ρ＝＝2，tan θ＝－，
又x>0，y<0，M在第四象限，
∴θ＝，∴柱坐标是(2，，2)．
答案：D
2．点P的柱坐标是(4，，3)，则其直角坐标为( )
A．(2，2，3) B．(－2，2，3)
C．(－2，－2，3) D．(2，－2，3)
解析：x＝ρcos θ＝4cos＝－2，
y＝ρsin θ＝4sin＝－2，
故其直角坐标为(－2，－2，3)．
答案：C
3．空间点P的柱坐标为(ρ，θ，z)，关于点O(0,0,0)的对称点的坐标为(0＜θ≤π)( )
A．(－ρ，－θ，－z) B．(－ρ，θ，－z)
C．(ρ，π＋θ，－z) D．(ρ，π－θ，－z)
答案：C
4．在直角坐标系中，(1,1,1)关于z轴对称点的柱坐标为( )
A．(，，1) B．(，，1)
C．(，，1) D．(，，1)
解析：(1,1,1)关于z轴的对称点为(－1，－1,1)，它的柱坐标为(，，1)．
答案：C
二、填空题
5．点P的柱坐标为(4，，3)，则点P到原点的距离为________．
解析：x＝ρcos θ＝4cos＝2，
y＝ρsin θ＝4sin＝2.
即点P的直角坐标为(2，2,3)，其到原点距离为＝＝5.
答案：5
6．已知点M的直角坐标为(1,0,5)，则它的柱坐标为________．
解析： ∵x＞0，y＝0，∴tan θ＝0，θ＝0.
ρ＝＝1.
∴柱坐标为(1,0,5)．
答案：(1,0,5)一、选择题
1．在极坐标系中，过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是( )
A．ρ＝cos θ B．ρ＝sin θ
C．ρcos θ＝1 D．ρsin θ＝1
解析：设P(ρ，θ)是直线上任意一点，则显然有ρcos θ＝1，即为此直线的极坐标方程．
答案：C
2．7cos θ＋2sin θ＝0表示( )
A．直线 B．圆
C．椭圆 D．双曲线
解析：两边同乘以ρ得：7ρcos θ＋2ρsin θ＝0.
即7x＋2y＝0，表示直线．
答案：A
4．(2011·安徽高考)在极坐标系中，点(2，)到圆ρ＝2cos θ的圆心的距离为( )
A．2 B.
C. D.
解析：点(2，)对应的直角坐标为(1，)，圆ρ＝2cos θ的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，其圆心为(1,0)，故所求两点间距离d＝＝.
答案：D
二、填空题
5．把极坐标方程ρcos(θ－)＝1化为直角坐标方程是________________________．
解析：将极坐标方程变为ρcos θ＋ρsin θ＝1，化为直角坐标方程为x＋y＝1，即x＋y－2＝0.
答案：x＋y－2＝0
6．若直线ρsin(θ＋)＝与直线3x＋ky＝1垂直，则常数k＝________.
解析：直线极坐标方程化为ρsin θ＋ρcos θ＝，即为x＋y－1＝0，由题意知＝－1，∴k＝－3.
答案：－3
7．(2012·湖南高考)在极坐标系中，曲线C1：ρ(cos θ＋sin θ)＝1与曲线C2：ρ＝a(a>0)的一个交点在极轴上，则a＝________.
解析：曲线C1的直角坐标方程为x＋y＝1，曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2＝a2，C1与x轴的交点坐标为(，0)，此点也在曲线C2上，代入解得a＝.
答案：
三、解答题
8．求过(－2,3)点且斜率为2的直线的极坐标方程．
解：由题意知，直线的直角坐标方程为y－3＝2(x＋2)，
即：2x－y＋7＝0.
设M(ρ，θ)为直线上任意一点，
将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入直角坐标方程
2x－y＋7＝0得：2ρcos θ－ρsin θ＋7＝0，
这就是所求的极坐标方程．
9．在极坐标系中，已知圆ρ＝2cos θ与直线3ρcos θ＋4ρsin θ＋a＝0相切，求实数a的值．
解：将极坐标方程化为直角坐标方程，
得圆的方程为x2＋y2＝2x，
即(x－1)2＋y2＝1，
直线的方程为3x＋4y＋a＝0.
由题设知，圆心(1,0)到直线的距离为1，即有
＝1，
解得a＝－8或a＝2.
故a的值为－8或2.
10．已知双曲线的极坐标方程为ρ＝，过极点作直线与它交于A、B两点，且|AB|＝6.
求直线AB的极坐标方程．
解：设直线AB的极坐标方程为θ＝θ1.
A(ρ1，θ1)，B(ρ2，θ1＋π)，
ρ1＝，ρ2＝＝.
|AB|＝|ρ1＋ρ2|
＝＝，
∴＝±1，∴cos θ1＝0或cos θ1＝±
故直线AB的极坐标方程为θ＝，θ＝或θ＝.一、选择题
1．已知一个点的球坐标为(1，，)，则它的方位角为( )
A. B.
C. D.
解析：由球坐标的定义可知选A.
答案：A
2．在球坐标系中，方程r＝2表示空间的( )
A．球 B．球面
C．圆 D．直线
解析：r＝2，表示空间的点到原点的距离为2，即表示球心在原点，半径为2的球面．
答案：B
4．设点M的直角坐标为(－1，－1，)，则它的球坐标为( )
A．(2，，) B．(2，，)
C．(2，，) D．(2，，)
解析：由坐标变换公式，得r＝＝2，
cos φ＝＝，∴φ＝.
∵tan θ＝＝＝1，∴θ＝.
∴M的球坐标为(2，，)．
答案：B
二、填空题
5．已知点M的球坐标为(4，，)，则它的直角坐标为________，它的柱坐标是________．
解析：由坐标变换公式直接得直角坐标和柱坐标．
答案：(－2,2,2) (2，，2)
6．在球坐标系中，方程r＝1表示________．
解析：数形结合，根据球坐标的定义判断形状．
答案：球心在原点，半径为1的球面
7．在球坐标系中A(2，，)和B(2，，)的距离为________．
解析：A、B两点化为直角坐标分别为：A(1,1，)、
B(－1,1，－)．
∴|AB|＝＝2.
答案：2一、选择题
1．极坐标方程ρ＝1表示( )
A．直线 B．射线
C．圆 D．半圆
解析：∵ρ＝1，∴ρ2＝1，∴x2＋y2＝1.∴表示圆．
答案：C
2．极坐标方程ρ＝sin θ＋2cos θ表示的曲线为( )
A．直线 B．圆
C．椭圆 D．双曲线
解析：由ρ＝sin θ＋2cos θ，得ρ2＝ρsin θ＋2ρcos θ，
∴x2＋y2＝y＋2x，即x2＋y2－2x－y＝0，表示圆．
答案：B
3．在极坐标系中，方程ρ＝6cos θ表示的曲线是( )
A．以点(－3,0)为圆心，3为半径的圆
B．以点(3，π)为圆心，3为半径的圆
C．以点(3,0)为圆心，3为半径的圆
D．以点(3，)为圆心，3为半径的圆
解析：由ρ＝6cos θ得ρ2＝6ρcos θ，即x2＋y2－6x＝0，
表示以(3,0)为圆心，半径为3的圆．
答案：C
4．以极坐标系中的点(1,1)为圆心，1为半径的圆的方程是( )
A．ρ＝2cos(θ－) B．ρ＝2sin(θ－)
C．ρ＝2cos(θ－1) D．ρ＝2sin(θ－1)
解析：在极坐标系中，圆心在(ρ0，θ0)，半径为r的圆的方程为：r2＝ρ＋ρ2－2ρρ0cos(θ－θ0)，所以可得ρ＝2cos(θ－1)．
答案：C
二、填空题
5．把圆的普通方程x2＋(y－2)2＝4化为极坐标方程为________．
解析：将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入，得
ρ2cos2θ＋ρ2sin2θ－4ρsin θ＝0，即ρ＝4sin θ.
答案：ρ＝4sin θ
6．曲线C的极坐标方程为ρ＝3sin θ，则曲线C的直角坐标方程为________．
解析：由ρ＝3sin θ，得ρ2＝3ρsin θ，
故x2＋y2＝3y，即所求方程为x2＋y2－3y＝0.
答案：x2＋y2－3y＝0
7．在极坐标系中，若过点A(3,0)且与极轴垂直的直线交曲线ρ＝4cosθ于A、B两点，则|AB|＝________.
解析：由题意知，直线方程为x＝3，
曲线方程为(x－2)2＋y2＝4，
将x＝3代入圆的方程，
得y＝±，则|AB|＝2.
答案：2
三、解答题
8．求极坐标方程ρ＝所对应的直角坐标方程．
解：因为ρ＝可化为ρ＝，
即ρ＝.
化简，得ρ＝2＋ρ·cos θ.将互化公式代入，
得x2＋y2＝(2＋x)2.整理可得y2＝4(x＋1)．
10．⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为ρ＝4cos θ，ρ＝－4sin θ.
(1)把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程．
(2)求经过⊙O1，⊙O2交点的直线的直角坐标方程．
解：(1)x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，
由ρ＝4cos θ得ρ2＝4ρcos θ.
所以x2＋y2＝4x.
即x2＋y2－4x＝0为⊙O1的直角坐标方程．
同理x2＋y2＋4y＝0为⊙O2的直角坐标方程．
(2)由解得
即⊙O1，⊙O2交于点(0,0)和(2，－2)．
则过交点的直线的直角坐标方程为y＝－x.一、选择题
1．在极坐标平面内，点M(，200π)，N(－π,3),201π)，G(－，－200π)，H(2π＋，200π)中互相重合的两个点是( )
A．M和N B．M和G
C．M和H D．N和H
解析：由极坐标的定义知，M、N表示同一个点．
答案：A
2．将点M的极坐标(10，)化成直角坐标是( )
A．(5,5) B．(5，5)
C．(5,5) D．(－5，－5)
解析：x＝ρcos θ＝10×cos＝5，y＝ρsin θ＝10sin＝5.
答案：A
4．若ρ1＋ρ2＝0，θ1＋θ2＝π，则点M1(ρ1，θ1)与点M2(ρ2，θ2)的位置关系是( )
A．关于极轴所在直线对称
B．关于极点对称
C．关于过极点垂直于极轴的直线对称
D．两点重合
解析：因为点(ρ，θ)关于极轴所在直线对称的点为(－ρ，π－θ)．由此可知点(ρ1，θ1)和(ρ2，θ2)满足ρ1＋ρ2＝0，θ1＋θ2＝π，是关于极轴所在直线对称．
答案：A
二、填空题
5．点(2，)关于极点的对称点为________．
解析：如图，易知对称点为(2，π)．
答案：(2，π)
6．在极坐标系中，已知A(1，)，B(2，)两点，则|AB|＝________.
解析：|AB|＝＝.
答案：
7．直线l过点A(3，)，B(3，)，则直线l与极轴夹角等于________．
解析：如图所示，先在图形中找到直线l与极轴夹角(要注意夹角是个锐角)，然后根据点A，B的位置分析夹角大小．
因为|AO|＝|BO|＝3，
∠AOB＝－＝，
所以∠OAB＝＝，
所以∠ACO＝π－－＝.
答案：
三、解答题
8．在极轴上求与点A(4，)的距离为5的点M的坐标．
解：设M(r,0)，
因为A(4，)，
所以 ＝5，
即r2－8r＋7＝0.解得r＝1或r＝7.
所以M点的坐标为(1,0)或(7,0)．一、选择题
2．已知线段BC长为8，点A到B、C两点距离之和为10，则动点A的轨迹为( )
A．直线 B．圆
C．椭圆 D．双曲线
解析：由椭圆的定义可知，动点A的轨迹为一椭圆．
答案：C
3．已知两点M(－2,0)，N(2,0)，点P为坐标平面内的动点，满足| |·| |＋·＝0，则动点P(x，y)的轨迹方程为( )
A．y2＝8x B．y2＝－8x
C．y2＝4x D．y2＝－4x
解析：由题意，得＝(4,0)，＝(x＋2，y)，＝(x－2，y)，由|MN―→|·| |＋·＝0得4＋4(x－2)＝0，整理得y2＝－8x.
答案：B
4．在同一平面直角坐标系中经过伸缩变换后曲线C变为曲线2x′2＋8y′2＝0，则曲线C的方程为( )
A．25x2＋36y2＝0 B．9x2＋100y2＝0
C．10x＋24y＝0 D.x2＋y2＝0
解析：将代入2x′2＋8y′2＝0，得：
2·(5x)2＋8·(3y)2＝0，即：25x2＋36y2＝0.
答案：A
二、填空题
5．y＝cos x经过伸缩变换后，曲线方程变为________．
解析：由得代入y＝cos x，
得y′＝cosx′，即y′＝3cosx′.
答案：y＝3cos
6．已知平面内有一固定线段AB且|AB|＝4.动点P满足|PA|－|PB|＝3，O为AB中点，则|PO|的最小值为________．
解析：以AB为x轴，O为坐标原点建立平面直角坐标系，则动点P是以AB为实轴的双曲线的右支．其中a＝.故|PO|的最小值为.
答案：
7．△ABC中，B(－2,0)，C(2,0)，△ABC的周长为10，则A点的轨迹方程为________．
解析：∵△ABC的周长为10，
∴|AB|＋|AC|＋|BC|＝10.其中|BC|＝4，
即有|AB|＋|AC|＝6＞4.
∴A点轨迹为椭圆除去B、C两点，且2a＝6,2c＝4.
∴a＝3，c＝2，b2＝5.
∴A点的轨迹方程为＋＝1(y≠0)．
答案：＋＝1(y≠0)
