函数的周期性[下学期]
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课件12张PPT。延庆三中青年教师考核课函数的周期性教师：卢冬宝
时间: 2005.3The Periodicity of Function 观察三月份日历和正弦函数函数值表， 说出二者的共同特点：函数周期性的定义 对于函数y=f（x），如果存在一个 T，使得当 时，
都成立，那么就把函数
y=f（x）叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。 f（ ）=f（ ）不为零的常数sin(x+ )=sinx2kπ 正弦函数和余弦函数均为周期函数， 且周期 T=2kπ (k∈Z且k≠0) x取定义域内的每一个值cos(x+ )=cosx2kπ(k∈Z且k≠0)x+T x思考：周期函数的图象有何特征？周期函数图象的形状随x的变化有规律的重复变化。 思考： 函数f(x)=x2是否为周期函数？如果是，周期是多少？令f（x+T）=f（x）， 即(x+T)2=x2 即x2+2xT+T2=x2， 所以2xT+T2=0 即T(2x+T)=0所以T=0或T=-2x 因为T=0或T=-2x 均不符合函数周期的要求，所以函数f(x)=x2不是周期函数。最小正周期的概念： 对于一个周期函数f(x)，如果它所有的周期中存在一个
最小的正数，那么这个最小正数叫f(x)的最小正周期。sin(x+ )=sinx
cos(x+ )=cosx2π
2π 自变量x只要并且至少增加到x+2π时，
函数值才能重复取得。正弦函数和余弦函数的最小正周期是2π。 最小正周期在图象上的意义 ：最小正周期是函数图象重复出现需要的最短距离。例题：求下列函数的周期：（1）y=3cosx 解：因为3cos(x+ )=3cosx（x只要且至少增加到x+2π）2π所以原函数的周期是2π。 （2）y=sin(x+π/4)解：因为
sin[(x+ )+π/4]= sin(x+π/4)2π所以原函数的周期是2π。（3）y=sin2x解：因为sin[2(x+ )]
=sin2x=Sin[2x+2π]π所以原函数的周期是π。 4π所以原函数的周期是4π。所以原函数的周期是 。结论：形如y=Asin(ωx+φ) 或y=Acos(ωx+φ) (A,ω,φ为常数,A?0, x?R) 的函数的周期为T= 课上练习：求下列函数的周期（直接用结论做）：(1)解：
∵ω=1
∴原函数的周期为
T=2π/ω=2π三角函数具有周期性的本质原因:三角函数值的大小是由角的终边在坐标系中的位置决定的,而在角的终边转动时,终边每转过2π,都会与原来的终边重合,这样三角函数值就会周而复始地出现。课堂小结：2. 正弦函数y=sinx和余弦函数y=cosx均为周期函数， 且（最小正）周期为2π。1. 函数周期性的概念。4. 函数周期性的用途。课后作业：教材：P57－5
思考题：常数函数f(x)=1是否为周期函数？如果是，此函数的（一般）周期为多少？此函数是否存在最小正周期？最小正周期是多少？ 如果需要转载，请勿删除以下信息，多谢：
作者：卢冬宝
单位：北京市延庆县第三中学
邮箱：ludongbao@163.com
个人网页：http://ludongbao.51.net
欢迎光临数学双语教学网：http://www.bilingual-teach.com
时间: 2005.3The Periodicity of Function 观察三月份日历和正弦函数函数值表， 说出二者的共同特点：函数周期性的定义 对于函数y=f（x），如果存在一个 T，使得当 时，
都成立，那么就把函数
y=f（x）叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。 f（ ）=f（ ）不为零的常数sin(x+ )=sinx2kπ 正弦函数和余弦函数均为周期函数， 且周期 T=2kπ (k∈Z且k≠0) x取定义域内的每一个值cos(x+ )=cosx2kπ(k∈Z且k≠0)x+T x思考：周期函数的图象有何特征？周期函数图象的形状随x的变化有规律的重复变化。 思考： 函数f(x)=x2是否为周期函数？如果是，周期是多少？令f（x+T）=f（x）， 即(x+T)2=x2 即x2+2xT+T2=x2， 所以2xT+T2=0 即T(2x+T)=0所以T=0或T=-2x 因为T=0或T=-2x 均不符合函数周期的要求，所以函数f(x)=x2不是周期函数。最小正周期的概念： 对于一个周期函数f(x)，如果它所有的周期中存在一个
最小的正数，那么这个最小正数叫f(x)的最小正周期。sin(x+ )=sinx
cos(x+ )=cosx2π
2π 自变量x只要并且至少增加到x+2π时，
函数值才能重复取得。正弦函数和余弦函数的最小正周期是2π。 最小正周期在图象上的意义 ：最小正周期是函数图象重复出现需要的最短距离。例题：求下列函数的周期：（1）y=3cosx 解：因为3cos(x+ )=3cosx（x只要且至少增加到x+2π）2π所以原函数的周期是2π。 （2）y=sin(x+π/4)解：因为
sin[(x+ )+π/4]= sin(x+π/4)2π所以原函数的周期是2π。（3）y=sin2x解：因为sin[2(x+ )]
=sin2x=Sin[2x+2π]π所以原函数的周期是π。 4π所以原函数的周期是4π。所以原函数的周期是 。结论：形如y=Asin(ωx+φ) 或y=Acos(ωx+φ) (A,ω,φ为常数,A?0, x?R) 的函数的周期为T= 课上练习：求下列函数的周期（直接用结论做）：(1)解：
∵ω=1
∴原函数的周期为
T=2π/ω=2π三角函数具有周期性的本质原因:三角函数值的大小是由角的终边在坐标系中的位置决定的,而在角的终边转动时,终边每转过2π,都会与原来的终边重合,这样三角函数值就会周而复始地出现。课堂小结：2. 正弦函数y=sinx和余弦函数y=cosx均为周期函数， 且（最小正）周期为2π。1. 函数周期性的概念。4. 函数周期性的用途。课后作业：教材：P57－5
思考题：常数函数f(x)=1是否为周期函数？如果是，此函数的（一般）周期为多少？此函数是否存在最小正周期？最小正周期是多少？ 如果需要转载，请勿删除以下信息，多谢：
作者：卢冬宝
单位：北京市延庆县第三中学
邮箱：ludongbao@163.com
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