1．用数学归纳法证明“对于任意x>0和正整数n，都有xn＋xn－2＋xn－4＋…＋＋＋≥n＋1”时，需验证的使命题成立的最小正整数值n0应为( )
A．n0＝1 B．n0＝2
C．n0＝1,2 D．以上答案均不正确
解析：需验证：n0＝1时，x＋≥1＋1成立．
答案：A
2．用数学归纳法证明“2n>n2＋1对于n≥n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取( )
A．2 B．3
C．5 D．6
解析：n取1,2,3,4时不等式不成立，起始值为5.
答案：C
3．用数学归纳法证明“1＋＋＋…＋1)”时，由n＝k(k>1)不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项数是( )
A．2k－1 B．2k－1
C．2k D．2k＋1
解析：由n＝k到n＝k＋1，应增加的项数为(2k＋1－1)－(2k－1)＝2k＋1－2k项．
答案：C
4．对于正整数n，下列不等式不正确的是( )
A．3n≥1＋2n B．0.9n≥1－0.1n
C．0.9n≤1－0.1n D．0.1n≤1－0.9n
解析：排除法，取n＝2，只有C不成立．
答案：C
5．证明<1＋＋＋…＋1)，当n＝2时．要证明的式子为________．
解析：当n＝2时，要证明的式子为
2<1＋＋＋<3.
答案：2<1＋＋＋<3
6．利用数学归纳法证明“(1＋)(1＋)…(1＋)>”时，n的最小取值n0为________．
解析：左边为(n－1)项的乘积，故n0＝2.
答案：2
7．设a，b均为正实数(n∈N＋)，已知M＝(a＋b)n，N＝an＋nan－1b，则M、N的大小关系为________(提示：利用贝努利不等式，令x＝)．
解析：当n＝1时，M＝a＋b＝N.
当n＝2时，M＝(a＋b)2，N＝a2＋2ab当n＝3时，M＝(a＋b)3，N＝a3＋3a2b归纳得M ≥N.
答案：M ≥N
8．用数学归纳法证明，对任意n∈N＋，有
(1＋2＋…＋n)(1＋＋＋…＋)≥n2.
证明：(1)当n＝1时，左边＝右边，不等式成立．
当n＝2时，左边＝(1＋2)(1＋)＝>22，不等式成立．
(2)假设当n＝k(k≥2)时不等式成立，即(1＋2＋…＋k)(1＋＋…＋)≥k2.
则当n＝k＋1时，有
左边＝[(1＋2＋…＋k)＋(k＋1)][(1＋＋…＋)＋]
＝(1＋2＋…＋k)(1＋＋…＋)＋(1＋2＋…＋k)＋(k＋1)×(1＋＋…＋)＋1≥k2＋＋1＋(k＋1)(1＋＋…＋)．
∵当k≥2时，1＋＋…＋≥1＋＝，(*)
∴左边≥k2＋＋1＋(k＋1)×＝k2＋2k＋1＋≥(k＋1)2.
这就是说当n＝k＋1时，不等成立，由(1)、(2)可知当n≥1时，不等式成立．
9．设数列{an}满足an＋1＝a－nan＋1，n＝1,2,3….
(1)当a1＝2时，求a2，a3，a4，并由此猜想出an的一个通项公式；
(2)当a≥3时，证明对所有的n≥1，有an≥n＋2；
解：(1)由a1＝2，得a2＝a－a1＋1＝3，
由a2＝3，得a3＝a－2a2＋1＝4，
由a3＝4，得a4＝a－3a3＋1＝5.
由此猜想an的一个通项公式：
an＝n＋1(n≥1)．
(2)证明：用数学归纳法证明．
①当n＝1，a1≥3＝1＋2，不等式成立．
②假设当n＝k时不等式成立，
即ak≥k＋2，那么，当n＝k＋1时．
ak＋1＝ak(ak－k)＋1≥(k＋2)(k＋2－k)＋1≥k＋3，
也就是说，当n＝k＋1时，
ak＋1≥(k＋1)＋2.
根据①和②，对于所有n≥1，有an≥n＋2.
10．设a∈R，f(x)＝是奇函数，
(1)求a的值；
(2)如果g(n)＝(n∈N＋)，试比较f(n)与g(n)的大小(n∈N＋)．
解：(1)∵f(x)是定义在R上的奇函数，
∴f(0)＝0.故a＝1.
(2)f(n)－g(n)＝－＝.
只要比较2n与2n＋1的大小．
当n＝1,2时，f(n)当n≥3时，2n>2n＋1，f(n)>g(n)．
下面证明，n≥3时，2n>2n＋1，即f(x)>g(x)．
①n＝3时，23>2×3＋1，显然成立，
②假设n＝k(k≥3，k∈N＋)时，2k>2k＋1，
那么n＝k＋1时，2k＋1＝2×2k>2(2k＋1)．
2(2k＋1)－[2(k＋1)＋1]＝4k＋2－2k－3＝2k－1>0(∵k≥3)，
有2k＋1>2(k＋1)＋1.
∴n＝k＋1时，不等式也成立，由①②可以判定，n≥3，n∈N＋时，2n>2n＋1.
所以n＝1,2时，f(n)g(n)．1．数学归纳法证明中，在验证了n＝1时命题正确，假定n＝k时命题正确，此时k的取值范围是( )
A．k∈N B．k>1，k∈N＋
C．k≥1，k∈N＋ D．k>2，k∈N＋
解析：数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法，所以k是正整数，又第一步是递推的基础，所以k大于等于1.
答案：C
2．某个命题：(1)当n＝1时，命题成立
(2)假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时成立，可以推出n＝k＋2时也成立，则命题对________成立( )
A．正整数 B．正奇数
C．正偶数 D．都不是
解析：由题意知，k＝1时，k＋2＝3；k＝3时，k＋2＝5，依此类推知，命题对所有正奇数成立．
答案：B
3．设f(n)＝＋＋＋…＋(n∈N＋)，那么f(n＋1)－f(n)等于( )
A. B.
C.＋ D.－
解析：因为f(n)＝＋＋…＋，
所以f(n＋1)＝＋＋…＋＋＋，
所以f(n＋1)－f(n)＝＋－＝
－.
答案：D
4．某同学回答“用数学归纳法证明证明：(1)当n＝1时，显然命题是正确的；
(2)假设n＝k时有A．从k到k＋1的推理过程没有使用归纳假设
B．归纳假设的写法不正确
C．从k到k＋1的推理不严密
D．当n＝1时，验证过程不具体
解析：证明 <(k＋1)＋1时进行了一般意义的放大．而没有使用归纳假设答案：A
5．观察式子1＝1,1－4＝－(1＋2)，1－4＋9＝1＋2＋3，…猜想第n个式子应为________．
答案：1－4＋9－16＋…＋(－1)n－1n2＝(－1)n＋1·
6．用数学归纳法证明：“1×4＋2×7＋3×10＋…＋n(3n＋1)＝n(n＋1)2.n∈N＋”时，若n＝1，则左端应为________．
解析：n＝1时，左端应为1×4＝4.
答案：4
7．记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)＝f(k)＋________.
解析：由凸k边形变为凸k＋1边形时，增加了一个三角形图形．故f(k＋1)＝f(k)＋π.
答案：π
