函数的奇偶性[上学期]
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文档简介
函数的奇偶性
教学目的：1、从形与数的角度引导学生理解并掌握函数奇偶性的概念。
2、掌握判断函数奇偶性的基本方法。
3、通过概念的形成，培养学生的观察、抽象等能力，渗透数形结合的数学思想以及从特殊到一般的思想。
教学重点：函数奇偶性的概念以及函数奇偶性的判断。
教学难点：函数奇偶性的概念的理解
教学方法：师生共同探讨
教学过程：
一、情景引入：在我们的日常生活中，可以观察到许多对称现象：美丽的蝴蝶，冬天漂亮的雪花，人和镜子中的像……这种对称美在我们的数学中也有许多，今天这节课我们就一起来学习跟对称有关的问题。
二、学生活动：请两位同学到黑板前画出y=x2 与y=的图象。
问题1：从对称的角度观察 y=x2与 y= 的图象，找出它们的共性？
观察结果：y=x2与 y=的图象关于y轴对称。
问题2：函数图象的这种对称性除了可以从图象上认识外，是否可以用数量关系来表述？
答：当自变量取一对相反数时，y取同一值。
例：f(x)=x2 f(1)=f(1)=1
即 f(x)=f(x)
问题3：再抽象出来：如果点 (x, f(x)) 在函数y=x2的图象上，则该点关于y轴的对称点 (x1, f(x1)) 也在函数y=x2的图象上．这两个点的坐标之间有什么关系？
答：x1=-x，f(x1)= f(x) 即f(-x) = f(x)
三：建构数学：一般的，如果对于函数y=f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么称函数y=f(x)是偶函数。
注意：①定义本身蕴涵着：函数的定义域必须是关于原点的对称区间-----这是偶函数的大前提。
②其实质是当自变量任取两个互为相反数的值时，对应的函数值相等。
四：学生活动：
问题4：画出函数y=x与y=-的图象并从对称的角度观察这两个图象的共性？
观察结果：y=x与y=-的 图象关于原点对称。
问题5：试着从数量关系上来表述这一对称关系？
答：当自变量取一对相反数时，y亦取相反数．
例：f(x)= x f(1)=f(1)=1
即 f(x)=f(x)
问题6：再抽象出来：如果点 (x, f(x)) 在函数y=x的图象上，则该点关于原点的对称点 (x1, f(x1)) 也在函数y=x的图象上，这两个点的坐标之间有什么关系？
答：x1=-x，f(x1)=- f(x) 即f(-x) =- f(x)
五：建构数学：一般的，如果对于函数y=f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么称函数y=f(x)是奇函数。
注意：①定义本身蕴涵着：函数的定义域必须是关于原点的对称区间------这是奇函数的大前提
②其实质是当自变量任取两个互为相反数的值时，对应的函数值相反。
小结：判断函数奇偶性最基本的方法：先看定义域是否关于原点对称，再用定义――f(x)=f(x) ( 或f(x)=f(x) )来判断。
六：数学应用：
1：判定下列函数是否为偶函数或奇函数：
(1)f(x)=x2-1 (2) f(x)=2x
(3) f(x)=2-5 (4) f(x)=(x-1)2
解：（1）函数f(x)=x2-1的定义域是R
因为对于任意的x R，都有f(x)=( x)2-1= x2-1= f(x)
所以函数f(x)=x2-1是偶函数。
（2）、（3）、（4）略
小结：一般函数的奇偶性有四种：奇函数、偶函数、既奇且偶函数、非奇非偶函数
例： y=2x （奇函数）
y=3x2+1 y=2x4+3x2 （偶函数）
y=0 （既奇且偶函数）
y=2x+1 （非奇非偶函数）
2、已知f(x)=ax3+bx+5（a0）,且f(3)=10,求f(-3)的值。
解：方法一、∵f(3)=a×33+b×3+5=10
∴a×33+b×3=5
∴f(-3)=a×(-3)3+b×(-3)+5=-(a×33+b×3)+5=-5+5=0
(利用整体带入)
方法二、设g(x)= ax3+bx,g(-x)=-g(x),∴g(x)是奇函数，
则f(3) = g(3)+5=10，∴g(3)=-5
∴ f(-3)=g(-3)+5=-g(3)+5=0
3 、已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时f(x)=x(1-x)，求当x<0时f(x)的表达式。
解：设x<0, ∴-x>0 ∴f(-x)=-x(1+x)又f(x)为奇函数， ∴f(-x)=-f(x)=-x(1+x)
∴f(x)=x(1+x)
变式：求f(x)的表达式。（注意x=0时的情况）
七、课堂小结：
1． 定义 ： 肢体语言表述：人的身体作为y轴，伸出左手得到x，则伸出右手得到-x，左手再向上得到f(x)，（1）若右手也向上得到f(-x)，关于身体对称，得到了偶函数，（2）若右手向下得到f(-x)，两手关于原点对称得到了奇函数。
2．图象特征 ： 奇函数图象关于原点对称 ，偶函数图象关于轴对称
3．判定方法：先看定义域是否关于原点对称，再用定义----- f(x)=f(x) ( 或f(x)=f(x) )来判断。
八、作业：P40 练习
P43 习题2. 1（3） 5、6、8
课堂教学设计说明：
函数的奇偶性是部分函数的重要性质,是研究函数性质的主要方面，其内容对学生是比较陌生的，学好这个内容十分重要。在教学设计过程中，没有一上课就给出定义，而是先给出一组图形，让学生通过观察，寻找它们的共性，目的是让学生先有个直观上的认识。引导学生由图形的直观认识上升到数量关系的精确描述。并引导学生表述定义，培养学生从特殊到一般的概括能力。运用计算机辅助教学对于提高学生思维能力，激励学生探索精神，调动学生学习积极性有很大帮助。
函数的奇偶性
淮阴师院附中
徐建敏
2006年3月
y
y
x
x
y
x
教学目的：1、从形与数的角度引导学生理解并掌握函数奇偶性的概念。
2、掌握判断函数奇偶性的基本方法。
3、通过概念的形成，培养学生的观察、抽象等能力，渗透数形结合的数学思想以及从特殊到一般的思想。
教学重点：函数奇偶性的概念以及函数奇偶性的判断。
教学难点：函数奇偶性的概念的理解
教学方法：师生共同探讨
教学过程：
一、情景引入：在我们的日常生活中，可以观察到许多对称现象：美丽的蝴蝶，冬天漂亮的雪花，人和镜子中的像……这种对称美在我们的数学中也有许多，今天这节课我们就一起来学习跟对称有关的问题。
二、学生活动：请两位同学到黑板前画出y=x2 与y=的图象。
问题1：从对称的角度观察 y=x2与 y= 的图象，找出它们的共性？
观察结果：y=x2与 y=的图象关于y轴对称。
问题2：函数图象的这种对称性除了可以从图象上认识外，是否可以用数量关系来表述？
答：当自变量取一对相反数时，y取同一值。
例：f(x)=x2 f(1)=f(1)=1
即 f(x)=f(x)
问题3：再抽象出来：如果点 (x, f(x)) 在函数y=x2的图象上，则该点关于y轴的对称点 (x1, f(x1)) 也在函数y=x2的图象上．这两个点的坐标之间有什么关系？
答：x1=-x，f(x1)= f(x) 即f(-x) = f(x)
三：建构数学：一般的，如果对于函数y=f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么称函数y=f(x)是偶函数。
注意：①定义本身蕴涵着：函数的定义域必须是关于原点的对称区间-----这是偶函数的大前提。
②其实质是当自变量任取两个互为相反数的值时，对应的函数值相等。
四：学生活动：
问题4：画出函数y=x与y=-的图象并从对称的角度观察这两个图象的共性？
观察结果：y=x与y=-的 图象关于原点对称。
问题5：试着从数量关系上来表述这一对称关系？
答：当自变量取一对相反数时，y亦取相反数．
例：f(x)= x f(1)=f(1)=1
即 f(x)=f(x)
问题6：再抽象出来：如果点 (x, f(x)) 在函数y=x的图象上，则该点关于原点的对称点 (x1, f(x1)) 也在函数y=x的图象上，这两个点的坐标之间有什么关系？
答：x1=-x，f(x1)=- f(x) 即f(-x) =- f(x)
五：建构数学：一般的，如果对于函数y=f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么称函数y=f(x)是奇函数。
注意：①定义本身蕴涵着：函数的定义域必须是关于原点的对称区间------这是奇函数的大前提
②其实质是当自变量任取两个互为相反数的值时，对应的函数值相反。
小结：判断函数奇偶性最基本的方法：先看定义域是否关于原点对称，再用定义――f(x)=f(x) ( 或f(x)=f(x) )来判断。
六：数学应用：
1：判定下列函数是否为偶函数或奇函数：
(1)f(x)=x2-1 (2) f(x)=2x
(3) f(x)=2-5 (4) f(x)=(x-1)2
解：（1）函数f(x)=x2-1的定义域是R
因为对于任意的x R，都有f(x)=( x)2-1= x2-1= f(x)
所以函数f(x)=x2-1是偶函数。
（2）、（3）、（4）略
小结：一般函数的奇偶性有四种：奇函数、偶函数、既奇且偶函数、非奇非偶函数
例： y=2x （奇函数）
y=3x2+1 y=2x4+3x2 （偶函数）
y=0 （既奇且偶函数）
y=2x+1 （非奇非偶函数）
2、已知f(x)=ax3+bx+5（a0）,且f(3)=10,求f(-3)的值。
解：方法一、∵f(3)=a×33+b×3+5=10
∴a×33+b×3=5
∴f(-3)=a×(-3)3+b×(-3)+5=-(a×33+b×3)+5=-5+5=0
(利用整体带入)
方法二、设g(x)= ax3+bx,g(-x)=-g(x),∴g(x)是奇函数，
则f(3) = g(3)+5=10，∴g(3)=-5
∴ f(-3)=g(-3)+5=-g(3)+5=0
3 、已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时f(x)=x(1-x)，求当x<0时f(x)的表达式。
解：设x<0, ∴-x>0 ∴f(-x)=-x(1+x)又f(x)为奇函数， ∴f(-x)=-f(x)=-x(1+x)
∴f(x)=x(1+x)
变式：求f(x)的表达式。（注意x=0时的情况）
七、课堂小结：
1． 定义 ： 肢体语言表述：人的身体作为y轴，伸出左手得到x，则伸出右手得到-x，左手再向上得到f(x)，（1）若右手也向上得到f(-x)，关于身体对称，得到了偶函数，（2）若右手向下得到f(-x)，两手关于原点对称得到了奇函数。
2．图象特征 ： 奇函数图象关于原点对称 ，偶函数图象关于轴对称
3．判定方法：先看定义域是否关于原点对称，再用定义----- f(x)=f(x) ( 或f(x)=f(x) )来判断。
八、作业：P40 练习
P43 习题2. 1（3） 5、6、8
课堂教学设计说明：
函数的奇偶性是部分函数的重要性质,是研究函数性质的主要方面，其内容对学生是比较陌生的，学好这个内容十分重要。在教学设计过程中，没有一上课就给出定义，而是先给出一组图形，让学生通过观察，寻找它们的共性，目的是让学生先有个直观上的认识。引导学生由图形的直观认识上升到数量关系的精确描述。并引导学生表述定义，培养学生从特殊到一般的概括能力。运用计算机辅助教学对于提高学生思维能力，激励学生探索精神，调动学生学习积极性有很大帮助。
函数的奇偶性
淮阴师院附中
徐建敏
2006年3月
y
y
x
x
y
x