函数的奇偶性[上学期]
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课件21张PPT。请安静函数的奇偶性引入问题1 已知函数f(x)=x2求f(－2),f(2), f(－1),f(1),及f(－x)
并画出它的图象解：f(－2)=(－2)2=4f(－1)=(－1)2=1f(2)=4f(1)=1f(－x)=(－x)2＝x 2同学们发现了什么规律?f(－2)=f(2)
f(－1)＝f(1)
f(－x)＝f(x)x－xf(x)f(－x)观察知函数 f(x)＝x2
对定义域内一切 x 有
f(－x)＝f(x) 成立它的图象关于 y 轴对称偶函数定义: 如果对于f(x)定义域内的任意一个x, 都有
f(-x)=f(x), 那么函数f(x)就叫偶函数.前面讨论的函数 f(x)＝x2 按定义是偶函数函数 f(x)＝x4 是偶函数吗？函数 f(x)＝x10 是偶函数吗？函数 f(x)＝x2n n∈Z 是偶函数吗？函数 f(x)＝x2n n∈Z 一定是偶函数 引入问题2 已知函数f(x)=x3求f(－2),f(2), f(－1),f(1),及f(－x)
并画出它的图象解：f(－2)=(－2)3=－8 f(2)=22=8 f(－1)=(－1)3=－1 f(1)=13=1 f(－x)=(－x)3=－x 3同学们发现了什么规律?f(－2)=－f(2)
f(－1)＝－f(1)
f(－x)＝－f(x)xf(x)－xf(－x)观察知函数 f(x)＝x3
对定义域内一切 x 有
f(－x)＝－f(x) 成立它的图象关于原点对称奇函数定义:如果对于f(x)定义域内的任意一个x, 都有
f(-x)=－f(x), 那么函数f(x)就叫奇函数.前面讨论的函数 f(x)＝x3 按定义是奇函数函数 f(x)＝x5 是奇函数吗？函数 f(x)＝x13 是奇函数吗？函数 f(x)＝x2n－1 n∈Z 是奇函数吗？函数 f(x)＝x2n－1 n∈Z 一定是奇函数 如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数,
那么我们就说函数 f(x) 具有奇偶性。探究：具有奇偶性的函数，其定义域具有怎样的特点？具有奇偶性的函数，其定义域关于数“0”对称对奇函数、偶函数定义的说明:(1)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性
的前提条件Oab－a－b（2）奇、偶函数定义的逆命题也成立，即：
若f(x)为奇函数, 则f(-x)=－f(x)成立。
若f(x)为偶函数, 则f(-x)= f(x) 成立。（3） 如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数
那么我们就说函数 f(x) 具有奇偶性。奇函数的图象(如y=x3 )偶函数的图象(如y=x2)oaP/(-a ,f(-a))p(a ,f(a))-a(-a,-f(a))(-a,f(a))奇函数的图象
关于原点对称偶函数的图象
关于 y 轴对称练习1. 说出下列函数的奇偶性:偶函数奇函数①f(x)=x4 ________ ④ f(x)= x －1 ________② f(x)=x ________⑤f(x)=x －2 __________③ f(x)=x5 __________⑥f(x)=x －3 ________ 说明：对于形如 f(x)=x n 的函数，
若n为偶数，则它为偶函数。
若n为奇数，则它为奇函数。奇函数奇函数奇函数偶函数例1 已知函数y=f(x)是偶函数，它在y轴右边 的图象如图，画出它在 y 轴左边的图象oyx解：画法略 y x 0例2 判断函数 f(x)＝x3＋2x 的奇偶性解：函数的定义域是 R ∵ f(－x)＝(－x)3＋2(－x)＝－x 3 －2x＝－f(x)∴ f(x) 是奇函数＝－(x 3＋2x)研究函数的奇偶性
必须首先讨论函数的定义域
仅当函数的定义域关于原点对称
才能说它具有奇偶性例3 判断函数 f(x)＝2x4＋3x2 的奇偶性解：函数的定义域是 R ∵ f(－x)＝2(－x)4＋3(－x)2＝2x4 ＋3x2＝f(x)∴ f(x) 是偶函数研究函数的奇偶性
必须首先讨论函数的定义域
仅当函数的定义域关于原点对称
才能说它具有奇偶性例4判断函数 f(x)＝5 的奇偶性解：函数的定义域是 R ∵ f(－x)＝5＝f(x)，且 f(－x)≠－f(x)∴ f(x) 是偶函数不是奇函数判断函数 f(x)＝0 的奇偶性 ∵ f(－x)＝0＝f(x) 且 －f(x)＝0＝f(－x) ∴ f(x) 既是奇函数又是偶函数说明：定义域关于原点对称的函数
若是非零的常数函数是偶函数
在定义域内恒等于零的函数
既是奇函数又是偶函数例5 判断函数 f(x)＝x＋1 的奇偶性解：函数的定义域是 R ∵ f(－x)＝(－x)＋1＝－x＋1 ∴ f(－x)≠f(x) ∵ －f(x)＝－(x＋1)＝－x－1 ∴ f(－x)≠－f(x) 因此，f(x) 是非奇非偶函数另解：由图象知，不具有对称性 由此可知 f(x) 是非奇非偶函数例6 判断函数 f(x)＝x2 x∈[－1，3] 的奇偶性解：∵ 函数的定义域是 [－1，3]不是关于原点对称∴ f(x) 是非奇非偶函数另解：∵ 图象不具有对称性 ∴ f(x) 是非奇非偶函数说明：根据奇偶性, 函数可划分为四类:奇函数－它的图象关于原点对称偶函数－它的图象关于 y 轴对称既奇又偶函数－在定义域内恒为零非奇非偶函数－图象不具有对称性课堂练习判断下列函数的奇偶性(不写证明过程)1 f(x)＝x4－3x2＋52 f(x)＝x5－3x3＋5x3 f(x)＝x5－3/x3＋54 f(x)＝x+1/x5 f(x)＝(x4-1)/x2偶函数偶函数奇函数奇函数非奇非偶函数思考题：1﹑函数f（x）是定义在R上的偶函数，
如果f（x）在x∈[0，+∞）上是单调增函数，那么f（x）在x∈（-∞，0）上是单调 函数。减2﹑函数f（x）是定义在R上的奇函数，
如果f（x）在x∈[0，+∞）上是单调增函数，那么f（x）在x∈（-∞，0）上是单调 函数增同学们再见
并画出它的图象解：f(－2)=(－2)2=4f(－1)=(－1)2=1f(2)=4f(1)=1f(－x)=(－x)2＝x 2同学们发现了什么规律?f(－2)=f(2)
f(－1)＝f(1)
f(－x)＝f(x)x－xf(x)f(－x)观察知函数 f(x)＝x2
对定义域内一切 x 有
f(－x)＝f(x) 成立它的图象关于 y 轴对称偶函数定义: 如果对于f(x)定义域内的任意一个x, 都有
f(-x)=f(x), 那么函数f(x)就叫偶函数.前面讨论的函数 f(x)＝x2 按定义是偶函数函数 f(x)＝x4 是偶函数吗？函数 f(x)＝x10 是偶函数吗？函数 f(x)＝x2n n∈Z 是偶函数吗？函数 f(x)＝x2n n∈Z 一定是偶函数 引入问题2 已知函数f(x)=x3求f(－2),f(2), f(－1),f(1),及f(－x)
并画出它的图象解：f(－2)=(－2)3=－8 f(2)=22=8 f(－1)=(－1)3=－1 f(1)=13=1 f(－x)=(－x)3=－x 3同学们发现了什么规律?f(－2)=－f(2)
f(－1)＝－f(1)
f(－x)＝－f(x)xf(x)－xf(－x)观察知函数 f(x)＝x3
对定义域内一切 x 有
f(－x)＝－f(x) 成立它的图象关于原点对称奇函数定义:如果对于f(x)定义域内的任意一个x, 都有
f(-x)=－f(x), 那么函数f(x)就叫奇函数.前面讨论的函数 f(x)＝x3 按定义是奇函数函数 f(x)＝x5 是奇函数吗？函数 f(x)＝x13 是奇函数吗？函数 f(x)＝x2n－1 n∈Z 是奇函数吗？函数 f(x)＝x2n－1 n∈Z 一定是奇函数 如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数,
那么我们就说函数 f(x) 具有奇偶性。探究：具有奇偶性的函数，其定义域具有怎样的特点？具有奇偶性的函数，其定义域关于数“0”对称对奇函数、偶函数定义的说明:(1)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性
的前提条件Oab－a－b（2）奇、偶函数定义的逆命题也成立，即：
若f(x)为奇函数, 则f(-x)=－f(x)成立。
若f(x)为偶函数, 则f(-x)= f(x) 成立。（3） 如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数
那么我们就说函数 f(x) 具有奇偶性。奇函数的图象(如y=x3 )偶函数的图象(如y=x2)oaP/(-a ,f(-a))p(a ,f(a))-a(-a,-f(a))(-a,f(a))奇函数的图象
关于原点对称偶函数的图象
关于 y 轴对称练习1. 说出下列函数的奇偶性:偶函数奇函数①f(x)=x4 ________ ④ f(x)= x －1 ________② f(x)=x ________⑤f(x)=x －2 __________③ f(x)=x5 __________⑥f(x)=x －3 ________ 说明：对于形如 f(x)=x n 的函数，
若n为偶数，则它为偶函数。
若n为奇数，则它为奇函数。奇函数奇函数奇函数偶函数例1 已知函数y=f(x)是偶函数，它在y轴右边 的图象如图，画出它在 y 轴左边的图象oyx解：画法略 y x 0例2 判断函数 f(x)＝x3＋2x 的奇偶性解：函数的定义域是 R ∵ f(－x)＝(－x)3＋2(－x)＝－x 3 －2x＝－f(x)∴ f(x) 是奇函数＝－(x 3＋2x)研究函数的奇偶性
必须首先讨论函数的定义域
仅当函数的定义域关于原点对称
才能说它具有奇偶性例3 判断函数 f(x)＝2x4＋3x2 的奇偶性解：函数的定义域是 R ∵ f(－x)＝2(－x)4＋3(－x)2＝2x4 ＋3x2＝f(x)∴ f(x) 是偶函数研究函数的奇偶性
必须首先讨论函数的定义域
仅当函数的定义域关于原点对称
才能说它具有奇偶性例4判断函数 f(x)＝5 的奇偶性解：函数的定义域是 R ∵ f(－x)＝5＝f(x)，且 f(－x)≠－f(x)∴ f(x) 是偶函数不是奇函数判断函数 f(x)＝0 的奇偶性 ∵ f(－x)＝0＝f(x) 且 －f(x)＝0＝f(－x) ∴ f(x) 既是奇函数又是偶函数说明：定义域关于原点对称的函数
若是非零的常数函数是偶函数
在定义域内恒等于零的函数
既是奇函数又是偶函数例5 判断函数 f(x)＝x＋1 的奇偶性解：函数的定义域是 R ∵ f(－x)＝(－x)＋1＝－x＋1 ∴ f(－x)≠f(x) ∵ －f(x)＝－(x＋1)＝－x－1 ∴ f(－x)≠－f(x) 因此，f(x) 是非奇非偶函数另解：由图象知，不具有对称性 由此可知 f(x) 是非奇非偶函数例6 判断函数 f(x)＝x2 x∈[－1，3] 的奇偶性解：∵ 函数的定义域是 [－1，3]不是关于原点对称∴ f(x) 是非奇非偶函数另解：∵ 图象不具有对称性 ∴ f(x) 是非奇非偶函数说明：根据奇偶性, 函数可划分为四类:奇函数－它的图象关于原点对称偶函数－它的图象关于 y 轴对称既奇又偶函数－在定义域内恒为零非奇非偶函数－图象不具有对称性课堂练习判断下列函数的奇偶性(不写证明过程)1 f(x)＝x4－3x2＋52 f(x)＝x5－3x3＋5x3 f(x)＝x5－3/x3＋54 f(x)＝x+1/x5 f(x)＝(x4-1)/x2偶函数偶函数奇函数奇函数非奇非偶函数思考题：1﹑函数f（x）是定义在R上的偶函数，
如果f（x）在x∈[0，+∞）上是单调增函数，那么f（x）在x∈（-∞，0）上是单调 函数。减2﹑函数f（x）是定义在R上的奇函数，
如果f（x）在x∈[0，+∞）上是单调增函数，那么f（x）在x∈（-∞，0）上是单调 函数增同学们再见