河南省2022-2023学年高二下学期开学考试数学试卷(含答案)

河南省2022-2023学年高二下学期开学考试数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1、已知直线经过点,则该直线在y轴上的截距为( )
A. B. C.2 D.
2、直线的一个方向向量可以是( )
A. B. C. D.
3、已知直线与圆相交于P,Q两点,则( )
A.2 B.4 C.6 D.8
4、已知椭圆的两个焦点分别为,,椭圆上一点P与焦点的距离等于6,则的面积为( )
A.24 B. C.27 D.36
5、已知直线与平行,则( )
A.2 B.3 C. D.2或
6、在正项等比数列中,若,则( )
A.6 B.12 C.56 D.78
7、已知点在平面内,平面,其中是平面的一个法向量,则下列各点在平面内的是( )
A. B. C. D.
8、中国古代数学名著《算法统宗》记载有这样一个问题:“今有琫粮三百零五石,令五等官(正一品,从一品,正二品,从二品,正三品)依品递差十三石分之,问,各若干 ”其大意是,现有俸粮305石,分给正一品,从一品,正二品,从二品,正三品这5位官员,依照品级递减13石分这些俸粮,问,每个人各分得多少俸粮 在这个问题中,正二品分得的俸稂是( )
A.35石 B.48石 C.61石 D.74石
9、等比数列的公比为,“”是“数列单调递增”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
10、已知点,,,则点A到直线BC的距离是( )
A. B. C. D.5
11、已知抛物线的焦点为F,准线为l,PQ是过焦点F的一条弦,已知点,则( )
A.焦点F到准线l的距离为1
B.焦点,准线方程为
C.
D.的最小值是5
12、如图,正方体的棱长为2,线段上有两个动点E,F(E在F的左边),且.下列说法错误的是( )
A.当E,F运动时,不存在点E,F使得
B.当E,F运动时,不存在点E,F使得
C.当E运动时,二面角的最大值为
D.当E,F运动时,二面角为定值
二、填空题
13、设公比为2的等比数列的前n项和为,若,则________.
14、写出与圆和圆都相切的一条直线的方程:________.
15、已知四面体OABC,M,N分别是BC,OA的中点,且,,,则向量________.
16、双曲线的左,右顶点分别为A,B,P为C上一点,直线PA,PB与分别交于M,N两点,则的最小值________.
三、解答题
17、设等比数列的前n项和为,已知,且.
（1）求的通项公式;
（2）设,数列的前n项和为,证明:当时,.
18、已知椭圆的长轴比短轴长2,椭圆C的离心率为.
（1）求椭圆C的方程;
（2）若直线l与椭圆C交于A,B两点,且线段AB的中点为,求l的方程.
19、如图,四边形ABCD是边长为2的菱形,且,平面ABCD,,.
（1）证明:平面平面ANC.
（2）求平面AMN与平面CMN夹角的大小.
20、如图所示,在四棱锥中,是等边三角形,,,记平面ACD与平面ABE的交线为l.
（1）证明:.
（2）若,,Q为l上一点,求BC与平面QBD所成角的正弦值的最大值.
21、设等差数列的前n项和为,是等比数列,已知,,,.
（1）求的通项公式以及;
（2）记,求数列的前n项和.
22、已知双曲线的离心率为,点在双曲线E上.
（1）求E的方程;
（2）过E的右焦点F的直线l与双曲线E的右支交于A,B两点,与两条渐近线分别交于M,N两点,设,求实数的取值范围
参考答案
1、答案：D
解析:因为直线经过点,所以,解得,所以直线方程为,令,得.
2、答案：C
解析:直线的方向向量为,与共线,故选C.
3、答案：A
解析:设圆心到直线的距离为d,则,所以.
4、答案：B
解析:点P恰好是椭圆短轴的一个端点,因为,,,所以的面积.
5、答案：A
解析:因为,所以,解得或.当时,与重合.故.
6、答案：D
解析:由等比数列的性质可知,,所以,.
7、答案：B
解析:设是平面内的一点,则,所以,即,选项B满足.
8、答案：C
解析:正一品,从一品,正二品,从二品,正三品这5位官员所分得的俸粮数记为数列,由题意,是以为公差的等差数列,且,解得.故正二品分得俸粮的数量为(石).
9、答案：C
解析:由,可得.当时,,则数列单调递增;当时,,则数列单调递增.故“”是“数列单调递增”的充要条件.
10、答案：B
解析:设,,
可求得,所以.
11、答案：D
解析:由题设知,,A错误;抛物线C的焦点在x轴上,B错误;选项C可以考虑特殊情形,即PQ与x轴垂直,得到,C错误;作,垂足为M(图略),则,D正确.
12、答案：C
解析:建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,,,.因为E,F在上,且,可设,,则,,所以,故恒为正,故A正确.
若,则A,B,,四点共面,与AB和是异面直线矛盾,故B正确.
设平面ABE的法向量为,又,所以,即,取,则,平面ABC的法向量为,所以.设二面角的平面角为,则为锐角,故,当时,,所以,当且仅当时,取得最大值,即取最小值,故C错误.
连接BD,,(图略).平面EFB即为平面,而平面AEF即为平面,故当E,F运动时,二面角的大小保持不变,故D正确.
13、答案：33
解析:因为,所以.
14、答案：和.
解析:由圆,圆,可知它们外切,所以两圆的方程作差即可得内公切线的方程为.易知直线的方程为,设外公切线的方程为,因为,所以或,即两条外公切线的方程分别为和.
15、答案：
解析:,所以.
16、答案：
解析:易知,设直线PB的方程为,令,则,直线PA的方程为,令,则,所以.
17、答案：（1）,
（2）见解析
解析:（1）设数列的公比为q,因为,所以.又,所以,所以,解得.故,.
（2）证明:由（1）知,所以.易知在上单调递增,当时,,即.
18、答案：（1）
（2）
解析:（1）因为椭圆C的离心率为,所以,解得.
又椭圆C的长轴比短轴长2,所以,联立方程组,解得,所以椭圆C的方程为.
（2）设,,因为A,B在椭圆C上,所以,两个方程相减得,所以.因为线段AB的中点为,所以,所以l的方程为,即.
19、答案：（1）见解析
（2）
解析:（1）证明:连接BD,设AC与BD相交于点E,连接ME,NE.在菱形ABCD中,,,所以.因为平面ABCD,所以.又,,所以平面BME,所以.在直角三角形BME中,由,,得.在直角三角形DNE中,由,,得,在直角梯形BMND中,由,,得,所以,从而.又,所以平面ANC.因为平面AMC,所以平面平面ANC.
（2）取MN的中点H,分别以EA,EB,EH所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则点,,,,,设平面AMN的法向量为,则,取,则.同理可得平面CMN的法向量为,所以,所以平面AMN与平面CMN夹角的大小为.
20、答案：（1）见解析
（2）
解析:（1）证明:在四棱锥中,,又因为平面ABE,平面ABE,所以平面ABE.又因为平面ACE与平面ABE的交线为l,平面ACD,所以.
（2）因为,,所以.在直角中,因为,,所以.在直角中,因为,,所以.取BC的中点O,连接OA,OD,在等边中,,.在等腰直角中,,.在中,因为,,,所以.以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系,则,,,,,易知,设,所以,,,,,所以.设平面QBD的法向量为,由,得,令,得,,即,令,则,当且仅当时,取得最大值,所以BC与平面QBD所成角的正弦值的最大值为.
21、答案：（1）见解析
（2）见解析
解析:（1）设数列,的公差和公比分别为d,q,解得.将代入和,可得,,所以,.
（2）由（1）知,因为,所以,,,上式相加得.
22、答案：（1）
（2）
解析:（1）因为离心率为,所以,化简得,把点代入,得,解得,又,所以,所以双曲线E的方程为.
（2）由（1）得,设直线l的方程为,与联立消x并整理得.设,,则,,,,且,得,所以.又由,可得,不妨设,同理由,可得,所以,所以,故实数的取值范围为.