5.3.1平行线的性质（同步练习）（含答案）2022-2023学年人教版数学七年级下册

5.3　平行线的性质
（同步练习）
一、单选题
1．在下列各命题中，是假命题的是（　　）
A．在一个三角形中，等边对等角 B．全等三角形的对应边相等
C．同旁内角相等，两直线平行 D．等角的补角相等
2．如图，，则下列各式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，，平分交于点E，若，则 （　　）
A． B． C． D．
4．如图，，BF平分∠ABE，且BF⊥DE，垂足为F，则∠ABE与∠EDC的数量关系是（ ）
A．∠EDC－∠ABE＝90° B．∠ABE＋∠EDC＝180°
C．∠ABE＝∠EDC D．∠ABE＋∠EDC＝90°
5．如图，，则等于（ ）
A． B． C． D．
6．如图，，平分交于点．若，则的大小为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，直线与相交于点E，在的平分线上有一点F，．当时，的度数是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，大正方形与小正方形的面积之差为S，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B．S C． D．
9．如图，，，探索图中角α，β，γ之间的关系式正确的是（　　）
A． B． C． D．
10．如图，已知，于点，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．将命题“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行”改写为“如果……，那么……”的形式为__________________________________________．
12．如图，若ABCD，则，，则______．
13．甲：“我没有偷”；乙：“丙是小偷”；丙：“丁是小偷”；丁：“我没有偷”．若四个人里面只有一个人说了真话，则小偷是_____．
14．有一个密码箱，密码由三个数字组成，甲、乙、丙三个人都开过，但都记不清了．甲记得：这三个数字分别是7，2，1，但第一个数字不是7；乙记得：1和2的位置相邻；丙记得：中间的数字不是1．根据以上信息，可以确定密码是__．
15．已知：在同一平面内，三条直线a，b，c．下列四个命题为真命题的是_____________．（填写所有真命题的序号）
①如果ab，，那么； ②如果，，那么；
③如果ab，cb，那么ac； ④如果，，那么bc．
三、解答题
16．问题情境：如图1，，，，求的度数．
小明的思路是：过作，通过平行线性质来求．
(1)按小明的思路，易求得的度数为___________度；（直接写出答案）
(2)问题迁移：如图2，，点在射线上运动，记，，当点在、两点之间运动时，问与、之间有何数量关系？请说明理由；
(3)在（2）的条件下，如果点在、两点外侧运动时（点与点、、三点不重合），请写出与、之间的数量关系，并说明理由．
17．填空并在括号内加注理由．
已知：如图，，，，，求证：．
证明：∵，（已知）
∴（________________）
∴（________________）
∴________（________________）
∵（已知）
∴（________________）
∴（同位角相等，两直线平行）
∴________（________________）
∵（已知）
∴
∴
∴（________________）
18．如图，点D，E，G分别在，，上，连接，点F在上，连接，，已知．
(1)试判断与的关系，并说明理由；
(2)若，求的度数．
19．阅读下面内容，并解答问题．
已知：如图1，，直线分别交，于点，．的平分线与的平分线交于点．
(1)求证：；
(2)填空，并从下列①、②两题中任选一题说明理由．我选择 　　题．
①在图1的基础上，分别作的平分线与的平分线交于点，得到图2，则的度数为 　　．
②如图3，，直线分别交，于点，．点在直线，之间，且在直线右侧，的平分线与的平分线交于点，则与满足的数量关系为 　　．
20．【发现】如图1，CE平分∠ACD，AE平分∠BAC．
(1)当∠EAC＝∠ACE＝45°时，AB与CD的位置关系是______；
当∠EAC＝50°，∠ACE＝40°时，AB与CD的位置关系是______；
当∠EAC+∠ACE＝90°，请判断AB与CD的位置关系并说明理由；
(2)【探究】如图2，AB∥CD，M是AE上一点，∠AEC＝90°保持不变，移动顶点E，使CE平分∠MCD，∠BAE与∠MCD存在怎样的数量关系？并说明理由，
(3)【拓展】如图3，AB∥CD，P为线段AC上一定点，Q为直线CD上一动点，且点Q不与点C重合．直接写出∠CPQ+∠CQP与∠BAC的数量关系．
21．如图1，，直线外有一点，连接，．
(1)证明：；
(2)如图2，延长至点，连接，平分，平分，且与交于点，求与的数量关系；
(3)如图3，在2的条件下，，，连接，且，，求的度数．
参考答案：
1．C2．D3．A4．A5．B6．B7．D8．C9．B10．C
11．如果在同一平面内两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行
12．
13．甲
14．127
15．①③④
16．（1）解：过点作，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，，
∴．
（2）解：，
理由：如图2，过作交于，
∵，
∴，
∴，，
∴；
（3）解：如图所示，当在延长线上时，
过点作交于，则，
∴，，
∴；
如图所示，当在延长线上时，
过点作交于，则，
∴，，
∴．
17．垂直定义；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；等量代换；；两直线平行，同位角相等；垂直定义
18．（1）解：，理由如下：
，
，
，
，
，
；
（2），
，
，
，
，
又，
，
∵，
．
19．（1）证明：如图，过作，
，
，
，
，
平分，平分，
，，
，
在中，，
，
；
（2）解：①如图2中，由题意，，
平分，平分，
，
，
故答案为：；
②结论：．
理由：如图3中，由题意，，，
平分，平分，
，，
，
故答案为：．
20．（1）解：当∠EAC＝∠ACE＝45°时，AB∥CD，理由如下：
∵CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠EAC，∠ACD＝2∠ACE，
∵∠EAC＝∠ACE＝45°，
∴∠BAC＝∠ACD＝90°，
∴∠BAC+∠ACD＝180°，
∴AB∥CD，
故答案为：AB∥CD；
当∠EAC＝50°，∠ACE＝40°时，AB∥CD，理由如下：
∵CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠EAC，∠ACD＝2∠ACE，
∵∠EAC＝50°，∠ACE＝40°
∴∠BAC＝100°，∠ACD＝80°，
∴∠BAC+∠ACD＝180°，
∴AB∥CD，
故答案为：AB∥CD；
当∠EAC+∠ACE＝90°，AB∥CD，理由如下：
∵CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠EAC，∠ACD＝2∠ACE，
∵∠EAC+∠ACE＝90°，
∴∠BAC+∠ACD＝180°，
∴AB∥CD；
（2）解：∠BAE+∠MCD＝90°，理由如下：
过点E作EF∥AB，如图所示，
∵AB∥CD，
∴EF∥AB∥CD，
∴∠BAE＝∠AEF，∠FEC＝∠DCE，
∵∠AEC＝90°，
∴∠AEF+∠FEC＝∠BAE+∠ECD＝90°，
∵CE平分∠MCD，
∴∠ECD＝∠MCD，
∴∠BAE+∠MCD＝90°；
（3）解：分两种情况分类讨论，
第一种情况如图，当点Q在射线CD上运动时，∠BAC＝∠PQC+∠QPC，
理由：过点P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴EP∥AB∥CD，
∴∠BAC＝∠EPC，∠PQC＝∠EPQ，
∵∠EPC＝∠EPQ+∠QPC
∴∠BAC＝∠PQC+∠QPC；
第二种情况如图，当点Q在射线CD的反向延长线上运动时（点C除外）∠PQC+∠QPC+∠BAC＝180°，
理由：∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠PCQ，
∵∠PQC+∠QPC +∠PCQ＝180°，
∴∠PQC+∠QPC+∠BAC＝180°，
综上，∠BAC＝∠PQC+∠QPC或∠PQC+∠QPC+∠BAC＝180°．
21．（1）证明：过点作，
∵，，
∴
∴，,，
∴，
∴；
（2）解：∵平分，设，
又∵平分，设，
∴，，
过点作，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
过点作，
∴，
∴，，
∴
∴；
（3）设，
过点做，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
过点作，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴ ，
由（2）知，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．