1．已知a，b∈R＋且a＋b＝1，则P＝(ax＋by)2与Q＝ax2＋by2的关系是( )
A．P≤Q B．P＜Q
C．P≥Q D．P＞Q
解析：设m＝(x，y)，n＝(，)，则|ax＋by|＝|m·n|≤|m||n|＝·＝·＝ ，
∴(ax＋by)2≤ax2＋by2.即P≤Q.
答案：A
2．若a，b∈R，且a2＋b2＝10，则a－b的取值范围是( )
A．[－2，2 ] B．[－2，2 ]
C．[－， ] D．(－，)
解析：(a2＋b2)[12＋(－1)2]≥(a－b)2，
∵a2＋b2＝10，∴(a－b)2≤20.
∴－2≤a－b≤2.
答案：A
3．已知x＋y＝1，那么2x2＋3y2的最小值是( )
A. B.
C. D.
解析：(2x2＋3y2)[()2＋()2]≥
(x＋y)2＝[(x＋y)]2＝6，(当且仅当x＝，y＝时取等号)
即2x2＋3y2≥.
答案：B
4．函数y＝＋2的最大值是( )
A. B.
C．3 D．5
解析：根据柯西不等式，知y＝1×＋2×≤×＝(当且仅当x＝时取等号)．
答案：B
5．设xy>0，则(x2＋)·(y2＋)的最小值为________．
解析：原式＝[x2＋()2][()2＋y2]≥(x·＋·y)2＝9.(当且仅当xy＝时取等号)
答案：9
6．设实数x、y满足3x2＋2y2≤6，则P＝2x＋y的最大值为________．
解析：由柯西不等式得
(2x＋y)2≤[(x)2＋(y)2]·[()2＋()2]＝(3x2＋2y2)·(＋)≤6×＝11(当且仅当x＝，y＝时取等号)。
于是2x＋y≤.
答案：
7．函数f(x)＝＋的最大值为________．
解析：设函数有意义时x满足，≤x2≤2，由柯西不等式得
[f(x)]2＝[＋]2
≤(1＋2)(2－x2＋x2－)＝
∴f(x)≤，
当且仅当2－x2＝即x2＝时取等号．
答案：1．有一有序数组，其顺序和为A，反序和为B，乱序和为C，则它们的大小关系为( )
A．A≥B≥C B．A≥C≥B
C．A≤B≤C D．A≤C≤B
解析：由排序不等式，顺序和≥乱序和≥反序和知；A≥C≥B.
答案：B
2．若A＝x＋x＋…＋x，B＝x1x2＋x2x3＋…＋xn－1xn＋xnx1其中x1x2，…，xn都是正数，则A与B的大小关系为( )
A．A>B B．AC．A≥B D．A≤B
解析：依序列{xn}的各项都是正数，不妨设0＜x1≤x2≤…≤xn则x2，x3，…，xn，x1为序列{xn} 的一个排列．依排序原理，得x1x1＋x2x2＋…＋xnxn≥x1x2＋x2x3＋…＋xnx1，即x＋x＋…＋x≥x1x2＋x2x3＋…＋xnx1.
答案：C
3．锐角三角形中，设P＝，Q＝acos C＋bcos B＋ccos A，则P、Q的关系为( )
A．P≥Q B．P＝Q
C．P≤Q D．不能确定
解析：不妨设A≥B≥C，则a≥b≥c，cos A≤cos B≤cos C，则由排序不等式有Q＝acos C＋bcos B＋ccos A≥acos B＋bcos C＋ccos A
＝R(2sin Acos B＋2sin Bcos C＋2sin Ccos A)
＝R[sin(A＋B)＋sin(B＋C)＋sin(A＋C)]
＝R(sin C＋sin A＋sin B)＝P＝.
答案：C
4．儿子过生日要老爸买价格不同的礼品1件、2件及3件，现在选择商店中单价为13元、20元和10元的礼品，至少要花________钱．( )
A．76元 B．20元
C．84元 D．96元
解析：设a1＝1(件)，a2＝2(件)，a3＝3(件)，b1＝10(元)，b2＝13(元)，b3＝20(元)，则由排序原理反序和最小知至少要花a1b3＋a2b2＋a3b1＝1×20＋2×13＋3×10＝76(元)．
答案：A
5．已知两组数1,2,3和4,5,6，若c1，c2，c3是4,5,6的一个排列，则1c1＋2c2＋3c3的最大值是________，最小值是________．
解析：由反序和≤乱序和≤顺序和知，顺序和最大，反序和最小，故最大值为32；最小值为28.
答案：32 28
6．有4人各拿一只水桶去接水，设水龙头注满每个人的水桶分别需要5 s,4 s,3 s,7 s，每个人接完水后就离开，则他们总的等候时间最短为________s.
解析：由题意知，等候的时间最短为3×4＋4×3＋5×2＋7＝41.
答案：41
7．在Rt△ABC中，∠C为直角，A，B所对的边分别为a，b，则aA＋bB与(a＋b)的大小关系为________．
解析：不妨设a≥b>0，
则A≥B>0，由排序不等式
2(aA＋bB)≥a(A＋B)＋b(A＋B)
＝(a＋b)
∴aA＋bB≥(a＋b)．
答案：aA＋bB≥(a＋b)1．设a＝(－2,1,2)，|b|＝6，则a·b的最小值为( )
A．18 B．6
C．－18 D．12
解析：|a·b|≤|a||b|，
∴|a·b|≤18.
∴－18≤a·b≤18，当a，b反向时，a，b最小，最小值－18.
答案：C
2．已知a＋a＋…＋a＝1，x＋x＋…＋x＝1，则a1x1＋a2x2＋…＋anxn的最大值是
( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：(a1x1＋a2x2＋…＋anxn)2≤(a＋a＋…＋a)(x＋x＋…＋x)＝1×1＝1，当且仅当＝＝…＝＝1时取等号．
∴a1x1＋a2x2＋…＋anxn的最大值是1.
答案：A
3．已知a2＋b2＋c2＋d2＝5，则ab＋bc＋cd＋ad的最小值为( )
A．5 B．－5
C．25 D．－25
解析：(ab＋bc＋cd＋da)2≤(a2＋b2＋c2＋d2)·(b2＋c2＋d2＋a2)＝25，当且仅当a＝b＝c＝d＝±时，等号成立．
∴ab＋bc＋cd＋bd的最小值为－5.
答案：B
4．(2012·湖北高考)设a，b，c，x，y，z是正数，且a2＋b2＋c2＝10，x2＋y2＋z2＝40，ax＋by＋cz＝20，则＝( )
A. B.
C. D.
解析：由柯西不等式得，(a2＋b2＋c2)(x2＋y2＋z2)≥(ax＋by＋cz)2＝400，当且仅当＝＝＝时取等号，因此有＝.
答案：C
5．已知：2x＋3y＋z＝8，则x2＋y2＋z2取得最小值时，x，y，z形成的点(x，y，z)＝________.
解析：由柯西不等式(22＋32＋12)(x2＋y2＋z2)≥(2x＋3y＋z)2，即x2＋y2＋z2≥＝.
当且仅当＝＝z时等号成立．又2x＋3y＋z＝8，
解得：x＝，y＝，z＝，
所求点为(，，)．
答案：(，，)
6．已知：实数x，y，z满足x＋2y＋z＝1，则x2＋4y2＋z2的最小值为________．
解析：由柯西不等式得：
(x2＋4y2＋z2)(1＋1＋1)≥(x＋2y＋z)2，
∵x＋2y＋z＝1，
∴3(x2＋4y2＋z2)≥1.
即x2＋4y2＋z2≥.
当且仅当x＝2y＝z＝，
即x＝，y＝，z＝时等号成立．
故x2＋4y2＋z2的最小值为.
答案：
7．已知a，b，c∈R＋且a＋b＋c＝6，则＋＋的最大值为________．
解析：由柯西不等式得：(＋＋)2＝(1×＋1×＋1×)2≤(12＋12＋12)(2a＋2b＋1＋2c＋3)＝3(2×6＋4)＝48.
当且仅当＝＝，
即2a＝2b＋1＝2c＋3时等号成立．
又a＋b＋c＝6，∴a＝，b＝，c＝时，
＋＋取得最大值4.
答案：4
